ea CÁC PHƯƠNG PHAP GIAI Sinh Viên : PHAN SI TAN PHƯƠNG TRÌNH- BÁT PHƯƠNG TRÌNH- HỆ MŨ- LÔGARI PHAN I: LY THUYET CHƯƠNG I: PHƯƠNG PHÁP GIAI PHƯƠNG TRÌNH- BÁT PHUONG TRINH- HE MU BÀI TO
Trang 1(ea) CÁC PHƯƠNG PHAP GIAI
Sinh Viên : PHAN SI TAN PHƯƠNG TRÌNH- BÁT PHƯƠNG TRÌNH- HỆ MŨ- LÔGARI
PHAN I: LY THUYET
CHƯƠNG I: PHƯƠNG PHÁP GIAI PHƯƠNG TRÌNH- BÁT PHUONG TRINH- HE MU
BÀI TOÁN 1: SỬ DỰNG PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỎI TƯƠNG ĐƯƠNG
I Phương pháp:
Ta sử dụng phép biến đổi trơng đương sau:
a = gO Ự <azl hoặc |
(a=1\[Z(xì~ (xì =0
ƒ(xì= g(zì
IL VD minh hoa:
VDI: Giải phương trình: (2+x-xŸ '”=(2+x-zt ae
Giải: Phương trình được biến đối về dạng:
(2+x—x ~1IÍsinx—= 2+/3cosx | =0
sin x+^/3 cos x= 2(2) Giải (1) ta được x, = = thoả mãn điều kiện (9
Giải (2): san r+ Beosrete sin s{ x42) =1eon4 7-24 2kmeo x= Z42km bez
Đề nghiệm thoa man diéu kién (*) ta phai có:
-1<F 420 <2et{-1-7) <t <o(2-7 ©+=0 ke Z khi đé ta nhận được x=
ie
Vay phvong trinh cé 3 nghiém phan biệt 2018, TC
VD2: Giải phương trình: (x- 3)" 2? =(x2—6x+9)
Giải: Phương trình duc bién 43i vé dang: (x-3)" =[ix-3¿Ï afar
x=4
©| |0<x-3z1 ©||x<3z4 =|
3° -—5x4+2=2x74+2x-8 = | |x?-7x410=0 3
Vậy phương trình có 2 nghiệm phân biệt x=4, x=5
BAI TOAN 2: SU DUNG PHUONG PHAP LOGARIT HOA VÀ ĐƯA VÉ CUNG CƠ SỐ
Đề chuyên ân số khỏi số rũ luỹ thừa người ta có thể logartt theo cùng 1 cơ số cả 2 về của phương trình, ta có
các dạng:
Dạng Ì: Phương trình:
Trang 20<zzilb»>»0
/#ixìi=log,b Dang 2: Phong trình :
a7) = BF) > Log a = log, BM) © f(x) = g(x).log,
hoae log, a = log, B®") <> f(x).log, a = g(x)
I VD minh hoa:
VDI: Giải phương trình:
2 * -x_ 3
2
Giải: Lấy logarit cơ số 2 hai về phương trình ta được:
ino = log, © x? —2x=log, 3-1 x? -2x+1-log, 3=0
Ta có A*=1—1+log, 3=log, 3 >0 suy ra phương trình có nghiệm
x=1#.llog; 3
VD2: Giải phương trình:
x-l
3'.8* =500
Giải: Viết lại phương trình dưới dạng:
5“"“8® =5004©>5'2 r =5122@Ý12* =]
Lay logarit co sé 2 về, ta được:
x-3
x-3
cas 22 : J-s=xs,(s° ons 2 = 5+——log, 2= 0
x=3
log, 5 Vậy phương trình có 2 nghiệm phân biệt: x = 3, x = = : ;
82
Chú ý: Đối với 1 phương trình cần thiết rút gọn trước khi logarit hoá
BÀI TOÁN 3: SƯ DỤNG PHƯƠNG PHÁP ĐẶT AN PHU- DANG 1
Phương pháp dùng an phu dang 1 1a viéc si dụng 1 ân phụ đề chuyền phương trình ban đầu thành 1 phương trình
với 1 ấn phu -
Ta lưu ý các phép đặt ân phụ thường gắp sau:
Dang ì: Phương trình đy +a đt Ì œ4" +da =0
Khi đó đặt £ = a" điều kiện t>0, ta được: đœ£“ +đ „” đụ + đụ = 0
Mở rộng: Nếu đặt ¿ =aÝ?), điều kiện hẹp t>0 Khi đó: a3) = ¿2,a3/) = È, ,a#9) = j®
Va a = :
£
Dạng 2: Phương trình œđ” +@;a” +dœ =0 với ab=]
Khi đó đặt ¿ = 4", điều kiện t<0 suy ra 3" =: ta được: địt +2 +, = Ô CÓ đ/Ê + đự +; =0
Trang 3Mỏ rộng: Với a b=1 thì khi dat =a" điều kiện hẹp t>0, suy ra 57% = :
Dang 3: Phong trinh aa™* +, (ab \" +ab™ = 0 khi dé chia 2 về của phương trình cho ð?* >0 ( hoặc
a™ jab ` ta được: (=) +&, R +a, =0
Đặt :“[§) , điều kiện t<0, ta được: Af + t+ a, = 0
Mở rộng: Với phương trình mũ có chưa các nhân tử: a b*? jab / „ ta thực hiện theo các bước sau:
- - Chia 2 về phương trình cho ð3/ >0 (hoac a™ jab vy
ay
- Da -(2) diéu kién hep t>0
Dang 4: Lượng giác hoá
Chú ý: Ta sử dụng ngôn từ điều kiện hẹp t?0 cho trường hợp đặt £ = a/)yì:
- - Nếu đặt £=a' thì t>0 là điều kiện đúng
- - Nếu đặt £= 2* *Ì thì t>0 chỉ là điều kiện hẹp, bới thực chất điều kiện cho t phải là £ >2 Điều kiện này
đặc biệt quan trọng cho lớp các bài toán có chứa tham số
HH VD mình hoa:
1
VDI: Giải phương trình: 4'##"+2**~3=0 (1)
Giải: Điều kiện sin x# 0© x#Èk7Tr,k€6Z (9
Vì — =1+cot g*xnén phương trình (1) được biết du di dang:
sin” x
4%5*422 =-3=0 (2)
Dat t= Y*** điều kiện ¢21 vi cot g’x20 2 * 22° =1
Ehi đó phương trình (2) có dang:
Trang 4?+2—3= 0S|ƒT`,=z*z1eeesx=0
Vậy phương trình có 1 họ nghiệm x= 2+knke z
VD2: Giải phương trình: (7+4-/5|~3(2-/5\Ì ` +2=0
Giải: Nhân xét rằng: 7+4v/3 =(2+2/3| ;(2+-/3|(2—-/3\=1
Do đó nếu đặt ¿=(2+-/2Ì điều kiện t>0, thì (2—-/3Ì` =-và (744.8) =¿
Khi đó phương trình trơng đương với:
t=1
Ê—Š+2~ 0 2+3—3~0@ (0—1)(Ê+£+3Ì= 0 & :
> (2443) =1©x=0
x“—x=|x—-—| -—>—-—4>2 ”>2'©/:>—
1
VD4: Giai phuong trinh: 2° ~6.2° - oy + = 1
Giải: Viết lại phương trình có dạng:
(-ZJ-{z-z)=! (1)
Khi đó phương trình (1) cé dang: È+6~6@=1©1=1©2'==1
Đặt = 2”, >0 khi đó phương trình (2) có dạng:
)
=-1 u-Zateru?-u-2=069[" 2 q ©u=2€©2'=2€x=l
t=
Vậy phương trình có nghiệm x=]
Chú ý: Tiếp theo chúng ta sẽ quan tâm đến việc sử dụng phương pháp lượng giác hoá