links tải chuyê đề ôn tập hình học 9

Góc có đ nh bên trong đtròn.[r]

CHUYÊN Đ ÔN T P TOÁN 9 Ề ÔN TẬP TOÁN 9 ẬP TOÁN 9

PH N: Đ I S ẦN: ĐẠI SỐ ẠI SỐ Ố

V N D NG CÁC H TH C V C NH VÀ Đ ẬP TOÁN 9 ỤNG CÁC HỆ THỨC VỀ CẠNH VÀ ĐƯỜNG CAO Ệ THỨC VỀ CẠNH VÀ ĐƯỜNG CAO ỨC VỀ CẠNH VÀ ĐƯỜNG CAO Ề ÔN TẬP TOÁN 9 ẠI SỐ ƯỜNG CAO NG CAO

TRONG TAM GIÁC VUÔNG A./ Ki n th c c b n ến thức cơ bản ức cơ bản ơ bản ản

Cho tam giác ABC vuông t i A, đại A, đường cao AH sao cho ta có ường cao AH sao cho ta cóng cao AH sao cho ta có :

6 4

12

y x

4

* Cách 1 :

AH2 = BH.CH = 4.9 = 36 => AH = 6Theo Pitago cho các tam giác vuông AHB; AHC

x

y A

Bài 2 : Cho tam giác ABC vuông t i A, có các c nh góc vuông AB = 15cm, AC = 20cm Tại A, đường cao AH sao cho ta có ại A, đường cao AH sao cho ta có ừ

C k đường cao AH sao cho ta cóng vuông góc v i c nh huy n, đới cạnh huyền, đường này cắt đường thẳng AB tại D Tính AD ại A, đường cao AH sao cho ta có ền, đường này cắt đường thẳng AB tại D Tính AD ường cao AH sao cho ta cóng này c t đắt đường thẳng AB tại D Tính AD ường cao AH sao cho ta cóng th ng AB t i D Tính ADẳng AB tại D Tính AD ại A, đường cao AH sao cho ta có

và CD

LG

20 15

D

x

y A

BC t i G Ch ng minh r ng:ại A, đường cao AH sao cho ta có ứng minh rằng: ằm giữa A, B Tia DE và tia CB cắt

a) Tam giác DEG cân

a) Ta có: D¶1 D¶3 (cùng ph v i ụng định lý 1 ới cạnh huyền, đường này cắt đường thẳng AB tại D Tính AD D )¶2xét ADE và CDG ta có :

xét tam giác DGF vuông t i D, ta cóại A, đường cao AH sao cho ta có :

*******************************************************

T S L Ỉ SỐ LƯỢNG GIÁC CỦA GÓC NHỌN Ố ƯỢNG GIÁC CỦA GÓC NHỌN NG GIÁC C A GÓC NH N ỦA GÓC NHỌN ỌN

A Ki n th c c b n ến thức cơ bản ức cơ bản ơ bản ản

1 Đ nh nghĩaịnh lý 1 : Cho ABC  (00  90 )0 ta đ nh nghĩa các t s gi a các c nh AB,ịnh lý 1 ỉ số giữa các cạnh AB, ố giữa các cạnh AB, ữ nhật ABCD có AB = 60cm, AD = 32cm Từ D kẻ đường thẳng vuông ại A, đường cao AH sao cho ta có

BC, CA c a tam giác ABC vuông t i A nh sauủa tam giác ABC vuông tại A như sau ại A, đường cao AH sao cho ta có ư :

2 T s lỉ số giữa các cạnh AB, ố giữa các cạnh AB, ượng giác của 1 góc nhọn luôn dươngng giác c a 2 góc ph nhauủa tam giác ABC vuông tại A như sau ụng định lý 1

- Đ nh lýịnh lý 1 : n u 2 góc ph nhau thì sin góc này b ng cosin góc kia, tg góc này b ng cotgụng định lý 1 ằm giữa A, B Tia DE và tia CB cắt ằm giữa A, B Tia DE và tia CB cắt

* Nh n xétật ABCD có AB = 60cm, AD = 32cm Từ D kẻ đường thẳng vuông :

- D a vào b ng trên ta th yựa vào bảng trên ta thấy ảng các tỉ số lượng giác của các góc đặc biệt ấy :

v i ới cạnh huyền, đường này cắt đường thẳng AB tại D Tính AD

+ góc l n h n thì có sin l n h n, nh ng l i có cosin nh h nới cạnh huyền, đường này cắt đường thẳng AB tại D Tính AD ơng ới cạnh huyền, đường này cắt đường thẳng AB tại D Tính AD ơng ư ại A, đường cao AH sao cho ta có ỏ hơn ơng

+ góc l n h n thì có tg l n h n, nh ng l i có cotg nh h nới cạnh huyền, đường này cắt đường thẳng AB tại D Tính AD ơng ới cạnh huyền, đường này cắt đường thẳng AB tại D Tính AD ơng ư ại A, đường cao AH sao cho ta có ỏ hơn ơng

Hay ta có th phát bi uểm nằm giữa A, B Tia DE và tia CB cắt ểm nằm giữa A, B Tia DE và tia CB cắt : 00  900 thì :

+ sin và tg đ ng bi n v i góc ồng biến với góc ới cạnh huyền, đường này cắt đường thẳng AB tại D Tính AD 

+ cosin và cotg ngh ch bi n v i góc ịnh lý 1 ới cạnh huyền, đường này cắt đường thẳng AB tại D Tính AD 

4 Các h th c c b nệt ứng minh rằng: ơng ảng các tỉ số lượng giác của các góc đặc biệt

Bài 1 : Cho bi t sin = 0,6 Tính cos, tg và cotg

+ ta có: sin2cos2  1 cos  1 sin 2  1 0,6 2 0,8

a)* Cách d ng ựa vào bảng trên ta thấy

- d ng góc xOy = 90ựa vào bảng trên ta thấy 0 L y đo n th ngấy ại A, đường cao AH sao cho ta có ẳng AB tại D Tính AD

làm đ n vơng ịnh lý 1

- trên Oy l y đi m B sao cho OB = 1ấy ểm nằm giữa A, B Tia DE và tia CB cắt

- vẽ cung tròn tâm B, bán kính b ng 2,ằm giữa A, B Tia DE và tia CB cắt

cung này c t Ox t i Aắt đường thẳng AB tại D Tính AD ại A, đường cao AH sao cho ta có

- n i A v i B ố giữa các cạnh AB, ới cạnh huyền, đường này cắt đường thẳng AB tại D Tính AD  BAO c n d ng ần dựng ựa vào bảng trên ta thấy

A O

y

x

b)* Cách d ngựa vào bảng trên ta thấy

- d ng góc xOy = 90ựa vào bảng trên ta thấy 0 L y đo n th ngấy ại A, đường cao AH sao cho ta có ẳng AB tại D Tính AD

làm đ n vơng ịnh lý 1

- trên Ox l y đi m A sao cho OA = 2ấy ểm nằm giữa A, B Tia DE và tia CB cắt

- vẽ cung tròn tâm A, bán kính b ng 3,ằm giữa A, B Tia DE và tia CB cắt

cung này c t Oy t i Bắt đường thẳng AB tại D Tính AD ại A, đường cao AH sao cho ta có

- n i A v i B ố giữa các cạnh AB, ới cạnh huyền, đường này cắt đường thẳng AB tại D Tính AD  BAO  c n d ngần dựng ựa vào bảng trên ta thấy

AB

3 B



2 A O

y

x

c) * Cách d ngựa vào bảng trên ta thấy

- d ng góc xOy = 90ựa vào bảng trên ta thấy 0 L y đo n th ngấy ại A, đường cao AH sao cho ta có ẳng AB tại D Tính AD

làm đ n vơng ịnh lý 1

- trên Ox l y đi m A sao cho OA = 3ấy ểm nằm giữa A, B Tia DE và tia CB cắt

- trên Oy l y đi m B sao cho OB = 1ấy ểm nằm giữa A, B Tia DE và tia CB cắt

OBA 

   c n d ngần dựng ựa vào bảng trên ta thấy

* Ch ng minh: - th t v y, ta có:ứng minh rằng: ật ABCD có AB = 60cm, AD = 32cm Từ D kẻ đường thẳng vuông ật ABCD có AB = 60cm, AD = 32cm Từ D kẻ đường thẳng vuông

331

A O

y

x

d) * Cách d ngựa vào bảng trên ta thấy

- d ng góc xOy = 90ựa vào bảng trên ta thấy 0 L y đo n th ngấy ại A, đường cao AH sao cho ta có ẳng AB tại D Tính AD

làm đ n vơng ịnh lý 1

- trên Ox l y đi m A sao cho OA = 4ấy ểm nằm giữa A, B Tia DE và tia CB cắt

- trên Oy l y đi m B sao cho OB = 1ấy ểm nằm giữa A, B Tia DE và tia CB cắt

OAB 

   c n d ngần dựng ựa vào bảng trên ta thấy

* Ch ng minh: - th t v y, ta có:ứng minh rằng: ật ABCD có AB = 60cm, AD = 32cm Từ D kẻ đường thẳng vuông ật ABCD có AB = 60cm, AD = 32cm Từ D kẻ đường thẳng vuông

441

OA cotg cotg OAB

A O

y

x

Bài 5: Cho tam giác ABC có AB = 5; BC = 12; AC = 13

a) CMR tam giác ABC vuông

b) Tìm t s lỉ số giữa các cạnh AB, ố giữa các cạnh AB, ượng giác của 1 góc nhọn luôn dươngng giác c a góc A và góc Của tam giác ABC vuông tại A như sau

LG

a) Ta có: AB2 BC2 12252 169 13 2 AC2 AB2BC2 AC2

theo đ nh lý Pytago đ o, suy ra tam giác ABC vuông t i Bịnh lý 1 ảng các tỉ số lượng giác của các góc đặc biệt ại A, đường cao AH sao cho ta có

b)

C A

* Đ nh lý: Trong 1 tam giác vuông, m i c nh góc vuôngịnh lý 1 ỗi cạnh góc vuông ại A, đường cao AH sao cho ta có

b ng:ằm giữa A, B Tia DE và tia CB cắt

- C nh huy n nhân Sin góc đ i ho c Cosin góc kại A, đường cao AH sao cho ta có ền, đường này cắt đường thẳng AB tại D Tính AD ố giữa các cạnh AB, ặc biệt ền, đường này cắt đường thẳng AB tại D Tính AD

- C nh góc vuông kia nhân Tang góc đ i ho c Cotg gócại A, đường cao AH sao cho ta có ố giữa các cạnh AB, ặc biệtkền, đường này cắt đường thẳng AB tại D Tính AD

(trong tam giác ABC vuông t i A, BC = a; AB = c; AC = b,ại A, đường cao AH sao cho ta có

ta có:

2 Áp d ng gi i tam giác vuôngụng định lý 1 ảng các tỉ số lượng giác của các góc đặc biệt

* Gi i tam giác vuông: là tìm t t c các y u t c a m t tam giác vuông (các c nh, cácảng các tỉ số lượng giác của các góc đặc biệt ấy ảng các tỉ số lượng giác của các góc đặc biệt ố giữa các cạnh AB, ủa tam giác ABC vuông tại A như sau ộ dài EA, EC, ại A, đường cao AH sao cho ta cógóc) n u bi t trưới cạnh huyền, đường này cắt đường thẳng AB tại D Tính ADc 2 y u t trong đó có ít nh t 1 y u t v c nh và không k gócố giữa các cạnh AB, ấy ố giữa các cạnh AB, ền, đường này cắt đường thẳng AB tại D Tính AD ại A, đường cao AH sao cho ta có ểm nằm giữa A, B Tia DE và tia CB cắtvuông

* M t s trộ dài EA, EC, ố giữa các cạnh AB, ường cao AH sao cho ta cóng h p gi i tam giác vuông thợng giác của 1 góc nhọn luôn dương ảng các tỉ số lượng giác của các góc đặc biệt ường cao AH sao cho ta cóng g pặc biệt

a) Bi t 2 c nh góc vuôngại A, đường cao AH sao cho ta có

- Tính c nh huy n (theo Pi-ta-go)ại A, đường cao AH sao cho ta có ền, đường này cắt đường thẳng AB tại D Tính AD

- Tính m t góc nh n (tg ho c cotg)ộ dài EA, EC, ọi E là một điểm nằm giữa A, B Tia DE và tia CB cắt ặc biệt

- Tính góc nh n còn l i (2 góc ph nhau)ọi E là một điểm nằm giữa A, B Tia DE và tia CB cắt ại A, đường cao AH sao cho ta có ụng định lý 1

b) Bi t c nh huy n và 1 góc nh nại A, đường cao AH sao cho ta có ền, đường này cắt đường thẳng AB tại D Tính AD ọi E là một điểm nằm giữa A, B Tia DE và tia CB cắt

- Tính góc nh n còn l i (2 góc ph nhau)ọi E là một điểm nằm giữa A, B Tia DE và tia CB cắt ại A, đường cao AH sao cho ta có ụng định lý 1

- Tính các c nh góc vuông (h th c v c nh và góc – h th c (1))ại A, đường cao AH sao cho ta có ệt ứng minh rằng: ền, đường này cắt đường thẳng AB tại D Tính AD ại A, đường cao AH sao cho ta có ệt ứng minh rằng:

c) Bi t c nh góc vuông và góc nh n kại A, đường cao AH sao cho ta có ọi E là một điểm nằm giữa A, B Tia DE và tia CB cắt ền, đường này cắt đường thẳng AB tại D Tính AD

- Tính góc nh n còn l iọi E là một điểm nằm giữa A, B Tia DE và tia CB cắt ại A, đường cao AH sao cho ta có

- Tính c nh góc vuông còn l i và c nh huy n (h th c v c nh và góc – h th c (1);ại A, đường cao AH sao cho ta có ại A, đường cao AH sao cho ta có ại A, đường cao AH sao cho ta có ền, đường này cắt đường thẳng AB tại D Tính AD ệt ứng minh rằng: ền, đường này cắt đường thẳng AB tại D Tính AD ại A, đường cao AH sao cho ta có ệt ứng minh rằng:

(2))

B Bài t p áp d ng ập áp dụng ụng

Bài 1: Cho tam giác ABC vuông t i A, bi t ại A, đường cao AH sao cho ta có

43

tgB 

và BC = 10 Tính AB; AC

10 B

C A

-

0 '4

53 073

Bài 2: Cho tam giác ABC cân t i A; AB = AC = 17; BC = 16 Tính đại A, đường cao AH sao cho ta có ường cao AH sao cho ta cóng cao AH và góc A,

góc B c a tam giác ABCủa tam giác ABC vuông tại A như sau

- xét tam giác ANB vuông t i N, theo h th c vại A, đường cao AH sao cho ta có ệt ứng minh rằng: ền, đường này cắt đường thẳng AB tại D Tính AD

c nh và góc trong tam giác vuông ta có:ại A, đường cao AH sao cho ta có

0.sin 11.sin 38 6,77

- xét tam giác ANC vuông t i N, theo h th c vại A, đường cao AH sao cho ta có ệt ứng minh rằng: ền, đường này cắt đường thẳng AB tại D Tính AD

c nh và góc trong tam giác vuông ta có:ại A, đường cao AH sao cho ta có

A - xét tam giác ABC vuông t i A, theo h th c vại A, đường cao AH sao cho ta có ệt ứng minh rằng: ền, đường này cắt đường thẳng AB tại D Tính AD

c nh và đại A, đường cao AH sao cho ta có ường cao AH sao cho ta cóng cao trong tam giác vuông , ta có:

- xét tam giác AHB, vuông t i H, ta có:ại A, đường cao AH sao cho ta có

0 '12

53 79

Bài 6: Cho hình thang ABCD, có  A D900, đáy nh AB = 4, đáy l n CD = 8, ỏ hơn ới cạnh huyền, đường này cắt đường thẳng AB tại D Tính AD

A Ki n th c c b n ến thức cơ bản ức cơ bản ơ bản ản

1 Các h th c v c nh và đệt ứng minh rằng: ền, đường này cắt đường thẳng AB tại D Tính AD ại A, đường cao AH sao cho ta có ường cao AH sao cho ta cóng cao trong tam giác vuông

Cho tam giác ABC vuông t i A, đại A, đường cao AH sao cho ta có ường cao AH sao cho ta cóng cao AH sao cho ta có :

2 Đ nh nghĩa các t s lịnh lý 1 ỉ số giữa các cạnh AB, ố giữa các cạnh AB, ượng giác của 1 góc nhọn luôn dươngng giác c a góc nh nủa tam giác ABC vuông tại A như sau ọi E là một điểm nằm giữa A, B Tia DE và tia CB cắt

Cho ABC  (00  90 )0 ta đ nh nghĩa các t s gi a các c nh AB, BC, CA c a tamịnh lý 1 ỉ số giữa các cạnh AB, ố giữa các cạnh AB, ữ nhật ABCD có AB = 60cm, AD = 32cm Từ D kẻ đường thẳng vuông ại A, đường cao AH sao cho ta có ủa tam giác ABC vuông tại A như saugiác ABC vuông t i A nh sauại A, đường cao AH sao cho ta có ư :

- Cho tam giác ABC vuông t i A, BC = a; AB = c; AC = b,ại A, đường cao AH sao cho ta có

ta có:

Bài 2 : Cho tam giác ABC, bi t AB = 21 ; AC = 28 ; BC = 35

a) Ch ng minh r ng tam giác ABC vuôngứng minh rằng: ằm giữa A, B Tia DE và tia CB cắt

b) Tính sinB, sinC, góc B, góc C và đường cao AH sao cho ta cóng cao AH v a tam giác ABCủa tam giác ABC vuông tại A như sau

LG

35 21

28

H

B

C A

đó theo đ nh lý đ o c a đ nh lý Pi-ta-go tam giác ABC vuôngịnh lý 1 ảng các tỉ số lượng giác của các góc đặc biệt ủa tam giác ABC vuông tại A như sau ịnh lý 1

t i Aại A, đường cao AH sao cho ta cób)

0 0

28

3521

AH AB B  (ho c AH.BC =ặc biệtAB.AC)

Bài 3: Gi i tam giác vuông t i A, bi tảng các tỉ số lượng giác của các góc đặc biệt ại A, đường cao AH sao cho ta có

a) a = 12;  B 420

b) b = 13; c = 20

LG

Bài 4: Cho tam giác ABC có  B 600 các hình chi u vuông góc c a AB, AC lên BC theoủa tam giác ABC vuông tại A như sau

th t b ng 12; 18 Tính các c nh, các góc và đứng minh rằng: ựa vào bảng trên ta thấy ằm giữa A, B Tia DE và tia CB cắt ại A, đường cao AH sao cho ta có ường cao AH sao cho ta cóng cao c a tam giác ABCủa tam giác ABC vuông tại A như sau

12

A

+ ta có: BC = BH + CH = 12 + 18 = 30+ xét tam giác AHB vuông t i Hại A, đường cao AH sao cho ta có

1 Đ nh nghĩa c a định lý 1 ủa tam giác ABC vuông tại A như sau ường cao AH sao cho ta cóng tròn: Đường cao AH sao cho ta cóng tròn tâm O, bán kính R, ký hi u: (O; R) là t p h pệt ật ABCD có AB = 60cm, AD = 32cm Từ D kẻ đường thẳng vuông ợng giác của 1 góc nhọn luôn dươngcác đi m cách O m t kho ng b ng Rểm nằm giữa A, B Tia DE và tia CB cắt ộ dài EA, EC, ảng các tỉ số lượng giác của các góc đặc biệt ằm giữa A, B Tia DE và tia CB cắt

2 V trí tịnh lý 1 ươngng đ i c a 1 đi m đ i v i đố giữa các cạnh AB, ủa tam giác ABC vuông tại A như sau ểm nằm giữa A, B Tia DE và tia CB cắt ố giữa các cạnh AB, ới cạnh huyền, đường này cắt đường thẳng AB tại D Tính AD ường cao AH sao cho ta cóng tròn: Cho (O; R) và 1 đi m M trong cùng 1ểm nằm giữa A, B Tia DE và tia CB cắt

m t ph ngặc biệt ẳng AB tại D Tính AD

- đi m M n m trên (O) ểm nằm giữa A, B Tia DE và tia CB cắt ằm giữa A, B Tia DE và tia CB cắt  OM = R

- đi m M n m bên trong (O) ểm nằm giữa A, B Tia DE và tia CB cắt ằm giữa A, B Tia DE và tia CB cắt  OM < R

- đi m M n m bên ngoài (O) ểm nằm giữa A, B Tia DE và tia CB cắt ằm giữa A, B Tia DE và tia CB cắt  OM > R

3 S xác đ nh đựa vào bảng trên ta thấy ịnh lý 1 ường cao AH sao cho ta cóng tròn

- Đ nh lý: Qua 3 đi m không th ng hàng ta vẽ định lý 1 ểm nằm giữa A, B Tia DE và tia CB cắt ẳng AB tại D Tính AD ượng giác của 1 góc nhọn luôn dươngc 1 và ch 1 đỉ số giữa các cạnh AB, ường cao AH sao cho ta cóng tròn

- Chú ý:

+ tâm c a đủa tam giác ABC vuông tại A như sau ường cao AH sao cho ta cóng tròn đi qua 3 đi m không th ng hàng là giao đi m c a các đểm nằm giữa A, B Tia DE và tia CB cắt ẳng AB tại D Tính AD ểm nằm giữa A, B Tia DE và tia CB cắt ủa tam giác ABC vuông tại A như sau ường cao AH sao cho ta cóngtrung tr c c a tam giác ABC Đựa vào bảng trên ta thấy ủa tam giác ABC vuông tại A như sau ường cao AH sao cho ta cóng tròn đi qua 3 đi m không th ng hàng A, B, C đểm nằm giữa A, B Tia DE và tia CB cắt ẳng AB tại D Tính AD ượng giác của 1 góc nhọn luôn dươngc

g i là đọi E là một điểm nằm giữa A, B Tia DE và tia CB cắt ường cao AH sao cho ta cóng tròn ngo i ti p tam giác ABC ay tam giác ABC n i ti p đại A, đường cao AH sao cho ta có ộ dài EA, EC, ường cao AH sao cho ta cóng tròn

+ không vẽ đượng giác của 1 góc nhọn luôn dươngc đường cao AH sao cho ta cóng tròn nào đi qua 3 đi m th ng hàngểm nằm giữa A, B Tia DE và tia CB cắt ẳng AB tại D Tính AD

+ đ ch ng minh nhi u đi m cùng n m trên 1 đểm nằm giữa A, B Tia DE và tia CB cắt ứng minh rằng: ền, đường này cắt đường thẳng AB tại D Tính AD ểm nằm giữa A, B Tia DE và tia CB cắt ằm giữa A, B Tia DE và tia CB cắt ường cao AH sao cho ta cóng tròn, ta ch ng minh các đi m yứng minh rằng: ểm nằm giữa A, B Tia DE và tia CB cắt ấycùng cách đ u 1 đi m c đ nh Đi m c đ nh y là tâm c a đền, đường này cắt đường thẳng AB tại D Tính AD ểm nằm giữa A, B Tia DE và tia CB cắt ố giữa các cạnh AB, ịnh lý 1 ểm nằm giữa A, B Tia DE và tia CB cắt ố giữa các cạnh AB, ịnh lý 1 ấy ủa tam giác ABC vuông tại A như sau ường cao AH sao cho ta cóng tròn, kh ng cách đ uảng các tỉ số lượng giác của các góc đặc biệt ền, đường này cắt đường thẳng AB tại D Tính AD

y là bán kính c a đ ng tròn

ấy ủa tam giác ABC vuông tại A như sau ường cao AH sao cho ta có

B Bài t p áp d ng ập áp dụng ụng

Bài 1: Cho tam giác ABC vuông t i A Trên AB, AC l n lại A, đường cao AH sao cho ta có ần dựng ượng giác của 1 góc nhọn luôn dương ấyt l y các đi m D, E Goik M, N,ểm nằm giữa A, B Tia DE và tia CB cắt

P, Q l n lần dựng ượng giác của 1 góc nhọn luôn dươngt là trung đi m c a DE, EB, BC, CD CMR: 4 đi m M, N, P, Q cùng thu c 1ểm nằm giữa A, B Tia DE và tia CB cắt ủa tam giác ABC vuông tại A như sau ểm nằm giữa A, B Tia DE và tia CB cắt ộ dài EA, EC,

đường cao AH sao cho ta cóng tròn

LG

Q

P N

M D

E

C B

A

+ Xét tam giác EDB, ta có:

+ T (*) và (**) => t giác MNPQ là hình ch nh t, g i O là giao đi m c a MP và NQừ ứng minh rằng: ữ nhật ABCD có AB = 60cm, AD = 32cm Từ D kẻ đường thẳng vuông ật ABCD có AB = 60cm, AD = 32cm Từ D kẻ đường thẳng vuông ọi E là một điểm nằm giữa A, B Tia DE và tia CB cắt ểm nằm giữa A, B Tia DE và tia CB cắt ủa tam giác ABC vuông tại A như sau

=> OM = ON = OP = OQ => 4 đi m M, N, P, Q cùng thu c 1 đểm nằm giữa A, B Tia DE và tia CB cắt ộ dài EA, EC, ường cao AH sao cho ta cóng tròn

Bài 2 : Ch ng minh đ nh lý sauứng minh rằng: ịnh lý 1 :

a) Tâm c a đủa tam giác ABC vuông tại A như sau ường cao AH sao cho ta cóng tròn ngo i ti p tam giác vuông là trung đi m c a c nh huy nại A, đường cao AH sao cho ta có ểm nằm giữa A, B Tia DE và tia CB cắt ủa tam giác ABC vuông tại A như sau ại A, đường cao AH sao cho ta có ền, đường này cắt đường thẳng AB tại D Tính AD

b) N u 1 tam giác có 1 c nh là đại A, đường cao AH sao cho ta có ường cao AH sao cho ta cóng kính c a đủa tam giác ABC vuông tại A như sau ường cao AH sao cho ta cóng tròn ngo i ti p thì tam giác đó làại A, đường cao AH sao cho ta cótam giác vuông

LG

B

A

Xét tam giác ABC vuông t i A G i O làại A, đường cao AH sao cho ta có ọi E là một điểm nằm giữa A, B Tia DE và tia CB cắt

trung đi m c a BC => OA = OB = OC (vìểm nằm giữa A, B Tia DE và tia CB cắt ủa tam giác ABC vuông tại A như sau

AO là trung tuy n c a tam giác) => O làủa tam giác ABC vuông tại A như sau

tâm c a đủa tam giác ABC vuông tại A như sau ường cao AH sao cho ta cóng trong ngo i ti p tam giácại A, đường cao AH sao cho ta có

ABC

B A

Vì tam giác ABC n i ti p đọi E là một điểm nằm giữa A, B Tia DE và tia CB cắt ường cao AH sao cho ta cóng tròn tâm O

có đường cao AH sao cho ta cóng kính BC => OA = OB = OC

=> OA = ½ BC

=> tam giác ABC vuông t i Aại A, đường cao AH sao cho ta có

Bài 3 : Cho tam giác ABC nh n, vẽ đọi E là một điểm nằm giữa A, B Tia DE và tia CB cắt ường cao AH sao cho ta cóng tròn (O ; ½ BC) c t các c nh AB, AC theo thắt đường thẳng AB tại D Tính AD ại A, đường cao AH sao cho ta có ứng minh rằng:

t t i D và Eựa vào bảng trên ta thấy ại A, đường cao AH sao cho ta có

a) Ch ng minh r ngứng minh rằng: ằm giữa A, B Tia DE và tia CB cắt : CD vuông góc v i ABới cạnh huyền, đường này cắt đường thẳng AB tại D Tính AD ; BE vuông góc v i ACới cạnh huyền, đường này cắt đường thẳng AB tại D Tính AD

b) G i K là giao đi m c a BE và CD Ch ng minh r ngọi E là một điểm nằm giữa A, B Tia DE và tia CB cắt ểm nằm giữa A, B Tia DE và tia CB cắt ủa tam giác ABC vuông tại A như sau ứng minh rằng: ằm giữa A, B Tia DE và tia CB cắt : AK vuông góc v i BCới cạnh huyền, đường này cắt đường thẳng AB tại D Tính AD

LG

K

E D

b) Xét tam giác ABC, ta có :

   K là tr c tâm c a tam giác ABC => AK vuông góc v i BCựa vào bảng trên ta thấy ủa tam giác ABC vuông tại A như sau ới cạnh huyền, đường này cắt đường thẳng AB tại D Tính AD

Bài 4 : Cho tam giác ABC, góc A > 900 G i D, E, F theo th t là chân các đọi E là một điểm nằm giữa A, B Tia DE và tia CB cắt ứng minh rằng: ựa vào bảng trên ta thấy ường cao AH sao cho ta cóng cao k từ

A, B, C Ch ng minh r ng:ứng minh rằng: ằm giữa A, B Tia DE và tia CB cắt

a) Các đi m A, D, B, E cùng n m trên 1 đểm nằm giữa A, B Tia DE và tia CB cắt ằm giữa A, B Tia DE và tia CB cắt ường cao AH sao cho ta cóng tròn

b) Các đi m A, D, C, F cùng n m trên 1 đểm nằm giữa A, B Tia DE và tia CB cắt ằm giữa A, B Tia DE và tia CB cắt ường cao AH sao cho ta cóng tròn

c) Các đi m B, C, E, F cùng n m trên 1 đểm nằm giữa A, B Tia DE và tia CB cắt ằm giữa A, B Tia DE và tia CB cắt ường cao AH sao cho ta cóng tròn

LG

N M

F E

B

A

a) g i M là trung đi m c a ABọi E là một điểm nằm giữa A, B Tia DE và tia CB cắt ểm nằm giữa A, B Tia DE và tia CB cắt ủa tam giác ABC vuông tại A như sau

xét tam giác ADB,

đường cao AH sao cho ta cóng tròn

c) g i I là trung đi m c a BC ọi E là một điểm nằm giữa A, B Tia DE và tia CB cắt ểm nằm giữa A, B Tia DE và tia CB cắt ủa tam giác ABC vuông tại A như sau

(ch ng minh t ức cơ bản ươ bản ng t ự) Bài 5: Cho tam giác ABC có AB = AC n i ti p độ dài EA, EC, ường cao AH sao cho ta cóng tròn tâm O, đường cao AH sao cho ta cóng cao AH c a tamủa tam giác ABC vuông tại A như saugiác c t đắt đường thẳng AB tại D Tính AD ường cao AH sao cho ta cóng tròn (O) t i Dại A, đường cao AH sao cho ta có

a) Ch ng minh r ng AD là đứng minh rằng: ằm giữa A, B Tia DE và tia CB cắt ường cao AH sao cho ta cóng kính c a đủa tam giác ABC vuông tại A như sau ường cao AH sao cho ta cóng tròn tâm O

b) Tính góc ACD

c) Cho BC = 12cm, AC = 10cm Tính AH và bán kính c a đủa tam giác ABC vuông tại A như sau ường cao AH sao cho ta cóng tròn tâm O

LG

a) + vì AB = AC => tam giác ABC cân t i A, mà AH vuông góc v iại A, đường cao AH sao cho ta có ới cạnh huyền, đường này cắt đường thẳng AB tại D Tính AD

BC => AH là đường cao AH sao cho ta cóng trung tr c c a BC => AD cũng là trung tr cựa vào bảng trên ta thấy ủa tam giác ABC vuông tại A như sau ựa vào bảng trên ta thấy

c a BC (1)ủa tam giác ABC vuông tại A như sau

+ do tam giác ABC n i ti p độ dài EA, EC, ường cao AH sao cho ta cóng tròn tâm O => O thu c độ dài EA, EC, ường cao AH sao cho ta cóng

trung tr c c a BC (2)ựa vào bảng trên ta thấy ủa tam giác ABC vuông tại A như sau

+ t (1) và (2) => O thu c AD => AD là đừ ộ dài EA, EC, ường cao AH sao cho ta cóng kính c a đủa tam giác ABC vuông tại A như sau ường cao AH sao cho ta cóng

tròn (O)

b) theo bài 2 tam giác ACD n i ti p độ dài EA, EC, ường cao AH sao cho ta cóng tròn (O) có AD là

đường cao AH sao cho ta cóng kính => góc ACD = 900

H

D

O

C B

+ xét tam giác ACD vuông t i C, áp d ng h th c v c nh và đại A, đường cao AH sao cho ta có ụng định lý 1 ệt ứng minh rằng: ền, đường này cắt đường thẳng AB tại D Tính AD ại A, đường cao AH sao cho ta có ường cao AH sao cho ta cóng cao trong tam giác

c; a không giao (0)  không có điểm chung  d >R

2 D u hi u nh n bi t ti p tuy n c a đấy ệt ật ABCD cú AB = 60cm, AD = 32cm Từ D kẻ đường thẳng vuụng ủa tam giỏc ABC vuụng tại A như sau ường cao AH sao cho ta cúng trũn

Đường cao AH sao cho ta cúng th ng a là ti p tuy n c a đtr (Oẳng AB tại D Tớnh AD ủa tam giỏc ABC vuụng tại A như sau ; R)  d = R (d : là kho ng cỏch t tõm Oảng cỏc tỉ số lượng giỏc của cỏc gúc đặc biệt ừ

đ n a)

N u đt a đi qua 1 đi m c a đtr và vuụng gúc v i bỏn kớnh đi qua đi m đú thỡ đt aểm nằm giữa A, B Tia DE và tia CB cắt ủa tam giỏc ABC vuụng tại A như sau ới cạnh huyền, đường này cắt đường thẳng AB tại D Tớnh AD ểm nằm giữa A, B Tia DE và tia CB cắt

là 1 ti p tuy n c a đtrủa tam giỏc ABC vuụng tại A như sau

3 Tớnh ch t hai ti p tuy n c t nhauấy ắt đường thẳng AB tại D Tớnh AD

N u 2 ti p tuy n c a đtr c t nhau t i m t đi m thỡủa tam giỏc ABC vuụng tại A như sau ắt đường thẳng AB tại D Tớnh AD ại A, đường cao AH sao cho ta cú ộ dài EA, EC, ểm nằm giữa A, B Tia DE và tia CB cắt :

- đi m đú cỏch đ u hai ti p đi mểm nằm giữa A, B Tia DE và tia CB cắt ền, đường này cắt đường thẳng AB tại D Tớnh AD ểm nằm giữa A, B Tia DE và tia CB cắt

- tia k t đi m đú đi qua tõm là tia phõn giỏc c a gúc t o b i hai ti p tuy nừ ểm nằm giữa A, B Tia DE và tia CB cắt ủa tam giỏc ABC vuụng tại A như sau ại A, đường cao AH sao cho ta cú

- tia k t tõm đi qua đi m đú là tia phõn giỏc c a gúc t o b i hai bỏn kớnh đi qua 2 ti pừ ểm nằm giữa A, B Tia DE và tia CB cắt ủa tam giỏc ABC vuụng tại A như sau ại A, đường cao AH sao cho ta cú

đi mểm nằm giữa A, B Tia DE và tia CB cắt

4 Đường cao AH sao cho ta cúng trũn n i ti p tam giỏcộ dài EA, EC,

- đtr n i ti p tam giỏc là đtr ti p xỳc v i 3 c nh c a tam giỏcộ dài EA, EC, ới cạnh huyền, đường này cắt đường thẳng AB tại D Tớnh AD ại A, đường cao AH sao cho ta cú ủa tam giỏc ABC vuụng tại A như sau

- tõm c a đtr n i ti p tam giỏc là giao đi m c a 3 đủa tam giỏc ABC vuụng tại A như sau ộ dài EA, EC, ểm nằm giữa A, B Tia DE và tia CB cắt ủa tam giỏc ABC vuụng tại A như sau ường cao AH sao cho ta cúng phõn giỏc c a cỏc gúc trongủa tam giỏc ABC vuụng tại A như sautam giỏc

4 Đường cao AH sao cho ta cúng trũn bàng ti p tam giỏc

- đtr bàng ti p tam giỏc là đtr ti p xỳc v i 1 c nh c a tam giỏc và ti p xỳc v i ph n kộoới cạnh huyền, đường này cắt đường thẳng AB tại D Tớnh AD ại A, đường cao AH sao cho ta cú ủa tam giỏc ABC vuụng tại A như sau ới cạnh huyền, đường này cắt đường thẳng AB tại D Tớnh AD ần dựngdài c a hai c nh cũn l iủa tam giỏc ABC vuụng tại A như sau ại A, đường cao AH sao cho ta cú ại A, đường cao AH sao cho ta cú

- tõm c a đtr bàng ti p tam giỏc là giao đi m c a 2 đủa tam giỏc ABC vuụng tại A như sau ểm nằm giữa A, B Tia DE và tia CB cắt ủa tam giỏc ABC vuụng tại A như sau ường cao AH sao cho ta cúng phõn giỏc cỏc gúc ngoài t iại A, đường cao AH sao cho ta cúhai đ nh c a tam giỏcỉ số giữa cỏc cạnh AB, ủa tam giỏc ABC vuụng tại A như sau

- m i tam giỏc cú 3 đtr bàng ti pỗi cạnh gúc vuụng

B Bài t p ỏp d ng ập ỏp dụng ụng

Bài 1:

Cho đờng tròn tâm 0 và điểm I nằm trong (0)

C / m rằng dây AB vuông góc với OI tại I ngắn hơn mọi dây khác đi qua I

Muốn so sánh hai dây ta so sánh điều gì ?

( Ta so sánh hai khoảng cách từ tâm đến 2 dây ; Dùng tính

chất trong tam giác vuông thì cạnh huyền là cạnh lớn nhất )

Bài 2 : T 1 đi m A n m bờn ngoài đtr (O), k cỏc ti p tuy n AB và AC v i đtr (Bừ ểm nằm giữa A, B Tia DE và tia CB cắt ằm giữa A, B Tia DE và tia CB cắt ới cạnh huyền, đường này cắt đường thẳng AB tại D Tớnh AD ; C là

cỏc ti p đi m) Qua đi m M thu c cung nh BC, k tt v i đtr (O), tt này c t cỏc tt AB, ACểm nằm giữa A, B Tia DE và tia CB cắt ểm nằm giữa A, B Tia DE và tia CB cắt ộ dài EA, EC, ỏ hơn ới cạnh huyền, đường này cắt đường thẳng AB tại D Tớnh AD ắt đường thẳng AB tại D Tớnh AD

theo th t t i D và E Ch ng minh r ng chu vi tam giỏc ADE b ng 2.ABứng minh rằng: ựa vào bảng trờn ta thấy ại A, đường cao AH sao cho ta cú ứng minh rằng: ằm giữa A, B Tia DE và tia CB cắt ằm giữa A, B Tia DE và tia CB cắt

LG

E

D M C

B O A

Theo tớnh ch t 2 tt c t nhau, ta cúấy ắt đường thẳng AB tại D Tớnh AD :

DM = DB (1) ;

EM = EC (2)Chu vi tam giỏc ADE là :

Bài 3 : Cho đtr (O), đi m I n m bờn ngoài đtr (O) K cỏc tt IA và IB v i đtr (A, B là cỏcểm nằm giữa A, B Tia DE và tia CB cắt ằm giữa A, B Tia DE và tia CB cắt ới cạnh huyền, đường này cắt đường thẳng AB tại D Tớnh AD

ti p đi m) G i H là giao đi m c a IO và AB Bi t AB = 24cmểm nằm giữa A, B Tia DE và tia CB cắt ọi E là một điểm nằm giữa A, B Tia DE và tia CB cắt ểm nằm giữa A, B Tia DE và tia CB cắt ủa tam giỏc ABC vuụng tại A như sau ; IA = 20cm

a) Tớnh đ dài AHộ dài EA, EC, ; IH ; OH

b) Tớnh bỏn kớnh c a đtr (O)ủa tam giỏc ABC vuụng tại A như sau

c a gúc AIBủa tam giỏc ABC vuụng tại A như sau

- Tam giỏc IAB cõn t i I, cú IH là phõnại A, đường cao AH sao cho ta cúgiỏc => IH cũng đ ng th i là đồng biến với gúc ờng cao AH sao cho ta cú ường cao AH sao cho ta cúngcao và là đg trung tuy n

- Xét tam giác AIO, vuông t i A, áp d ng h th c v c nh và đg cao trong am giác vuôngại A, đường cao AH sao cho ta có ụng định lý 1 ệt ứng minh rằng: ền, đường này cắt đường thẳng AB tại D Tính AD ại A, đường cao AH sao cho ta có

ta có :

2 2 2

Bài 4 : Cho n a đtr (Oửa đtr (O ; R) đg kính AB G i Ax, By là các tia vuông góc v i AB (Ax, By vàọi E là một điểm nằm giữa A, B Tia DE và tia CB cắt ới cạnh huyền, đường này cắt đường thẳng AB tại D Tính AD

n a đtr cùng thu c n a mp có b là AB) L y M thu c Ax, qua M k tt v i n a đtr, c tửa đtr (O ộ dài EA, EC, ửa đtr (O ờng cao AH sao cho ta có ấy ộ dài EA, EC, ới cạnh huyền, đường này cắt đường thẳng AB tại D Tính AD ửa đtr (O ắt đường thẳng AB tại D Tính AD

By t i Nại A, đường cao AH sao cho ta có

1

;2

c) Xét tam giác MON vuông t i O, theo h th c vại A, đường cao AH sao cho ta có ệt ứng minh rằng: ền, đường này cắt đường thẳng AB tại D Tính AD

c nh và đg cao trong tam giác vuông, ta cóại A, đường cao AH sao cho ta có :

4 3 2 1

Bài 5: Cho đtr (O; R) và 1 đi m A n m cách O 1 kho ng b ng 2R T A vẽ các tt AB, ACểm nằm giữa A, B Tia DE và tia CB cắt ằm giữa A, B Tia DE và tia CB cắt ảng các tỉ số lượng giác của các góc đặc biệt ằm giữa A, B Tia DE và tia CB cắt ừ

v i đtr (B, C là các ti p đi m) đg thg vuông góc v i OB t i O c t AC t i N, đg thg vuôngới cạnh huyền, đường này cắt đường thẳng AB tại D Tính AD ểm nằm giữa A, B Tia DE và tia CB cắt ới cạnh huyền, đường này cắt đường thẳng AB tại D Tính AD ại A, đường cao AH sao cho ta có ắt đường thẳng AB tại D Tính AD ại A, đường cao AH sao cho ta có

góc v i OC t i O c t AB t i Mới cạnh huyền, đường này cắt đường thẳng AB tại D Tính AD ại A, đường cao AH sao cho ta có ắt đường thẳng AB tại D Tính AD ại A, đường cao AH sao cho ta có

a) CMR: AMON là hình thoi

b) Đthg MN là tt c a đtr (O)ủa tam giác ABC vuông tại A như sau

+ m t khácặc biệt : A1 A2 (tc 2 tt c t nhau) (2)ắt đường thẳng AB tại D Tính AD

+ t (1) và (2) => t giác AMON là hình thoiừ ứng minh rằng:

b) + vì AMON là hình thoi  MN OA (3)

2 1

C

H

N

M B

c) + xét tam giác ABO, vuông t i B ta cóại A, đường cao AH sao cho ta có :

ch a n a đtr Trên Ax, By l y theo th t M và Nứng minh rằng: ửa đtr (O ấy ứng minh rằng: ựa vào bảng trên ta thấy sao cho góc MON b ng 90ằm giữa A, B Tia DE và tia CB cắt 0 G i I làọi E là một điểm nằm giữa A, B Tia DE và tia CB cắttrung đi m c a MN CMRểm nằm giữa A, B Tia DE và tia CB cắt ủa tam giác ABC vuông tại A như sau :

a) AB là tt c a đtr (Iủa tam giác ABC vuông tại A như sau ; IO)

b) MO là tia phân giác c a góc AMNủa tam giác ABC vuông tại A như sau

c) MN là tt c a đtr đủa tam giác ABC vuông tại A như sau ường cao AH sao cho ta cóng kính AB

LG

a) CMR : AB là tt c a (Iủa tam giác ABC vuông tại A như sau ; IO)

- ta có: AM // BN (cùng vuông góc v i AB) => t giácới cạnh huyền, đường này cắt đường thẳng AB tại D Tính AD ứng minh rằng:

N

M

I H

A

b) CMR : MO là tia phân giác c a góc AMNủa tam giác ABC vuông tại A như sau

- vì AM // IO =>  AMO =  MOI (so le trong) (1)

- tam giác MON có  O = 900, OI là trung tuy n

12

OI IM IN  MN

=> tam giác IMOcân t i I => ại A, đường cao AH sao cho ta có IMO =  IOM (2)

- t (1) và (2) => ừ MOI =  AMO =  IMO => MO là phân giác c a ủa tam giác ABC vuông tại A như sau  AMN

c) CMR: MN là tt c a đtr đkính ABủa tam giác ABC vuông tại A như sau

- k OH vuông góc v i MN (3)ới cạnh huyền, đường này cắt đường thẳng AB tại D Tính AD

- xét tam giác MAO và tam giác MHO, ta có:

090

=> OA = OH = R (c nh tại A, đường cao AH sao cho ta có ươngng ng) ứng minh rằng:

=> OH là bán kính c a đtr tâm O đkính AB (4)ủa tam giác ABC vuông tại A như sau

- t (3) và (4) => MN là tt c a đtr đkính ABừ ủa tam giác ABC vuông tại A như sau

Bài 2: Cho đtr (O), đi m A n m bên ngoài đtr ểm nằm giữa A, B Tia DE và tia CB cắt ằm giữa A, B Tia DE và tia CB cắt K các tt AM, AN v i đtr (M, N là các ti pới cạnh huyền, đường này cắt đường thẳng AB tại D Tính AD

đi m)ểm nằm giữa A, B Tia DE và tia CB cắt

a) CMR: OA vuông góc v i MNới cạnh huyền, đường này cắt đường thẳng AB tại D Tính AD

b) Vẽ đkính NOC CMR: MC // AO

c) Tính đ dài các c nh c a tam giác AMN, bi t OM = 3cm; OA = 5cmộ dài EA, EC, ại A, đường cao AH sao cho ta có ủa tam giác ABC vuông tại A như sau

LG

a) ta có: OM = ON (= bán kính)

AM = AN (tính ch t 2 tt c t nhau)ấy ắt đường thẳng AB tại D Tính AD

=> AO là trung tr c c a đo n th ng MN ựa vào bảng trên ta thấy ủa tam giác ABC vuông tại A như sau ại A, đường cao AH sao cho ta có ẳng AB tại D Tính AD

Bài 3: Cho tam giác ABC,  A = 900, đg cao AH, vẽ đtr (A; AH), k các tt BD, CE v i đtr (D,ới cạnh huyền, đường này cắt đường thẳng AB tại D Tính AD

E là các ti p đi m khác H) CMR:ểm nằm giữa A, B Tia DE và tia CB cắt

a) 3 đi m D, A, E th ng hàngểm nằm giữa A, B Tia DE và tia CB cắt ẳng AB tại D Tính AD

b) DE ti p xúc v i đtr đkính BCới cạnh huyền, đường này cắt đường thẳng AB tại D Tính AD

LG

a) theo tc 2 tt c t nhau, ta có:ắt đường thẳng AB tại D Tính AD

- AB là phân giác c a ủa tam giác ABC vuông tại A như sau  DAH =>  A1 =  A2

- AC là phân giác c a ủa tam giác ABC vuông tại A như sau  EAH =>  A3 =  A4

- mà  DAE =  A1 +  A2 +  A3 +  A4 = 2(  A2 +  A3) = 2.900 = 1800