kẻ hai dây cung AB và CD vuông góc với nhau (C thuộc cung nhỏ AB). Vẽ đường kính DE. b) Tứ giác ABEC là hình thang cân. c) Tổng có giá trị không đổi khi M thay đổi vị trí trong đường trò[r]
Trang 1Bài tập về các góc trong đường tròn
A Lý thuyết
1 Góc ở tâm- Số đo cung tròn
a, Định nghĩa
+ Góc ở tâm là góc có đỉnh tại tâm đường tròn
+ VD: Hình bên có AOB là góc ở tâm chắn cung nhỏ AB
b, Số đo cung
+ Số đo cung nhỏ bằng số đo góc ở tâm chắn cung đó (AOB sđ AB nhỏ)
+ Số đo nửa đường tròn bằng 1800
+ Số đo cung lớn bằng 3600
trừ số đo cung nhỏ có cùng đầu mút với cung lớn (sđ AB lớn = 3600
- sđ AB nhỏ)
c, So sánh cung
+ Định lý: Trong một đường tròn hoặc hai đường tròn bằng nhau thì:
Hai cung bằng nhau khi chúng có cùng số đo độ
Hai cung có cùng số đo độ thì bằng nhau
2 Góc nội tiếp
a, Định nghĩa:
+ Góc nội tiếp là góc có đỉnh nằm trên đường tròn và hai
cạnh chứa hai dây của đường tròn
+ Hình bên: BAC là góc nội tiếp chắn cung BC
b, Tính chất
+ Góc nội tiếp bằng nửa số đo cung bị chắn (
s
2
BAC đ BC
) + Góc nội tiếp bằng nửa số đo góc ở tâm khi cùng chắn
một cung Nghĩa là
BAC = BOC
2
BOC là góc ở tâm chắn cung BC BOC sđ BC
O
O
C B
A
O
C B
A
Trang 2BAC là góc nội tiếp chắn cung
1
2
sđ BC
BAC = BOC
2
+ Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn bằng 900 và ngược lại
(AMB 90 0( vì nội tiếp chắn nửa đường tròn)
+ Các góc nội tiếp cùng chắn một cung thì bằng nhau (hoặc
các góc nội tiếp chắn các cung bằng nhau thì bằng nhau)
(MAN = MBN = MCN ( góc nội tiếp cùng chắn cung MN)
3 Góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung
a, Định nghĩa
+ Cho đường tròn (O); Ax là tia tiếp tuyến, AB là dây Góc
xAB là góc tạo bởi tia tiếp tuyến Ax và dây AB chắn cung
AB.
b, Tính chất
+ Góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây có số đo bằng nửa số đo cung bị chắn
VD :
BAx = sđ AB
2 + Góc giữa tia tiếp tuyến và dây cung với góc nội tiếp khi cùng chắn một cung thì bằng nhau
VD : BAx = AMB - vì cùng chắn cung AB
M
B
N M
C
B A O
M
Trang 3 Chú ý: Với A thuộc đường tròn, vẽ tia Ax và dây AB của đường tròn Nếu
BAx = sđ AB
2 thì Ax là tia tiếp tuyến của đường tròn (Có thể xem đây là 1
phương pháp chứng minh tiếp tuyến)
4 Góc có đỉnh nằm bên trong đường tròn
a, Định nghĩa
+ Góc có đỉnh nằm bên trong đường tròn là góc có đỉnh là
giao điểm của hai dây cung (hoặc tiếp tuyến) và giao điểm
nay nằm bên trong đường tròn Hai cung nằm bên trong
góc gọi là hai cung bị chắn
+ BAC là góc có đỉnh nằm trong đường tròn, góc này chắn
hai cung là BC và MN
b, Tính chất
Số đo của góc có đỉnh bên trong đường tròn bằng nửa tổng hai cung bị chắn
Nghĩa là
BAC = ( sđ BC + sđ MN)
2
5 Góc có đỉnh nằm bên ngoài đường tròn
a, Định nghĩa
+ Góc có đỉnh nằm bên ngoài đường tròn là góc có
đỉnh là giao điểm của hai dây cung (hoặc tiếp
tuyến) và giao điểm nay nằm bên ngoài đường
tròn Hai cung nằm bên trong góc gọi là hai cung
bị chắn
+ BAC là góc có đỉnh nằm ngoài đường tròn, góc
này chắn hai cung là BC và DE
b, Tính chất
Số đo của góc có đỉnh bên ngoài đường tròn bằng nửa hiệu hai cung bị chắn
Nghĩa là
BAC = ( sđ DE - sđ BC)
2
B Bài tập
1 Góc ở tâm
Bài tập trắc nghiệm.
N M
C B
A O
E O D
C B
A
Trang 4Câu 1 Hai tiếp tuyến tại hai điểm A, B của đường tròn (O) cắt nhau tại M, tạo
thành góc AMB bằng 500 Số đo của góc ở tâm chắn cung AB là:
A 500 B 400 C 1300 D 3100
Câu 2 Cho (O; 4 cm), vẽ cung MN có số đo 600 thì độ dài NM bằng
A 2 cm B 4 cm C 4 2 cm D 4 3 cm
Câu 3 Cho (O; 2 cm), vẽ cung MN có số đo 900
thì độ dài NM bằng
A 2 cm B 3 cm C 2 2 cm D 2 3 cm
Câu 4 Cho (O; 3 cm), vẽ cung MN có số đo 1200 thì độ dài NM bằng
A 2 cm B 3 cm C 3 2 cm D 3 3 cm
Câu 5 Cho (O; R cm), vẽ cung MN có số đo 1200 biết NM = 5 3 cm thì độ dài
R bằng
A 2 cm B 5 cm C 3 cm D 5 3 cm
Câu 6 Cho (O; R cm), vẽ cung AB có số đo 900 biết AB = 2 cm thì độ dài R bằng
A 2 cm B 5 cm C 2 cm D 3 cm
Câu 7 Tam giác ABC đều nội tiếp đường tròn (O) thì số đo cung nhỏ BC bẳng
A 600 B 1200 C 900 D 1000
Câu 8 Cho đường tròn (O,R), từ A sao cho OA = 2R, vẽ các tiếp tuyến AB và
AC thì số đo cung nhỏ BC bằng
A 1200 B 600 C 900 D 1000
Câu 9 Khẳng định nào sai?
A.Trong một đường tròn nếu hai cung bằng nhau thì số đo bằng nhau
B.Trong một đường tròn nếu số đo cung nhỏ bằng 1500 thì số đo cung lớn có cùng hai đầu mút với cung nhỏ có số đo bằng 2100
C.Trong một đường tròn nếu hai cung có số đo bẳng nhau thì bằng nhau D.Trong đường tròn cung nào lớn hơn thì số đo lớn hơn
Câu 10 Cho đường tròn (O,R) cho cung MN có số đo 2000 , thì góc ở tâm MÔN bằng
A 1600 B 2000 C 1800 D 1000
2 Góc nội tiếp
Trang 5Bài 1: Cho hai đường tròn (O; R) và (O’; R’) cắt nhau tại A và B Vẽ cát tuyến
CAD vuông góc với AB Tia CB cắt (O’) tại E, tia BD cắt (O) tại F Chứng minh rằng:
a) CAF = DAE ∠CAF = ∠DAE ∠CAF = ∠DAE
b) AB là tia phân giác của EAF∠CAF = ∠DAE
c) CA.CD = CB.CE
d) CD2 = CB.CE + BD.CF
Bài 2: Cho đường tròn (O; R) và một điểm M bên trong đường tròn đó Qua M
kẻ hai dây cung AB và CD vuông góc với nhau (C thuộc cung nhỏ AB) Vẽ đường kính DE Chứng minh rằng:
a) MA.MB = MC.MD
b) Tứ giác ABEC là hình thang cân
c) Tổng có giá trị không đổi khi M thay đổi vị trí trong đường tròn (O)
Bài 3: Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB và C là điểm chính giữa của
cung AB Lấy điểm M thuộc cung BC và điểm N thuộc tia AM sao cho AN =
BM Kẻ dây CD song song với AM
a) Chứng minh ΔACN = ΔBCM ACN = ΔACN = ΔBCM BCM
b) Chứng minh ΔACN = ΔBCM CMN vuông cân
c) Tứ giác ANCD là hình gì? Vì sao?
Bài 4: Cho ΔACN = ΔBCM ABC cân tại A nội tiếp đường tròn (O) M là một điểm bất kỳ
thuộc cung nhỏ AC Tia AM cắt BC tại N Chứng minh rằng:
a) AB2
= AM.AN b) ACM = ANC∠CAF = ∠DAE ∠CAF = ∠DAE
Bài 5: Cho ΔACN = ΔBCM ABC có AD là tia phân giác trong của góc A Qua D kẻ đường
thẳng song song với AB cắt AC ở E và đường thẳng song song với AC cắt AB
ở F
a) Tứ giác AEDF là hình gì? Vì sao?
b) Đường tròn đường kính AD cắt AB và AC lần lượt tại các điểm M và
N Chứng minh: MN // EF
Bài 6: Cho hai đường tròn (O; R) và (O’; R’) tiếp xúc trong với nhau tại A, (R >
R') Qua điểm B bất kỳ trên (O’) vẽ tiếp tuyến với (O’) cắt (O) tại hai điểm M
và N, AB cắt (O) tại C Chứng minh rằng:
a) MN OC ⊥ OC
b) AC là tia phân giác của MAN ∠CAF = ∠DAE
Bài 7: Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB và C là điểm chính giữa cung
AB M là điểm bất kỳ trên cung BC, kẻ CH AM ⊥ OC
Trang 6a) Chứng minh ΔACN = ΔBCM HCM vuông cân và OH là tia phân giác của COM∠CAF = ∠DAE b) Gọi I là giao điểm của OH với BC và D là giao điểm của MI với nửa đường tròn (O) Chứng minh MC // BD
Bài 8: Qua điểm M nằm trong đường tròn (O) kẻ hai dây AB và CD vuông góc
với nhau Chứng minh rằng:
a) Đường cao MH của tam giác AMD đi qua trung điểm I của BC b) Đường trung tuyến MI của ΔACN = ΔBCM BMC vuông góc với AD
Bài 9: Cho AB và CD là hai đường kính vuông góc với nhau của đường tròn
(O; R) Qua điểm M thuộc cung nhỏ AC (M ≠ A, M ≠ E)kẻ tiếp tuyến với đường tròn cắt AB, CD lần lượt tại E, F
a) Chứng minh: MFO = 2 MBO ∠CAF = ∠DAE ∠CAF = ∠DAE
b) Xác định vị trí điểm M trên cung nhỏ AC sao cho FEO = 30∠CAF = ∠DAE o
Khi đó tính độ dài đoạn thẳng OE, ME, EF theo R
3 Góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung
Bài 1: Cho ΔACN = ΔBCM ABC nội tiếp đường tròn (O), (AB < AC) Trên tia đối của tia BC
lấy điểm M sao cho MA2 = MB.MC Chứng minh rằng: MA là tiếp tuyến của đường tròn (O)
Bài 2: Từ điểm M nằm ngoài đường tròn (O) vẽ hai tiếp tuyến MA, MB với
(O) tại A và B Qua A vẽ đường thẳng song song với MB cắt đường tròn tại C Nối C với M cắt đường tròn (O) tại D Nối A với D cắt MB tại E Chứng minh rằng:
a) ΔACN = ΔBCM ABE ΔACN = ΔBCM BDE; ΔACN = ΔBCM MEA ΔACN = ΔBCM DEM ∼ ΔBDE; ΔMEA ∼ ΔDEM ∼ ΔBDE; ΔMEA ∼ ΔDEM
b) E là trung điểm của MB
Bài 3: Cho điểm C thuộc nửa đường tròn (O) đường kính AB Từ điểm D
thuộc đọan AO kẻ đường thẳng vuông góc với AO cắt AC và BC lần lượt lại E
và F Tiếp tuyến C với nửa đường tròn cắt EF tại M và cắt AB tại N
a) Chứng minh M là trung điểm của EF
b) Tìm vị trí của điểm C trên đường tròn (O) sao cho ΔACN = ΔBCM ACN cân tại C
Bài 4: Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB = 2R Gọi M là một điểm thay
đổi trên tiếp tuyến Bx của (O) Nối AM cắt (O) tại N Gọi I là trung điểm của
AN
a) Chứng minh: ΔACN = ΔBCM AIO ΔACN = ΔBCM BMN ; ΔACN = ΔBCM OBM ΔACN = ΔBCM INB ∼ ΔBDE; ΔMEA ∼ ΔDEM ∼ ΔBDE; ΔMEA ∼ ΔDEM
b) Tìm vị trí của điểm M trên tia Bx để diện tích ΔACN = ΔBCM AIO có giá trị lớn nhất
Trang 7Bài 5: Cho đường tròn (O; R) và dây AB, gọi I là trung điểm của dây AB Trên
tia dối của tia BA lấy điểm M Kẻ hai tiếp tuyến MC, MD với đường tròn, (C,D
≠ (O))
a) Chứng minh rằng: Năm điểm O, I, C, M, D cùng nằm trên một đường tròn
b) Gọi N là giao điểm của tia OM với (O) Chứng minh rằng N là tâm đường tròn nội tiếp
4 Góc có đỉnh nằm bên trong đường tròn và góc có đỉnh nằm bên ngoài đường tròn
Bài tập trắc nghiệm.
Câu 1 Trong hình 1 , Biết số đo cung LK bằng 1000 thì số đo góc C bằng
A.300
B 400
C 450
D 500
Câu 2 Trong hình 1 Biết số đo cung LK bằng 1000 thì số đo góc AMB bằng
A.1200 B 1400 C 1450 D 1600
Câu 3 Trong hình 2,cho đường tròn (O;R), dây cung LK = R thì số đo góc C
bằng
A.500 B 1000 C 600 D 400
Câu 4 Trong hình 2, cho đường tròn (O;R), dây cung LK = R thì số đo góc
LMK bằng
A.1200 B 1400 C 1450 D 1600
Câu 5 Trong hình 3,biết sđ BC+sđ ED= 1700
thì số đo góc CME bằng
A.1200 B 1400 C 1450 D 950
Câu 6 Trong hình 3,biết sđ EC- sđ BD= 620
thì số đo góc  bằng
Hình 1
M
C
B O
A
Hình 2
M C
B O
A
L
K
Hình 3
M
B
O
A C
E
D
Trang 8A.200 B 400 C 310 D 620
Câu 7 Trong hình 3,biết sđ EC- sđ BD= 620
thì số đo góc  bằng A.200
B 400
C 310
D 620
Câu 8 Trong hình 3,biết sđ EC= 120 0
; Â = 300 thì số đo cung BD bằng A500
B 600
C 310
D 620
C Đáp án
1 Góc ở tâm
2 Góc nội tiếp
Bài 1:
Vì CD AB => CAB = 90⊥ OC ∠CAF = ∠DAE o
Mà CAB = 1/2 sđ ∠CAF = ∠DAE BC => sđ BC = 180o
Vậy ba điểm B, O, C thằng hàng
Chứng minh tương tự ta có B, O’, D thẳng hàng
a) Chứng minh CAF = DAE ∠CAF = ∠DAE ∠CAF = ∠DAE
Trong (O) ta có: CAF = CBF (góc nội tiếp cùng chắn cung CF ) ∠CAF = ∠DAE ∠CAF = ∠DAE
Trong (O’) ta có: DAE = DBE (góc nội tiếp cùng chắn cung DE ) ∠CAF = ∠DAE ∠CAF = ∠DAE
Mà CBF = DBE (đối đỉnh) ∠CAF = ∠DAE ∠CAF = ∠DAE
=> CAF = DAE ∠CAF = ∠DAE ∠CAF = ∠DAE
b) AB là tia phân giác của ∠CAF = ∠DAE EAF
Trang 9Nối CF và DE ta có: CFB = 90∠CAF = ∠DAE o
(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (O)) ∠CAF = ∠DAE BED = 90o (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (O’)) Xét ΔACN = ΔBCM CFB và ΔACN = ΔBCM DEB có:
∠CAF = ∠DAE CFB = BED = 90∠CAF = ∠DAE o
∠CAF = ∠DAE CBF = DBE (đối đỉnh) ∠CAF = ∠DAE
=> FCB = EDB ∠CAF = ∠DAE ∠CAF = ∠DAE Mặt khác: FAB = FCB (góc nội tiếp (O) cùng chắn cung FB ) ∠CAF = ∠DAE ∠CAF = ∠DAE
∠CAF = ∠DAE EAB = EDB (góc nội tiếp (O’) cùng chắn cung EB ) ∠CAF = ∠DAE
=> FAB = EAB hay AB là phân giác của góc EAF ∠CAF = ∠DAE ∠CAF = ∠DAE ∠CAF = ∠DAE
c) Chứng minh CA.CD = CB.CE
Xét ΔACN = ΔBCM CAE và ΔACN = ΔBCM CBD có:
∠CAF = ∠DAE C chung ∠CAF = ∠DAE CEA = BDA (góc nội tiếp (O’) cùng chắn cung AB) ∠CAF = ∠DAE
=> ΔACN = ΔBCM CAE ΔACN = ΔBCM CBD (g.g) => CA/CB = CE/CD hay CA.CD = CB.CE∼ ΔBDE; ΔMEA ∼ ΔDEM (1) d) Chứng minh CD2 = CB.CE + BD.CF
Chứng minh tương tự câu c) ta có: DA.DC = DB.DF (2)
Từ (1) và (2) suy ra:
CA.CD + DA.DC = CB.CE + DB.DF
⇔ (CA + DA)CD = CB.CE + DB.DF
⇔ CD2
= CB.CE + DB.DF
Bài 2:
a) Chứng minh MA.MB = MC.MD
Xét ΔACN = ΔBCM AMC và ΔACN = ΔBCM DMB có:
∠CAF = ∠DAE ACD = ABD (góc nội tiếp cùng chắn cung AD) ∠CAF = ∠DAE
Trang 10∠CAF = ∠DAE AMC = BMD = 90∠CAF = ∠DAE o
(gt)
=> ΔACN = ΔBCM AMC ΔACN = ΔBCM DMB (g.g) ∼ ΔBDE; ΔMEA ∼ ΔDEM
=> MA/MD = MC/MB => MA.MB = MC.MD
b) Chứng minh tứ giác ABEC là hình thang cân
Vì DCE = 90∠CAF = ∠DAE o
(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
=> CD CE CD AB (gt) => AB // CE ⊥ OC ⊥ OC
=> Tứ giác ABEC là hình thang
(1)
Mặt khác: CE và AB là hai dây song song của đường tròn (O) chắn hai cung AC và BE
=> AC BE AE BC ABE BAC (2)
Từ (1) và (2) suy ra tứ giác ABEC là hình thang cân
c) Tổng có giá trị không đổi khi M thay đổi vị trí trong đường tròn (O)
Ta có AE BC (cmt) => EA = BC
Mặt khác: DAE = 90∠CAF = ∠DAE o
(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
Do đó: MA2 + MB2 + MC2 + MD2 = (MA2+ MD2) + (MB2 + MC2)
= AD2 + BC2 = DE2 = 4R2 không đổi
Bài 3:
a) Chứng minh ΔACN = ΔBCM ACN = ΔACN = ΔBCM BCM
Xét ΔACN = ΔBCM ACN và ΔACN = ΔBCM BCM có:
AC = BC (vì C là điểm chính giữa cung AB)
Trang 11∠CAF = ∠DAE CAN = CBN (góc nội tiếp cùng chắn cung CM) ∠CAF = ∠DAE
AN = BM (gt)
=> ΔACN = ΔBCM ACN = ΔACN = ΔBCM BCM (c.g.c)
b) Chứng minh ΔACN = ΔBCM CMN vuông cân
Vì ΔACN = ΔBCM ACN = ΔACN = ΔBCM BCM (chứng minh a) => CN = CM => ΔACN = ΔBCM CMN cân tại C (1) Lại có CMA = 1/2 sđ∠CAF = ∠DAE AC = 1/2 90o = 45o (2)
Từ (1) và (2) => ΔACN = ΔBCM CMN vuông cân tại C
Vì CD // AM nên tứ giác ADCM là hình thang cân
c) Tứ giác ANCD là hình gì? Vì sao?
Ta có: DAM = CMN = CNM = 45∠CAF = ∠DAE ∠CAF = ∠DAE ∠CAF = ∠DAE o
=> AD // CN Vậy tứ giác ADCN là hình bình hành
Bài 4:
Vì ΔACN = ΔBCM ABC cân tại A => ABC = ACB ∠CAF = ∠DAE ∠CAF = ∠DAE
Lại có ACB = AMB (góc nội tiếp cùng chắn cung AB ) ∠CAF = ∠DAE ∠CAF = ∠DAE
=> ABN = AMB ∠CAF = ∠DAE ∠CAF = ∠DAE
Do đó: ΔACN = ΔBCM ABM ΔACN = ΔBCM ANB (g.g) => AB/AN = AM/MB ∼ ΔBDE; ΔMEA ∼ ΔDEM
=> AB2 = AN AM
b) Chứng minh ACM = ANC∠CAF = ∠DAE ∠CAF = ∠DAE
Vì ΔACN = ΔBCM ABM ΔACN = ΔBCM ANB => ABM = ANB ∼ ΔBDE; ΔMEA ∼ ΔDEM ∠CAF = ∠DAE ∠CAF = ∠DAE
Trang 12Mà ABM = ACM (góc nội tiếp cùng chắn cung AM) ∠CAF = ∠DAE ∠CAF = ∠DAE
Do đó: ACM = ANC∠CAF = ∠DAE ∠CAF = ∠DAE
Bài 5:
a) Chứng minh được Tứ giác AEDF là hình thoi
b) Chứng minh: MN // EF
ΔACN = ΔBCM ABC có AD là tia phân giác trong của góc A
=> BAD = CAD ∠CAF = ∠DAE ∠CAF = ∠DAE
=> MD ND => DAC = MND (hai góc nội tiếp chắn hai cung bằng∠CAF = ∠DAE ∠CAF = ∠DAE nhau)
Lại có: AND = 90∠CAF = ∠DAE o
(nội tiếp chắn nửa đường tròn)
=> DAN + ADN = 90∠CAF = ∠DAE ∠CAF = ∠DAE o
=> MND + ADN = 90∠CAF = ∠DAE ∠CAF = ∠DAE o
=> MN // AD
Vì tứ giác AEDF là hình thoi nên EF AD => MN // EF⊥ OC
Bài 6:
Trang 13a) Chứng minh MN OC ⊥ OC
Vì ΔACN = ΔBCM O'AB cân tại O’ nên O'AB = O'BA ∠CAF = ∠DAE ∠CAF = ∠DAE
=> ΔACN = ΔBCM OAC cân tại O nên OAC = OCA ∠CAF = ∠DAE ∠CAF = ∠DAE
=> O'BA = OCA mà hai góc này ở vị trí đồng vị∠CAF = ∠DAE ∠CAF = ∠DAE
=> O’B // OC
Mặt khác MN là tiếp tuyến của (O’) tại B => O'B MN ⊥ OC
Do đó OC MN ⊥ OC
b) Chứng minh AC là tia phân giác của MAN ∠CAF = ∠DAE
Trong đường tròn (O): => OC là đường trung trực của MN => CM =
CN
=> CM CN => MAC = NAC Hay AC là tia phân giác của MAN ∠CAF = ∠DAE ∠CAF = ∠DAE ∠CAF = ∠DAE
Bài 7:
a) Chứng minh ΔACN = ΔBCM HCM vuông cân và OH là tia
phân giác của COM∠CAF = ∠DAE
Vì C là điểm chính giữa của cung AB
=> CMA = ∠CAF = ∠DAE
1 sđAC 45
=> ΔACN = ΔBCM HCM vuông cân tại H => CH = HM
Dễ thấy ΔACN = ΔBCM COH = ΔACN = ΔBCM MOH (c.c.c) => COH = MOH ∠CAF = ∠DAE ∠CAF = ∠DAE
Vậy OH là tia phân giác của COM ∠CAF = ∠DAE
b) Chứng minh MC // BD
Dễ thấy ΔACN = ΔBCM COI = ΔACN = ΔBCM MOI (c.g.c) nên CI = MI => ΔACN = ΔBCM CMI cân tại M
Do đó CMI = MCI ∠CAF = ∠DAE ∠CAF = ∠DAE
Lại có CMD = CBD (góc nội tiếp cùng chắn cung CD) ∠CAF = ∠DAE ∠CAF = ∠DAE