CHUYÊN ĐỀ ÔN TẬP HÌNH HỌC 9

Bài tập: BT.1: CMR: Trọng tâm, trực tâm và tâm đường tròn ngoại tiếp của một tam giác cùng nằm trên một đường thẳng.. Hệ thức lượng trong tam giác vuông * Những điểm lưu ý: 1- Định lý Ta

CHUYÊN ĐỀ 1:

1 Đường trung bình của tam giác, của hình thang.

2 Đường trung tuyến của tam giác vuông.

Ví dụ 1: Cho tam giác ABC đều, đường cao AD, trực tâm H M là điểm bất kỳ

trên cạnh BC Gọi E, F thứ tự là hình chiếu của M trên AB và AC Gọi I là trung điểm của AM ID cắt EF tại K

a) DEIF là hình gì?

b) CM: M, K, H thẳng hàng

c) Xác định vị trí của M trên BC để EF đạt GTNN

d) Tìm GTNN của SDEIF biết tam giác ABC có cạnh bằng a

Lời giải:

Giã sử M nằm giữa B và D:

a)  IED có:

1 2

IE ID AM

EID BAD









 IED là tam giác đều (1)

Chứng minh tương tự ta được

 IFD là tam giác đều (2) Từ

(1) và (2) suy ra DEIF là hình

thoi

b) Vì  ABC đều nên trực tâm

H củng là trọng tâm Suy ra:

AH = 2.HD

Gọi P là trung điểm của AH

 AP = PH = HD Suy ra IP,

KH thứ tự là đường trung bình

của các tam giác AMH và DIP

 MH // IP và KH // IP, suy ra M, K, H thẳng hàng

c) Vì  EDK vuông tại K nên ta có: EF = 2.EK = 2 ED.sinKDE = 3 DE Do đó

EF đạt GTNN  DE đạt GTNN  DE  AB  M trùng với D

( Có thể dùng định lý pitago để tính EF theo DE )

d) SDEIF = 1 EF

2DI

Ví dụ 2: Cho tứ giác ABCD Gọi A/, B/, C/, D/ lần lượt là trọng tâm của các tam giác BCD, ACD, ABD, ABC CMR: AA/, BB/, CC/, DD/ đồng qui

P

K H

I

F E

A

B

Lời giải:

Gọi M, N, I lần lượt là

trung điểm của BD, AC và

A/C Ta có:

+) NI là đường trung bình

của  AA/C

 AA/ // NI

+)  MNI có A/ là trung

điểm của MI và

AA/ // NI  K là trung

điểm của MN

Chứng minh tương tự thì

BB/, CC/, DD/ đều đi qua

trung điểm K của MN

AA/, BB/, CC/, DD/ đồng qui tại K

Bài tập:

BT.1: CMR: Trọng tâm, trực tâm và tâm đường tròn ngoại tiếp của một tam giác

cùng nằm trên một đường thẳng

BT.2: Cho đoạn thẳng AC và điểm B nằm giữa A và C Vẽ các tam giác vuông

cân ABD và BCE trên cùng một nửa mặt phẳng bờ là AC Gọi I là trung điểm của AC Tam giác IDE là tam giác gì? Vì sao?

-CHUYÊN ĐỀ 2:

1 Định lí Talet và hệ quả

2 Tam giác đồng dạng

3 Hệ thức lượng trong tam giác vuông

* Những điểm lưu ý:

1- Định lý Talet và tam giác đồng dạng chỉ đề cập tới tỉ số của hai đối tượng cùng

loại ( cùng là độ dài, cùng là diện tích, …)

2- Đối với các bài toán cần thực hiện phép toán A C

BD ta thường dùng định lí

Talet hoặc tính chất của tam giác đồng dạng để biến đổi

/ /

;

B N D N sao

cho N = N/ Trong hình học rất hiếm khi ta thực hiện phép nhân chéo A C

B D

A D B C

B D



I

A /

M

B A

3- Đối với bài toán cần thực hiện phép toán A C

B D ta thường biến đổi

A M

B N ,

/

/

C M

D N trong đó N = M

/

4- Đối với bài toán cần chứng minh đẳng thức có dạng 1 1 1

A B C ta cần tìm các

đoạn thẳng M = N = P và chứng minh M N P

A B C lúc này ta có thể dùng định lí

Talet hoặc tính chất của tam giác đồng dạng

5- Đối với bài toán cần chứng minh đẳng thức dạng a.b = c.d + e.f ta thường tách b = x +y và chứng minh a.x = c.d và b.y = e.f

6- Đối với bài toán cần chứng minh đẳng thức dạng a 2 = c.d + e.f làm tương tự

như trên

Ví dụ 1: Cho D, E, F lần lượt nằm trên các cạnh BC, AC, AB của tam giác ABC

sao cho AD, BE, CF đồng

qui tại M Chứng minh

rằng:

AF BF

AM AE

DM CE  .

* Định hướng: Cần chuyển

các tỉ số ở vế phải về cùng

mẫu

Lời giải:

Qua A vẽ đường thẳng

song song với BC cắt BE

và CF tại I và K Áp dụng

định lí Talet ta có:

AE AI

CE BC và

AF AK

BF BC

AF

BF

AM AI AK AI AK KI

DM BD CD BD CD BC



 (2) Từ (1) và (2) suy ra đpcm

Ví dụ 2: Cho tam giác ABC Một đường thẳng đi qua trọng tâm G của tam giác

cắt tia BC và các cạnh CA, AB tại D, E, F CMR:

GD GE GF .

M

B

A

Định hướng: ( xem lưu ý 4 )

Lời giải:

Vẽ CI // FE, BK // FE 

CI = BK; MK = MI

A.d định lí Talet ta có:

(1) (2) (3)

CI AI

GE AG

CI MI

GD MG

BK AK

GF AG

























Cộng từng vế của (1) và

(2) sẽ được (3)

GD GE GF

 đpcm

Ví dụ 3: Cho tam giác ABC Biết rằng đường phân giác ngoài của góc A cắt BC

kéo dài tại E CMR: AE2 = EB EC – AB AC

Phân tích:

1.Cần tách AE = x – y

thỏa mãn: AE.x = EB EC

và AE.y = AB AC

2 Giã sử tồn tại M thuộc

EA để: EA EM = EB EC

 EACEBM 

EMB ECA

Lời giải:

Lấy M thuộc tia đối của tia

AE sao cho EMB ECA

 EAC EBM suy ra

EA EM = EB EC (1)

Lại có: EACBAM

 EA AM = AB AC (2) Lấy (1) – (2) ta có đpcm

Ví dụ 4: Cho 4 điểm theo thứ tự E, B, D, C cùng nằm trên một đường thẳng thỏa

mãn: DB EB

DC EC và A là một điểm sao cho AE  AD CMR: AD và AE thứ tự là

phân giác trong và ngoài của tam giác ABC

K

I M

G

F

E

D C

B

A

X

M

A

* Định hướng: - Chỉ cần chứng minh AD hoặc AE là phân giác

- Vẽ đường phụ là đt song song để sử dụng (gt) DB EB

DC EC .

N

M

A

Cách 1: Qua B vẽ đường thẳng song song với AC cắt AD và AE tại M và N.

Theo định lí Talet ta có:

DB BM

DC AC BM BN

EB BN

EC AC











( Vì DB EB

DC EC ).

Tam giác AMN vuông tại A có AB là trung tuyến  AB = MB Suy ra

BAM BMA (1) Lại có CAM BMA ( vì BM // AC ) (2) Do đó AD là phân giác trong của  ABC AE là phân giác ngoài ( vì AE  AD )

Cách 2:

Qua C vẽ đt song song với AB cắt AD, AE tại M và N Tương tự cách 1 ta cũng chứng minh được: BAM CMA và CAM CMA

Ví dụ 5: Cho hình thoi ABCD có B 600 Một đường thẳng đi qua D không cắt hình thoi nhưng cắt các đường thẳng AB, BC lần lượt tại E, F Gọi M là giao điểm của AF và CE CMR:

a)  EAC đồng dạng với  ACF

b) AD là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp  MDF

Lời giải:

a) Ta có  EAD đồng dạng với  DCF AE CD

AD CF

AC CF

  (vì AD = AC

= CD )

Xét  EAC và  ACF có: EAC ACF 1200 và AE AC

AC CF ; suy ra:

 EAC đồng dạng với  ACF (c.g.c)

b) Chứng minh được 

ACM đồng dạng với 

AFC  AC2 AM.AF

mà AC = AD nên ta có

2 AF

AD AM , suy ra AD

là tiếp tuyến của đường

tròn ngoại tiếp tam giác

MDF

Ví dụ 6: Cho tam giác ABC vuông tại A, có B 200 Kẻ phân giác BI Vẽ góc

 300

ACH  về phía trong tam giác CMR: HI song song với phân giác của góc

HCB

Lời giải:

Gọi CK là phân giác

của góc HCB

Ta có: AI BA

IC BC (t.c

đường phân giác) (1)

Tam giác ACH

vuông tại A có

 300

ACH  , suy ra:

2

CH

AH  Khi đó vì

CK là phân giác của góc HCB nên ta có:

1

1

2

CH

HK  HK  BK

(2)

Kẻ KM BC, vì tam giác KCB cân tại K nên: CB = 2BM (3) Từ (2) và (3) đồng thời kết hợp với  BMK đồng dạng với  BAC suy ra:

M

K

I

H

C

B A

M

F E

A

D

C B

AH BM BA

HK BK BC (4) Từ (1) và (4) suy ra điều phải chứng minh.

Bài tập:

BT.1) Cho tam giác ABC, AD là phân giác trong của góc A ( DBC ) CMR:

AD2 = AB.AC – DB.DC

BT.2) Cho hình thang ABCD ( BC // AD ) Gọi M, N là hai điểm lần lượt trên

hai cạnh AB và CD sao cho AM CN

AB CD Đường thẳng MN cắt AC và BD lần

lượt ở E và F CMR: EM = FN

BT.3)Cho tam giác đều ABC Gọi D là trung điểm cạnh BC và E, F là các điểm

thứ tự thuộc các cạnh AB, AC sao cho EDF 600.

1 Chứng minh:

a)  BDE đồng dạng với  CFD

b) BE CF không đổi

c) ED2 = EF EB

d) EF luôn tiếp xúc với một đường tròn cố định

2 Tìm vị trí của các điểm E, F để diện tích tam giác DEF đạt GTLN

3 Tìm vị trí của các điểm E, F để diện tích tam giác AEF đạt GTLN

-CHUYÊN ĐỀ 3: TỨ GIÁC NỘI TIẾP

N

M

B A

 Đối với tứ giác ABCD cho trước, các khẳng định sau là tương đương:

1 ABCD là tứ giác nội tiếp.

2  A + C = B + D = 180    0

3  ABC = ACD 

4 MA.MC = MB MD ( trong đó M là giao điểm của AC và BD ).

5 NA.NB = NC.ND ( trong đó N là giao điểm của AB và CD )

A

 Cho tam giác ABC và điểm S thuộc tia đối của tia BC Khi đó các khẳng định sau là tương đương

1 SA là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

2  ACB = BAS 

3 SA 2 = SB.SC.

Ví dụ 1:Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH ( H  BC ) Gọi I, J, K lần lượt là tâm các đường tròn nội tiếp  ABC,  AHB và  AHC CMR:

a) AI  JK

b) BJKC là tứ giác nội tiếp

Lời giải:

a) Dễ thấy

ABHM là tứ

giác nội tiếp, suy

ra BM  AK

Tương tự: CN 

AJ Vậy I là trực

tâm  AJK, suy

ra đpcm

b) Ta có:

 450 

2

C

 IAJ   450 

2

C IKJ  IAB JAB   ( vì  1 1

JAB HAB C )

Ví dụ 2: Cho đường tròn tâm O và S cố định nằm ngoài (O) Một cát tuyến thay

đổi đi qua S cắt (O) tại A và B ( A khác B )

a) Đường thẳng d vuông góc với OS tại S và cắt các tiếp tuyến với (O) tại A và B lần lượt ở C và D Chứng minh: SC = SD

b) Gọi E là giao điểm của các tiếp tuyến với đường tròn tại A và B CMR: Khi cát tuyến SAB thay đổi thì E luôn nằm trên một đường thẳng cố định; xác định đường thẳng đó

K J

I

B

A

Lời giải:

a) Từ các tứ giác nội tiếp

SOBD và SAOC suy ra

SDO SCO , từ đó suy ra SC

= SD

b) Vẽ EI  SO Dễ thấy SIKE

là tứ giác nội tiếp, suy ra: OI

OS = OK OE (1)

- Tam giác OBE vuông tại B

có đường cao là BK, suy ra:

OK OE = OB2 = R2 (2) Từ

(1) và (2) suy ra:

2

OS

R

OI  , không đổi Vậy E nằm trên

đường thẳng EI cố định ( chỉ

hai phần đt nằm ngoài đường

tròn )

Ví dụ 3: Từ điểm K ở ngoài

đường tròn (O) vẽ hai tiếp

tuyến KA, KC và cát tuyến

KBD với đường tròn ( A, C là tiếp điểm; B nằm giữa K và D ) Gọi M là giao điểm của OK và AC CMR:

a) AB CD = AD BC

b) Tứ giác BMOD nội tiếp

c) Tứ giác BMOE nội tiếp ( E là

giao AC và đường thẳng qua O

vuông góc với BD )

d) BE là tiếp tuyến của (O)

e) I, A, C thẳng hàng với I là giao

điểm các tiếp tuyến tại B và D

f) AC luôn đi qua một điểm cố định

khi K thay đổi trên BD cố định ( K

ở ngoài (O))

Lời giải:

a)  KBA  KAD AB KB

AD KA

K

I

C

D

O

E

B

A S

E

D

B

C A

K

 KBC  KCD CB KB

CD KC

KA = KC  AB CB

AD CD  đpcm

b) CM được KB KD = KM KO

c) Có BMK BDO DBO  ; suy ra:

BME BOE  đpcm

d) Suy ra từ (c)

e) Có AMO 900 Lại có IBMOD

cùng nằm trên một đường tròn nên

suy ra IMO IBO 900  đpcm

f) Suy ra từ (e)

Ví dụ 4: Từ một điểm A ngoài đường tròn tâm O, vẽ các tiếp tuyến AD, AE ( D,

E là các tiếp điểm ) Tia AO cắt đường tròn tâm O tại B, C ( B ở giữa A và C )

Kẻ DH vuông góc với CE tại H Gọi P là trung điểm của DH Tia CP cắt đường tròn tâm O tại Q ( Q  C ) Gọi giao điểm của AC và DE là I CMR:

a) DQIP là tứ giác nội tiếp đường tròn.

b) AC là tiếp tuyến của đường tròn đi qua 3 điểm A, D, Q.

Lời giải:

a) Ta có:DQP DIP  ( = DEC ).

b) Vì DPI 900 DQI 900, suy ra: QIA QDI  ( cùng phụ với QID)

I

D

B

C

A

K

H

P Q

O I

E

D

C B

A

Mặt khác QEA QDI   QIA QEA  nên tứ giác AQIE nội tiếp đường tròn Suy

ra QAI QEI  ADQ đpcm

Ví dụ 5: Cho tam giác ABC ( AB < AC ) có BAC 600, đường phân giác trong

của góc BAC cắt BC tại D Từ D kẻ các tia Dx // AC, Dy // AB cắt AB, AC thứ

tự tại M, N

a) CMR: MN2 = MB NC

b) Đường tròn ngoại tiếp tam giác MND cắt BD tại E ( E khác D ) Gọi giao điểm của BN với CM là F Chứng minh MBEF là tứ giác nội tiếp

c) Chứng minh tia EF đi qua trung điểm của MN

Lời giải:

a) Dễ thấy AMDN là

hình thoi và MDN là

tam giác đều, suy ra:

MN2 = MD ND (1)

Mặt khác hai tam giác

BMD và DNC đồng

dạng với nhau, do đó:

MD ND = MB NC

(2) Từ (1) và (2) suy

ra đpcm

b) Tứ giác MNDE nội

tiếp suy ra:

MEB MND  (1)

Từ (a) suy ra hai tam

giác BMN và MNC đồng dạng với nhau; suy ra:

MBN NMC MFB MNB NMC  = MNB MBN = 1800  BMN 600(2)

Từ (1) và (2) suy ra đpcm

c) Vì MBEF nội tiếp nên ta có MEFMBF  M EI IMF  IMFIEM

2 IF.IE

MI

  (1) Chứng minh tương tự thì NCEF là tứ giác nội tiếp và ta củng chứng minh được: NI2 = IF IE (2) Từ đó suy ra IM = IN

Ví dụ 6: Cho đường tròn (O) và đường thẳng d không cắt nó Điểm M thay đổi

trên d, kẻ các tiếp tuyến MT, MH với (O) ( T, H là tiếp điểm )

a) Chứng minh TH luôn đi qua một điểm cố định khi M chạy trên d

b) Tìm quỹ tích của điểm N là giao điểm của OM và TH

c) Gọi A là hình chiếu của O trên d và E, F, K thứ tự là hình chiếu của A trên

MT, MH, TH CMR: E, F, K thẳng hàng

d) CMR: EF luôn đi qua một điểm cố định khi M chạy trên d

I

E F

N

M

B

A

Bài tập:

1) Cho hình vuông ABCD Trên cạnh BC lấy điểm M và trên CD lấy N sao cho

 450

MAN  Gọi I, K thứ tự là giao điểm của BD với AM và AN; P là giao

điểm của MK và NI

a) Chứng minh AP  MN

b) Tính tỉ số KI

MN .

c) Chứng tỏ MN luôn tiếp xúc với một đường tròn cố định

2) Cho tam giác nhọn ABC có BC cố định, A 600 và nội tiếp (O;R) cho trước. Gọi K là giao điểm của 3 đường phân giác trong của tam giác đó

a) Chứng minh B, K, O, C cùng nằm trên một đường tròn, xác định tâm của đường tròn này

b) Xác định vị trí của A để ( KB + KC ) đạt GTLN

3) Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O) sao cho hai đường thẳng AD và

BC cắt nhau tại T Vẽ đường thẳng d vuông góc với OT tại T

a)Biết d cắt hai đường thẳng AC và BD theo thứ tự tại M và N CMR: TM = TN b)Biết d cắt hai đường thẳng AB và CD theo thứ tự tại E và F CMR: TE = TF 4) Cho góc vuông xOy và tam giác ABC vuông tại A; trong đó A cố định nằm trong góc xOy; B chạy trên Ox; C chạy trên Oy Tìm quỹ tích hình chiếu vuông góc của A trên BC

CHUYÊN ĐỀ 4: KHAI THÁC BÀI TẬP HÌNH HỌC ( SKKN: 08 – 09 )



D

C

A

M

R

D

C

E

A

M

O D

M

C B

A

1) Khai thác bài toán dựa vào cấu trúc lôgic giữa các mệnh đề hình học:

Ví dụ 1: ( Bài 30 – SGK – Trang 116 )

Cho nửa đường tròn (O;R) đường kính AB M

là điểm thuộc nửa đường tròn; tiếp tuyến của (O;R)

tại M cắt các tiếp tuyến tại A và B lần lượt ở C và D.

Chứng minh rằng:

a) COD = 90 o.

b) CD = AC + BD.

Đây là một bài toán rất quen thuộc có trong SGK – Toán 9 và hầu hết các em đều giải được Tuy nhiên rất ít HS thấy được sự tương đương giữa các khẳng định sau:

(1) CD là tiếp tuyến

(3) CD = AC + BD

(4) AC BD = R2

Thật vậy, kéo dài OD cắt AC tại E Dễ dàng chứng

minh

được OD = OE , AE = BD (*)

+) Nếu COD  90o thì từ (*) suy ra CED cân tại C 

CO là phân giác của góc ECD  O cách CD một

khoảng bằng OA ( = R )  CD là tiếp tuyến của

(O;R)

+) Nếu CD = AC + BD thì từ (*) suy ra CD = CE

 CED cân tại C và cũng suy ra được CD là tiếp

tuyến của (O;R)

+) Nếu AC BD = R2 thì từ (*)  AC AE = OA2 

   (c.g.c)  COE CAO    90 0  CED cân

tại C và cũng suy ra được CD là tiếp tuyến của (O;R)

Dựa vào sự tương đương giữa các kết quả trên

giáo viên có thể thiết kế thành nhiều bài toán khác nhau

để học sinh luyện tập

Ví dụ 2: ( Bài 20 – SBT – Toán 9 ).

Cho tam giác đều ABC nội tiếp đường tròn (O)

và M là một điểm của cung nhỏ BC Trên MA lấy

điểm D sao cho MD = MB.

a) Tam giác MBD là tam giác gì ?

b) So sánh hai tam giác BDA và BMC.

O M C B

A

c) Chứng minh MA = MB + MC.

Đây là bài toán rất quen thuộc , lời giải có trong SBT và nhiều tài liệu khác, kết quả cụ thể là:

a) MBD là tam giác đều

b) BDA = BMC

c) MA = MB + MC

Nhận thấy rằng nếu xem:

+ ) Hình H là : “ Đường tròn ngoại tiếp tam giác đều ABC”

+ ) Tính chất T là : “ Trong ba đoạn MA , MB , MC có một đoạn bằng tổng của hai đoạn còn lại”

Thì ta chứng minh được:

1) Mọi điểm thuộc hình H thì có tính chất T và ngược lại

2) Những điểm không thuộc hình H thì không có tính chất T và ngược lại.

Do đó giáo viên có thể ra cho HS những bài tập sau:

Bài 1: Cho tam giác đều ABC nội tiếp đường tròn (O) và M là một điểm không

thuộc (O) Chứng minh rằng ba đoạn thẳng MA , MB , MC là độ dài ba cạnh của một tam giác

Gợi ý:

* Xét trường hợp điểm M nằm trong góc BAC ( các trường hợp khác hoàn toàn tương tự )

Vẽ tam giác đều BMD  MB = MD và BMD 60o (1)

Dễ dàng chứng minh được BDA = BMC (c.g.c )

 MC = DA (2)

Vì M (O) nên BMA  60o (3) Từ (1), (2) và (3) suy ra A, D , M không thẳng hàng và MA , MB , MC là độ dài ba cạnh của tam giác MAD

Bài 2: Cho tam giác đều ABC nội tiếp đường tròn (O) và M là một điểm thuộc

nửa mặt phẳng không chứa A bờ BC và thỏa mãn MA = MB + MC Chứng minh rằng ABMC là tứ giác nội tiếp

Gợi ý: Làm tương tự bài toán 1 và chứng minh được MB = MD , MC = DA Suy

ra MB + MC = MA = MD + DA  D MA  BMA BMD   60 0  BMA BCA  , suy

ra ABMC là tứ giác nội tiếp

Bài toán 2 có thể diễn đạt dưới các bài tập sau:

D O

M

C B

A