Hình học hoạ hình

Một không gian hình học được cấu tạo bởi những yếu tố hình học cơ bản điểm, đường thẳng, mặt phẳng liên quan với nhau bởi những mệnh đề cơ bản.. Ta thấy tập hợp này có chung với mỗi đườn

MỤC LỤC

PHẦN MỞ ĐẦU 2

1 GIỚI THIỆU MÔN HỌC 3

4 MỞ RỘNG KHÔNG GIAN EUCLIDE 3 CHIỀU BẰNG CÁCH BỔ SUNG

NHỮNG YẾU TỐ VÔ TẬN 8TOP 8

PHẦN MỞ ĐẦU

1 GIỚI THIỆU MÔN HỌC

Muốn thể hiện ý định thiết kế một công trình, bộ phận của máy móc; người cán bộ kỹ thuật phải sử dụng bản vẽ Bản vẽ được xây dựng nhờ các phương pháp biểu diễn và các qui ước

Việc nghiên cứu các phương pháp biễu diễn làm cơ sở lý luận cho việc xây dựng các bản vẽ là một trong những nội dung của Hình học họa hình Ðồng thời Hình học họa hình còn nghiên cứu phương pháp giải các bài toán hình học trên bản vẽ Ðể biễu diễn một côngtrình xây dựng (nhà cửa, cầu, cống, ) hay các chi tiết máy móc, trước hết phải biết cách biễu diễn các không gian hình học chứa những đối tượng trên Một không gian hình học được cấu tạo bởi những yếu tố hình học cơ bản (điểm, đường thẳng, mặt phẳng) liên quan với nhau bởi những mệnh đề cơ bản

Ðể biễu diễn một không gian hình học người ta có nhiều cách

Ví dụ: Biễu diễn các yếu tố hình học của không gian Euclide 3 chiều

và các tương quan liên thuộc tương ứng giữa các đối tượng trên

Trong các trường đại học, việc học Hình học họa hình, nhằm 3 mục đích:

+ Giúp học sinh nắm được cách biễu diễn các hình không gian lên mặt phẳng và giải các bài toán hình học không gian bằng các hình biễu diễn trên mặt phẳng

+ Rèn luyện khả năng tư duy, trừu tượng Khả năng này đóng một vai trò quan trọng trong việc phát minh sáng tạo sau này của người cán bộ kỹ thuật

+ Chuẩn bị cơ sở lí luận cho môn vẽ kỹ thuật sau này

Hình học họa hình là môn học nghiên cứu các không gian hình học bằng những mô hình hình học

Mô hình được xây dựng bằng những hình, những phép biến đổi hình học được gọi

3.2 TÍNH CHẤT

4 MỞ RỘNG KHÔNG GIAN EUCLIDE 3 CHIỀU BẰNG CÁCH BỔ

SUNG NHỮNG YẾU TỐ VÔ TẬN

TOP

Ta dùng phép chiếu làm công cụ để xây dựng các bản vẽ, tức là xây dựng các mô hìnhphẳng của không gian Ðể làm được điều đó, trước hết mỗi điểm trong không gian phải có hình chiếu Theo định nghĩa phép chiếu nói trên thì có những điểm của không gian sẽ không có hình chiếu trên mặt phẳng (P) Ðó là những điểm thuộc đường thẳng đi qua tâm

S và song song với mặt phẳng (P) (Vì đường thẳng song song với một mặt phẳng là đườngthẳng không có điểm chung với mặt phẳng) Ðể khắc phục nhược điểm này,đáng lẽ nói rằng đường thẳng song song với mặt phẳng là đường thẳng và mặt phẳng không có điểm chung thì ta nói rằng đường thẳng song song với mặt phẳng là đường thẳng và mặt phẳng

có điểm chung ở vô tận

Như vậy ta đã qui ước: thêm vào mỗi đường thẳng một điểm vô tận Như ta sẽ thấy, điều ấy chẳng những không có mâu thuẫn gì mà còn làm đơn giản rất nhiều cách phát biểu những mệnh đề hình học

Vậy: Hai đường thẳng song song là hai đường thẳng cắt nhau ở điểm vô tận Ðường thẳng song song với mặt phẳng không thể chung nhau hai điểm vô tận (mà chỉ một mà thôi) Vì nếu có chung hai điểm vô tận thì sẽ dẫn đến điều là hai đường thẳng song song là hai đường thẳng khác nhau mà lại có hai điểm chung

Mỗi đường thẳng được thêm một điểm vô tận, hai đường thẳng cắt nhau có hai điểm

vô tận khác nhau nên mặt phẳng có vô số điểm vô tận Tập hợp những điểm vô tận trong mặt phẳng là hình gì? Ta thấy tập hợp này có chung với mỗi đường thẳng một điểm (điểm

vô tận của đường thẳng) và vì trong mặt phẳng chỉ có đường thẳng mới cắt một đường thẳng bất kì tại một điểm Nên tập hợp này là một đường thẳng Ta gọi đường thẳng đó là đường thẳng vô tận của mặt phẳng

Vậy: Hai mặt phẳng song song là hai mặt phẳng cắt nhau theo đường thẳng vô tận Trong không gian mỗi đường thẳng có một điểm vô tận; mỗi mặt phẳng có một đường thẳng vô tận Tập hợp mọi yếu tố vô tận của không gian là hình gì? Tập hợp này có chung với mỗi đường thẳng một điểm (điểm vô tận của đường thẳng), có chung với mỗi mặt phẳng một đường thẳng (đường thẳng vô tận của mặt phẳng) và chỉ có mặt phẳng mới cắt đường thẳng bất kì ở một điểm, cắt một mặt phẳng bất kì theo một đường thẳng Nên tập hợp các yếu tố vô tận của không gian được xem là một mặt phẳng Ta gọi mặt phẳng

đó là mặt phẳng vô tận của không gian

Kết luận:

* Không gian quen thuộc lâu nay được bổ sung thêm những yếu tố mới (những yếu tố

vô tận Tập hợp những yếu tố vô tận ấy làm thành một mặt phẳng, gọi là mặt phẳng vô tận của không gian Mỗi mặt phẳng có thêm một đường thẳng ( đường thẳng vô tận của mặt phẳng Mỗi đường thẳng có thêm một điểm ( điểm vô tận của đường thẳng

* Những điểm, đường thẳng, mặt phẳng không phải là vô tận gọi là những điểm, đường thẳng, mặt phẳng hữu hạn

* Sau khi bổ sung những yếu tố vô tận, những mệnh đề về liên thuộc được phát biểu gọn và cân đối hơn

Ví dụ: Mệnh đề: Trong không gian, một đường thẳng hoặc cắt mặt phẳng ở một điểm hoặc song song với mặt phẳng hoặc hoàn toàn nằm trong mặt phẳng có thể thay bằng: Trong không gian, một đường thẳng và một mặt phẳng có ít nhất một điểm chung (điểm hữu hạn hay điểm vô tận)

* Ðiểm, đường thẳng và mặt phẳng hữu hạn và điểm, đường thẳng, mặt phẳng vô tận

có vai trò hoàn toàn như nhau

Ví dụ1: Hai điểm A, B xác định một đường thẳng d duy nhất

a) A và B đều là điểm hữu hạn: Ðường thẳng d được vẽ như ta đã biết

b) A là điểm hũu hạn, B là điểm vô tận được xác định bởi đường thẳng b:

Ðường thẳng d là đường thẳng đi qua A và song song với b

c) A và B đều là điểm vô tận, xác định bởi các đường thẳng a và b:

Ðường thẳng d là đường thẳng vô tận (đi qua hai điểm vô tận) Ðó cũng là đường thẳng vô tận của mọi mặt phẳng song song với hai đường thẳng a, b

Ví dụ2: Ba điểm A, B, C xác định một mặt phẳng (P) duy nhất

a) A, B và C đều là điểm hữu hạn: Mặt phẳng (P) được vẽ như ta đã biết

b) A, B là điểm hữu hạn, C là điểm vô tận được xác định bởi đường thẳng c:

Mặt phẳng (P) đi qua A, B và song song với c

c) A là điểm hữu hạn, B và C là điểm vô tận, xác định bởi hai đường thẳng b, c: Mặtphẳng (P) đi qua A và song song với b, c

d) A, B, C đều là điểm vô tận: Mặt phẳng (P) là mặt phẳng vô tận của không

gian

Tính chất: Vì phép chiếu song song là trường hợp đặc biệt của phép chiếu xuyên tâm nên nó có mọi tính chất của phép chiếu xuyên tâm như:

* Hình chiếu song song của một đường thẳng nói chung là một đường thẳng, nếu đường thẳng song song với hướng chiếu thì hình chiếu của đường thẳng suy biến thành một điểm

* Mặt phẳng song song với hướng chiếu (mặt phẳng chiếu) có hình chiếu suy biến thành một đường thẳng

* Trong một phép chiếu song song thì tính liên thuộc của điểm với đường thẳng đượcbảo toàn

Ngoài ra phép chiếu song song còn có những tính chất riêng sau:

Hệ quả Trong phép chiếu song song tỉ số của hai đoạn thẳng song song bằng tỉ số của hai đoạn thẳng hình chiếu của chúng

Chứng minh

Chú ý: Nếu AB và CDø cùng thuộc một đường thẳng thì tính chất này vẫn hoàn toàn đúng

Phép chiếu thẳng góc

6 ỨNG DỤNG CỦA PHÉP CHIẾU

TOP

7 NHỮNG YÊU CẦU CỦA BẢN VẼ KỸ THUẬT

1 Tính tương đương hình học:

Tính tương đương hình học:

Yêu cầu cơ bản của bản vẽ kỹ thuật là bản vẽ phải thỏa mãn tính tương đương hình học, tức là phải xây dựng sao cho theo đó người ta có thể dựng lại hình không gian mà nó biểu diễn

Những phép chiếu - công cụ để xây dựng bản vẽ - không thiết lập mối liên hệ một đối một giữa các yếu tố trong không gian với các yếu tố trên mặt phẳng, bởi vì trong một phép chiếu những điểm trên cùng một tia chiếu thì có hình chiếu trùng nhau, và ngược lại, một điểm bất kỳ trên mặt phẳng hình chiếu có thể xem là hình chiếu của vô số điểm của đường thẳng đi qua điểm ấy và tâm chiếu

Vì vậy để xây dựng các bản vẽ người ta dùng hai hoặc ba phép chiếu hoặc bên cạnh phép chiếu người ta dùng cách ghi chú bằng số

2 Tính trực quan:

Ngoài tương đương hình học, trong kỹ thuật người ta còn muốn bản vẽ phải có tính trực quan, tức là những hình biễu diễn trên bản vẽ phải gây nên một ấn tượng giống như ấntượng người ta có được khi quan sát trực tiếp trong thực tế Muốn có tính trực quan ấy những điểm và đường thẳng trong thực tế phải được biễu diễn bằng những điểm và đường thẳng trong bản vẽ Người ta chứng minh được rằng một ánh xạ của không gian lên mặt phẳng trong đó điểm có ảnh là một điểm, đường thẳng có ảnh là đường thẳng, điểm thuộc đường thẳng thì ảnh của điểm thuộc ảnh của đường thẳng, đồng thời một điểm trong mặt phẳng ảnh có thể coi là ảnh của nhiều điểm nằm trên một đường cong nào đó là một phép chiếu Ðó cũng là điều cắt nghĩa tại sao các bản vẽ dùng trong kỹ thuật hiện nay được xây dựng bằng phép chiếu

Tuy nhiên tính trực quan không phải là yêu cầu bắt buộc của bản vẽ Bản vẽ có tính trực quan thì càng tốt, không có cũng được Bản vẽ càng tổng quát thì càng ít tính trực quan nhưng càng được áp dụng trong nhiều lĩnh vực khoa học Với sự phát triển mạnh mẽ của các ngành toán học và khoa học hiện đại, các bản vẽ được xây dựng bằng phép chiếu

sẽ dần dần trở nên ít hiệu lực vì các bản vẽ ấy dùng không được thuận lợi trong các quá trình sản xuất cơ giới hóa và tự động hóa Vì vậy, hiện nay ở nhiều nước việc xây dựng cácbản vẽ mới đang là một vấn đề nghiên cứu khoa học sôi nổi

Một trong những hướng nghiên cứu vấn đề ấy là xây dựng các bản vẽ trong đó mỗi phép vẽ tương ứng với một toán tử nào đó

Những bản vẽ như vậy dĩ nhiên sẽ không có tính trực quan như các bản vẽ đã có trướcđây

1 Phương pháp hai hình chiếu thẳng góc (phương pháp Môngjơ)

2 Phương pháp hình chiếu trục đo

3 Phương pháp hình chiếu phối cảnh

4 Phương pháp hình chiếu có số

PHƯƠNG PHÁP HAI HÌNH CHIẾU

THẲNG GÓC CHƯƠNG 1 : ĐIỂM - ĐƯỜNG

THẲNG - MẶT PHẲNG

CHƯƠNG I: ÐIỂM - ÐƯỜNG THẲNG - MẶT PHẲNG

NỘI DUNG:

BÀI 1: BIỂU DIỄN ÐIỂM, ÐƯỜNG THẲNG, MẶT PHẲNG TRONG

PHƯƠNG PHÁP HAI HÌNH CHIẾU THẲNG GÓC

I ÐIỂM

1 BIỂU DIỄN ÐIỂM TRONG PHƯƠNG PHÁP HAI HÌNH CHIẾU

2 BIỂU DIỄN ÐIỂM TRONG PHƯƠNG PHÁP BA HÌNH CHIẾU

II ÐƯỜNG THẲNG TOP

1 ÐƯỜNG THẲNG THƯỜNG

TOP

2 ÐƯỜNG THẲNG ÐẶC BIỆT TOP

Vậy một đường thẳng chiếu (chiếu đứng hay chiếu bằng) được biểu diễn trên mặt phẳng hình vẽ bằng một điểm và một đường thẳng đi qua điểm ấy và vuông góc với trục x

Ngược lại, trên mặt phẳng hình vẽ, một điểm bất kỳ và một đường thẳng đi qua điểm ấy

và vuông góc với trục x là hình biểu diễn của một đường thẳng chiếu xác định (đường thẳng chiếu đứng hay chiếu bằng, tùy chỗ ta xem điểm ấy là hình chiếu đứng hay hình chiếu bằng của đường thẳng)

Người ta dùng danh từ đường cạnh để gọi những đường thẳng đặc biệt mà không phải làđường thẳng chiếu

3 SỰ LIÊN THUỘC GIỮA ÐIỂM VÀ ÐƯỜNG THẲNG

TOP

Ðịnh lí 2: Ðiều kiện cần và đủ để một điểm C thuộc đường cạnh AB là tỷ số đơn của bađiểm hình chiếu đứng của A, B, C bằng tỷ số đơn của ba điểm hình chiếu bằng của chúng

4 VÍ TRÍ TƯƠNG ÐỐI CỦA HAI ÐƯỜNG THẲNG TOP

Trong không gian hai đường thẳng khác nhau thì hoặc là không có điểm chung nào (haiđường thẳng chéo nhau), hoặc có một điểm chung: nếu là điểm hữu hạn (hai đường thẳng cắt nhau); nếu là điểm điểm vô tận (hai đường song song) Từ điều kiện liên thuộc của điểm với đường thẳng ta dễ dàng suy ra cách biểu diễn hai đường thẳng cắt nhau hay song song nhau hay chéo nhau

1) HAI ÐƯỜNG THẲNG CẮT NHAU HOẶC SONG SONG

a) Hai đường thẳng thường:

Ðịnh lý: Ðiều kiện cần và đủ để hai đường thẳng thường cắt nhau là các cặp hình chiếu cùng tên của chúng cắt nhau tại những điểm nằm trên cùng một đường dóng

Trên hình sau biểu diễn:

III MẶT PHẲNG TOP

Một mặt phẳng hoàn toàn được xác định bởi: ba điểm không thẳng hàng, hoặc hai đường thẳng cắt nhau, hoặc hai đường thẳng song song, hoặc một điểm và một đường thẳng không đi qua điểm đó Vì vậy để biểu diễn một mặt phẳng người ta biểu diễn bằng

đồ thức của: ba điểm không thẳng hàng; hai đường thẳng cắt nhau (hoặc song song); một điểm và một đường thẳng không đi qua điểm đó

3 SỰ LIÊN THUỘC CỦA ÐIỂM VÀ ÐƯỜNG THẲNG VỚI MẶT

Hai mệnh đề làm cơ sở cho tương quan liên thuộc giữa điểm và đường thẳng với mặt phẳng là:

1 Ðường thẳng d thuộc mặt phẳng (P) nếu d có hai điểm thuộc mặt phẳng (P)

2 Ðiểm A thuộc mặt phẳng (P) nếu A thuộc đường thẳng nào đó của (P)

Từ đó ta thấy rằng việc biểu diễn sự liên thuộc của điểm với mặt phẳng hay của đường thẳng với mặt phẳng đều đưa về việc biểu diễn sự liên thuộc của điểm với đường thẳng mà

ta đã nghiên cứu ở trên

Ðể làm sáng tỏ ta xét một vài ví dụ:

BÀI 2: NHỮNG BÀI TOÁN VỀ VỊ TRÍ

Trong §2 này ta nghiên cứu các bài toán vị trí giữa các yếu tố hình học cơ bản: giao điểm của đường thẳng với mặt phẳng và giao tuyến của 2 mặt phẳng

I GIAO ÐIỂM CỦA ÐƯỜNG THẲNG VỚI MẶT PHẲNG CHIẾU

TOP

Một cách tổng quát người ta gọi vết của đường thẳng là giao điểm của đường thẳng đóvới mặt phẳng hình chiếu

Trường hợp đường thẳng là đường cạnh, việc tìm vết của nó cũng không có gì khó khăn,nếu nhớ điều kiện để một điểm thuộc đường cạnh là các hình chiếu của nó chia các đoạnthẳng hình chiếu tương ứng của đường cạnh theo cùng một tỷ số

II GIAO TUYẾN CỦA MẶT PHẲNG VỚI MẶT PHẲNG CHIẾU

TOP

III GIAO ÐIỂM CỦA ÐƯỜNG THẲNG VỚI MẶT PHẲNG TOP

Ở trên khi tìm giao điểm của đường thẳng với mặt phẳng chiếu và giao tuyến của mặt phẳng với mặt phẳng chiếu, một hình chiếu của giao điểm hay giao tuyến biết được ngay Trường hợp đường thẳng và mặt phẳng đều là đường thẳng và mặt phẳng thường, để vẽ giao điểm của đường thẳng với mặt phẳng người ta thường làm như sau:

Tóm lại, để xác định giao điểm I của đường thẳng d với mặt phẳng (P) ta tiến hành lần lượt:

- Vẽ qua d một mặt phẳng chiếu (Q) (mặt phẳng chiếu bằng hoặc mặt phẳng chiếuđứng)

- Xác định giao tuyến MN của (P) và (Q)

- Xác định giao điểm I của d và MN

IV GIAO TUYẾN CỦA HAI MẶT PHẲNG THƯỜNG TOP

Muốn xác định giao tuyến của hai mặt phẳng ta chỉ cần biết hai điểm chung của chúng

Ta có thể có một điểm chung như vậy bằng cách tìm giao điểm của một đường thẳngbất kỳ của mặt phẳng này với mặt phẳng kia Do đó việc tìm giao tuyến của hai mặt phẳng

có thể đưa về việc giải liên tiếp hai lần bài toán xác định giao điểm của đường thẳng vớimặt phẳng mà ta vừa nghiên cứu trên

Dưới đây ta xét một phương pháp khác để tìm các điểm chung của hai mặt phẳng Cho hai mặt phẳng (P) và (Q) Mặt phẳng (P) xác định bởi hai đường thẳng song song a

và b; mặt phẳng (Q) xác định bởi hai đường thẳng cắt nhau c và d

Ðể có một điểm chung của hai mặt phẳng (P) và (Q) ta cắt (P) và (Q) bằng một mặtphẳng (R) (gọi là mặt phẳng phụ trợ)

V MỘT SỐ BÀI TOÁN ỨNG DỤNG

TOP

Bài toán 2: Vẽ đường thẳng d song song với đường thẳng l và cắt cả hai đường

thẳng chéo nhau a, b

Giải: Dễ dàng thấy rằng bài toán này là một trường hợp riêng của bài toán trên khi A làđiểm vô tận Do đó đường thẳng d phải vẽ là giao tuyến của hai mặt phẳng: mặt phẳng (P)chứa a và song song với l và mặt phẳng (Q) chứa b và song song với l

VI QUY ƯỚC VỀ THẤY, KHUẤT TRÊN ÐỒ THỨC TOP

Từ trước tới nay ta xem điểm, đường thẳng, mặt phẳng một cách thuần túy hình học.Trong kỹ thuật, một tấm phẳng cho ta một hình ảnh của mặt phẳng Giao tuyến của hai mặtphẳng là một hình ảnh của đường thẳng Giao của ba tấm phẳng là một hình ảnh của điểm

Khi quan sát các hình thực tế, chẳng hạn khi nhìn hai tấm phẳng cắt nhau, một tấm màu xanh một tấm màu đỏ, ta chỉ thấy một phần của tấm màu xanh và một phần của tấm màu

đỏ, còn những phần còn lại thì bị khuất

Ðể hình biểu diễn cũng gây cho người xem ấn tượng giống như ấn tượng có được khiquan sát trong thực tế về mặt hình dáng, trên đồ thức người ta cũng biểu diễn sự thấy,khuất theo quy ước sau đây:

1 Người quan sát đứng ở phía trước mặt phẳng hình chiếu đứng và phía trên mặt phẳnghình chiếu bằng Khi xét sự thấy, khuất trên mỗi mặt phẳng hình chiếu, người quan sát xemnhư đứng ở xa vô tận trên hướng thẳng góc với mặt phẳng ấy, tức là xem như mắt ngườiquan sát đặt ở tâm chiếu tương ứng

2 Mọi hình được biểu diễn đều là vật thể đục (không trong suốt) Những mặt phẳnghình chiếu cũng là những mặt phẳng đục Vậy mọi điểm nằm phía sau mặt phẳng hình