Hình học họa hình - ngành kiến trúc

Trên hình là cung tròn MIN có tâm O... Ch ng hai : BÓNG TRÊN CÁC HÌNH CHI U.

BÁCH KHOA ĐÀ NẴNG — 2006Dươn

g Thọ

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA

Trong không gian l y hai m t ph ng vuông góc nhau V n m ngang

và T th ng đ ng M t đi m M không thu c T ng v i m t ng i quan sát (hình -1)

chính

- i m M , hình chi u vuông góc c a M lên m t ph ng V g i là đi m

đ ng

- ng th ng đđ là giao tuy n c a T và V g i là đ ng đáy tranh

- ng th ng tt là giao tuy n c a m t ph ng qua M và song song v i

- Ph n không gian tr c H g i là không gian v t th

- Ph n không gian sau H g i là không gian khu t

§2 BI U DI N I M :

Ta ti n hành bi u di n 1 đi m A nh sau : (hình 2)

Hình - 2

- Chi u đi m A t tâm M lên m t ph ng T , ta đ c đi m A'

- Chi u vuông góc đi m A xu ng m t ph ng V, ta đ c đi mA

- Chi u A t tâm M lên m t ph ng T,ta đ c đi m A'

Nhìn hình 2 , ta d dàng th y r ng A', A' ,Ađ n m trên đ ng dóng vuông góc v i đáy tranh đđ ng th i phép bi u di n th a mãn tính ph n chuy n

V y : M t đi m A trong không gian đ c bi u di n lên m t tranh b ng

m t c p đi m A', A' cùng n m trên m t đ ng th ng vuông góc v i đáy tranh đđ Ng c l i , m t c p đi m A', A' b t k c a m t tranh cùng n m trên m t đ ng th ng vuông góc v i đáy tranh đđ , là hình bi u di n c a

m t đi m A xác đ nh trong không gian

Ta g i : A - Chân c a đi m A

A' - Hình chi u chính c a A

A' - Hình chi u th hai c a A

em đ t m t tranh T trùng v i m t ph ng b n v ta có đ th c c a

đi m (hình 3) N u B là m t đi m c a T thì B'1 thu c đáy tranh đđ N u C là

m t đi m c a V thì C’ và C' trùng nhau M i đi m vô t n D∞ c a m t

ph ng V đ u có hình chi u ph i c nh D' là m t đi m thu c đ ng chân tr i

tt M t đi m F∞ c a không gian có hình chi u th hai F' là m t đi m thu c

Ta th y c hai d'và d' đ u không vuông góc v i đ ng đáy tranh đđ

V y: M t đ ng th ng không c t MM , có hình chi u ph i c nh là

m t c p đ ng th ng không vuông góc v i đđ o l i : m t c p đ ng

th ng d', d' c a m t tranh T mà không vuông góc v i đđ đ u là hình chi u

ph i c nh c a m t đ ng th ng xác đ nh trong không gian

Tr ng h p đ ng th ng c t đ ng MM , ta g i là đ ng th ng đ c

bi t Trên hình 5a , cho đ th c c a m t đ ng th ng đ c bi t AB (t ng

đ ng đ ng c nh trong hình chi u vuông góc )

Trong các đ ng th ng đ c bi t ta l u ý hai lo i đ ng th ng sau đây:

- ng th ng chi u ph i c nh CD là đ ng th ng đi qua đi m nhìn M

§4 S LIÊN THU C C A I M & NG TH NG:

Nh trong hình chi u vuông góc ta có m nh đ liên thu c c a m t

§5 I M T C A NG TH NG :

Gi s F là đi m vô t n c a đ ng th ng AB Hình chi u ph i c nh

c a F là F' và F'1 Vì F là đi m vô t n nên F'1 là đi m vô t n nên F'1 là m t

đi m thu c đ ng chân tr i tt (hình 7)

Hình – 7 Hình chi u ph i c nh c a m i đ ng th ng song song v i AB , t c là

có chung v i AB đi m vô t n F, đ u ph i đi qua đi m F', F'1 Trên hình 7 ,

bi u di n hình chi u ph i c nh c a AB song song CD F' đ c g i là đi m t

c a đ ng th ng AB (ho c CD)

D i đây là đi m t c a m t vài đ ng th ng hay g p :

- Hình 8: Bi u di n đi m t F c a đ ng th ng AB song song v i m t tranh T

- Hình 9: Bi u di n đi m t T c a đ ng th ng AD song song v i m t

- Hình 11: Bi u di n đi m t K c a đ ng th ng FG song song m t v t

th V và nghiêng v i m t tranh m t góc đúng b ng 450

Khi đó M'K'b ng kho ng cách chính k và K' g i là đi m c ly

- Hình 12: Bi u di n đi m t U∞ c a đ ng th ng chi u ph i c nh LN

- Hình 13: Bi u di n đi m t U∞ c a đ ng th ng chi u b ng OP

§6 V TRÍ T NG I C A HAI NG TH NG:

Vì trong hình chi u ph i c nh ,s liên thu c c a đi m và đ ng th ng

c ng đ c bi u di n nh trong hình chi u vuông góc ,nên trong hình chi u

Ngoài ra chúng ta quan tâm đ n ba lo i m t ph ng đ c bi t sau đây :

-M t ph ng chi u ph i c nh :là m t ph ng đi qua tâm chi u M Trên hình 15 ,bi u di n m t ph ng chi u ph i c nh ABC.Ta th y A'B'C'th ng hàng

ta ch c n xác đ nh hai đi m t c a hai đ ng th ng b t kì thu c m t ph ng

P Trên hình 18 , m t ph ng P cho b i hai đ ng th ng c t nhau t i p,q v'

đ c g i là đ ng t c a m t ph ng P

D nhiên m i m t song song P đ u có chung đ ng t là v' Ta s kí

hi u các đ ng t c a các m t ph ng P,Q,R … là vP , vQ , vR

b ng đúng AB N i A'A'o và B'B'o là hình chi u chính c a hai đ ng th ng song song AAo BBo nên ph i c t nhau t i G' thu c tt ( đây Ao=A'ovà

Gi i: Tr c h t ta nh n xét , n u trên m t tranh T ta l y m t đo n th ng

đ ng AoBB o c t đđ t i O sao cho kho ng gi a ba đi m AoBo B O b ng kho ng cách gi a 3 đi m t ng ng ABA1(A1= B1 )

N i AoA' , BoB' ,OA'1 (A'1= B'1) s đ ng quy t i m t đi m G' (theo Tharlès ) G' là đi m t c a hai đ ng th ng song song AAo và BBo nên thu c đ ng chân tr i t-t

B CÁC PH NG PHÁP V HÌNH CHI U PH I C NH THEO HAI HÌNH TH NG GÓC Ã CHO

Hình chi u ph i c nh đ c v bên c nh các hình chi u vuông góc trong các b n v thi t k , đ t ng thêm tính tr c quan c a b n v ng

th i hình chi u ph i c nh còn đ c dùng đ ki m tra , s a đ i hình dáng , kích th c , t l , t xích c a công trình Vì v y v ph i c nh là m t khâu quan tr ng trong quá trình thi t k

Công vi c đ u tiên đ th c hi n b n v là ch n đi m nhìn i m nhìn th ng ph i ch n ng v i v trí c a m t ng i s quan sát trong th c t

Tr ng h p có th đ c ch n tu ý thì ph i ch n sao cho th a mãn đ y đ tính tr c quan , hình v cân đ i , ít bi n d ng Theo kinh nghi m , đi m nhìn

đ nh đ cao , ng i ta v ph i c nh nh ng đi m khác nhau

V hình chi u ph i c nh c a m t đi m :

Xét m t đi m A có đ th c trong hình chi u vuông góc là A1 , A2

i m M có đ th c là M1 , M2 và m t tranh T chi u b ng Ta s v hình

chi u ph i c nh c a A theo đi m nhìn M và m t tranh T (hình 25a)

- v hình chi u ph i c nh c a A1, ta xem A1 là giao đi m c a hai

đ ng th ng n m trong m t v t th Trên hình v , đó là A11 và A12 Vì A11

và A12 là nh ng đ ng b ng nên các t F', G' c a chúng thu c đ ng chân

tr i Các giao đi m c a đáy tranh đđ v i nh ng đ ng th ng v qua M1 và song song v i A11, A12 l n l t là hình chi u b ng F1 ,G1 c a F, G Sau khi

có các đi m 1,2,F1,G1 trên đáy tranh đđ ,ta đ t m t tranh trùng m t ph ng

b n v Th ng ng i ta đ t đđ n m ngang (hình 25b)

Khi đó tt n m ngang và cách đđ m t kho ng đ cao c a đi m nhìn

t c là b ng đo n M2Mx Dóng th ng đ ng F1 ,G1 ta đ c các đi m t F'và G' trên đ ng chân tr i tt Hai đ ng th ng F'1và G'2 chính là hình chi u ph i

c nh c a A11 và A12 Giao đi m c a A'1c a F'1và G'2 cho ta hình chi u ph i

d ng hình chi u chính A' c a A ,ta chú ý A',A'1n m trên đ ng dóng th ng đ ng , đ ng th i A' A'1 bi u di n đ cao c a đi m A Trên đ

th c này là đo n A2Ax Vì v y qua đi m A'1 ta v đ ng th ng đ ng , trên đó

đ t đi m A' sao cho đo n A' A'1có đ l n b ng A2 Ax Mu n th ,trên đ ng

th ng đ ng v qua đi m 1,ta đ t m t đo n 1A*

ph i c nh vuông góc đđ ng A1D1 vuông góc m t tranh do đó hình chiêú ph i c nh đi qua M' là đi m chính c a tranh

Trên hình 28 trình bày cách v hình chi u ph i c nh c a m t hình

kh i có hình chi u vuông góc cho nh trên hình 28a i m M (M1,M2) và

m t tranh ch a c nh th ng đ ng đi qua đi m D

Các đ nh hình chi u b ng đ c v nh hai chùm đ ng th ng song song A1BB 1 // I1J1 // C1D1 và A1D1 // B1C1 Chi u cao D'1 đúng b ng D2Dx Các c nh D'C',A'B' và I'J' đ c v d a theo D' và I'.V i chú ý chúng có chung đi m t F'(hình 28b)

Trong tr ng h p c n v nhi u đi m có đ cao khác nhau , ng i ta

s d ng m t m t ph ng ph , th ng đ ng g i là m t t ng bên Ví d c n v hình chi u chính c a A , B bi t A'1,B'1 và đ cao t ng ng là a, b (hình 29)

G i OF là v t b ng và OZ là v t tranh c a m t ph ng ph đ t trên OZ các đo n a ,b có đ u mút A*

,B*.Quá trình xác đ nh A',B' ta th y rõ trên hình

Trên hình v 30 ,vi c này đ c th c hi n

b ng cách h th p đáy tranh

đđ m t kho ng h đ n v trí

đ*đ*.Hình 30 a,b trình bày cách v hình chi u ph i c nh

c a m t nhóm kh i có s

d ng m t t ng bên và h

m t b ng

Hình – 30b

§3 PH NG PHÁP V T TIA:

Trong ph ng pháp này ng i ta c ng s d ng hai hình vuông góc

c a hình chi u vuông góc c a hình đ c bi u di n M t tranh T th ng đ c

đ t song song ho c trùng v i m t ph ng hình chi u đ ng P2 và m t v t th V trùng v i m t ph ng hình chi u b ng P1

∗ ng d ng k t qu trên ,ta hãy v hình chi u ph i c nh c a m t nhóm kh i khi đã bi t hai hình chi u vuông góc c a nó (hình 32)

- i v i kh i vành kh n

gi a ,ta ch n càng nhi u

đi m đ v thì càng chính xác

Trong tr ng h p đ i t ng v có nhi u đ ng cong , ho c ph c

t p mà không đòi h i ph i v v i đ chính xác cao Ng i ta dùng m t l i

ph tr đ d a theo đó mà xác đ nh v trí các hình c n v

Hình – 33a

Ta hãy v hình chi u ph i c nh c a m t m t b ng cho nh hình 33a

Tr c h t ph lên m t b ng m t m ng l i hình vuông ABCD M t

c nh ta chia làm sáu ph n b ng nhau Sau đó v hình chi u ph i c nh c a

l i đây ta l u ý ,nh ng đ ng th ng vuông góc đáy tranh s có hình chi u đi qua đi m chính M' ng chéo AC nghiêng 45o v i đáy tranh nên

đi m t là đi m c ly L'(M'L' = k : kho ng cách chính) hình 33b

Hình – 33b Sau khi v hình chi u ph i c nh c a l i ABCD ,theo v trí c a các hình đ i v i các m t l i ,ta v hình chi u ph i c nh c a m t b ng Dùng

c nh trong) ghi l y đi m gi a I' và hai

đ u C',D' r i đ a sang thang t l sao cho

ba đi m đã ghi trùng vào ba đ ng chu n

MN,MO,ML ánh d u các đi m chia

lên mép gi y r i đem v c nh C'D' K t

đi m chính M' ,nh ng đ ng th ng qua

Hình – 34a

các đi m chia,ta đ c hàng d c c a l i

- L i đ t mép gi y vào m t c nh bên và ti n hành hoàn toàn t ng t Trên hình v ,s d ng c nh bên A'D' đây chú ý ba đi m A', J', D' không cách đ u nhau ,vì v y ph i đ t l ch đi đ ba đi m trùng vào ba đ ng chu n Ngoài ra n u s d ng đ ng chéo c a hình vuông (đ ng có đi m t là

đi m c ly) ta c ng có th b t m t l n đ t gi y

- B t đ u t m t đi m gi a nào đó c a m t c nh ta ch nhìn các m t

l i k c n đ tìm đi m ti p theo và n i l i s có m t ellip là hình ph i c nh

c a đ ng tròn Thông th ng ta nên chia đ ng tròn kho ng 24 đi m đ u nhau thì hình v càng thêm chính xác

+ Th c T đ c g n thêm m t mi ng cáctông ho c g có b cong

l i Trên hình là cung tròn MIN có tâm O

+ M t th c ph có b cong lõm sao cho cùng đ cong t ng ng

v i th c T đ có th tr t quanh

Khi v ,ta ti n hành đ t c đ nh th c ph ,sao cho tâm đ ng cong

c a th c trùng v i đi m t R i tr t th c T quanh th c ph này ,s v ch

đ c các đ ng th ng có h ng đ ng quy t i O trùng v i đi m t

Hình – 36

3 Tr ng h p s đ ng th ng đi qua đi m t không nhi u ,ta có th

v chúng tr c ti p b ng cách d a vào tính đ ng d ng c a tam giác (hình 37)

Gi s ta c n v m t đ ng th ng đi qua A' và t v đi m t F' F'

đ c xem là giao đi m c a đ ng chân tr i tt và m t đ ng th ng đi qua

đi m E' nào đó

Ta ti n hành v b ng cách l y m t đi m b t k G thu c đ ng tt ,và

có đ c tam giác E'GA' Ti p theo l y m t đi m thu c đ ng th ng cho

tr c và v m t tam giác G đ ng d ng v i tam giác E'GA' ,sao cho các

c p c nh t ng ng song song nhau và có đ nh G thu c tt N i A' v i đi m

v a v đ c ,s có đ ng th ng đi qua A' và t v F' c n d ng ( đây ta

đã ng d ng đ nh lý Desargues v hai tam giác th u x )

Hình – 37

§6 M T S NG D NG :

1 Chia đ u m t đo n th ng : đ u m t đ ng th ng có hình

chi u ph i c nh A'F' đã cho s n m t đo n A'1' Yêu c u chia trên đ ng đó

nh ng đo n n i ti p b ng chi u dài c a đo n A1 đó (hình 38)

Hình – 38

Ta k t A' ,m t đ ng th ng n m ngang r i l y trên đ ng chân tr i

tt m t đi m t G b t k và k G1' đ n c t đ ng n m ngang t i 1 Chia

Trên hình 38 ,c ng đã ng d ng k t qu trên đ bi u di n m t hàng

c t đi n tho i cách đ u nhau đây đ t ng thêm chính xác ta ch n thêm

m t đi m t G D nhiên ng d ng cách chia này ta c ng có th chia đo n

th ng theo nh ng t l cho tr c (xem ng d ng 2)

2 D ng tr c ti p hình chi u ph i c nh c a c ng tò vò :

Hình 40 ,trình bày cách chia m t dãy c ng tò vò ,d a theo kích

th c đã cho trong s đ đây có s d ng chia đ ng tròn thành tám ph n

b ng nhau và cách chia đo n th ng theo t l cho tr c

- Ghi l i các đi m chia trên c nh đ ng và c nh n m ngang c a m t

t ng trong s đ lên hai mép b ng gi y a và b r i chuy n sang hình ph i

c nh

- B ng gi y b đ t tu ý sao cho đ u d i trùng vào A và các đi m chia chuy n lên c nh AB b ng nh ng đ ng song song

- B ng gi y a đ t theo h ng n m ngang , đi m xu t phát trùng vào A ,

đi m k t thúc đ c n i v i C và kéo dài t i các đi m chia mép b ng gi y

s t o trên AC các đi m chia t ng ng ( đây ,m t t ng đ c chia làm

b n nh p ,kích th c đ c phóng đôi)

- T các đi m chia thu đ c trên c nh đ ng ,k nh ng đ ng v đi m

t F' và t các đi m chia thu đ c trên c nh n m ,gióng các đ ng th ng s

đây ,sau khi đã d ng đ c chu vi c a sàn ta l u ý đ n các đ ng th ng nghiêng v i m t tranh m t góc 450 (t c đi m t là đi m c ly L' ,ta có M'L'=k) , đ tìm các đi m chéo c a các đ ng d c và ngang

4 V hình chi u ph i c nh c a c u thang :

Gi s ta đã có hình chi u ph i c nh m t nghiêng c a c u thang ABCD là A'B'C'D' ; F'G' là đ ng t c a m t ph ng ABCD G' là đi m t

c a đ ng b ng và F' là đi m t đ ng d c nh t c a m t ph ng o n c u thang AB có b n b c Ta v các b c c a c u thang (hình 42)

nh ng đ ng cong v a v đ c

Trên hình 43 trình bày cách v hình chi u ph i c nh c a m t l hoa ,tr c th ng đ ng và kinh tuy n có d ng nh hình v

c nh c a nh ng vòng tròn v tuy n nh ph ng pháp tám đi m th hi n ngay trên hình v ,hay ph ng pháp l i đã bi t đây trình bày cách v đ i v i đáy trên N i ti p vòng tròn đáy trong m t hình vuông có c nh vuông góc

v i m t tranh Hình chi u ph i c nh c a các c nh vuông góc m t tranh có

đi m t là đi m chính M' và đi qua các đi m E'G' đây A'E'=A'G'=AE M t đ ng chéo c a hình vuông có hình chi u ph i c nh đi qua đi m c ly L' và c t M'E', M'G' t i các đi m I' ,III' là hình chi u ph i c nh c a hai đ nh

c a hình vuông T đó suy ra hình chi u ph i c nh c a hai đ nh còn l i II' ,IV' B n ti p đi m c a ellip trên các đ ng chéo c a hình vuông mà cách xác đ nh th y rõ trên hình v ng bao c a các ellip v đ c cho ta hình

ph i c nh c a l hoa

6 D ng hình chi u ph i c nh thi u đi u ki n cho tr c :

Có nhi u tr ng h p ,đi u ki n cho tr c ch là nh ng nét phác s

b , đ c xem nh h ng ch đ o c a m t hình trên b n nháp ,mà các y u

t nh đ ng chân tr i ,đi m chính ,kho ng cách v.v… h u nh ch a xác

đ nh ho c ch a đ Khi y ph i d a vào đi u ki n đã cho đ tìm các y u t ,r i m i ti p t c d ng

Cho ph i c nh c a hình ch nh t A'B'C'D' nh ng ch a rõ v trí c a

đ ng chân tr i ,yêu c u tìm đ ng đó đ ti p t c d ng ph i c nh c a m t hình h p có đáy là A'B'C'D' và chi u cao A'E' (hình 44)

Hình – 44

- Tìm đ ng chân tr i : Nh đã bi t ,hai c nh đ i c a hình ch nh t

n u kéo dài s g p nhau đ ng chân tr i ,nh ng đây cách y khó th c

hi n vì đi u ki n h n ch c a kh gi y Áp d ng phép chia kho ng trên

đ ng ph i c nh ( ng d ng 1),ta ti n hành nh sau :

K hai đ ng chéo c a hình ch nh t đ tìm đi m gi a I' c a A'C'

K qua A' m t đ ng n m ngang ,trên đó l y t A' hai đo n b ng nhau tu ý

r i n i các đi m chia v i I' và C' Hai đ ng n i ph i g p nhau đ ng chân tr i

Hình 45a ch rõ cách d ng c a m t c n phòng có kích th c 6×6×3, 4m ,t m nhìn 1,7m M t tranh là m t t ng tr c

Hình 45b ,là hình chi u ph i c nh hoàn thành c n phòng nói trên đây không b trí trang thi t b

Trên hình 46 ,cho ta ph n s l c ph i c nh n i th t c a m t c n phòng khác V i m t tranh gi nguyên nh ng đi m nhìn thay đ i (c góc nhìn và t m nhìn)

Hình – 45b Trên hình 47 ,cho ta ph i c nh n i th t c a m t c n phòng h c v i

đi m nhìn c đ nh và m t tranh thay đ i

Hình – 46

Hình – 47

Hình – 48

§7 M T S BÀI V THAM KH O:

1 Ph i c nh trên m t tranh đ ng v i 2 đi m t

2 Ph i c nh trên m t tranh đ ng ng d ng đi m t ra ngoài ph m vi b n v

3 Ph i c nh n i th t góc phòng có b c thang

4 Ph i c nh c u thang xo n c tr

Ch ng hai : BÓNG TRÊN CÁC HÌNH CHI U

§1 KHÁI NI M CHUNG V V BÓNG :

1 M T VÀI NH NGH A :

Khi m t v t th tr c m t ngu n sáng (m t tr i ,ng n đèn) thì trên

m t có ngu n sáng ,mi n t i Mi n t i g i là bóng b n thân

Φ

ng ranh gi i gi a mi n đ c chi u sáng và mi n bóng b n thân g i là

đ ng bao quanh bóng b n thân (hình 55)

N u hai v t th Φ và Ψcùng đ t tr c ngu n sáng S ,trong đó m t Φ

g n ngu n sáng h n ,nên ch n sáng và gây nên m t mi n t i ,g i là bóng

đ c a Ψ ng ranh gi i gi a mi n sáng và mi n bóng đ trên m t Ψ Φg i

là đ ng bao quanh bóng đ c a m t Φ lên m t Ψ

Hình – 55 Khi v bóng ng i ta th ng xem ngu n sáng là m t đi m Nh ng tia sáng xu t phát t m t ngu n sáng ti p xúc v i m t m t Φnào đó ,s l p

thành m t m t nón tia sáng ng ti p xúc c a m t nón tia sáng y v i

m t Φ chính là đ ng bao quanh bóng b n thân trên m t Φ

Trên hình 55 , đ ng bao quanh bóng đ ab c a Φlên Ψchính là giao

tuy n c a m t Ψv i m t nón tia sáng ti p xúc m t Φ.Nói khác đi ab chính là hình chi u c a đ ng a t tâm S lên m t Ψ.Th c ch t c a vi c v bóng là

xác đ nh đ ng bao quanh bóng b n thân và đ ng bao quanh bóng đ

Hình – 56

C t c hai m t ph ng đã cho b ng m t ph ng P đi qua ngu n sáng g i

là m t ph ng tia sáng Ta g i , l n l t là giao tuy n gi a P v iΦvàΨ

D dàng th y r ng các ti p đi m A,B c a các tia sáng v i đ ng s thu c đ ng bao quanh bóng b n thân c a m t Ψ

Các giao đi m Ab,Bb c a đ ng và các tia sáng đi qua A,B s là các đi m thu c đ ng bao quanh bóng đ ab c a m t Φlên m t Ψ

L n l t dùng nhi u m t ph ng tia sáng P ,ta s thu đ c nhi u đi m thu c các đ ng bao quanh bóng b n thân c a hai m t Φ và Ψ, thu đ c

nhi u đi m thu c đ ng bóng đ c a m t Φlên m t Ψ

t ng đi m thu c đ ng mb v m t Φ.Trên hình ,th c hi n cách dóng m t

đi m Ab b ng cách g n vào m t đ ng ib nào đó c a trên bóng c a m t lên P đ tìm A

Φ

ng bao quanh bóng b n thân Ψc ng đ c v t ng t

ng bao quanh bóng đ mb trên m t Ψđ c v b ng cách dùng các tia ng c ,dóng các đi m thu c cung IbKbJb v m t Ψ.Trên hình 57,

đi m K đ c tìm b ng cách g n vào m t đ ng 14 c a Ψ Các đi m khác