Hình học hoạ hình ( Pham Duy Thuỳ ) - Chương 6 docx

Thay một trong hai mặt phẳng hình chiếu Phương pháp chung : Thay một mặt phẳng hình chiếu là trong hệ hai mặt phẳng hình chiếu đã cho, ta giữi nguyên một mặt phẳng và thay mặt phẳng ki

Chương VI

CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI HÌNH CHIẾU

Việc tìm lời giải sẽ khó khăng nếu “ Hình ” của bài toán cho ở vị trí bất kỳ Khi

ấy người ta dùng các phép biến đổi hình chiếu, để đưa “ Hình ” đã cho về vị trí đặc biệt, khi đó việc tìm lời giải được dễ dàng hơn Sau đó người ta thường biến đổi ngược lại để đưa kết quả từ hình đã biến đổi về hình ban đâu Dưới đây xin giới thiệu phương pháp thay mặt phẳng hình chiếu, và phép dời hình song song với các mặt phẳng hình chiếu

1.1 Thay một trong hai mặt phẳng hình chiếu

Phương pháp chung : Thay một mặt phẳng hình chiếu là trong hệ hai mặt

phẳng hình chiếu đã cho, ta giữi nguyên một mặt phẳng và thay mặt phẳng kia bằng một mặt phẳng khác, vẫn vuông góc với mặt phẳng hình chiêu còn lại, hướng chiếu lúc này thay đổi và vuông góc với mặt phẳng hình chiếu mới Vẫn quay mặt phẳng hình chiếu quanh trục x vể trùng với mặt phẳng hình chiếu kia trong hệ

1.1.1 Thay mặt phẳng hình chiếu bằng

Giả sử ta có hệ thống mặt phẳng hình chiếu P1, P2 ( H 6.1 a ) Thay mặt phẳng hình chiếu bằng P2, tức là lấy một mặt phẳng P2’ vuông góc với P1, làm mặt phẳng hình chiếu bằng mới và lấy hướng chiếu vuông góc với P2’ làm hướng chiếu mới Sau đó xoay P2’ về trùng với mặt phẳng P1

A x

A' x

A' x

A x

A 2

A’2

X ’

x

A 1

x'

P' 2

A' 2

A

A 2

A 1

P 1

P 2

x

Ta nhận thấy :

+ Hình chiếu đứng A1 của A không thay đổi

+ Độ xa của điểm A trong hệ thống cũ bằng độ xa của điểm A trong hệ thống mới, tức là: A2Ax = A2’Ax’ = AA1

Dựa trên những nhận xét đó, ta thấy việc thay hình chiếu bằng được tiến hành trực tiếp như sau:

Giả sử trong hệ thống cũ điểm A có các hình chiếu A1 và A2

+ Vẽ trục hình chiếu x’, dĩ nhiên mỗi vị trí xác định của P2’ sẽ có một vị trí của trục x’ tương ứng Việc ta chọn nó như thế nào là tùy theo yêu cầu của từng bài toán

cụ thể

+ Vẽ hình chiếu bằng mới A2’ của A, ở đây A1A2’ phải vuông góc với trục x’

và A2’Ax’ = A2Ax ( H 6.1 b )

Ví dụ : Sử dụng phương

pháp thay mặt phẳng hình chiếu

bằng, đưa đoạn thẳng AB về

đường bằng trong hệ thống mặt

phẳng hình chiếu mới ( H 6.2 )

Giải: Như ta đã biết điều

kiện ắt có và đủ để AB là đường

bằng thì A1B1 phải song song với

trục x Do đó để giải bài toán

này, ta chọn trục x’ song song

với A1B1 Hình chiếu bằng mới

của AB là A2’B2’ ( A2’Ax’ =

A2Ax, B2’Bx’ = B2Bx ) Vì trong

hệ thống mặt phẳng mới AB là

đường bằng nên ta có độ dài của đoạn thẳng AB chính bằng A2’B2’

1.1.2 Thay mặt phẳng hình chiếu đứng

Tương tự như trên, giả sử ta có hệ thống mặt phẳng hình chiếu P1, P2 Thay mặt phẳng hình chiếu đứng P1, tức là lấy một mặt phẳng P1’ vuông góc với P2, làm

A 2

A 1

B 1

B 2

x’

Hình 6.2

Ax

Bx’

Ax’

B 2 ’

A 2 ’

mặt phẳng hình chiếu đứng mới và lấy hướng chiếu vuông góc với P1’ làm hướng chiếu mới Sau đó xoay P1’ về trùng với mặt phẳng P2 ( H 6.3a )

Ta nhận thấy :

+ Hình chiếu bằng A2 của A không thay đổi

+ Độ cao của điểm A trong hệ thống cũ bằng độ cao của điểm A trong hệ thống mới, tức là: A1Ax = A1’Ax’ = AA2

Dựa trên những nhận xét đó, ta thấy việc thay hình chiếu đứng được tiến hành trực tiếp như sau:

Giả sử trong hệ thống cũ điểm A có các hình chiếu A1 và A2

+ Vẽ trục hình chiếu x’, dĩ nhiên mỗi vị trí xác định của P1’ sẽ có một vị trí của trục x’ tương ứng Việc ta chọn nó như thế

nào là tùy theo yêu cầu của từng bài toán

cụ thể

+ Vẽ hình chiếu đứng mới A1’ của A,

ở đây A1’A2 phải vuông góc với trục x’ và

A1’Ax’ = A1Ax ( H 6.3 b )

Ví dụ : Thay mặt phẳng hình chiếu

đứng để đường bằng AB trở thành đường

thẳng chiếu đứng trong hệ thống mặt

phẳng hình chiếu mới ( H 6.4 )

Giải : Để đường thẳng AB trở thành

x'

A' 1

P 2

P 1

A 1

A 2

x'

A 1

x

A 2

A x

A

Hình 6.3

A 2

B 2

x

Hình 6.4

Bx Ax

Ax’ ≡ Bx’

A 1’ ≡ B 1’

x’

A'' x

x''

x

x'

Hình 6.5

A 2

A 1

B 1

B 2

x

Hình 6.6

Bx Ax

Ax’’ ≡ Bx’’

x’

Bx’

Ax’

x’’

x’ vuông góc với A2B2, khi đó hình chiếu đứng mới của AB trùng thành một điểm

A1’ ≡ B1’, cách x’ một đoạn bằng độ cao của đường bằng trong hệ thống cũ

1.2 Thay liên tiếp hai mặt phẳng hình chiếu

Để giải những bài toán phức tạp, ta không thể chỉ thay một mặt phẳng hình chiếu mà phải thay cả hệ thống mặt phẳng hình chiếu cũ Chẳng hạn ta không thể chỉ bằng một lần thay mặt phẳng hình chiếu để đua một đường thẳng bất kỳ thành đường thẳng chiếu Để thay liên tiếp hai mặt phẳng hình chiếu ta làm như sau Từ

hệ hai mặt phẳng hình chiếu ban đầu người ta giữ lại một mặt phẳng, thay một mặt phẳng bằng một mặt phẳng mới và ta có hệ mới Từ hệ mới này ta giữ lại mặt phẳng vừa thay, thay mặt phẳng hình chiếu cũ bằng mặt phẳng hình chiếu mới và ta được một hệ hoàn toàn mới so với hệ ban đầu

Trên ( H 6.5 ) Giữ mặt phẳng hình chiếu bằng P2, thay mặt phẳng hình chiếu đứng P1 = mằt phẳng mới P1’ P1’ vuông góc với P2 ta được hệ mới ( P1’, P2 ) có hình chiếu của điểm A ( A1’, A2 ) Từ hệ mới này ta thay tiếp mặt phẳng hình chiếu bằng P2 = mặt phẳng mới P2’ P2’ vuông góc với P1’ ta được hệ mới hoàn toàn là ( P1’, P2’ ) có hình chiếu của điểm A ( A1’, A2’ )

Ví dụ : Sử dụng phép thay mặt phẳng hình chiếu, đưa đường thẳng AB về

đường thẳng chiếu bằng, trong hệ thống mặt phẳng hình chiếu mới ( H 6.6 )

Giải : Ta nhận thấy AB là đường thẳng thường vì vậy để đưa AB về đường

thẳng chiếu bằng, ta phải sử dụng phương pháp thay liên tiếp hai mặt phẳng hình chiếu Đầu tiên phải thay mặt phẳng hình chiếu đứng để AB là đường bằng, đạt x’

A 1

B 1

A 2

B 2

x

A 2’

B 2’

A 1 ’

B 1 ’

Hình 6.7

song song với A2B2 ( Phép thay mặt phẳng hình chiếu đứng ) Sau đó thay mặt phẳng hình chiéu bằng để AB là đường thẳng chiếu bằng, đặt x’’ vuông góc với

A2’B2’ ( H 6 6 )

II PHÉP DỜI HÌNH

Định nghĩa : Phép dời hình là phép dời hình đến một vị trí mới sao cho khoảng

cách của hai điểm bất kỳ A và B bằng khoảng cách của hai điểm tương ứng A’, B’

Tính chất : + Phép dời hình là phép biến đổi một đối một

+ Phép dời hình bảo tồn tính liên thuộc của điểm và đường thẳng

2.1 Phép dời hình song song mặt phẳng hình chiếu bằng

Định nghĩa : Phép dời hình song song mặt phẳng hình chiếu bằng là phép dời

hình mà các đường thẳng nối các điểm tương ứng đều song song với mặt phẳng hình chiếu bằng

Tính chất : + Hình chiếu đứng

của các đoạn thẳng nối các cặp điểm

tương ứng AA’, BB’ đều song song

với trục x ( A1A’1 // B1B’1 // x )

Thực vậy, trong phép dời hình

song song với mặt phẳng hình chiếu

bằng những đoạn thẳng AA’, BB’

đều là những đường bằng

+ Hình chiếu bằng của hai hình tương ứng trong phép dời hình là bằng nhau ( A2B2 = A2’B2’ ) ( H 6.7 )

Do đó phép dời hình song song với mặt phẳng hình chiếu bằng P2 được thực hiện trên đồ thức như sau:

+ Vẽ hình chiếu bằng Φ2’ = Φ2 ( Vị trí Φ2’ được xác định theo yêu cầu của từng trường hợp )

+ Vẽ Φ1’ Mỗi điểm A1’ của Φ1’ được xác định bằng giao điểm của hai đường gióng Đường gióng qua A1 và song song với trục x và đường thẳng qua A2’ và vuông góc với trục x ( H 6.7 )

Ví dụ : Xác định độ dài của đoạn thẳng AB ( H 6.8 )

Giải : Để xác định độ dài của

đoạn thẳng AB ta dời AB đến A’B’

song song với mặt phẳng hình chiếu

đứng P1 ( A’B’ là đường mặt ) vậy ta

dời A2B2 đến A2’B2’ song song với

trục x ( A2B2 = A2’B2’ ) Theo A1B1

và A2’B2’, xác định A1’B1’ Độ dài

của A1’B1’ chính là độ dài của AB

2.2 Phép dời hình song song

mặt phẳng hình chiếu đứng

Định nghĩa : Phép dời hình song song mặt phẳng hình chiếu đứng là phép dời

hình mà các đường thẳng nối các điểm tương ứng đều song song với mặt phẳng hình chiếu đứng ( H 6.9 )

Tính chất : + Hình chiếu bằng của

các đoạn thẳng nối các cặp điểm tương

ứng AA’, BB’ đều song song với trục x

( A2A’2 // B2B’2 // x )

Thực vậy, trong phép dời hình song

song với mặt phẳng hình chiếu đứng

những đoạn thẳng AA’, BB’ đều là

những đường mặt

+ Hình chiếu đứng của hai hình tương ứng trong phép dời hình là

bằng nhau ( A1B1 = A1’B1’ ) ( H 6.9 )

Do đó phép dời hình song song với mặt phẳng hình chiếu đứng P1 được thực hiện trên đồ thức như sau:

+ Vẽ hình chiếu đứng Φ1’ = Φ1 ( Vị trí Φ1’ được xác định theo yêu cầu của từng trường hợp )

+ Vẽ Φ2’ Mỗi điểm A2’ của Φ2’ được xác định bằng giao điểm của hai đường gióng Đường gióng qua A2 và song song với trục x và đường thẳng qua A1’ và vuông góc với trục x ( H 6.9 )

A 1

B 1

A 2

B 2

x

A 1 ’

B 1 ’

Hình 6.8

A 1

B 1

A 2

B 2

x

A 2’

B 2’

A 1 ’

B 1 ’

Hình 6.9

Ví dụ : Xác định hình dạng thật của tam giác ABC ( H 6.10 )

Giải :Từ hình vẽ ta thấy A1B1C1 nằm trên một đường thẳng ⇒ Mặt phẳng ABC là mặt phẳng chiếu đứng Vì vậy phép dời hình song song với măt phẳng hình chiếu đứng có thể đưa mặt phẳng ABC về mặt mặt phẳng bằng Khi đó hình dạng thật của ABC chính là A2’B2’C2’ Muốn vậy dời A1B1C1 về song song với trục x ( H 6 10 )

2.3 Thực hiện liên tiếp các phép dời hình song song với mặt phẳng hình chiếu

Cũng như trong phép thay mặt phẳng hình chiếu, với những bài toán phức tạp

ta không thể chỉ dùng một phép dời hình song song với mặt phẳng hình chiếu mà phải dùng liên tiếp hai hoặc nhiều hơn nữa các phép dời ấy

Ví dụ : Xác định hình dạng thật của tam giác ABC ( H 6.11 )

Giải : Để xác định được dạng thật của tam giác ABC ta đưa chúng về mặt phẳng bằng Vì vây để làm được việc này trước tiên ta phải đưa ABC về mặt phẳng chiếu đứng, muốn vậy ta phải dời A2B2C2 đến A2’B2’C2’ sao cho ở vị trí này

A 1

B 1

A 2

x

A 2’

B 2’

Hình 6.10

C 1

C 2

B 2

C 2’

C 1 ’

tương tự như ví dụ trên ta đưa ABC về mặt phẳng bằng Khi đó hình dạng thật của ABC chính là A2”B2”C2” ( H 6.11 ) Lưu ý tương tự như trên ta có thể giải bài toán bằng việc đưa mặt phẳng ABC về mặt phẳng mặt

CÂU HỎI VÀ BÀI TẬP

1 Định nghĩa phép thay mặt phẳng hình chiếu bằnmặt phẳng, phép thay mặt

phẳng hình chiếu đứng, và nêu các tính chất ?

2 Định nghĩa phép dời hình song song măt phẳng hình chiếu bằng, phép dời

hình song song mặt phẳng hình chiếu đứng, và nêu các tính chất ?

3 Xácđịnh góc nghiêng của mặt phẳng P ( ABC ) đối với mặt phẳng hình chiếu

bằng ( H 6.12 )

4 Xác định trọng tâm của tam giác ABC ( H 6.13 )

A 1

C 1’

A 2’

x

E 1

E 2

B 2

B 1’

A 1’≡ E 1’

A 2

A 2 ”

C 1

C 2

B 2

C 2”

B 2 ”

A 1”

C 2’

B 2’

Hình 6.11

A 1

B 1

A 2

x

C 1

C 2

B 2

Hình 6.12

B 1

x

C 2

B 2

A 2

A 1

C 1

Hình 6.13