Tài liệu TOÁN LỚP 12

Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số liên tục trên đoạn và hai đường thẳng , ta có công thức sau:... Trong công thức trên:.[r]

Tích Phân - Ứng dụng tích phân - Tính diện tích hình phẳng

- Tính thể tích

Tích Phân - Ứng dụng tích phân - Tính diện tích hình phẳng - Tính thể tích

Bài toán tính diện tích hình phẳng và thể tích vật thể tròn xoay trong chương trình Giải Tích 12 là một trong những dạng toán cơ bản, thực tế và quen thuộc Tuy nhiên các em học sinh thường chưa có sự phân tích và tư duy thực tế dẫn tới mắc sai lầm và đưa ra những lời giải sai, chưa chính xác Việc hệ thống hoá các phương pháp giải, chỉ ra một số sai lầm khi giải toán sẽ cho phép nhìn nhận các bài toán theo một hệ thống nhất quán từ đó giúp các em học sinh có thể thấy được thuật toán chung cũng như tránh được những sai lầm khi giải các bài toán có liên quan Khắc phục được khó khăn và sửa chữa được các sai lầm đó là rất cần thiết, giúp cho quá trình giải toán được dễ dàng, thuận lợi và đạt hiệu quả cao Đồng thời phát triển tư duy, năng lực sáng tạo của học sinh khi học tập môn toán cũng như các môn học khác Xuất phát từ thực tế trên, tôi mạnh dạn đề xuất một ý kiến nhỏ

“Phân loại các bài tập ứng dụng tích phân – Chương III- Giải tích 12 nâng cao”

I TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG:

1 Diện tích hình phẳng giới hạn bởi một đường cong:

Nếu hàm số liên tục trên đoạn thì diện tích S của hình phẳng giới hạn

bởi đồ thị hàm số , trục hoành và hai đường thẳng là

(1)

Để khử dấu giá trị tuyệt đối của biểu thức f(x) ta thường thực hiện:

Cách 1: Sử dụng “định lí về dấu của nhị thức bật nhất”và “định lí về dấu của tam thức bậc hai” để xét dấu các biểu thức f (x)

( Chú ý: Nếu f (x) không đổi dấu trên [a ; b] thì ta có: )

Cách 2: Dựa vào đồ thị của hàm số y =f(x) trên đoạn để suy ra dấu của f (x)

trên đoạn đó

Nếu trên đoạn [a; b] đồ thị hàm số y = f (x) nằm phía dưới trục hoành thì

Nếu trên đoạn [a; b] đồ thị hàm số y = f(x) nằm phía trên trục hoành

thì

Nếu phương trình f(x) = 0 có k nghiệm phân biệt x1 , x2 , …, xk thuộc (a ; b) thì trên mỗi khoảng (a ; x1 ) , (x1 ; x2) , …, (xk; b) biểu thức f(x) có dấu không đổi

Khi đó để tính tích phân ta có thể tính như sau :

Ví dụ 1: Tìm diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số , đường

thẳng x=3, trục tung và trục hoành

thức (1), diện tích S của hình đang xét là:

Ví dụ 2: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số , trục hoành, đường thẳng x =-3 và đường thẳng x= 4

Giải: Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 3 điểm x = -2, x = 0, x= 2 Cách 1: Lập bảng xét dấu ta có:

Khi đó diện tích S của hình đang xét là:

Cách 2: Dựa vào đồ thị hàm số:

Vẽ đồ thị hàm số:

Dựa vào đồ thị ta có:

Cách 3: Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 3 điểm x = -2, x = 0, x= 2 Khi đó diện tích cần tìm:

Ví dụ 3: Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = xlnx , trục hoành , trục tung và đường thẳng x = e Hình 16

Hình 16 Giải

Trục tung có phương trình x = 0

Diện tích S cần tìm là

Đặt

Nhận xét: Trong ví dụ 1, 2 là hai bài toán vận dụng ở dạng đơn giản, nhớ công thức nhưng ở bài toán ví dụ 3 nhiều học sinh rất dễ nhầm lẫn ở việc xác định cận lấy tích phân Do đó cách vẽ đồ thị của hàm số để xác định hình cần tính là rất quan trọng

Ví dụ 4: Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số , trục hoành, trục tung và đường thẳng x = 3

2 Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong và hai đường thẳng

Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số liên tục trên đoạn và hai đường thẳng , ta có công thức sau:

Trong công thức trên:

Trường hợp hình 1 ta có công thức khai triển của S:

nếu Trường hợp hình 2 ta có công thức khai triển của S:

nếu Trường hợp hình 3 ta có công thức khai triển của S:

( trong đó c là hoành độ giao điểm của hai đồ thị hai hàm số ) Một cách thức chung người ta thường thực hiện các bước sau:

Bước1: Nếu hai đường đề bài cho thiếu một hoặc cả hai

thì giải phương trình để tìm

Bước 2: Áp dụng công thức (2)

Bước 3: Rút gọn biểu thức , sau đó xét dấu của hiệu này

Bước 4: Dùng phép phân đoạn tích phân và áp dụng định nghĩa giá trị tuyệt đối để khử dấu giá trị tuyệt đối

Ví dụ 1: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàn

Giải: Trước hết ta tìm hoành độ giao điểm các đồ thị của hai hàm số đã cho Ta có

Khi đó ta có :

Ví dụ 2: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi

Giải:

Phương trình hoành độ giao điểm

Bảng xét dấu

x 0 1 3

– 0 +

Vậy (đvdt)

Ví dụ 3 : Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi

Giải

Ta có, phương trình hoành độ giao điểm:

Vậy diện tích cần tìm (đvdt)

Ví dụ 4: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bới các đồ thị các hàm

số:

Giải: Trước hết ta vẽ các đồ thị hai hàm số trên một hệ trục:

Từ hình vẽ ta suy ra hoành độ giao điểm A, B là nghiệm của phương

trình:

Khi đó

:

(đvdt)

Ví dụ 5: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường:

Giải: Ta có: Do đó đồ thị là nửa phía trên của Elip Từ đó ta có đồ thị hai hàm số trên hệ trục:

Hoành độ của hai giao điểm A, B là nghiệm phương

trình:

Khi đó, diện tích cần tính:

Chú ý: ở các bài tập này học sinh có thể gặp lúng túng khi xác định các cận lấy tích phân Lưu ý học sinh khi các bài toán có thể vẽ được đồ thị, không quá rắc rối và khó khăn (có thể vẽ phác họa) thì việc vẽ hình sẽ giúp nhận diện được hình cần tính một cách dễ dàng

Trong trường hợp việc vẽ hình khó thực hiện, chưa xác định được dấu của biểu thức thì nên sử dụng công thức tính bằng cách khử dấu giá trị tuyệt đối

Ví dụ: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường

Giải:

Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị hai hàm số:

Khi đó diện tích cần tìm:

Khi 0<x<1 thì ta có nên:

Vậy diện tích cần tìm: S = (đvdt)

II Thể tích vật thể tròn xoay:

Giả sử (H ) là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x) , trục hoành và hai đường thẳng x = a , x = b , trong đó ( a < b)

Quay hình phẳng (H) quanh trục hoành ta được một vật thể tròn xoay

Thể tích của vật thể này được tính theo công thức :

Ví dụ 1: Tính thể tích của vật thể tròn xoay tạo bởi khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường y = x2 – 2x, y = 0, x = 0, x = 1 quanh trục hoành Ox

Giải: Theo công thức (2), ta có:

(đvtt)

Ví dụ 2: Tính thể tích hình cầu do hình tròn quay quanh Ox Giải:

Hoành độ giao điểm của (C) và Ox là

Phương trình

Theo công thức tính thể tích, ta có

Vậy thể tích cần tim (đvtt)

Ví dụ 3: Tính thể tích khối tròn xoay khi quay quanh trục Ox hình phẳng giới hạn bởi các đường

Giải:

Ta có phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hai hàm số

( do x>0) Khi đó thể tích vật thể cầm tìm:

Đặt

Ta có :

Vậy thể tích cần tìm (đvtt)

Ví dụ 4: Tính thể tích của vật thể tròn xoay tạo bởi khi quay hình phẳng giới hạn bởi bốn đường sau quanh trục hoành Ox

, y = 0 , x = 1 , x = e

Giải: Theo công thức tính thể tích, ta có:

(đvtt)

Đặt

Do đó

Đặt

Vậy Thể tich cần tìm = π(e – 2) (đvtt)

Chú ý: Trong trường hợp hình phẳng được giới hạn hai đường

sau:

Thể tích khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường

Ví dụ 1: Tính thể tích hình khối do hình phẳng giới hạn bởi các

Giải:

Phương trình hoành độ giao điểm của các đồ thị hai hàm số:

Thể tích cần tìm:

Vậy V= ( đvtt)

Ví dụ 2: Tính thể tích hình khối do hình phẳng giới hạn bởi các đường

, quay quanh Ox

Giải:

Vậy thể tích cần tìm (đvtt)