Trên đường thẳng Ax vuông góc với mp(P) lấy điểm S bất kỳ, dựng mp(Q) qua A vuông góc với SC. Từ trung điểm E của CD, kẻ đường thẳng vuông góc với SC cắt SC tại K. Xác định tâm và bán k[r]
Trang 1§: MẶT CẦU
A LÝ THUYẾT:
1 Định nghĩa
• Mặt cầu: S O R( ; )={M OM=R} • Khối cầu: V O R( ; )={M OM≤R}
2 Vị trí tương đối giữa mặt cầu và mặt phẳng
Cho mặt cầu S(O; R) và mặt phẳng (P) Gọi d = d(O; (P))
• Nếu d < R thì (P) cắt (S) theo giao tuyến là đường trịn nằm trên (P), cĩ tâm H và bán kính
r = R −d
• Nếu d = R thì (P) tiếp xúc với (S) tại tiếp điểm H ((P) đgl tiếp diện của (S))
• Nếu d > R thì (P) và (S) khơng cĩ điểm chung
Khi d = 0 thì (P) đi qua tâm O và đgl mặt phẳng kính, đường trịn giao tuyến cĩ bán kính bằng
R đgl đường trịn lớn
3 Vị trí tương đối giữa mặt cầu và đường thẳng
Cho mặt cầu S(O; R) và đường thẳng ∆ Gọi d = d(O; ∆)
• Nếu d < R thì ∆ cắt (S) tại hai điểm phân biệt
• Nếu d = R thì ∆ tiếp xúc với (S) (∆ đgl tiếp tuyến của (S))
• Nếu d > R thì ∆ và (S) khơng cĩ điểm chung
4 Mặt cầu ngoại tiếp – nội tiếp
Mặt cầu ngoại tiếp Mặt cầu nội tiếp Hình đa diện Tất cả các đỉnh của hình đa diện
đều nằm trên mặt cầu đều tiếp xúc với mặt cầu Tất cả các mặt của hình đa diện
Hình trụ Hai đường trịn đáy của hình trụ
nằm trên mặt cầu và mọi đường sinh của hình trụ Mặt cầu tiếp xúc với các mặt đáy
Hình nĩn Mặt cầu đi qua đỉnh và đường
trịn đáy của hình nĩn mọi đường sinh của hình nĩn Mặt cầu tiếp xúc với mặt đáy và
5 Xác định tâm mặt cầu ngoại tiếp khối đa diện
• Cách 1: Nếu (n – 2) đỉnh của đa diện nhìn hai đỉnh cịn lại dưới một gĩc vuơng thì tâm của mặt
cầu là trung điểm của đoạn thẳng nối hai đỉnh đĩ
• Cách 2: Để xác định tâm của mặt cầu ngoại tiếp hình chĩp
– Xác định trục ∆ của đáy (∆ là đường thẳng vuơng gĩc với đáy tại tâm
đường trịn ngoại tiếp đa giác đáy)
– Xác định mặt phẳng trung trực (P) của một cạnh bên
– Giao điểm của (P) và ∆ là tâm của mặt cầu ngoại tiếp hình chĩp
6 Diện tích – Thể tích
4
S= πR S xq=2πRh
2
tp xq đá y
S =S + S
xq
S =πRl
tp xq đá y
S =S +S
3
3
V = πR h
B CÁC DẠNG BÀI TẬP
Dạng 1: Chứng minh các điểm cùng thuộc mặt cầu
+ Dựa định nghĩa: M ∈S O R( ; )⇔OM =R
Trang 2+ A, B cố định, ·AMB=90o⇒ M∈( )S có đường kính AB
Bài 1: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC vuông cân tại B, AB=a Biết SA=2a và
SA⊥ ABC Gọi H và K lần lượt là hình chiếu của A trên SB, SC
Chứng minh:
a) A,B,C,S cùng nằm trên một mặt cầu Xác định tâm và tính bán kính mặt cầu đó
b) Các điểm A,B,C,H,K cùng nằm trên một mặt cầu Tính diện tích mặt cầu đó
Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông, SA⊥(ABCD) và AB=SA=a Gọi (P) là mặt phẳng qua A và vuông góc với SC, (P) lần lượt cắt SB,SC,SD tại H, I và K CM các điểm A,B,C,D,H,I,K cùng nằm trên một mặt cầu Tính diện tích của mặt cầu đó
Bài 3: CMR tất cả các đỉnh của hình hộp chữ nhật cùng nằm trên một mặt cầu
Dạng 2: Mặt cầu ngoại tiếp hình chóp, lăng trụ
+ Điều kiện hình chóp có mặt cầu ngoại tiếp; cách xác định tâm
+ Điều kiện lăng trụ có mặt cầu ngoại tiếp
Bài 1: Xác định tâm và tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp tứ diện SABC có SA, SB,SC vuông góc với nhau từng đôi một và SA=a,SB=b,SC=c
Bài 2: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, SB=2a Xác định tâm và tính thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp
Bài 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , SAB là tam giác đều nằm trên
mp vuông góc với mp(ABCD) Xác định tâm và tính bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp
Bài 4: Cho tứ diện ABCD Biết AB=CD=a, AC=BD=b, AD=BC=c
a) Tính thể tích mặt cầu ngoại tiếp tứ diện
b) CM có một mặt cầu tiếp xúc với 4 mặt của tứ diện
( Tứ diện gần đều có trọng tâm trùng tâm mc ngoại tiếp, mc nội tiếp )
Dạng 3: Bài toán tương giao của đường thẳng, mặt phẳng với mặt cầu; tiếp tuyến, tiếp diện
Bài 1:
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông Cho S là điểm di động trên đường thẳng ∆ vuông góc với mp(ABCD) tại A Gọi H, I và K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên SB,SC,SD Biết HI cắt BC tại M và KI cắt DC tại N CMR:
a) A,B,C,D,H,I,K cùng nằm trên mc(X)
b) Khi S di động trên ∆ thì đường MN luôn tiếp xúc với mc(X)
Bài 2: Cho mc(S) tiếp xúc với mp( )α tại I Cho điểm M∈mc S( ), tiếp tuyến tại M với (S) cắt ( )
mp α tại A, B Gọi J là điểm đối xứng của I qua AB
a) CM: ·AMB=·AIB
b) CM: MJ luôn qua một điểm cố định
C BÀI TẬP LUYỆN TẬP Bài 1: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a và ·ASB=α Xác định tâm và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp
Bài 2: Cho tứ diện SABC có ABC là tam giác đều cạnh a Xác định tâm và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện biết SA=2a, SA⊥(ABC)
Bài 3: Cho hình chóp tam giác đều SABC, AB=a và mặt bên hợp với mặt đáy góc α Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp
Bài 4: Cho tứ diện ABCD có ABC và DBC là các tam giác đều có cạnh bằng a và nằm trên hai mặt phẳng vuông góc với nhau Xác định tâm và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện
Bài 5: Cho tứ diện SABC có SBC và ABC là các tam giác đều cạnh a Xác định tâm và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện biết mp(SBC) hợp với mp(ABC) góc 600
Trang 3Bài 6: Ba cạnh của tam giác ABC có độ dài lần lượt là 13, 14, 15 Mặt cầu S(O;R) có R=5 tiếp xúc với 3 cạnh tại các tiếp điểm nằm trên 3 cạnh đó Tính khoảng cách từ O đến mp(ABC)
Bài 7: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình thang cân ( AB//CD) ngoại tiếp đường tròn (O;R), SO⊥(ABCD SO), =2R Chứng minh có mặt cầu tiếp xúc với 5 mặt của hình chóp và tính thể tích khối cầu đó
Bài 8: ( TK 03 tr 21):
Cho tứ diện ABCD, AB=AC=a, BC=b Hai mp (BCD) và (ABC) vuông góc với nhau và
90
BDC= Xác định tâm và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD theo a,b
Bài 9: (KD-03)
Cho hai mp (P) và (Q) vuông góc với nhau có giao tuyến là đường thẳng ∆ Trên ∆ lấy hai điểm
A và B với AB=a Trong mp(P) lấy điểm C, trong mp(Q) lấy điểm D sao cho sao cho AC, BD cùng vuông góc với ∆, AC=BD=AB Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD và tính khoảng cách từ A đến mp(BCD) theo a
Bài 10 : (CĐ KTCN II 06)
Trong mp(P) cho hình vuông ABCD Trên đường thẳng Ax vuông góc với mp(P) lấy điểm S bất kỳ, dựng mp(Q) qua A vuông góc với SC Mp(Q) cắt SB, SC, SD lần lượt tại B’,C’,D’
CMR: các điểm A,B,C,D, B’,C’,D’ cùng nằm trên một mặt cầu cố định
Bài 11: Trong mp(P) cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a Trên đường thẳng Ax vuông góc với (P) ta lấy điểm S tùy ý và dựng mp(Q) qua A vuông góc với SC Mp(Q) cắt SB, SC,SD lần lượt tại B’,C,D’
a) CM: các điểm A,B,C,D, B’,C’,D’ cùng nằm trên một mặt cầu cố định
b) Xác định vị trí của S trên Ax sao cho V C ABCD'. đạt giá trị lớn nhất
Bài 12: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình thang vuông ở A và D ; AB=AD=a, CD=2a,
SD⊥ ABCD Từ trung điểm E của CD, kẻ đường thẳng vuông góc với SC cắt SC tại K CM: 6
điểm S,A,D,E,K,B thuộc một mặt cầu Xác định tâm và bán kính mặt cầu đó biết SD=h
Bài 13: Cho tam giác ABC vuông tại B, điểm S di động trên đường thẳng ∆ vuông góc với mp(ABC) tại A Vẽ AH ⊥SB AK, ⊥SC Gọi I là giao điểm của HK và BC Cho BA=BC=a
a) CM: A,B,C,H,K cùng thuộc một mặt cầu Tính dt mặt cầu
b) CM khi S di động trên ∆ thì AI tiếp xúc với mặt cầu cố định
Bài 14:
Cho mặt cầu S(O;R) có AB là một đường kính cố định Vẽ các tiếp tuyến At,Bk với S(O;R) và
At⊥Bk MN là tiếp tuyến thay đổi của mặt cầu với M∈Ax N, ∈By , T là tiếp điểm Đặt AM=x, BN=y
a) Tìm giá trị bé nhất của đoạn MN CMR thể tích khối tứ diện ABNM không đổi
b) Chứng minh rằng T di động trên một đường tròn
Bài 15: Cho hai đường thẳng Ax và By vuông góc với nhau có AB=2a là đoạn thảng vuông góc chung Gọi M và N lần lượt là hai điểm di động trên Ax và By sao cho AM=x, BN=y
a) CMR: trung điểm I của đoạn MN nằm trên một mặt phẳng cố định
b) Cho MN=x+y Tìm hệ thức liên hệ giữa x,y và a CMR thể tích khối tứ diện ABMN không đổi và MN tiếp xúc vơi một mặt cầu cố định
Bài 16: Cho đường tròn (O) đường kính AB nằm trên mặt phẳng (P) M là một điểm di động trên (O) và đoạn SA vuông góc với (P) Gọi H là hình chiếu của A trên SM
a) CMR khi m di động trên (O) thì H di dộng trên một đường tròn cố định
b) Tiếp tuyến của (O) tại M và A cắt nhau tại K CMR: KH tiếp xúc với mặt cầu đường kính
AB
Bài 17: Cho tứ diện đều ABCD CMR:
a) Tồn tại mặt cầu có bán kính r’ tiếp xúc với 6 cạnh của tứ diện;
b) 2
r =r R, trong đó R,r lần lượt là bán kính mặt cầu ngoại tiếp, nội tiếp của hình chóp
Bài 18: Cho hình chóp tam giác đều SABC, cạnh đáy bằng a, mặt bên hợp với đáy góc
α < <α
a) Tính bán kính R,r của các mặt cầu ngoại tiếp, nội tiếp hình chóp
Trang 4b) CM: 1
3
r
R≤ , khi nào xảy ra đẳng thức?
Bài 19: Cho hình chóp tứ giác đều S ABCD có cạnh bên và cạnh đáy đều bằng a Có một hình cầu đia qua A và tiếp xúc với SB, SD tại các trung điểm của chúng
a) Xác định tâm O và bán kính mặt cầu
b) Tìm thể tích của hình chóp S.OBCD
Bài 20: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC, cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng b (b>a) Một hình cầu
tiếp xúc với mp(ABC) tại A và tiếp xúc với cạnh SB Tìm bán kính mặt cầu này
Bài 21: Cho OA=OB=OC=a, OA⊥OB OA, ⊥OC BOC,· = 120o Tìm bán kính hình cầu nội tiếp tứ diện OABC
( Bài 19-21 thuộc PHK)