Đề ( có ĐA) luyện thi ĐHCĐ số 21

Vậy trong hai điểm O, A, có một điểm nằm trong và một điểm nằm ngoài Cm, thành thử đoạn OA cắt Cm.. Theo định lí ba đỷờng vuông góc : FN⊥MC.. Gọi I là chân đỷờng vuông góc kẻ từ F xuống

_

Câu I.

1) Cho hàm số y = 4 + mx - 3x

4x + m

2

Vớinhỷọng giá trị nào của m thì tiếp tuyến của đồ thị tại điểm có hoành độ x = 0 vuông góc với tiệm cận ?

2) Tìm tất cả các giá trị h sao cho phỷơng trình

X4

+ hx3 + x2 + hx + 1 = 0

có không ít hơn hai nghiệm âm khác nhau

Câu II.

1) Xác định a để phỷơng trình sau có nghiệm

sin6x + cos6 x= a | sin2x|

2) Tìm những điểm cực đại của hàm số

y = 3 sinx + cosx + 2x + 3

2 .

Câu III.

1) Giải bất phỷơng trình

(x - 3) x - 42 Ê x2

- 9

2) Tìm giá trị lớn nhất của hàm số

y = x- 2 + 4- x

Sỷó dụng kết quả đã tìm đỷợc để giải phỷơng trình

x- 2 + 4- x = x2

- 6x + 11

Câu I

1)

2

y '

=

2 2

m

ư

Muốn tiếp tuyến tại x = 0 vuông góc với tiệm cận đứng thì y' (0) = 0 ⇒ m2ư16 0= ⇒ m = ± 4

Tiệm cận xiên có hệ số góc 3

k 4

= ư Muốn tiếp tuyến tại x = 0 vuông góc với tiệm cận xiên thì

k y' (0) = ư1 ⇒

2 2

m

ư

= ư ⇒ 3 m 2 216 1

ư

= ,

phương trình này vô nghiệm

Vậy tiếp tuyến tại x = 0 chỉ vuông góc với tiệm cận đứng khi m = ± 4

2) Xét phương trình :

4 3 2

x +hx +x +hx 1 0+ =

Đặt t x= +1(*) (| t | 2)≥

x

thì sẽ có phương trình

2

t + ư = ht 1 0

Phương trình này luôn có hai nghiệm t ,t1 2thỏa mãn t1< <0 t2

Để có không ít hơn hai nghiệm âm khác nhau thì cần và đủ là t1< ư2 (do (*)) Điều đó dẫn đến f(ư2) < 0 ⇔ h

> 3

2

(Đặt f(t) t= 2+ ưht 1)

Câu II

1) sin x cos x (sin x)6 + 6 = 2 3+(cos x)2 2=

4

Đặt t = sin2x, | t | = | sin2x| ≤ 1, ta được :

2

3t +4a | t | 4ư =0 (| t | 1)≤

⇒ a 4 3t2

4 | t |

ư

= với | t | ≤ 1 (1)

Hàm số (1) là hàm chẵn Đồ thị đối xứng qua trục Oy

y (1) = 1

4, vậy đường thẳng y = a chỉ cắt đồ thị hàm số

trong [ư1 ; 1] khi a ≥ 1

4 Vậy khi a ≥ 1

4 thì phương trình đã cho có nghiệm

2) y'= 3 cosx sin x 1ư +

Để hàm số có cực đại, cực tiểu thì phương trình y' = 0

phải có nghiệm ⇒ 3 cosx sin x 1 0ư + =

⇔ 1sin xư 3cosx=1

= + + π = + π

y"= ư 3sin x cosxư

1

π

Vậy tại x1 2k

2

π

y(x )

2

(y"(x )= 3 0> ⇒ tại x2 hàm số đạt cực tiểu)

Câu III

1) Đáp số 13

x

6

≤ ư , x ≥ 3

2) y= x 2ư + 4 xư

(Chú ý rằng y ≥ 0, 2 ≤ x ≤ 4)

⇔ y2= ư + ư +x 2 4 x 2 (x 2)(4 x) 2 2 (x 2)(4 x)ư ư = + ư ư ,

Vì (x ư 2) + (4 ư x) = 2 nên (x ư 2)(4 ư x) sẽ đạt giá trị lớn nhất khi x ư 2 = 4 ư x ⇒ x = 3 ;

2

ư + ư

Vậy 0 ≤ y ≤ 2 ; tức là giá trị lớn nhất của hàm số là 2 và đạt tại x = 3

Phương trình x 2ư + 4 x xư = 2ư6x 11+ tương đương với x 2ư + 4 x (x 3)ư = ư 2+2

Vế trái luôn ≤ 2, còn vế phải luôn ≥ 2 nên để phương trình có nghiệm thì phải có

2





thỏa mãn điều kiện 2 ≤ x ≤ 4

Vậy x = 3 là nghiệm duy nhất của phương trình

Câu Iva.

1) x2+ y2- 2m (x - a) = 0 Û (x - m)2+ y2= m(m - 2a)

Để có phỷơng trình đ ờng tròn Cm(tâm (m ; 0)), phải có

m(m - 2a)>0 Û m<0

m>2a 2) Ta tính phỷơng tích của các điểm O, A đối với đỷờng tròn Cm:

PO/Cm = F (0, 0) = 2ma,

PA/C m = F(2a, 0) = 2a(2a - m) ,

ịPO/CmìPA/Cm = 4a2m(2a - m)<0 (vì m < 0, m > 2a).

Vậy trong hai điểm O, A, có một điểm nằm trong và một điểm nằm ngoài Cm, thành thử đoạn OA cắt Cm

3) Lấy hai đỷờng tròn Cm1 và Cm2 bất kì (m1ạ m2)

Trục đẳng phỷơng của hai đỷờng tròn này có phỷơng trình

Fm1(x, y) = Fm2 (x, y)

ị x2+ y2- 2m1(x - a) = x2+ y2- 2m2(x - a)

ị 0 = 2 (m1- m2) (x - a) Û x = a

Đỷờng thẳng x = a không phụ thuộc m : nó là trục đẳng phỷơng cho tất cả

các đỷờng tròn Cm

Câu IVb 1) Ta có EF ^ P Theo định lí ba đỷờng vuông góc : FN⊥MC

FC là đoạn thẳng cố định

Gọi I là chân đỷờng vuông góc kẻ từ F xuống AC, ta có EI ^ AC (theo định lí

ba đỷờng vuông góc)

Khi điểm M vẽ nên đoạn AB, tập hợp điểm N là cung BNFI của đỷờng

tròn đỷờng kính FC cố định

2) MO là trung tuyến trong tam giác ECM:

MO2= 2(EM + MC ) - EC

4

;

EM2= FM2+ EF2= (a - x)2+ 3a2= x2- 2ax + 4a2; MC2= 4a2+ x2;

EC2= EB2+ BC2= 4a2+ 4a2= 8a2

Từđó,tacóMO2=x2-ax+2a2

ị MO = x - ax + 2a2 2

3) Gọi K là trung điểm của FC Ta có : OK//EF,

OK = EF

2 =

a 3

2 ;

OM2 = OK2 + MK2 (vì OK ⊥ (P) ị OK⊥KM) MK nhỏ nhất khi MK⊥FB

Lúc đó MK//BC và x = a

2;

OMmin= 3a

4 + a =

a 7 2

2

Lại có MK đạt giá trị lớn nhất khi M trùng với A tức là x = 2a

OMmax= 2a

Câu IVa Trong mặt phẳng với hệ tọa độtrỷồc chuẩn Oxy, cho họ đỷờng cong phụ thuộc tham số m, có phỷơng trình : F(x, y) = x2 + y2 - 2m(x - a) = 0,

trong đó a là một số dỷơng cho trỷỳỏc (cố định)

1) Với giá trị nào của m, phỷơng trình trên là phỷơng trình của đỷờng tròn ? Ta kí hiệu (Cm) là đỷờng tròn ứng với giá trị của m

2)Chỷỏng tỏ rằng đoạn thẳng nối điểm O (gốc tọa độ) với điểm A(2a, 0) luôn luôn cắt đỷờng tròn (Cm)

3)Chỷỏng minh rằng tồn tại một đỷờng thẳng là trục đẳng phỷơng cho tất cả các đỷờng tròn (Cm)

Câu IVb Trong mặt phẳng (P), cho hình vuông ABCD cạnh 2a Trong mặt phẳng đi qua AB và vuông góc với (P),dỷồng tam giác đều ABE Lấy M là một điểm thay đổi trên đoạn AB, đặt BM = x Tỷõ E kẻ đỷờng vuông góc EN với MC (N thuộc đỷờng thẳng MC) Gọi F, O theo thứ tỷồ là trung điểm của AB, CE

1) Tìm tập hợp điểm N khi M di chuyển trên đoạn AB

2) Tính độ dài đoạn MO theo a và x

3) Xác định giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của MO