1 Với giá trị nào của m thì đồ thị hàm số 1 đi qua gốc tọa độ?. Khảo sát sỷồ biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số ỷỏng với giá trị vừa tìm đỷợc của m.. 2Chỷỏng minh rằng với mọi giá trị m
Trang 1Câu I Cho hàm số
y =- m(x + 1) + x + 2
m x( + −1) 1 , (1)
trong đó tham số m chỉ nhận giá trị khác 0
1) Với giá trị nào của m thì đồ thị hàm số (1) đi qua gốc tọa độ ? Khảo sát sỷồ biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số ỷỏng với giá trị vừa tìm đỷợc của m
2)Chỷỏng minh rằng với mọi giá trị m ạ 0, đồ thị hàm số (1) luôn tiếp xúc với một đỷờng thẳng cố định Xác định
phỷơng trình đỷờng thẳng đó
Câu II 1) Giải phỷơng trình lỷỳồng giác
3sinx + 2cosx = 2 + 3 tgx
2) Cho hình thang ABCD, có các đáy AB = a, CD = b, các cạnh bên AD = c, BC = d, các đỷờng chéo AC = p, BD = q Chỷỏng minh rằng
p2+q2 =c2 +d2+ 2ab
Câu III 1) Tìm tất cả các giá trị của m sao cho giá trị nhỏ nhất của hàm số
y = x2+(m+1)2 +2x m+ −1
không lớn hơn 3
2)Chỷỏng minh rằng nếu a a1 2 ≥2(b1+b2) , thì ít nhất một trong hai phỷơng trình
x a x b
x a x b
2
1 1
2
2 2
0 0
,
có nghiệm
Trang 2Câu I 1) Đồ thị hàm số (1) đi qua gốc tọa độ ị0 = - m(0 + 1) + 0 + 2
m(0 + 1) - 1 ị m = 2
Khi đó hàm số có dạng y =-2(x + 1) + x + 2
2(x + 1) - 1 =
- x 2x + 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số này dành cho bạn đọc
2) Giả sử đỷờng thẳng y = a(x + 1) + b tiếp xúc với đồ thị hàm số (1) với mọi giá trị mạ 0 Khi đó hoành độ điểm tiếp xúc là nghiệm của hệ phỷơng trình:
−
( )
[ ( )] ( )
1
với mọi mạ 0
Từ (2) ta có a < 0 và (x + 1) =
a m
±
; thế vào (1) đỷợc -1 +
-1
a +
a m
a - 1
= a
1 -1
a
±
±
±
±
m -1 + - 1
a + 1
-1
a = a
-1
a 1
-1
a mb
-1 a
m -1 + -1
a + b
-1
a + 1
-1
a 1 + a
-1
a = 0 (3) đúng với mọi m ạ 0 nên
− + − + − =
± −
+ −
=
⇔ =
a b= −1
Vậy đỷờng thẳng y = -(x + 1) - 1 = -x - 2 luôn tiếp xúc với đồ thị hàm số (1) với mọi giá trị của m ạ 0
Câu II 1) Xét phỷơng trình: 3sinx + 2cosx = 2 + 3tgx (1)
Điều kiện của nghiệm : xạ (2k +1)
2
π (kẻ Z) (2)
Với điều kiện (2)
Trang 3
(1)Û 3sinxcosx + 2cosx = 2cosx + 3sinx Û 3sinx(cosx - 1) + 2cosx(cosx - 1) = 0 Û (cosx - 1)(3sinx + 2cosx) = 0 a) cosx = 1Û x = 2kπ(kẻ Z).
b) 3sinx + 2cosx = 0Û 3
3 + 2 sinx +
2
3 + 2 cosx = 0
2 2 2 2 Û sin(x +α) = 0, trong đóαlà góc xác đỵnh
bởi điều kiện: cosα= 3
32 + 22
, sinα= 2
3 + 22 2
Từ đó x +α= kπÛ x = -α+ kπ(kẻ Z).
2) Ta có p2= d2+ a2- 2adcosABC^ = d2+ a2+ 2adcosBCD^ (1)
q2= c2+ a2- 2accosDAB^ = c2+ a2+ 2accosADC^ (2)
Từ (1) và (2) ta có:
p2 + q2 = c2 + d2 + 2a2 + 2a(ccosADC^ + dcosBCD^ ) = c2 + d2 + 2a2 + 2a(b - a) = = c2 + d2 + 2ab
Câu III 1) Đặt x0 = 1 - m Khi đó hàm đã cho có dạng:
x2 + (m + 1)2
+ 2(x + m - 1) = y1 nếu x³ x0
x2 + (m + 1)2
- 2(x + m - 1) = y2 nếu x < x0
Parabol y1 có hoành độ đỉnh x1 = -b
2a = -1.
Parabol y2 có hoành độ đỉnh x2 = -b
2a = 1.
Để giá trị bé nhất của hàm số y = x2
+ (m + 1)2
+ 2|x + m - 1| không lớn hơn 3 thì m thỏa mãn một trong cáctrỷỳõng hợp sau:
x
1 0
1 3 1
(− ≤)
≤
y x x
2 0 0
3 1
( )≤
≤ −
m
2
4 2 3
− ≤ −
2
m m
+ ≤
− ≤ −
Trang 4Û − ≤ ≤
≥
2
m
m m
2 1 2 2
≤
≥
(loại)
x
1 0
0
3 1
( )≤
≥
y x
m m
2 0
2
1 3 1
( )≤
≥
− ≤
− ≥
hoặc m
m
m m
2 3
1 2 0
+ ≤
− ≥
≤
≤
hoặc m
2 1
≤
≤
m
1 0 3
( )≤
− < − <
hoặc
y x
m
m m
m
2 0
2 3
1 2
2
( )≤
− < − <
≤
< <
⇔ < ≤ (2)
Từ (1) và (2) ta có đáp số : -1Ê m Ê 2
2 . 2) Xét tổng các biệt thức của hai phỷơng trình:
∆1+∆2 = (a - 4b ) + (a - 4b )12
2
2 =
=a12 + a22 - 4(b + b )1 2 ≥ a12 + a22 - 2a a1 2= (a1 - a2)2 ³ 0
(vì a1a2 ³ 2(b1 + b2))
ị hoặc∆1 ³ 0 hoặc∆2 ³ 0 hoặc cả∆1,∆2 ³ 0
ị hoặc một trong hai phỷơng trình hoặc cả hai phỷơng trình có nghiệm
Trang 5
Số cách chọn bất kì là 350 50.49.48
31
Số cách để trong nhóm 3 người có cặp sinh đôi (chỉ có thể có 1 cặp sinh đôi và 1 người nữa bất kì) ; để lập được một nhóm như thế ta chia thành 2 "giai đoạn"
Đưa một cặp vào nhóm : có 4 cách ;
Đưa thêm một người nữa : có 48 cách
Suy ra có 4 48 = 192 cách để trong nhóm có cặp sinh đôi Vậy số cách không có cặp sinh đôi là
19600 ư 192 = 19408 cách
Câu Va
suy ra khoảng cách từ F (3, 0) đến đường thẳng (d) là :
Từ đó suy ra đường tròn tâm F (3, 0) tiếp xúc với đường thẳng (d) có bán kính R = 5, có phương trình :
(x 3)ư +y =25 hay x2+y2ư6x 16 0ư =
2) Parabol có tiêu điểm F (3, 0) và có đỉnh tại O (0,0) có phương trình chính tắc là : y2=2px với
p
3
2 = , suy ra p = 6 Vậy ta có phương trình của parabol (P) là : y2=12x
Từ phương trình đường thẳng (d) ta có :
3x = 4y ư 16 (1) Thay (1) vào phương trình của parabol (P) :
2
y =4.3x 4(4y 16)= ư ⇔ y2ư16y 64 0+ = ⇔(y 8)ư 2= 0
Phương trình này có nghiệm duy nhất, chứng tỏ ràng đường thẳng (d) tiếp xúc với parabol (P)
Ta có tung độ của tiếp điểm là yo=8, thay giá trị này vào phương trình của parabol (P) ta có
o 16
x
3
3
Câu IVb
1) Do SD ⊥ (ABCD) nên các tam giác SDC và SDA vuông ở D
Vì AB ⊥ DA nên theo định lí ba đường vuông góc ta có : AB ⊥ SA
Vậy ∆ SAB vuông ở A
Bạn đọc có thể nhờ các kết quả đó và dùng giả thiết,
chứng tỏ được rằng : ∆ SBC vuông ở B (SA a 2= , SB a 3= , SC a 5= )
2) Gọi O là trung điểm của SC Do SDC 90n= o và SBC 90n= o
nên DO = BO = OS = OC Vậy O là tâm mặt cầu qua
4 điểm S, C, D, B Bán kính của mặt cầu này bằng :
BC a 5
3) Vì CD//AB nên CD//(SAB) ⇒ MN// CD Vậy thiết diện MNCD là hình thang Hơn nữa, do CD ⊥ (SDA) nên CD ⊥ (SDA) nên CD ⊥ MD Vậy MNCD là hình thang vuông
Diện tích thiết diện MNCD là :
2
Trang 7Câu IVa.
Mộttrỷỳõng tiểu học có 50 học sinh đạt danh hiệu cháu ngoan Bác Hồ, trong đó có 4 cặp anh em sinh đôi Cần chọn một nhóm 3 học sinh trong số 50 học sinh trên đi dự Đại hội cháu ngoan Bác Hồ, sao cho trong nhóm không có cặp anh em sinh đôi nào Hỏi có bao nhiêu cách chọn ?
Câu Va
Trong mặt phẳng với hệ tọa độtrỷồc chuẩn, cho điểm F(3, 0) và đỷờng thẳng (d) có phỷơng trình
3x - 4y + 16 = 0
1) Tính khoảng cách từ F đến (d), từ đó suy ra phỷơng trình đỷờng tròn tâm F và tiếp xúc với (d)
2) Viết phỷơng trình parabol (P) có tiêu điểm F và đỉnh là gốc tọa độ O Chỷỏng minh rằng parabol tiếp xúc với (d) Tìm tọa độ của tiếp điểm
Câu IVb
Cho hình thang ABCD vuông ở A và D, AB = AD = a, DC = 2a Trên đỷờng thẳng vuông góc với mặt phẳng (ABCD) tại D, lấy điểm S sao cho SD = a
1) Các mặt bên của hình chóp S.ABCD là các tam giác gì?
2) Xác định tâm và bán kính mặt cầu đi qua các điểm S, B, C, D
3) Gọi M là trung điểm của SA Mặt phẳng (DMC) cắt hình chóp S.ABCD theo thiết diện là hình gì ? Tính diện tích thiết diện đó