Hình 12 20 câu hỏi hay ve tọa độ khong gian

Tính theå tích cuûa hình choùp S.ABC, bieát ñaùy ABC laø moät tam giaùc ñeàu caïnh a, maët beân (SAB) vuoâng goùc vôùi ñaùy, hai maët beân coøn laïi cuøng taïo vôùi ñaùy goùc α.. Goïi [r]

GI ẢI Câu 1:

Mặt phẳng (P) chứa (d) có dạng: m(x – y – 2) + n(2x – z – 6) = 0

(P) : (m 2n)x my nz 2m 6n 0

° Mặt cầu (S) có tâm I(-1; 1; -1), bán kính R = 2

° (P) cắt (S) theo một đường tròn giao tiếp (C) có bán kính r = 1

H

F

D

Trang 1

Cách 2:

° Vì các mặt bên của lăng trụ là các hình vuông

⇒ ∆ABC, ∆A/B/C/ là các tam giác đều cạnh a

° Dựng hệ trục Axyz, với Ax, Ay, Az

đôi một vuông góc, A(0; 0; 0),

1 Tìm điểm M thuộc (∆) để thể tích tứ diện MABC bằng 3

2 Tìm điểm N thuộc (∆) để thể tích tam giác ABN nhỏ nhất

a z

y

Trang 2

Cho hình chóp S.ABC đáy ABC là tam giác đều cạnh a SA = SB =

SC, khoảng cách từ S đến mặt phẳng (ABC) là h Tính h theo a để hai mặt phẳng (SAB) và (SAC) vuông góc nhau

° [AB; AC] ( 3; 6; 6)uuur uuur = − − = −3(1; 2;−2)= −3.nr , với nr =(1; 2;−2)

° Phương trình mp (ABC) qua A với pháp vectơ nr : (ABC): x + 2y – 2z – 2 =

M C

Trang 3

° ∆SOA vuông có:

° ∆SAB= ∆SAC (c.c.c) ⇒ IB=IC⇒ ∆IBC cân tại I

° (SAB) (SAC)⊥ ⇔ ∆IBC vuông cân tại I IM 1BC

° Gọi H là tâm của ∆ABC

và M là trung điểm của BC

° Dựng hệ trục tọa độ Axyz, với Ax, Ay, Az

đôi một vuông góc A(0; 0; 0),

A

z

H B

M y C

Trang 4

° Mặt phẳng (SAC) có cặp vectơ chỉ phương SA; SCuuur uuur nên có

Cho tứ diện OABC có đáy là ∆OBC vuông tại O, OB = a, OC =

a 3, (a> và đường cao OA a 30) = Gọi M là trung điểm cạnh BC Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và OM

Câu 1:

Mặt cầu (S): (x 2)− 2+(y 3)− 2+z2=13 m− có tâm

I(-2; 3; 0), bán kính R=IN= 13 m− , với m < 13

I

Trang 5

° AI ( 2; 2; 1); [AI; u] (3; 6; 6)uur = − uur r = −

° Khoảng cách h từ I đến đường thẳng (d):

° Ta có: IH = h

⇔ − − = ⇔ − − = ⇔ m= − (thỏa điều kiện) 12

° Vậy, giá trị cần tìm: m = -12

Câu 2:

Cách 1:

° Gọi N là điểm đối xứng của C qua O

° Ta có: OM // BN (tính chất đường trung bình)

OH⊥AK; OH⊥BN ⇒ OH⊥(ABN)⇒ d(O; (ABN)=OH

° Từ các tam giác vuông OAK; ONB có:

° Dựng hệ trục Oxyz, với Ox, Oy, Oz

đôi một vuông góc O(0; 0; 0),

là trung điểm của AC

° MN là đường trung bình của ∆ABC

a 3

a 3 y

C N

O

M a

x B

Trang 6

° Ta có: d(B; (OMN)) 3.a 0 0 a 3 a 15

Trong không gian Oxyz cho mặt phẳng (α) : 2x – y + z – 5 = 0 Viết phương

trình mặt phẳng (P) qua giao tuyến của (α) và mặt phẳng (xOy) và

(P) tạo với 3 mặt phẳng tọa độ một tứ diện có thể tích bằng

Phương trình mặt phẳng (xOy): z = 0

° Phương trình mặt phẳng (P) thuộc chùm xác định bởi (α) và

(xOy) có dạng:

(P ) : 2x y 3z 5 0 (m 1; n 2)(P ) : 2x y 3z 5 0 (m 1; n 4)

° Gọi E, F lần lượt là hình chiếu của G

trên AB, AC Tứ giác AEGF là hình vuông

a

3

° Dựng hệ trục tọa độ Axyz, với Ax, Ay, Az

đôi một vuông góc, A(0; 0; 0), B(a; 0; 0),

° [SA; SB] 0; ax; a2 a 0; x; a a.n1

x

y C

B

A

E

F G M

Trang 8

° Mặt phẳng (SAB) có cặp vectơ chỉ phương SA, SBuuur uur nên có pháp vectơ nr1

° Mặt phẳng (SAC) có cặp vectơ chỉ phương SA, SCuuur uuur nên có pháp vectơ nr2

° Góc phẳng nhị diện (B; SA; C) bằng 60o

2 o

y1

0 1

2 0

° Theo giả thiết: d(A; α) = d(A; ∆)

° Gọi α là góc nhọn tạo bởi SE và AF

° Áp dụng định lý hàm Côsin vào ∆SEM có:

° Vì AF// ME⇒ d(SE; AF)=d(AF; (SME))= AH

° ∆SAK vuông có: 12 12 12 12 22 32 AH a 3

° Dựng hệ trục Axyz, với Ax, Ay, Az

đôi một vuông góc, A(0; 0; 0),

F M B

E K

H A

Trang 10

° Gọi α là góc nhọn tạo bởi SE và AF.ta có:

° Vì AF// EM ⇒ AF //(SEM)⇒ d(SE; AF)=d(A; SEM)

° Vậy, d(SE; AF) a 3

L ỜI GIẢI

Trang 11

Câu 1:

(P) : 2x+2y+ −z m2−3m= 0

(S) : (x 1)− +(y 1)+ +(x 1)− = có tâm I(1; -1; 1) và bán kính R = 3 9

(P) tiếp xúc (S) ⇔ d[I, (P)] = R

2 2

° Ta có: SA ⊥(ABC)⇒ SA ⊥AC

Do đó ∆SAC vuông tại A có AM là

trung tuyến nên MA 1SC

2

=

° Ta lại có: SA (ABC)

AB BC ( ABC vuông tại B)

⊥





Do đó ∆SBC vuông tại B có BM là trung tuyến nên MB 1SC

2

=

° Suy ra: MA = MB ⇒ ∆MAB cân tại M

° Dựng MH // SA và HK // BC (H AC; K AB)∈ ∈

B K A

Trang 12

° ∆ABC vuông tại B có:

5

° Dựng hệ trục tọa vuông góc Axyz, với Ax, Ay, Az đôi một

vuông góc và

ty

t2x ; (d2) :

=

−+

012z3y4x4

03yx

Chứng minh (d1) và (d2) chéo nhau Viết phương trình mặt cầu (S) có đường kính là đoạn vuông góc chung của (d1) và (d2)

z S 2a

M

C y

a 5 H

GI ẢI

Câu 1:

Cách 1:

° Gọi H là trung điểm của BC

° Do S.ABC đều và ∆ABC đều nên

chân đường cao đỉnh S trùng với

giao điểm ba đường cao là trực tâm O

của ∆ABC và có ∆SBC cân tại S

suy ra: BC⊥SH, BC⊥AH, nên ·SHA = ϕ

° Vì S.ABC là hình chóp đều

nên chân đường cao đỉnh S trùng

với tâm O đường tròn (ABC)

° Gọi M là trung điểm của BC Ta có:

(d1) đi qua điểm A(0; 0; 4) và có vectơ chỉ phương ur1 =(2; 1; 0)

(d2) đi qua điểm B(3; 0; 0) và có vectơ chỉ phương ur2 =(3;−3; 0)

° AB (3; 0; 4)uuur= −

° AB.[u ; u ]uuur r1 r2 =36≠ ⇒0 AB, u , uuuur r1 r2 không đồng phẳng

° Vậy, (d1) và (d2) chéo nhau

° (d2) có phương trình tham số:

/ /

° Tọa độ trung điểm I của MN: I(2; 1; 2), bán kính R 1MN 2

Trong không gian Oxyz có 2 mặt phẳng (P): 3x + 12y – 3z – 5 = 0,

(Q): 3x – 4y + 9z + 7 = 0 và 2 đường thẳng:

(d1):

4

2z3

1y2

3x:)d(

;3

1z4

3y2

5x

=

−

−

=+

Viết phương trình đường thẳng (∆) song song với hai mặt phẳng (P)

và (Q), và cắt hai đường thẳng (d1) và (d2)

Câu 2:

Cho hình lập phương ABCD A'B'C'D' cạnh a M, N lần lượt là trung

điểm của AB và C'D' Tính khoảng cách từ B' đến (A'MCN)

Câu 1:

(P) có pháp vectơ nrP =(3; 12;− =3) 3(1; 4; 1)− =3n ,r/P với nr/P =(1; 4; 1)−

° (Q) có pháp vectơ nrQ =(3; −4; 9)

° (d1) có vectơ chỉ phương ur1=(2; −4; 3)

° (d2) có vectơ chỉ phương ur2 = −( 2; 3; 4)

25(x + 5) + 32(y – 3) + 26(z + 1) = 0 /

° Hai hình chóp B/A/MCN và B/.A/NC có chung

đường cao vẽ từ đỉnh B/ và / /

° Chọn hệ trục Dxyz, với Dx, Dy, Dz

đôi một vuông góc,

B M

tx

6't3y

'tx

Gọi K là hình chiếu vuông góc của điểm I(1; -1; 1) trên (d2) Tìm phương trình tham số của đường thẳng qua K vuông góc với (d1) và cắt (d1)

Câu 2:

1 Tính thể tích của hình chóp S.ABC, biết đáy ABC là một tam giác đều cạnh a, mặt bên (SAB) vuông góc với đáy, hai mặt bên còn lại cùng tạo với đáy góc α

Câu 1:

(d1) có vectơ chỉ phương ur1=(1; 1; 2)

(d2) có vectơ chỉ phương ur2 =(1; 3; 1)

° Vậy, phương trình tham số của đường thẳng (∆):

18

1112

117

° Ta có: (SAB) (ABC), (SAB) (ABC) B, SH (SAB)⊥ ∩ = ⊂ ⇒SH⊥(ABC)

° Vì (SAC) và (SBC) cùng tạo với (ABC) một góc α và ∆ABC đều, nên suy ra H là trung điểm AB

° Dựng hệ trục tọa độ Hxyz, với Hx, Hy, Hz

đôi một vuông góc, H(0; 0; 0),

a 3 2

2 2 2

Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác cân với AB =

AC = a, góc ·BAC 120= o, cạnh bên BB' = a Gọi I là trung điểm CC' Chứng minh ∆AB'I vuông tại A và tính cosin của góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (AB'I)

° Gọi H là hình chiếu của A trên (∆1)

Trang 20

° Gọi A/ là điểm đối xứng của A qua H ⇒ A/(-1; -1; -7)

° Gọi K là hình chiếu của B trên (∆1) và B/ là điểm đối xứng

của B qua K Tương tự như trên ta tìm được:

2 Mặt phẳng (β) chứa (∆2) và (β) // (∆1)

⇒ (β) có cặp vectơ chỉ phương ur1= −( 7; 2; 3), ur2 =(1, 2, 1)−

3 Gọi I là trung điểm M M1 2⇒ I(5; 2; 5)

° Ta có: MMuuuur1+MMuuuur2 = 2MIuuur

⇒ uuuur +uuuur nhỏ nhất ⇔ 2MIuuur nhỏ nhất

⇔ M là hình chiếu của I trên (α)

° Phương trình đường thẳng (∆) qua I

và vuông góc với (α) là:

° Gọi H là trung điểm BC⇒ AH⊥BC

° ∆ABH là nửa tam giác đều cạnh AB = a ⇒ AH a

M 0 M

Trang 21

(AB/ là đường chéo của hình vuông AA/B/B cạnh a)

° Vậy, ∆AB/I vuông tại A

° Ta có: /

2 /

° Gọi H là trung điểm BC ⇒ AH BC⊥

° ∆ABH là nửa tam giác đều cạnh AB = a

aAH

2

2

° Dựng hệ trục Axyz, với Ax, Ay, Az

đôi một vuông góc, A(0; 0; 0),

⇒ uuur ⊥uur Vậy, ∆AB/I vuông tại A

* Phương trình mp(ABC): z = 0 có pháp vectơ nr1=(0; 0; 1)

* mp (AB/I) có cặp vectơ chỉ phương AB , AIuuur uur/ , nên có pháp vectơ:

B

C A

H

I

y z

Trang 22