Tổng hợp câu hỏi trắc nghiệm hay chương tọa độ không gian

Khi độ dài MB lớn nhất, đường thẳng MB đi qua điểm nào trong các điểm sau : A.. Gọi A, B là giao điểm của đường thẳng với mặt cầu.. Biết khi m thay đổi thì S luôn giao với mặt phẳng 

Nhóm PI

Phương pháp tọa độ trong không gian

Năm 2017 – Tháng 5 – Ngày 10 – Thứ tư

Tổng hợp câu hỏi trắc nghiệm hay

môn Toán Nguyễn Quang Hưng – Nguyễn Thành Tiến

Phần Hình học 12

Lời mở đầu

Đây là tài liệu đầu tiên do các thành viên NHÓM PI thực hiện

Các bài tập được trích trong đây chủ yếu là những bài được lấy

trong các đề thi thử,bài giải được làm dưới cách chi tiết, nên có một

số chỗ dài hơn so với bình thường

Nếu mọi người ai có góp ý gì về bài giải hay phát hiện sai sót nào

trong tài liệu thì xin đưa lên ý kiến trong group NHÓM PI

Dẫu đã cố gắng làm rất cẩn thận nhưng khó tranh khỏi sai sót, mong

các bạn thông cảm

Cảm ơn các bạn đã đọc tài liệu

Câu 1 : Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng  P qua M2;3;5 và cắt các tia, ,

Ox Oy Oz lần lượt tại A B C, , sao cho giá trị của OA OB OC, , theo thứ tự lập thành cấp số nhân có công bội bằng 3 Khoảng cách từ O đến mặt phẳng  P là :

Câu 2 : Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz , cho M1; 2;3 , gọi

 P : pxqy  rz 1 0q p r, ,   là mặt phẳng qua M và cắt các trục toạ độ Ox Oy Oz tại , ,, ,

A B C sao cho M là trọng tâm ABC Tính T   p q r :

Câu 3 : Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz , cho M1; 2;3 , gọi

 P : pxqy  rz 1 0q p r, ,   là mặt phẳng qua M và cắt các trục toạ độ Ox Oy Oz tại , ,, ,

A B C sao cho M là trực tâm ABC Tính T   p q r :

7/ /

143

Gọi I là tâm của mặt cầu  C I0; 4;0 

Gọi I' đối xứng I qua   4 20 12

Câu 6 : Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng

Câu 7 : Trong không gian với hệ trục Oxyz cho 2 điểm A1;0; 2 , B 3;1; 1  và mặt phẳng

 P :x   y z 1 0 Gọi điểm M x y z o; o; o   P sao cho 3MA2MB đạt giá trị nhỏ nhất Tính

 là hình chiếu của I trên mặt phẳng  P

Gọi  d là đường thẳng qua I và vuông góc với mặt phẳng  P vtcp a d vtpt n P 1,1,1

Mà I3; 3; 0  cố định nên MImin M là hình chiếu của I trên mặt phẳng  P

Gọi  d là đường thẳng qua I3; 3; 0  và vuông góc với mặt phẳng  P , ta có:

Câu 10 : Trong không gian Oxyz cho hai điểm A2 ; 2 ; 0 ,t t  B 0; 0;t , t0 Cho điểm P di động

thỏa: OP AP OP BP AP BP 3 Tìm giá trị t sao cho OPmax 3

Vậy P di động trên mặt cầu  S tâm M với bán kính R 1t2

Nên OPmax  P OM  S và OM OP cùng hướng.,

3

t t

 .Tìm véctơ chỉ phương u của đường thẳng  đi qua M , vuông góc với

đường thẳng d đồng thời cách A một khoảng cách lớn nhất

A u4; 5; 2   B u1;0; 2 C u3; 4; 4  D u2; 2; 1 

Giải :

Gọi  P là mặt phẳng vuông góc với d và qua M

Gọi H là hình chiếu của A trên  P Gọi N là hình chiếu của H trên d

 

AN

   ( định lí 3 đường vuông góc ) d A ;   AN

Ta có : AN AM Dấu "" xảy ra khi NM  là đường thẳng qua M và  MH

 .Tìm véctơ chỉ phương u của đường thẳng  đi qua M , vuông góc với

đường thẳng d đồng thời cách A một khoảng cách bé nhất

A u2;1;6 B u1;0; 2 C u3; 4; 4  D u2; 2; 1 

Giải :

Gọi  P là mặt phẳng vuông góc với d và qua M

Gọi H là hình chiếu của A trên  P Gọi N là hình chiếu của H trên d

Câu 13 : Trong không gian với hệ tọa độ xyz, cho điểm A1; 2; 3  và cắt mặt phẳng

 P : 2x2y  z 9 0 Đường thẳng đi qua A và có véctơ chỉ phương u3; 4; 4  cắt  P tại B

Điểm M thay đổi trong  P sao cho M luôn nhìn đoạn AB dưới một góc 0

90 Khi độ dài MB

lớn nhất, đường thẳng MB đi qua điểm nào trong các điểm sau :

A. J3; 2;7 B. H 2; 1;3 C. K3; 0;15 D. I 1; 2;3

Giải :

Gọi H là hình chiếu A trên  P  AH  P AH MB

VìM luôn nhìn đoạn AB dưới một góc 0

90 nên AM MB Vậy MBAHMMBHM

M

 chạy tung tăng trên đường tròn đường kính MH M B

Vậy MBmax khi M H

Câu 14 : Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai đường thẳng  1

Vậy BAC là góc tù tạo bởi hai đường thẳng    d1 , d2

Do đó   chính là đường phân giác trong của BAC

Ta có: AB a1  33,AC  a2  33 AB AC ABC cân tại A

Câu 15 : Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho điểm A1; 2; 1 ,  B 0; 4; 0và mặt phẳng

 P : 2x y 2z20150 Gọi  là góc nhỏ nhất giữa mặt phẳng  Q đi qua 2 điểm A B, và tạo với  P Tính cos

Giải : Theo cách hình học :

Gọi H là hình chiếu của A trên mặt phẳng  P , d là

giao tuyến của    P , Q , I là giao điểm của AB và mặt

phẳng  P , J là hình chiếu của H trên d

 Góc của 2 mặt phẳng    P , Q là góc AJH với

Dấu "" xảy ra khi d IH

Vậy min   P ; Q   AIH là góc giữa AB và mặt phẳng  P

Câu 16 : Cho M1, 2,3 , A a, 0, 0 , B 0, , 0 ,b  C 0, 0,c trong đó a,b,c là các số dương Tìm mặt

phẳng  P đi qua A B C M sao cho , , , V OABC đạt giá trị nhỏ nhất

Theo gia thuyết ta có : OA OB OC  ABBCCA   a b c a2b2  b2c2  c2a2

Theo nhà toán học Cauchy ta có :

Câu 18 : Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho lăng trụ đứng ABC A B C ' ' ' có

P mx m y mz  với m  1;0  0;1 luôn cắt mặt phẳng Oxz theo giao tuyến

là đường thẳng m Khi m thay đổi thì các giao tuyến m có kết quả nào sau đây :

Câu 20 : Trong không gian Oxyz , cho điểm 1; 3; 0

thẳng d thay đổi, đi qua điểm M cắt mặt cầu ,  S tại hai điểm phân biệt ,A B Tính diện tích lớn

nhất S của tam giác OAB :

A S 7 B S4 C S2 7 D S2 2

Giải :

Mặt cầu  S có tâm O0; 0; 0 và bán kính R2 2

Ta có :OM   1 R M thuộc miền trong của mặt cầu  S

Gọi A, B là giao điểm của đường thẳng với mặt cầu Gọi H là chân đường cao hạ từ O của tam giác

    luôn chứa đường thẳng  cố định khi

m thay đổi Tính khoảng cách từ gốc tọa độ đến 

Cách 2 : đơn gian phù hợp trắc nghiệm

Ta chọn 2 số m thỏa yêu cầu bài toán  có đường thẳng d  viết được mp  xong bài

-

Câu 23: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho mặt cầu

    2 2 2 2

S x m  y m  z m  m  Biết khi m thay đổi thì S luôn giao với mặt phẳng  P

cố định với giao tuyến là một đường tròn  C cố định Tính bán kính của đường tròn đó

m n

Câu 26 : Trong không gian Oxyz cho ba điểm A a ;0;0 ; B 0; ;0 ;b  C 0;0;c với  a b c, , 0 Giả sử, ,

a b c thay đổi nhưng luôn thỏa 2 2 2 2

a b c k với k cho trước thì ABC có diện tích lớn nhất là :

A

2 max

2 3

k

2 max

3

k

2 max2

k

2 max

M P C lần lượt là hình chiếu của của H trên AB BC CA, ,

Ta có: IHM IHN IHP (cạnh huyền_cạnh góc

 có thể là tâm đường tròn nội tiếp hay một trong ba tâm đường tròn bàng tiếp của ABC

Mà IH ABC nên tập hợp điểm I là những đường thẳng qua tâm đường tròn nội tiếp hay một trong ba tâm đường tròn bàng tiếp của ABC và vuông góc với mặt phẳng ABCCó 4 đường thẳng như thế

Ta có A1; 0; 0 , B 0;1; 0 , C 0; 0;1PTMP ABC :x    y z 1 0 ABC  / / 

Vậy tồn tại 4 giao điểm của tập hợp điểm I nêu trên và mặt phẳng  

4 giao điểm đó chính là 4 tâm mặt cầu thỏa yêu cầu bài toán  Có 4 mặt cầu thỏa ycbt

Vậy một trong bốn đường trên có thể song song hay chứa trong  P

Gọi       P  OAB    :x y 0 với ptđt   trong mặt phẳng Oxy 

Trong mặt phẳng Oxy , ta có   :x y 0 là đường phân giác ngoài của góc O của OAB

Vậy   đi qua hai tâm bàng tiếp góc A B,

Vậy hai trong bốn đường d d d d chứa trong 1, 2, 3, 4  P  có vô số tâm mặt cầu có tâm thuộc  P và

tiếp xúc với ba đường thẳng AO OB BA, ,

Vậy  Q cắt  S1 với giao tuyến là một đường tròn  C chính là giao tuyến của    S1 , S2

Vậy một trong bốn đường trên có thể song song hay chứa trong  P

Gọi       P  OAB    :x  y 2 0 với ptđt   trong mặt phẳng Oxy

Trong mặt phẳng Oxy , gọi   d :x y 0, d' :x y 0 lần lượt là đường phân giác trong, phângiác ngoài tại đỉnh A của OAB

Ta có       / / d'   không đi qua tâm đường tròn bàng tiếp góc A B ,

Gọi I      d I 1,1

Ta có  OA :y0,  OB :x0, 4x3y120

Ta xét thấy d I OA , d I OB , d I AB ,  1 I cách đều ba cạnh ABC I có thể là tâm mặt

cầu nội tiếp hay tâm bàng tiếp góc O của OAB

Vậy một trong bốn đường d d d d chứa trong 1, 2, 3, 4  P  có vô số tâm mặt cầu có tâm thuộc  P và

tiếp xúc với ba đường thẳng AO OB BA, ,

d B P  d A P  ,có bao nhiêu mp thỏa mãn đề bài.

Giải :

Ta có 4 điểm A B M N, , , là 4 điểm đồng phẳng , MN không song song AB

Gọi I  P AB ( do AB không song song  P )

Câu 33 :Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho A2;5; 3 ,  B 2;1;1 , C 2; 0;1và mặt phẳng

  : 3x4y5z 1 0 Gọi điểm D x D;y D;z D y D0 thuộc   sao cho có vô số mặt phẳng

 P quaC D thỏa khoảng cách từ A đến ,  P gấp 3 lần khoảng cách từ B đến  P Tính

1; 2; 03

I

AI BI

P I

Nếu AB   P  P đi qua hai điểm cố định trên

Vậy để có d A P , 3d B B ,  thì  P đi qua I 4; 1;3 hay I1; 2; 0

Theo để bài, thì có vô số mặt phẳng  P qua C D thỏa,

Câu 35 : Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho A a ; 0; 0 , B 0; ; 0 ,b  C 0; 0;c , a b c, , 0

Gọi tâm mặt cầu S là I x y z I; I; I

Ta có B1; 1;1  là tọa độ giao điểm của 3 mặt phẳng

Do 3 mặt phẳng       ;  ; đôi một cắt nhau  3 mặt phẳng này chia không gian làm 8 phần

 Tâm I và điểm A cùng thuộc 1 phần

Ta nhận thấy điểm DABC

Gọi A B C là hình chiếu của , ,', ', ' A B C trên , ta có: ADA' vuông tại A'AA'ADconst

điểm A thuộc tia Oy Biết rằng ba mặt phẳng phân biệt qua A và đôi một vuông góc cắt mặt cầu theo

thiết diện là ba hình tròn có tổng diện tích là 11

A

0; 6; 00; 0; 0

A

0; 2; 00; 8; 0

A A

Giải:

Gọi ba mặt phẳng phân biệt qua A và đôi một vuông góc lần lượt là

Atm , Amp , Apt

Mặt cầu  S cắt Atm , Amp , Apt theo ba hình tròn    C1 , C2 , C3 có

S x  y  z  Tìm điểm M kẻ được 3 đường thẳng tiếp xúc với  S

lần lượt tại A B C sao cho , , ABC và 1 600

Gọi I là tâm của  S

Vì MA MB MC là tiếp tuyến nên , , MAIA MB, IB MC, IC

MAI MBI MCI

    là các tam giác vuông có chung cạnh huyền MI

Ta có :IAIBICR S  MAI  MBI  MCIMAMBMC

M

 trục đường tròn ngoại tiếp ABC và A B C, ,   C  M MA,    S với M MA,  là mặt cầu

tâm M , bán kính MA

Gọi J là trung điểm của ACJ là tâm dường tròn ngoại tiếp ABC

IAIBIC  R I trục đường tròn ngoại tiếp ABC

Câu 40 : Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các mặt phẳng  P :x y 2z 1 0 và

 Q : 2x   y z 1 0 Gọi  S là mặt cầu có tâm thuộc trục hoành đồng thời  S cắt mặt phẳng

 P theo giao tuyến là một đường tròn có bán kính bằng 2 và  S cắt mặt phẳng  Q theo giao tuyến là một đường tròn có bán kính bằng r Xác định r sao cho chỉ có đúng một mặt cầu

 S thỏa mãn yêu cầu

4 06

 1 là phương trình bậc hai với a là ẩn số và r là tham số

Để có đúng một mặt cầu  S thỏa mãn yêu cầu thì có đúng một tâm I a ; 0; 0

 thuộc mặt cầu tâm O ,bán kính R 3

Từ 2 điều trên ta có :A B, thuộc đường tròn tâm O , bán kính R 3

Ta thấy :OAC OBD c g c 

 Đường cao hạ từ đỉnh O của 2 tam giác của bằng nhau

Gọi H K, lần lượt là hình chiếu của O trên , 3

Câu 42 : Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho điểm A4; 0; 0 , B 0; 0;m m,  và

Mà DABOxz nên D di động trên đường tròn  C chứa trong mặt

phẳng Oxz có tâm J là trung điểm của OA và bán kính R C JA2

Câu 43 : Trong không gian với hệ toa độ Oxyz, cho hình lập phương ABCD A B C D ' ' ' ' cạnh a

trong đó AO, B a ; 0; 0, D0; ; 0a  Hai điểm M N, lần lượt di động trên hai cạnh BD B A, 'sao cho BM B N' Gọi  , lần lượt là góc tạo bởi đường thẳng MN với các đường thẳng , '

BD B A Giả trị của Acos2cos2 bằng bao nhiêu?

2 2

2

22

Câu 44: Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho các điểm A1; 2;0 , B 2; 3; 2  Gọi  S

mặt cầu đường kính AB Ax By.; , là hai tiếp tuyến mặt cầu  S và AxBy Gọi M N, lần lượt

là điểm di động trên Ax By, sao đường thẳng MN luôn tiếp xúc với mặt cầu  S Tính giá trị

A mind N P ; 2 B mind N P ; 3 C mind N P ; 1 D mind N P ; 4

Giải :

Gọi H là hình chiếu của O trên mặt phẳng    2; 4; 4

6

H P

     

-

Câu 46 : Trong không gian với hệ trục Oxyz , cho các điểm A2;1; 4 ,  B 6; 2;3 , M1;1;3 Gọi

 P là mặt phẳng qua M sao cho tổng khoảng cách từ A B đến ,  P là lớn nhất Biết rằng mặt phẳng đó có dạng  P xaybz c 0 với a b c, ,  Tính giá trị của A  a b c

Gọi H T , lần lượt là hình chiếu của A B, lên mặt phẳng  P

Trường hợp 1:  P không cắt đoạn AB

Gọi L là hình chiếu của I lên mặt phẳng  P Ta chứng minh được: 1 

2

IL AH BT

IML

 vuông tại L  IL  IM  const Đẳng thức xảy ra  P IM tại M

Khi đó  P / /AB nên  P không cắt đoạn AB (thỏa điều kiện trường hợp 1)

Vậy AH BTmax 2IM  P IM tại M

Trường hợp 2:  P cắt đoạn AB  J  AB P với AB là đoạn thẳng

Vì AMB có AMB là góc tù nên AB2IM

Vậy tổng khoảng cách từ A B, đến mặt phẳng  P lớn nhất là AB khi  P  AB

A 21

8



B 143

V   R R R R  -

Câu 49 : Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng

P mx m  y m  z  và điểm A2;11; 5  Biết rằng khi m thay đổi thì  P m

luôn tiếp xúc với 2 mặt cầu có bán kính cố định và cùng đi qua A Tổng bán kính 2 mặt cầu đó là :

0;9; 59

Câu 51 : Trong không gian với hệ trục Oxyz , cho đường thẳng   là giao tuyến của 2 mặt phẳng

 P :xmy  z m 0 , Q :mx y mz 1 0 gọi  1 là hình chiếu của   trên mặt phẳng

Oxy Biết rằng  1 luôn tiếp xúc với một đường tròn cố định Tìm bán kính r của đường tròn đó.

Vậy trong mặt phẳng Oxyta luôn có  1 luôn tiếp xúc với một đường tròn  C cố định có tâm

Vậy  1 có dạng y1 trong mặt phẳng Oxy

Mà d O , 1  1 R C nên  1 tiếp xúc với  C

Kết luận:  1 luôn tiếp xúc đường tròn  C có bán kính là 1  m R