** On HK 1 lop 10**

2 +bx c+ Giải các phương trình sau 2 2 CHUÊN ĐỀ GIẢI VÀ BIỆN LUẬN PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI I/ Dạng I tìm điều kiện để phương trình a x.

TRÌNH

A B

A = B ⇔  ==−

Ví dụ : Giải các phương trình sau

2

− + = − c) 5x+ =3 2x−7

II/ Dạng (( ))

0 0

A B A

A B A



= ⇔ 

 (Với A có dạng ax+b)

Ví dụ : Giải các phương trình sau

2

2

2

c x − x− − =

0

≥





B B

A B

A B

(Với B có dạng ax+b)

IV/ Dạng A = ⇒B A2 =B2 ⇒  = − A B=

A B (Với A,B có dạng ax2+bx c+ ) Sau đó thế nghiệm vào phương trình ban đầu

Bài tập

5.6x− = 2 3x− 4 6.3x− = − 2 x 2 7.2x+ = 3 1 8.2 − =x 2x− 1

13 3x− = 5 2x+ 1 14.7x− = 4 3x− 4 15. 2x+ = 1 x 16.

3x+ = − 4 x 2

17 x− = 3 2x− 1 18. 2x+ = 5 3x− 2 19. x− = 3 2x− 1 20

2 − =x 2x− 5

NC

21 2

1 −x = 1 22. 2

1 1 4

4x+ = 1 x + 2x− 4 24. 2

3x− = 5 2x + −x 3

5 1 1 0

2 3

x x

− −

=

−

V/ Phương trình chứa dấu căn:

0

B

A B

A B

≥





Ví dụ: Giải các phương trình sau

2

2

2)Dạng A B A 0vB 0

A B





Ví dụ : Giải các phương trình sau

2

2

3)Dạng A B C A B, 02

≥





Ví dụ : Giải các phương trình sau

) 4

4 4 2

c

IV/ Phương pháp đặt ẩn phụ của phương trình chứa dấu căn

Giải các phương trình sau

2

2

Phương trình quy về phương trình bậc hai

I/ Phương trình trùng phương ax4 +bx2 + =c 0

phương pháp đặt x2 = t ( t >=0)

ví dụ : Giải các phương trình

)(1 )(1 ) 3 0

a x x

− − =

II/ Phương trình dạng ( x a x b x c x d+ ) ( + ) ( + ) ( + ) =k Với a + b = c + d

Đặt t = ( x a x b+ ) ( + )

Ví dụ 1: Giải phương trình (x−1) (x−2) ( x+4) (x+ =5) 112

( ) ( ) ( ) ( )

( x2 3x 4)( x2 3x 10) 112

Đặt t = x2 + 3x ta có phương trình

4 10 112

14 72 0, 49 72 121 11

7 11 4

7 11 18

t t

t

t

⇒ = − = −

= + =

Với t = -4 ta có phương trình x2 + 3x + 4 = 0 ∆ = − <7 0

Với t = 18 ta có phương trình x2 + 3x – 18 = 0

9 4.18 81

Ví dụ 2:

Ví dụ 3:

III/ Phương trình dạng: (x2 +ax c x+ )( 2 +bx c+ =) mx2

Chia cả hai vế cho x2 rồi đặt t x c

x

+

=

Ví dụ: giải phương trình

2 2

10

9

VI/ Phương trình dạng: ax4 +bx3+cx2 ±bx a+ =0;(a≠0)

Đưa về dạng 2

2

0

 + +  ± + =

Đặt t x= ± 1

4 3 2

3

3

V / Dạng khác ( 2 ) (2 2 )

m a x +bx c+ +n a x +bx c+ + =p

Đặt t = a x 2 +bx c+

Giải các phương trình sau

2

2

CHUÊN ĐỀ GIẢI VÀ BIỆN LUẬN PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI

I/ Dạng I tìm điều kiện để phương trình a x 2+bx c+ =0cĩ hai nghiệm phân biệt, chứng minh phương trình luơn cĩ nghiệm:

1) Phương pháp tính ∆ = b2 − 4ac nếu ∆ ≥ 0 thì phương trình luơn cĩ hai nghiệm phân biệt

2) Các ví dụ:

Ví dụ 1: Tìm m để phương trình x2 + 5x + ( m - 4 ) = 0 cĩ hai nghiệm phân biệt

Giải

Để phương trình cĩ hai nghiệm phân biệt thì

25 4 4 0

41 4 0

41

4

m m

m

⇔ − >

⇔ <

Ví dụ 2: cho phương trình x2 -2( m + 1 )x +4m = 0

a) Chứng minh rằng phương trình luơn cĩ nghiệm với mọi giá trị của m

b) Tìm m để phương trình cĩ nghiệm x1 và x2 thoả mãn điều kiện 1 2

5 2

x x

x + x =

Giải a) Ta cĩ

2

1 0

m

b) Theo vi ét ta cĩ x x1 2 =2(m+1);x1+x2 =4m

2 2

4 2.2( 1) 5

4 2.2( 1) 5( 1); 1

4 9 9 0; 81 144 225, 15

m

+

1

9 15 24

3;

m = − = −

Ví dụ 3: Cho phương trình x2 + ( 2m – 1 )x – m = 0

a) Chừng minh rằng phương trình luơn cĩ nghiệm với mọi m

b) Tìm m để A x= 12 +x22−6x x1 2 đạt giá trị nhỏ nhất

Ví dụ 4:Cho phương trình bậc hai x2 – 2(m + 1)x + m2 + 3 = 0

a)Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt

b) Tìm m để phương trình có nghiệm là 2, tìm nghiệm còn lại

c) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1 và x2 thoả mãn 2 2

x +x 8=

Ví dụ 5: Tìm các giá trị của m để các nghiệm của phương trình

a) x2 +(m−2) x m+ + =5 0 Thoả mãn 2 2

x +x =

b) x2 −mx+(m− =1) 0 Thoả mãn x x1 2 +2(x1 +x2) − =19 0

Ví dụ 6: Cho phương trình x2 −(m+3) x+2(m+ =2) 0

a) Với giá trị nào của m thì phương trình có hai nghiệm phân biệt

b) Tìm m để phương trình có nghiệm thoả mãn x1 =2x2

c) Chứng tỏ rằng A = 2 x( 1 +x2) −x x1 2 độc lập với m

Ví dụ 7: Cho phương trình bậc hai (m – 4)x2 – 2( m – 2)x + m – 1 = 0

a ) Tìm m để phương trình cĩ hai nghiệm phân biệt b) Tìm m để

1 1

5

x + x =

c) Tìm hệ thức giữa x1 và x2 độc lập với m

giải

− − − (2)

Lấy (1) chia cho (2) ta cĩ:

2 4

1 3

S

−

II/ Dạng 2: Tìm giá trị của m để phương trình có nghiệm kép

Phương pháp tính ∆rồi xét ∆= 0 thì phương trình có nghiệm kép

Ví dụ 1:Tìm m để phương trình x2 −3mx+(2m2 − − =m 1) 0 có nghiệm kép tìm n kép đó

Giải

9m 4 2m m 1 9m 8m 4m 4 (m 2)

Phương trình có nghiệm kép khi ∆ =(m+2)2 = ⇒ = −0 m 2

Nghiệm kép đó là 1 2 3 6 3

m

x = =x = − = −

Ví dụ 2: Tìm các giá trị của m để mỗi phương trình sau có nghiệm kép tìm nghiệm

kép đó

2 2

2

a mx m

c m x m x m m

d m x mx m

III/ Dạng 3: Tìm điều kiện để hai phương trình có nghiệm chung

Ví dụ 1: Tìm m để hai phương trình sau x2 +mx+ =1 0 và x2 + + =x m 0 có nghiệm chung tìm nghiệm chung đó

Giải Giả sử x0 là nghiệm chung của hai phương trình ta có x02 +mx0 + =1 0 và

2

x + + =x m

Trừ vế với vế của mỗi phương trình ta được ( m – 1)(x0 – 1) = 0

a) Nếu m = 1 thì hai phương trình đã cho trở thành x2 + x +1 = 0

Phương trình này vô nghiệm do ∆ = − <3 0

Vậy m≠1 do đó x0 = 1

Thay x0 = 1 vào phương trình (1)ta được m = -2

-Với m = -2 thì phương trình x2 – 2x + 1 = 0 có nghiệm kép x1= x2 = 1

Phương trình x2 +x – 2 = 0có nghiệm x3 = 1; x4 = -2

Ví dụ 2: x0 = 1ới giá trị nào của m thì hai phương trinh sau

2

2x +(3m+1)x− =9 0 và 6x2 +(7m−1)x− =19 0 có ít nhất một nhiệm chung tìm nhiệm chung đó

Ví dụ 3: Tìm m để hai phương trình sau có nghiệm chung

x + +x m− = và x2+(m−2)x+ =8 0