Câu 6:2đ Cho đường tròn O;R cố định.Từ một điểm M ở ngoài đường tròn O;R vè hai tiếp tuyến MA và MB đến đường tròn O;R.Đường trung trực của đường kính BC cắt đường thẳng AC tại K.. a CMR
Trang 1PHÒNG GD&ĐT TAM ĐẢO
TRƯỜNG THCS TAM ĐẢO
-ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VÒNG 2
NĂM HỌC 2009-2010 Môn:Toán
Thời gian:150 phút (Không kể thời gian phát đề)
-Câu 1:(2đ)
a) Tìm tất cả các số nguyên dương n sao cho mỗi số n+26 và n-11 đều là lập phương của một số tự nhiên
b) Cho các số x,y,z thay đổi thỏa mãn 2 2 2 1
y z
x Hãy tìm giá trị lớn nhất của
2
1 x2 y z 2 y2 z x 2 z2 x y 2
zx yz xy
Câu 2: (1.5đ)
Cho ba số nguyên x,y,z thỏa mãn điều kiện xyz 6
Chứng minh rằngM xyyzzx 2xyz 6
Câu 3:(1.5đ) Please solve math and writing answers in English.
Solution equation : x 1 2x 1x 1 1 x 3 1 x2
Câu 4:(1.5đ)
Nếu một hình vuông và một tam giác có cùng diện tích thì hình nào có chu vi lớn hơn?Tại sao?
Câu 5:(1.5đ)
Cho tứ giác lồi ABCD.Trên hai cạnh AB,CD lần lượt lấy hai điểm E,F sao cho
DF
CF
BE
AE
Chứng minh rằng nếu đường chéo AC đi qua trung điểm I của đoạn EF thì AC chia tứ giác ABCD thành hai phần có diện tích bằng nhau
Câu 6:(2đ)
Cho đường tròn (O;R) cố định.Từ một điểm M ở ngoài đường tròn (O;R) vè hai tiếp tuyến MA và MB đến đường tròn (O;R).Đường trung trực của đường kính BC cắt đường thẳng AC tại K
a) CMR: MK=R
b) M chạy trên đường nào nếu tam giác AMB luôn đều
-Giám thị coi thi không giải thích gì thêm
Trang 2PHÒNG GD&ĐT TAM ĐẢO
TRƯỜNG THCS TAM ĐẢO
-HƯỚNG DẪN CHẤM
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VÒNG 2
NĂM HỌC 2009-2010 Môn:Toán
Thời gian:150 phút (Không kể thời gian phát đề)
Câu 1:
11
3
3
b ab a b a b
a N b a b n
a n
Do a b 0,a2ab b 2 0;a2ab b 2 a bvà 37 là SNT nên
38 3
4 37
1
2
n b
a b
ab a
b a
c) Từ 2 2 2 1 2 1 ; 2 1 ; 2 1
Từ đó suy ra
2 2
2
2 2
2
2 2
2
y x y x z
x z x z y
z y z y x
2
xy yz zx x y y z z x x y z P
Dấu “=” xảy ra khi
3
3
y z x
0.25 0.5 0.25 0.25 0.25
0.25
0.25 Câu 2: Ta có: M xyyzzx 2xyzxyzx2 y2 z2 x3 y3 z3
Mặt khác n Z thì 3 6
n
z y
x Do đó 6
M
0.75
0.75 Câu 3:
Conditions determined: 1 x 1 Set
x v
x u
1
1 Equation becomes: u 2u2 v2 v 3uv
0 ) 1 2
)(
u v u v
+) With u v Setting back, we are x 0
+) With v2u1 Setting back, we are 24
25
x
0.25 0.25
0.25 0.25 0.25 Câu 4: Gọi a,b,c là độ dài ba cạnh của tam giác,ha là chiều cao tương ứng với
cạnh a,m là độ dài cạnh hình vuông
Ta có:bh a;ch a bc 2h a.Do đó
m m
h a h
a c b
Vậy tam giác có chu vi lớn hơn
0.25 0.5 0.5 0.25
Trang 3Câu 5: Gọi D’,E’,B’,F’ lần lượt là hình chiếu của D,E,B,F lên AC
' 'I IF F g c g EE FF
EE’//BB’
AB
AE BB
EE
' '
FF’//DD’
CD
CF DD
FF
' '
Mặt khác:
CD
CF AB
AE DF
CF BE
AE
Do đó ta có BB’=DD’ => đpcm
0.25 0.25 0.25 0.25
0.5 Câu 6: a) A KˆO 90 0 K CˆO
A MˆO 90 0 A OˆM 90 0 K CˆO
O M A C K
Aˆ ˆ
nên tứ giác AKMO nội tiếp được
0 90 ˆ
M K O M A O ,do đó tứ giác KOBM là hình
chữ nhật nên
MK=OB=R
b) ˆ 60 0 ˆ 30 0
B M
A nên tam giác AMO là nửa tam giác đều
đường cao AM nên MO=2.AO=2R không đổi,Do đó M chạy trên đường
tròn (O,2R)
1
1