Vấn đề 3: Phép đối xứng tâm và ứng dụng

Chứng minh rằng đường thẳng MM3 luôn đi qua một điểm cố định, từ đó suy ra quỹ tích của M3 khi M chạy trên một đường tròn (O) hay một đường thẳng d.. 10) Điểm cố định D là đỉnh thứ tư c[r]

Biên soạn: Th.S Đỗ Viết Tuân

http://baigiangtoanhoc.com

VẤN ĐỀ 3 PHÉP ĐỐI XỨNG TÂM

I Tóm tắt lý thuyết

 Định nghĩa phép đối xứng tâm?

 Các tính chất cơ bản của phép đối xứng tâm?

 Tâm đối xứng của một hình?

 Biểu thức toạ độ của tâm đối xứng?

II Các ví dụ minh hoạ

1 Dựng ảnh của điểm O, đoạn thẳng MN, đường thẳng d, một tam giác ABC và đường tròn (C) qua phép đối xứng tâm I

2 Qua phép đối xứng tâm ĐO, những điểm nào biến thành chính nó? những đường thẳng nào biến thành chính nó? những đường tròn nào biến thành chính nó?

3 Tìm tâm đối xứng của các hình sau đây

a) Đoạn thẳng AB b) Một đường thẳng c) Hình bình hành

d) Tam giác đều e) Lục giác đều g) Đường elip

h) Hình gồm hai đường thẳng phân biệt i) Hình gồm hai đường tròn bằng nhau

4 Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho điểm A(–1, 3) và đường thẳng d có phương trình

x2y 3 0 Tìm ảnh của A và d qua phép đối xứng tâm I(2, 3)

5 Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn (O, R) và H là trực tâm tam giác ABC a) Gọi (O , R ), (O , R ), (O , R )1 1 2 2 3 3 lần lượt là các đường tròn ngoại tiếp các tam giác HBC, HCA, HAC Chứng minh rằng R1R2R 3

b) Chứng minh rằng ABC O O O1 2 3

III Luyện tập

Trên lớp

6 Trong hệ toạ độ Oxy cho đường tròn (C) : x2y22x 4y 4  0

Tìm (C )1 là ảnh của (C) qua phép đối xứng tâm I, với I(1, 2)

7 Cho hai điểm B, C cố định nằm trên đường tròn (O, R) và điểm A thay đổi trên đường tròn

đó Hãy dùng phép đối xứng tâm để chứng minh rằng trực tâm H của tam giác ABC nằm trên một đường tròn cố định

Biên soạn: Th.S Đỗ Viết Tuân

http://baigiangtoanhoc.com

8 Cho đường tròn (O, R), đường thẳng d và điểm I Tìm điểm A trên (O, R) và điểm B trên d sao cho I là trung điểm của đoạn thẳng AB

9 Cho hai đường tròn (O) và (O’) và một điểm A Tìm hai điểm M, N lần lượt nằm trên hai đường tròn đó sao cho A là trung điểm của đoạn thẳng MN

Về nhà

10 Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho điểm A(x, y) và đường thẳng d có phương trình

ax + by + c = 0 và điểm I(x , y ) Hãy tìm điểm A ' và đường thẳng d’ lần lượt là ảnh 0 0 của A và d qua phép đối xứng tâm I

11 Chứng minh rằng nếu một hình H có hai trục đối xứng vuông góc nhau thì hình H có tâm đối xứng

12 Cho ba điểm A, B và C cố định Với mỗi điểm M bất kỳ, gọi M1 là ảnh của M qua phép phép đối xứng tâm A, M2 là ảnh của M1 qua phép đối xứng tâm B, M3 là ảnh của M2 qua phép đối xứng tâm C Chứng minh rằng đường thẳng MM3 luôn đi qua một điểm cố định,

từ đó suy ra quỹ tích của M3 khi M chạy trên một đường tròn (O) hay một đường thẳng d

Biên soạn: Th.S Đỗ Viết Tuân

http://baigiangtoanhoc.com

4) A '(5,9) d ' : x2y 19 0

A '(2x x, 2y y), d ' : axby 2a 2b   c 0

6) Gọi I là trung điểm của BC Vẽ đường kính AM rồi chứng minh I là trung điểm của HM 7) Thực hiện theo bốn bước phân tích, cách dựng, chứng minh và biện luận của một bài toán dựng hình

8) Tương tự bài 6

9) Gọi d , d1 2 là hai trục đối xứng của H Hãy chứng minh Od1d2 là tâm đối xứng

10) Điểm cố định D là đỉnh thứ tư của hình bình hành ABCD

11) Sử dụng kết quả bài 5