Các phép toán Véc - tơ - Toán 10 - Toán học

Xác định các điểm M,N,P. Vậy ba điểm M,N,P thẳng hàng. Ví dụ 9: Cho hình bình hành ABCD. Chứng minh I,J ,O thẳng hàng với O là giao điểm của AC và BD. Vậy ba điểm I,J ,O thẳng hàng.  C[r]

Trang 1/34

MỤC LỤC

A HAI VÉCTƠ BẰNG NHAU 2

I Chứng minh các véctơ bằng nhau 2

II Tính độ dài véctơ 3

BÀI TẬP 3

B TỔNG VÀ HIỆU HAI VÉCTƠ 4

Dạng 1: Tìm tổng của hai vectơ và tổng của nhiều véctơ 4

Dạng 2 : Tìm vectơ đối và hiệu của hai véctơ 4

Dạng 3 : Chứng minh Đẳng thức véctơ 4

Dạng 4 : Tính độ dài véctơ 5

Bài tập 6

C.TÍCH CỦA VÉCTƠ VỚI MỘT SỐ 7

Dạng1 : Chứng minh đẳng thức véctơ: 7

Bài tập 10

Dạng 2: Tìm một điểm thoả mãn một đẳng thức véctơ cho trước: 11

Bài tập 13

Dạng 3: Phân tích một véctơ theo hai véctơ không cùng phương. 14

Bài tập 18

Dạng 4: Chứng minh ba điểm thẳng hàng 18

Bài tập 22

Dạng 5: Chứng minh hai điểm trùng nhau: 23

Bài tập 24

Dạng 6: Quỹ tích điểm 24

Bài tập 26

MỘT SỐ VÍ DỤ VÀ BÀI TẬP VẬN DỤNG 26

Bài tập 29

BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM 30

1.1 Xác đinh véctơ 30

1.2 Tổng – Hiệu hai véc tơ 30

1.3 Tích véctơ với một số 31

Trang 2/34

A HAI VÉCTƠ BẰNG NHAU

I Chứng minh các véctơ bằng nhau

Ví dụ 1: Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp trong đường tròn tâm O Gọi H là trực tâm của tam giác ABC Gọi M,N lần lượt là trung điểm của BC và AH Chứng minh: OMAN

Giải:

OA kéo dài cắt đường tròn ngọai tiếp tam giác ABC tại D

Ta có DCAC, DBAB ( góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

D O A

N

P

Q M

C B

Nơi nào có ý chí nơi đó có con đường

Trang 3/34

Ta có B,A,M thẳng hàng và AB=AM

Do MNDAMN / /DA và MN=DA

Do NPDCAB NP//AP và NP=AB

Hai tam giác ABC và NPM bằng nhau và có các cạnh

tương ứng song song Từ đó suy ra MP=DB và

MP//DB Vậy tứ giác MPDB là hình bình hành

MP DB ; MD PB

II Tính độ dài véctơ

Ví dụ 5: Cho hình vuông ABCD tâm O cạnh a Gọi M là trung điểm của AB, N là điểm đối xứng với C qua D Hãy tính độ dài của các véctơ sau: MD , MN

b) Gọi J là trung điểm của BB’ Chứng minh : BJIG

Bài 2:Cho hình bình hành ABCD Gọi M,N lần lượt là trung điểm của DC, AB Gọi P là giao điểm

của của AM và DB ; Q là giao điểm của CN và DB Chứng minh DPPQQB

Bài 3:Cho hình thang ABCD có hai đáy là AB và CD với AB =2CD Từ C vẽ CIDA Chứng minh: a) DICB b) AIIBDC

I

G A

M

Trang 4/34

B TỔNG VÀ HIỆU HAI VÉCTƠ

Dạng 1: Tìm tổng của hai vectơ và tổng của nhiều véctơ

Ví dụ 1:Cho lục giác đều ABCDEF tâm O Chứng minh OA OB OC OD OE OF     0

Ví dụ 2: Cho năm điểm A,B,C,D,E Hãy tính tổng AB BC CD DE  

Ví dụ 3: Cho hình bình hành ABCD Hai điểm M và N lần lượt là trung điểm của BC và AD

a) Tìm tổng của hai véctơ NC và MC , AM và CD , AD và NC

b) Chứng minh AMANAB AD

Dạng 2 : Tìm vectơ đối và hiệu của hai véctơ

Phương pháp: 1) Tính tổng ab ,ta làm hai bước sau:

- Tìm véctơ đối của b là b

b) Phân tích AM theo hai véctơ MN và MP

Ví dụ 2: Cho bốn điểm A,B,C,D Chứng minh AB CD AC BD

Ví dụ 1: Cho bốn điểm bất kì A,B,C,D Chứng minh các đẳng thức sau:

Nơi nào có ý chí nơi đó có con đường

Ví dụ 3: Cho hình thoi ABCD cạnh a có 0

BAD60 Gọi O là giao điểm hai đường chéo Tính:

Bài 1:Cho tam giác đều ABC cạnh a và đường cao AH.Tính AB AC và AB BH , AB AC

Bài 2:Cho hình vuông ABCD cạnh a Tính BCAB ; AB AC

Bài 3: Cho hình chữ nhật ABCD Gọi O là giao điểm hai đường chéo AC và BD

a) Với M tuỳ ý, Hãy chứng minh: MAMCMB MD

A

C

O

C B

Nơi nào có ý chí nơi đó có con đường

Trang 7/34

C.TÍCH CỦA VÉCTƠ VỚI MỘT SỐ

Dạng1 : Chứng minh đẳng thức véctơ:

Ví dụ 1: Cho tam giác ABC có AM là trung tuyến, D là trung điểm của AM Chứng minh:

a) 2DADB DC 0 b) 2OA OB OC  4OD ( Với O tuỳ ý)

B

C

J I

Trang 8/34

Ví dụ 5: Cho tứ giác ABCD Gọi E,F lần lượt là trung điểm của AB ,CD và O là trung điểm của EF

Chứng minh rằng: a) 1 

EF AC BD2

  , b) OA OB OC OD   0 c) MAMB MC MC  4MO ( M là điểm bất kì)

Nơi nào có ý chí nơi đó có con đường

c) Do G là trọng tâm của tam giác ABC nên OA OB OC  3OG

Kết hợp với (*) ta có OH3OG Hai véctơ OH và OG cùng phương nên ba điểm O,H,G thẳng hàng

Ví dụ 9: Cho tứ giác ABCD

a) Gọi M,N là trung điểm của AD, BC Chứng minh 1 

Chuyên đề: Véctơ Năm học 2018 – 2019 Trang 10/34

Ví dụ 10: Cho 4 điểm A,B,C,D Gọi I ,F lần lượt là trung điểm của BC , CD

Bài 1: Cho hình bình hành ABCD.Chứng minh rằng:AB 2AC AD  3AC

Bài 2: Cho tam giác ABC có G là trọng tâm Chứng minh rằng:

MAMB MC 3MG với M bất kì

Bài 3: Gọi M,N là trung điểm của AB và CD của tứ giác ABCD.Chứng minh rằng:

2MNAC BD BC AD

Bài 4: Chứng minh rằng: Nếu G và G’ lần lượt là trọng tâm của hai tam giác ABC và A’B’C’ thì

AA' BB' CC'  3GG ' Suy ra điều kiện để hai tam giác có cùng trọng tâm

Bài 5: Cho tam giác ABC.Chứng minh rằng:

G là trọng tâm của tam giác ABC GA GB GC   0 MAMB MC 3MG

Bài 6: Cho 4 điểm A,B,C,D M,N lần lượt là trung điểm của AB, CD Chứng minh rằng:

AD BD AC BC   4MN

Bài 7: Gọi O,G,H lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp, trực tâm, trọng tâm của tam giác ABC

Chứng minh rằng: a) HAHB HC 2HO b) HG2GO

F

I B

C

H

G E

M

A

www.gonitro.com

Nơi nào có ý chí nơi đó có con đường

Ví dụ 2: Cho tam giác ABC

a) Tìm điểm I sao cho: 2IB 3IC 0

b) Tìm điểm O sao cho: OA OB OC  0

c) Tìm điểm K sao cho: KA2KBCB

d) Tìm điểm M sao cho: MAMB 2MC 0

(Với M là trung điểm BC , G là trọng tâm tam giác ABC)

d) Tìm điểm M sao cho: MAMB 2MC 0

Gọi I là trung điểm của AB Khi đó: MAMB 2MC 0

2MI2MC 0 2 MIMC 0 4MK 0 MK

Với K là trung điểm của IC

Ví dụ 3: Cho tứ giác ABCD Tìm điểm O sao cho: OA OB OC OD   0

A

K I

A

G Q

N

P M

Trang 12/34

Ví dụ 4: Cho tam giác ABC

a) Tìm điểm I sao cho: 2IB 3IC 0

b) Tìm điểm J sao cho: JA JB 2JC  0

c) Tìm điểm K sao cho: KAKBBC

d) Tìm điểm K sao cho: KAKB2BC

e) Tìm điểm L sao cho: 3LA LB 2LC  0

d) Tìm điểm K sao cho: KAKB2BC

Gọi D là trung điểm của AB Khi đó KAKB2BC

2KD2BCDKCBK ( Tứ giác DCBK là hình bình

hành)

e) Tìm điểm L sao cho: 3LA LB 2LC  0

Gọi E là trung điểm của AC Khi đó 3LA LB 2LC  0

a) Xác định điểm K sao cho 3AB 2AC 12AK  0

b) Xác định điểm D sao cho 3AB 4AC 12KD  0

Giải:

a) 3AB 2AC 12AK  0 AK 1AB 1AC

Gọi I,J lần lượt là trung điểm của AM, AN Khi đó

AKAIAJK là trung điểm của MN

D

H K

J

M A

www.gonitro.com

Nơi nào có ý chí nơi đó có con đường

(Với M , N lần lượt là trung điểm của AC , BC.)

b) I là trọng tâm của tứ giác ABCD

c) Gọi G là trọng tâm tam giác ABC, P là trung điểm của

DE.Khi đó KAKB KC 3 KD   KE0

23KG 6KP 0 KG 2KP 0 GK GP

3

Ví dụ 7: Cho tam giác ABC và đường thẳng d

a) Xác định điểm I sao cho IAIB 2IC 0

b) Tìm điểm M trên d sao cho véctơ uMAMB 2MC có độ dài nhỏ nhất

Giải:

a) Gọi H là trung điểm của AB.Ta có

IAIB 2IC 02IH2IC 0 IHIC0 Suy ra I

là trung điểm của HC

b) ta có:uMAMB 2MC 4MIIAIB 2IC 4MI

u 4MI 4MI

   nhỏ nhất khi và chỉ khi M là hình chiếu

vuông góc của I trên d

Bài tập

Bài 1: Cho hai điểm phân biệt A và B Xác định điểm M biết: 2MA 3MB 0

Bài 2: Cho tam giác ABC Xác đinh các điểm M,N sao cho:

a) MA2MB0 b) NA2NBCB

Bài 3: Cho hình bình hành ABCD Xác định điểm M thoả mãn :3AMAB AC AD 

Bài 4: Cho tứ giác ABCD Tìm điểm O sao cho:OA OB OC OD   0

Bài 5: Cho tam giác ABC

a) Hãy xác định các điểm G, P, Q, R , S sao cho:

P

O N

M B

C

D

E A

I H

A

* Quy tắc đường chéo hình bình hành: Nếu ABCD là hình bình hành thì ACAB AD

* Tính chất trung điểm : I là rung điểm AB IAIB 0 MAMB2MI ( M bất kì)

* Tính chất trọng tâm: G là trọng tâm tam giác ABC GA GB GC  0

MAMB MC 3MG( M bất kì)

Ví dụ 1: Cho tam giác ABC có trọng tâm G Cho các điểm D, E, F lần lượt là trung điểm các cạnh

BC , CA, AB I là giao điểm AD và EF Hãy phân tích các véctơ AI, AG , DE, DC theo hai

Ví dụ 3: Cho tam giác ABC Điểm M nằm trên cạnh BC sao cho MB=2MC hãy phân tích véctơ

AM theo hai véctơ AB, AC

Nơi nào có ý chí nơi đó có con đường

Trang 15/34

Ví dụ 4: Cho AK và BM là hai trung tuyến của tam giác ABC Hãy phân tích véctơ AB, BC,CA

theo hai véctơ AK,BM

 Hãy phân tích các véctơ AI, AK , CI , CK theo CA , CB

G D

A

Trang 16/34

Ví dụ 6: Cho lục giác đều ABCDEF tâm O cạnh a

a) Phân tích véctơ AD theo hai véctơ AB , AF

Ví dụ 7: Cho tam giác ABC Gọi M là trung điểm của AB, N là điểm trên cạnh AC sao cho

NA=2NC Gọi K là trung điểm MN

a) Phân tích véctơ AK theo hai véctơ AB, AC

b) Gọi D là trung điểm BC Chứng minh: 1 1

Nơi nào có ý chí nơi đó có con đường

Trang 17/34

Ví dụ 9: Cho hình bình hành ABCD , tâm O Đặt ABa , ADb Hãy tính các véctơ sau theo

a , b a) AI ( I là trung điểm của BO)

b) BG ( G là trọng tâm tam giác OCD) ĐS: AI 3a 1b

Ví dụ 10: Cho tam giác ABC và G là trọng tâm B1 là điểm đối xứng của B qua G M là trung điểm

BC Hãy biểu diễn các véctơ AM, AG , BC,CB , AB , MB qua hai véctơ 1 1 1 AB, AC

a) Tính AI, AJ theo hai véctơ AB, AC Từ đó biểu diễn AB, AC theo AI, AJ

b) Gọi G là trọng tâm tam giác ABC Tính AG theo AI, AJ

Bài 1: Cho tam giác ABC có trung tuyến AM Phân tích AM theo hai véctơ AB, AC

Bài 2: Cho tam giác ABC Gọi M là trung điểm của AB, N là điểm trên cạnh AC sao cho

NA=2NC Gọi K là trung điểm MN Phân tích véctơ AK theo hai véctơ AB, AC

Bài 3: Cho tam giác ABC Gọi M,N,P là trung điểm của BC, CA, AB Tính các véctơ AB, BC,CA

theo các véctơ BN ,CP

Bài 4: Cho hình vuông ABCD, E là trung điểm CD Hãy phân tích véctơ AE theo hai véctơ

AD, AB

Bài 5:Cho tam giác ABC Gọi I là điểm trên BC kéo dài thoả mãn IB=3IC

a) Tính véctơ AI theo các véctơ AB, AC

b) Gọi J và K lần lượt là các điểm trên AC , AB sao cho JA2JC và KB3KA

Tính véctơ JK theo các véctơ AB, AC

c) Chứng minh BC 10AI 24JK.

Bài 6: Cho hai điểm phân biệt A và B

a) Hãy xác định các điểm P,Q,R biết: 2PA 3PB 0 ;2QA QB 0 ; RA 3RB 0

b) Với điểm O bất kì và với ba điểm P,Q,R ở câu a) , Chứng minh rằng:

Phương pháp: Ba điểm A,B,C thẳng hàng ABkAC

Để chứng minh được điều này ta có thể áp dụng một trong hai phương pháp:

+ Cách 1: Áp dụng các quy tắc biến đổi véctơ

+ Cách 2: Xác định hai véctơ trên thông qua tổ hợp trung gian

Ví dụ 1: Cho 4 điểm O,A,B,C sao cho 3OA 2OB OC  0.Chứng minh rằng A,B,C thẳng hàng

Giải:

Ta có : 3OA 2OB OC  0 3OA 2 OA  AB  OAAC0 AB 1AC

2

Vậy: ba điểm A,B,C thẳng hàng

Ví dụ 2: Cho tam giác ABC I là điểm trên cạnh AC sao cho 1

CI AC4

Nơi nào có ý chí nơi đó có con đường

Trang 19/34

Ví dụ 3: Cho tam giác ABC có AM là trung tuyến Gọi I là trung điểm của AM và K là một điểm

trên cạnh AC sao cho 1

AK AC3

 a) Phân tích véctơ BK , BI theo hai véctơ BA , BC

b) Chứng minh ba điểm B,I,K thẳng hàng

  Vậy ba điểm B,I,K thẳng hàng

Ví dụ 4: Cho tam giác ABC có trọng tâm G Lấy điểm I,J sao cho 2IA 3IC 0 ,

2JA 5JB 3JC  0

a) Chứng minh rằng: M,N,J thẳng hàng Với M,N là trung điểm của AB và BC

b) Chứng minh rằng: J là trung điểm của BI

Giải:

Tìm điểm I: Từ giả thiêt 2IA 3IC 0 

32IA 3IA 3AC 0 AI AC I

 suy ra ba điểm M,N,J thẳng hàng b) Từ đẳng thức 2IA 3IC 02 IB BA   3 IB BC  0 5IB 2BA 3BC  0

 nên J là trung điểm của BI

K I

a) Do I là trung điểm của BC nên I cũng là trung điểm của DE

Nên AB AC 2AI ; AD AE 2AI

Suy ra : AB AC AD AE

b) ASAB AD AC AE   AB AC AD AE   4AI

c) Có AS4AI Suy ra ba điểm A, I , S thẳng hàng

Ví dụ 6:Cho tam giác ABC Đặt ABu ; ACv

a) Gọi P là điểm đối xứng với B qua C Tính AP theo u , v

b) Gọi Q và R là hai điểm định bởi : 1 1

c) Nhận thấy RP4RQ nên ba điểm P,Q,R thẳng hàng

Ví dụ 7: Cho tam giác ABC có trọng tâm G Lấy điểm I,J sao cho IA2IB , 3JA2JC0

Chứng minh IJ đi qua trọng tâm G của tam giác ABC

Nơi nào có ý chí nơi đó có con đường

Ví dụ 9: Cho hình bình hành ABCD Lấy các điểm I,J thoả mãn 3IA2IC 2ID 0

JA 2JB 2JC  0 Chứng minh I,J ,O thẳng hàng với O là giao điểm của AC và BD

Giải:

Xác định các điểm I, J

+ 3IA2IC 2ID 0

23IA 2DC 0 3AI 2DC AI AB

  Vậy ba điểm I,J ,O thẳng hàng

Ví dụ 10: Cho tam giác ABC và điểm M thoả mãn AM3AB 2AC. Chứng minh B,M,C thẳng

  Vì vậy ba điểm A,K,P thẳng hàng

Ví dụ 12: Cho tam giác ABC Hai điểm M,N được xác định bởi các hệ thức

BC MA 0 ; AB NA 3AC  0 Chứng minh MN//AC

Bài 4: Cho tam giác ABC

a) Dựng điểm I thoả mãn hệ thức: 2IA IB 3IC  0

b) Giả sử các điểm M,N biến thiên nhưng luôn luôn thoả mãn hệ thức

B

C

Nơi nào có ý chí nơi đó có con đường

Cách 2: Chứng minh OMOM ' với O là điểm tuỳ ý

Ví dụ 1: Cho tứ giác lồi ABCD Gọi M,N , P,Q lần lượt là trung điểm của AB, BC, CD, DA

Chứng minh rằng: Hai tam giác ANP và CMQ có cùng trọng tâm

Vậy GA GN GP  0 khi và chỉ khi GC GM GQ  0

Do đó Hai tam giác ANP và CMQ có cùng trọng tâm G

Ví dụ 2: Cho lục giác ABCDEF Gọi M,N,P,Q,R,S lần lượt là trung điểm các cạnh AB, BC, CD,

DE,EF,FA Chứng minh rằng hai tam giác MPR và NQS có cùng trọng tâm

Vậy GM GP GR  0 khi và chỉ khi GN GQ GS  0

Do đó Hai tam giác MPR và NQS có cùng trọng tâm G

Ví dụ 3: Cho tứ giác ABCD Gọi I,J là trung điểm của AB và CD

a) Chứng minh rằng: AC BD AD BC 2IJ

b) Gọi P,Q là trung điểm các đoạn thẳng AC và BD , M và N là trung điểm AD và BC

Chứng minh rằng: Ba đoạn thẳng IJ , PQ , MN có cùng trung điểm

b) Ba hình bình hành MPNQ , MINJ, MIPJ có các đường

chéo MN, PQ, IJ đồng quy tại trung điểm mỗi đường

Q

P N

M

D

E F

A

G N

M Q

I B

C

www.gonitro.com

Trang 24/34

Bài tập

Bài 1:Cho hai tam giác ABC và A’B’C’ có trọng tâm tương ứng là G , G’

a) Chứng minh rằng: AA' BB' CC'  3GG '

b) Từ đó suy ra nếu AA' BB' CC'  0 thì hai tam giác có cùng trọng tâm

Bài 2: Cho hai tam giác ABC Lấy D,E,F lần lượt trên các cạnh BC,CA,AB sao cho

BD CE AF 1

BC CA  AB3 Chứng minh hai tam giác ABC và DEF có cùng trọng tâm

Bài 3: Cho ngũ giác ABCDE Gọi M,N,P,Q,R lần lượt là trung điểm các cạnh AB , BC , CD ,

DE , EA Chứng minh rằng hai tam giác MPE và NQR có cùng trọng tâm

Bài 4: Cho hai hình bình hành ABCD và AB’C’D’ có chung đỉnh A Chứng minh rằng:

a) BB' C'C DD'  0

b) Hai tam giác BC’D và B’CD’ có cùng trọng tâm

Dạng 6: Quỹ tích điểm

Phương pháp: Đối với bài toán quỹ tích, học sinh cần nhớ một số quỹ tích cơ bản sau:

- Nếu MA  MB với A, B cho trước thì M thuộc đường trung trực của đoạn AB

- Nếu MC k AB với A,B , C cho trước thì M thuộc đường tròn tâm C , bán kính bằng k AB

- Nếu MAk.BC thì

+ M thuộc đường thẳng qua A song song với BC nếu k

+ M thuộc nửa đường thẳng qua A song song với BC và cùng hướng với BC nếu k  +M thuộc nửa đường thẳng qua A song song với BC và ngược hướng với BC nếu k 

Ví dụ 1: Cho tam giác ABC M là điểm tuỳ ý trong mặt phẳng

a) Chứng minh rằng: véctơ v3MA 5MB 2MC  không đổi

b) Tìm tập hợp những điểm M thoả mãn: 3MA2MB 2MC  MB MC

Giải:

a) v3MA 5MB 2MC 

v3 MA MB 2 MC MB 3BA2BC

là

véctơ không đổi

b) Chọn điểm I sao cho 3IA2IB 2IC 0



Về mặt hình học: 3IA2IB 2IC 0

23IA 2CB 0 AI CB I

3

Ta chỉ cần vẽ đường tròn tâm I bán kính 1

R BC3