CHUYÊN đề ôn THI vào lớp 10 CHUYÊN hàm số

Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số.. Tìm các điểm đặc biệt: Điểm đồ thì hàm số luôn đi qua, điểm đồ thị hàm số không thể đi qua.. CHỨNG MINH HÀM SỐ ĐỒNG BIẾN HAY NGHỊCH BI

1 Tìm tập xác định, tập giá trị của hàm số

2 Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số

3 Chứng minh hàm số đồng biến hay nghịch biến trên một khoảng

4 Lập phương trình đường thẳng hay Parabol thỏa mãn điều kiện đã cho

5 Tìm các điểm đặc biệt: Điểm đồ thì hàm số luôn đi qua, điểm đồ thị hàm số không thể đi qua

6 Biện luận sự tương giao của đồ thị

7 Dựa vào đồ thị, biện luận số nghiệm của phương trình

8 Tìm điều kiện của tham số để hàm số thỏa mãn điều kiện cho trước

Phương pháp tư duy và kỹ năng làm toán được hướng dẫn qua các ví dụ sau:

B PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN QUA CÁC VÍ DỤ

x 3x 4a) Tìm tập xác định của hàm số

b) Chứng minh y  3, chỉ rõ dấu bằng xảy ra khi x bằng bao nhiêu?

( THPT Chuyên Ngoại ngữ - Đại học Quốc gia Hà Nội, năm học 2003 – 2004)

3x 12 y

DẠNG 3 CHỨNG MINH HÀM SỐ ĐỒNG BIẾN HAY NGHỊCH BIẾN

TRÊN MỘT KHOẢNG CHO TRƯỚC

x 1 nghịch biến với x > 1

Hướng dẫn giải

Do đóy1 y2Từ đó suy ra hàm số nghịch biến với x  1

DẠNG 4 LẬP PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG HOẶC PARABOL

Ví dụ 8: Tìm phương trình đường thẳng đi qua điểm I (0; 1) và cắt parabol

y x tại hai điểm phân biệt M và N sao cho MN  2 10

(THPT Chuyên Ngoại ngữ - Đại học Quốc gia HN năm học 2000 – 2001)

b) Viết phương trình đường thẳng  d đi qua hai điểm M;I Chứng minh rằng

 d luôn cắt  P tại hai điểm phân biệt A,B với độ dài đoạn AB  4

(THPT Chuyên ngoại ngữ - Đại học Quốc Gia Hà Nội, năm học 2001 - 2002)

Hướng dẫn giải

a) Viết phương trình đường thẳng (d) Chứng minh đường thẳng (d) luôn cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt A,B khi k thay đổi

b) Gọi H,Ktheo thứ tự là hình chiếu vuông góc của trên trục hoành Chứng minh rằng tam giác IHKvuông tại I

(THPT Chuyên Ngoại ngữ - Đại học Quốc gia Hà Nội, năm học 2006 – 2007)

' k 4 0 với mọi k, suy ra (1) có hai nghiệm phân biệt

Vậy (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt A,B

b) Giả sử (1) có hai nghiệm phân biệt x ,x1 2

6

DẠNG 5 TÌM CÁC ĐIỂM ĐẶC BIỆT CỦA ĐỒ THỊ

Ví dụ 11 Cho hàm số  2    

y mx 2(m 2)x 3m 1 a) Tìm các điểm cố định mà đồ thị hàm số luôn đi qua với mọi giá trị m

b) Tìm các điểm trong mặt phẳng Oxymà đồ thị hàm số không thể đi qua

Khi đó phương trình (1) không có nghiệm đối với  



0 0

x 1 m

y 3hoặc   



0 0

y 13

Ví dụ 12 Cho các đường thẳng (d )m có phương trình:

a) Chứng minh rằng các đường thẳng (d )m luôn đi qua một điểm cố định

b) Tìm mđể khoảng cách từ điểmA( 1; 2)   đến (d )m là lớn nhất

Hướng dẫn giải

a) Giả sử các đường thẳng (d )m luôn đi qua M(x ;y )0 0

Khi đó với mọi y0  (2m 1)x  0 4m 3  với mọi m,

Hay với mọi (2x0 4)m 3 x   0 y0  0với mọi m

7

Ví dụ 13 Trong mặt phẳng tọa độOxy, cho đường thẳng   2 

(d) : 2x y a 0và parabol  2 

3 Tìm a để (d )1 cắt (d )2 tại một điểm thuộc

Vậy maxM  0 khi m  0

DẠNG 7 DỰA VÀO ĐỒ THỊ BIỆN LUẬN

SỐ NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH

Ví dụ 1Bài Tìm m đề phương trình sau có nghiệm:

Hướng dẫn giải

Ta có:   2   

y (x 2)(x 2mx 5m 6)

DẠNG 8 CÁC BÀI TOÁN KHÁC

Ví dụ 18 Cho hàm số 



1 f(x)

1 x

f (x) x khi n 3k

x 1 khi n 3k 2 x

số:   2     

y m 1 x m(x 3) 1

Hướng dẫn giải

x y

2 2002 1

 Chú ý: Đây là bài toán đặc biệt, nếu không đặc biệt ta xét từng khoảng để

bỏ dấu giá trị tuyệt đối

y 1b) Hàm số được xác định khi   2  

1 2 khi x  1.

Bài 5 Cho hàm số  2    

y x (2m 1)x 3m 5 a) Với mỗi giá trị của m, tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số

b) Khi m thay đổi, tìm giá trị lớn nhất trong các giá trị nhỏ nhất của hàm số

b) Khi m thay đổi, tìm giá trị nhỏ nhất trong các giá trị lớn nhất của f(x)

Hướng dẫn giải

Do đó giá trị lớn nhất của hàm số f(x)đạt giá trị nhỏ nhất là 15 khi m =  1

Bài 7 Cho hàm số y  f(x)  (2m 1)x    5 m Tìm m để f(x)  0 với mọi x thỏa mãn    1 x 2

Với 0  x1 x2  1.Vậy hàm số nghịch biến trên (0;1).

Bài 9 Xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số:

5   x 10: Hàm số không đổi;

x  10: Hàm số đồng biến

Bài 10 Cho tam giác ABC có A(3;1) Phương trình các đường trung tuyến BM,CNtương ứng là 2x    y 1 0và x 1   0 Lập phương trình các cạnh của tam giác ABC

Hướng dẫn giải

Trọng tâm G(1;1) Lấy Eđối xứng vớiA qua G thì E( 1;1) 

Đường thẳng BE qua E song song với CGlà: x   1,do đóB( 1; 3),  

Hướng dẫn giải

Xét phương trình: 1x       2 x x 3 y 3

3

14

 A(3;3)là giao điểm của đường thẳng (d) và đường thẳng ( ) : y   x.

Lấy A(0;2)  (d) Đường thẳng (d*) qua B(0;2) và vuông góc với ( )  có dạng:

  

y x 2

Hoành độ giao điểm Hcủa (d*) và ( )  là nghiệm của phương trình:

        x 2 x x 1 y 1 H(1;1) Gọi B 'là điểm đối xứng của B qua H, suy ra B'(0;2).

Phương trình đường thẳng (d ')qua A(3;3) và B'(2;0) là y  3x 6 

Bài 12 Cho parabol  2 

(P) : y x 1 Lập phương trình đường thẳng  d đi qua

(k 2) 12 0 nên phương trình (1)có hai nghiệm phân biệt

 (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt A,B với x ,xA B là nghiệm của (1)

Để M là trung điểm của AB thì xA xB  2xM   k 2.( 1)    2

Bài 13 Cho tam giácABC, cạnh AB có phương trình y 3x 2

a) Hai đồ thị cắt nhau tại A(1;1), B( 2;4) 

Trung điểm Icủa ABcó tọa độ  

Tọa độ điểm Mlà nghiệm của hệ   

b) Tìm tọa độ điểm M thuộc đồ thị hàm số sao cho tam giác AMB cân tạiM

(Vòng 1, THPT Chuyên Đại học Sư Phạm, năm học 2007 – 2008)

Bài 16 Cho parabol   2

a) Tìm tọa độ giao điểm I của (d ),(d ) theo1 2 m

b) Khi m thay đổi, chứng minh điểm I luôn thuộc một đường thẳng cố định

(Vòng 1, THPT Chuyên Đại học Sư phạm năm học 2011 – 2012)

m 1 thuộc đường thẳng có phương trình y    x 3.

Bài 18 Cho parabol  2

(P) : y x và đường thẳng   3 

(d) : y mx m 3, với m là tham số Tìm tất cả các giá trị của m để  d cắt  P tại hai điểm phân biệt có hoành độ x ,x1 2 Với giá trị nào của m thì là độ dài các cạnh góc vuông của tam

giác vuông có độ dài cạnh huyền bằng 5

đồ thị hàm số không thể đi qua

b) Chứng minh rằng đường thẳng  d có phương trình   2  

y x m 2m 2 luôn cắt parabol có phương trình  2  

y x x 7tại hai điểm phân biệt A,B và trung điểm I của đoạn thẳng AB thuộc một đường thẳng cố định

Bài 21 Cho parabol  2

(P) : y x và đường thẳng  d đi qua A 1;2  có hệ số góck

18

a) Chứng minh rằng với mọi k thì đường thẳng  d luôn cắt  P tại hai điểm phân biệt

b) Với k  2 , chứng minh rằng  d cắt  P tại hai điểm nhận A làm trung điểm

(THPT Chuyên – tỉnh Hà Tây (cũ), năm học 2007 - 2008)

(d)cắt (P) tại hai điểm O(0;0) và M(2;4) nên A là trung điểm của OM.

Bài 22 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giácABC Gọi M 1;1 là trung điểm củaBC Phương trình cạnh AB,AC tương ứng là x    y 2 0 và

19

b) (d)cắt (P) tại hai điểm A,B phân biệt có hoành độ dương  (1)có hai

nghiệm dương phân biệt    k 2.

y x có đồ thị  P và hai điểm A,B thuộc  P có hoành

độ lần lượt là  1 và 2

a) Viết phương trình đường thẳngAB

b) Vẽ đồ thị  P và tìm tọa độ điểm M thuộc cung AB của  P sao cho tam

20

giác AMB có diện tích lớn nhất

Hướng dẫn giải

a) A( 1;1),B(2;4)  và phương trình đường thẳng AB là y   x 2.

b) Gọi (d) : y   x m là đường thẳng song song với AB.

(d)tiếp xúc với (P) khi phương trình 2  

x x m có nghiệm kép m  1.

4Khi đó  

k 1Góc nhọn tạo bởi (d)với tia Ox là  thì tan      0

Vậy đồ thị hàm số đi qua ba điểm A 1;2 ,B 1;4 ,C    2;1 

Dễ thấy ba điểm A,B,Ccùng thuộc đường thẳng y   x 3.

Bài 29 Cho hàm số  3     2     

y x 2 m 1 x 12m 15 x 16m 30 Tìm m để đồ thị hàm số cắt Ox tại ba điểm phân biệt

Bài 30 Tìm m để đồ thị hàm số sau cắt trục Ox tại ba điểm phân biệt có hoành

độ dương:  3     2   2       

y x 3 m 1 x 2 m 4m 1 x 4m m 1

Bài 31 Tìm m để đồ thị hàm số sau cắt trục Ox tại bốn điểm phân biệt:

x 1 Tìm các điểm trên đồ thị có tọa độ nguyên

Hướng dẫn giải

x nguyên, y nguyên khi 3 x 1   

Vậy đồ thị hàm số đi qua các điểm có tọa độ nguyên là:

x 3 Tìm các điểm trên đồ thị có tọa độ nguyên