CHUYÊN đề ôn THI vào lớp 10 CHUYÊN hàm số

Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số.. Tìm các điểm đặc biệt: Điểm đồ thì hàm số luôn đi qua, điểm đồ thị hàm sốkhông thể đi qua.. Chứng minh đường thẳng d luôn cắtparabol P

CHUYÊN ĐỀ HÀM SỐ

A MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN

Các bài toán về hàm số được ra tương đối nhiều trong các kì thi chọn họcsinh giỏi và thi vào các lớp chuyên THPT Trong chuyên đề này, ta quan tâm đếncác bài toán về hàm số, bao gồm các vấn đề chính sau đây:

1 Tìm tập xác định, tập giá trị của hàm số

2 Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số

3 Chứng minh hàm số đồng biến hay nghịch biến trên một khoảng

4 Lập phương trình đường thẳng hay Parabol thỏa mãn điều kiện đã cho

5 Tìm các điểm đặc biệt: Điểm đồ thì hàm số luôn đi qua, điểm đồ thị hàm sốkhông thể đi qua

6 Biện luận sự tương giao của đồ thị

7 Dựa vào đồ thị, biện luận số nghiệm của phương trình

8 Tìm điều kiện của tham số để hàm số thỏa mãn điều kiện cho trước

Phương pháp tư duy và kỹ năng làm toán được hướng dẫn qua các ví dụ sau:

B PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN QUA CÁC VÍ DỤ

b) Chứng minh y 3� , chỉ rõ dấu bằng xảy ra khi x bằng bao nhiêu?

( THPT Chuyên Ngoại ngữ - Đại học Quốc gia Hà Nội, năm học 2003 – 2004)

3x 12 y

DẠNG 3 CHỨNG MINH HÀM SỐ ĐỒNG BIẾN HAY NGHỊCH BIẾN

TRÊN MỘT KHOẢNG CHO TRƯỚC

Ví dụ 6: Chứng minh rằng hàm số: y x  3  x 2    x m 7 luôn đồng biến

Do đóy1 y2Từ đó suy ra hàm số nghịch biến với x 1 

DẠNG 4 LẬP PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG HOẶC PARABOL

Ví dụ 8: Tìm phương trình đường thẳng đi qua điểm I (0; 1) và cắt parabol

 2

y x tại hai điểm phân biệt M và N sao cho MN 2 10 

(THPT Chuyên Ngoại ngữ - Đại học Quốc gia HN năm học 2000 – 2001)

Hướng dẫn giải

Phương trình đường thẳng có dạng y = ax + 1

Xét phương trình x =ax+12 �x -ax-1=02 (1)

    a 2 4 0Với mọi a, (1) luôn có hai nghiệm phân biệt nên (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân M x ;y ,N x ;y 1 1  2 2

 d luôn cắt  P tại hai điểm phân biệt A,B với độ dài đoạn AB 4 

(THPT Chuyên ngoại ngữ - Đại học Quốc Gia Hà Nội, năm học 2001 - 2002)

Gọi (d) là đường thẳng đi qua I(0; 2)  và có hệ số góc k

a) Viết phương trình đường thẳng (d) Chứng minh đường thẳng (d) luôn cắtparabol (P) tại hai điểm phân biệt A,B khi k thay đổi

b) Gọi H,Ktheo thứ tự là hình chiếu vuông góc của trên trục hoành Chứngminh rằng tam giác IHKvuông tại I

(THPT Chuyên Ngoại ngữ - Đại học Quốc gia Hà Nội, năm học 2006 – 2007)

  ' k 2   4 0 với mọi k, suy ra (1) có hai nghiệm phân biệt

Vậy (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt A,B

b) Giả sử (1) có hai nghiệm phân biệt x ,x 1 2

Vậy tam giácIKH vuông tại I

DẠNG 5 TÌM CÁC ĐIỂM ĐẶC BIỆT CỦA ĐỒ THỊ

Ví dụ 11 Cho hàm số y mx  2  2(m 2)x 3m 1   

a) Tìm các điểm cố định mà đồ thị hàm số luôn đi qua với mọi giá trị m.

b) Tìm các điểm trong mặt phẳng Oxymà đồ thị hàm số không thể đi qua

b) Giả sử điểm có tọa độ (x ;y ) 0 0 là điểm mà đồ thị hàm số không thể đi qua

Khi đó phương trình (1) không có nghiệm đối với

y 13.

Ví dụ 12 Cho các đường thẳng (d ) m có phương trình:

a) Chứng minh rằng các đường thẳng (d ) m luôn đi qua một điểm cố định

b) Tìm mđể khoảng cách từ điểmA( 1; 2)   đến (d ) m là lớn nhất

Hướng dẫn giải

a) Giả sử các đường thẳng (d ) m luôn đi qua M(x ;y ) 0 0

Khi đó với mọi y0 (2m 1)x  0 4m 3  với mọi m,

Hay với mọi (2x0 4)m 3 x   0 y0 0với mọi m

b) Hạ AHvuông góc với (d ) m , AHlà khoảng cách từ Ađến (d ) m AH AM �

Vậy AHlớn nhất bằng AMkhi AMvuông góc với(d ) m

Phương trình đường thẳng là y x 1   , vuông góc với khi và chỉ khi

DẠNG 6 BIỆN LUẬN SỰ TƯƠNG GIAO CỦA HAI ĐỒ THỊ

Ví dụ 13 Trong mặt phẳng tọa độOxy, cho đường thẳng (d):2x y a   2  0vàparabol(P): y ax (a 0)  2 

a) Tìm a để  d cắt P tại hai điểm phân biệt A,B Chứng minh rằng Avà Bnằm

bên phải trục tung

b) Gọi x ,x A B là hoành độ của Avà B Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

Ví dụ 14 Trong mặt phẳng tọa độ cho ba đường thẳng:(d ): y1    x 1;

Ví dụ 15 Cho parabol (P):y x  2 và đường thẳng(d): y mx 1  

a) Chứng minh rằng đường thẳng  d luôn cắt parabol P  tại hai điểm phân biệt

với mọi giá trị

b) Gọi A(x ;y ) 1 1 và B(x ;y ) 2 2 là các giao điểm của (d)và(P) Tìm giá trị lớn nhấtcủa biểu thức:M (y 1)(y  1 2 1)

(Vòng 1, THPT Chuyên Đại học Sư phạm, năm học 2009 – 2010)

Hướng dẫn giải

a) Xét phương trìnhx 2  mx 1  � x 2  mx 1 0   (1)

  m 2   4 0 với mọi nên(1) có hai nghiệm phân biệt , suy ra  d luôn cắt  P

tại hai điểm phân biệtA(x ;y ) 1 1 và B(x ;y ) 2 2

Vậy maxM 0  khi m 0 

DẠNG 7 DỰA VÀO ĐỒ THỊ BIỆN LUẬN

SỐ NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH

Ví dụ 1Bài Tìm m đề phương trình sau có nghiệm:

DẠNG 8 CÁC BÀI TOÁN KHÁC

Ví dụ 18 Cho hàm số 



1 f(x)

x y

(THPT Chuyên Ngoại ngữ - Đại học Quốc gia Hà Nội, năm học 2001 – 2002)

Hướng dẫn giải

- Nếu x 0  thì y 0 

 Chú ý: Đây là bài toán đặc biệt, nếu không đặc biệt ta xét từng khoảng

để bỏ dấu giá trị tuyệt đối.

Vậy min y 4 2  khi x  8  48.

Bài 4 Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của các hàm số:

Hướng dẫn giải

a) (y 1)x  2  8x y 7 0 (1)   

1 2khi x 1 

Bài 5 Cho hàm sốy x  2  (2m 1)x 3m 5   

a) Với mỗi giá trị của m, tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số

b) Khi m thay đổi, tìm giá trị lớn nhất trong các giá trị nhỏ nhất của hàm số

a) Với mỗi giá trị m, hãy tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số f(x) theo m

b) Khi m thay đổi, tìm giá trị nhỏ nhất trong các giá trị lớn nhất của f(x)

Do đó giá trị lớn nhất của hàm số f(x)đạt giá trị nhỏ nhất là 15 khi m = 1.

Bài 7 Cho hàm số y f(x) (2m 1)x 5 m      Tìm m để f(x) 0� với mọi x thỏa mãn  � � 1 x 2

Với 0 x  1 x2 1.Vậy hàm số nghịch biến trên (0;1).

Bài 9 Xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số:

Bài 10 Cho tam giác ABC có A(3;1) Phương trình các đường trung tuyến

BM,CNtương ứng là 2x y 1 0    và x 1 0   Lập phương trình các cạnh củatam giác ABC

Hướng dẫn giải

Trọng tâm G(1;1) Lấy Eđối xứng vớiA qua G thì E( 1;1) 

Đường thẳng BE qua E song song với CGlà: x   1,do đóB( 1; 3),  

Lấy A(0;2) (d)� Đường thẳng (d*) qua B(0;2) và vuông góc với ( )  có dạng:

  

Hoành độ giao điểm Hcủa (d*) và ( )  là nghiệm của phương trình:

   x 2 x � x 1  � y 1  � H(1;1).Gọi B'là điểm đối xứng của B qua H, suy ra B'(0;2).

Phương trình đường thẳng (d')qua A(3;3) và B'(2;0) là y 3x 6  

Bài 12 Cho parabol (P):y x  2  1 Lập phương trình đường thẳng  d đi qua

  (k 2)  2  12 0  nên phương trình (1)có hai nghiệm phân biệt

� (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt A,B với x ,x A B là nghiệm của (1).

Để M là trung điểm của AB thì xA  xB  2xM � k 2.( 1)     2.

Bài 13 Cho tam giácABC, cạnh AB có phương trình y 3x 2

BCđi qua Bnên ta có

Bài 14 Cho M(x ;y ),N(x ;y ),P(x ;y ) 1 1 2 2 3 3 tương ứng là tọa độ trung điểm các cạnh

BC,AC,AB của tam giácABC Tìm tọa độ các điểmA,B,C

Hướng dẫn giải

a) Hai đồ thị cắt nhau tại A(1;1), B( 2;4) 

Trung điểm Icủa ABcó tọa độ

b) Tìm tọa độ điểm M thuộc đồ thị hàm số sao cho tam giác AMB cân tạiM

(Vòng 1, THPT Chuyên Đại học Sư Phạm, năm học 2007 – 2008)

Bài 16 Cho parabol (P): y   x 2 và đường thẳng (d): y (m 2)x 1   

a) Chứng minh rằng  d luôn cắt  P tại hai điểm phân biệtA,B

A(x ; x ),B(x ; x ) nên phương tình đường thẳng OA : y   x x1 và

OB: y   x x2 Ta có: ( x )( x ) x x  1  2  1 2   1 nên OA  OB.

Bài 17 Cho hai đường thẳng:  2   

a) Tìm tọa độ giao điểm I của (d ),(d ) 1 2 theom

b) Khi m thay đổi, chứng minh điểm I luôn thuộc một đường thẳng cố định

(Vòng 1, THPT Chuyên Đại học Sư phạm năm học 2011 – 2012)

m 1 thuộc đường thẳng có phương trình y    x 3.

Bài 18 Cho parabol (P): y x  2 và đường thẳng (d): y mx m 3   3  , với m làtham số Tìm tất cả các giá trị của m để  d cắt  P tại hai điểm phân biệt có

hoành độ x ,x 1 2 Với giá trị nào của m thì là độ dài các cạnh góc vuông của tam

giác vuông có độ dài cạnh huyền bằng

Bài 20 a) Cho hàm số y x  2  2x m 6m 13  2   Tìm các điểm trên trục Oy mà

đồ thị hàm số không thể đi qua

b) Chứng minh rằng đường thẳng  d có phương trìnhy x m   2  2m 2  luôncắt parabol có phương trình y x  2   x 7tại hai điểm phân biệt A,B và trungđiểm I của đoạn thẳng AB thuộc một đường thẳng cố định

b) Phương trình hoành độ giao điểm là x 2  2x m 2m 9 0  2   

  ' m 2  2m 10 (m 1)    2   9 0 với mọi m, do đó đường thẳng luôn cắt

parapol (P) tại hai điểm phân biệt A,B.

I là trung điểm của AB thì

Vậy điểm Ithuộc đường thẳng x 1 

Bài 21 Cho parabol (P): y x  2và đường thẳng  d đi qua A 1;2  có hệ số góck

a) Chứng minh rằng với mọi k thì đường thẳng  d luôn cắt  P tại hai điểm

phân biệt

b) Với k 2  , chứng minh rằng  d cắt  P tại hai điểm nhận A làm trung điểm.

(THPT Chuyên – tỉnh Hà Tây (cũ), năm học 2007 - 2008)

(d)cắt (P) tại hai điểm O(0;0) và M(2;4) nên A là trung điểm của OM.

Bài 22 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giácABC Gọi M 1;1  là trung

điểm củaBC Phương trình cạnh AB,AC tương ứng là x y 2 0    và

b) Tìm k để  d cắt  P tại hai điểm A,B phân biệt thỏa mãn AB 12  và cácđiểm A,B có hoành độ là các số dương.

(THPT Chuyên Đại học Sư phạm TP Hồ Chí minh, năm học 2008 – 2009)

b) (d)cắt (P) tại hai điểm A,B phân biệt có hoành độ dương � (1)có hai

nghiệm dương phân biệt � k   2.

� k 2 5 (loại) hoặc k 2  8 � k  � 2 2.Vậy k   2 2.

Bài 24 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng(d): y 2x k   2  2k 1  vàparabol (P): y (k 1)x ,k 1   2 

a) Tìm k để  d cắt  P tại hai điểm phân biệtA,B Chứng minh rằng khi đóA,B nằm ở bên phải trụcOy

b) Gọi x ,x 1 2 là hoành độ các điểmA,B tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

a) Phương trình (k 1)x  2  2x (k 1)   2  0 có hai nghiệm phân biệt khi

     1 (k 1) 2  0 � k 2  Kết hợp với điều kiện ta có 1 k 2  

a) Viết phương trình đường thẳngAB.

b) Vẽ đồ thị  P và tìm tọa độ điểm M thuộc cung AB của  P sao cho tam

giác AMB có diện tích lớn nhất

Hướng dẫn giải

a) A( 1;1),B(2;4)  và phương trình đường thẳng AB là y x 2  

b) Gọi (d): y x m   là đường thẳng song song với AB.

(d)tiếp xúc với (P) khi phương trình x 2   x m có nghiệm kép� m  1.

Bài 26 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng  d :2kx  k 1 y 2 

a) Với giá trị nào của k thì đường thẳng  d song song với đường thẳng y  3x

Khi đó hãy tĩnh góc tạo bởi  d và tịa Ox.

(d)song song với y  3x khi

Bài 28 Chứng minh rằng đồ thị hàm số y mx  3  2mx 2  1 m x 3 2m   luôn

đi qua ba điểm cố định và ba điểm đó thẳng hàng

Vậy đồ thị hàm số đi qua ba điểm A 1;2 ,B 1;4 ,C 2;1      

Dễ thấy ba điểm A,B,Ccùng thuộc đường thẳng y x 3  

Bài 30 Tìm m để đồ thị hàm số sau cắt trục Ox tại ba điểm phân biệt có hoành

x nguyên, y nguyên khi 3 x 1 M   .

Vậy đồ thị hàm số đi qua các điểm có tọa độ nguyên là:

Thử lại ta có x 2  , suy ra M 1;2  là điểm cần tìm.