CHUYÊN đề ôn THI vào lớp 10 CHUYÊN hàm số

Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số.. Tìm các điểm đặc biệt: Điểm đồ thì hàm số luôn đi qua, điểm đồ thị hàm sốkhông thể đi qua.. b Tìm các điểm trong mặt phẳng Oxymà đồ th

CHUYÊN ĐỀ HÀM SỐ

A MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN

Các bài toán về hàm số được ra tương đối nhiều trong các kì thi chọn họcsinh giỏi và thi vào các lớp chuyên THPT Trong chuyên đề này, ta quan tâm đếncác bài toán về hàm số, bao gồm các vấn đề chính sau đây:

1 Tìm tập xác định, tập giá trị của hàm số

2 Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số

3 Chứng minh hàm số đồng biến hay nghịch biến trên một khoảng

4 Lập phương trình đường thẳng hay Parabol thỏa mãn điều kiện đã cho

5 Tìm các điểm đặc biệt: Điểm đồ thì hàm số luôn đi qua, điểm đồ thị hàm sốkhông thể đi qua

6 Biện luận sự tương giao của đồ thị

7 Dựa vào đồ thị, biện luận số nghiệm của phương trình

8 Tìm điều kiện của tham số để hàm số thỏa mãn điều kiện cho trước

Phương pháp tư duy và kỹ năng làm toán được hướng dẫn qua các ví dụ sau:

B PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN QUA CÁC VÍ DỤ

Chú ý: Ở bài này, học sinh hay bỏ sót giá trị x 0 =

vì đã biến đổi sai là:

( − ≥ ⇔) − ≥

, chỉ rõ dấu bằng xảy ra khi x bằng bao nhiêu?

( THPT Chuyên Ngoại ngữ - Đại học Quốc gia Hà Nội, năm học 2003 – 2004)

3x 12 y

DẠNG 3 CHỨNG MINH HÀM SỐ ĐỒNG BIẾN HAY NGHỊCH BIẾN

TRÊN MỘT KHOẢNG CHO TRƯỚC

Ví dụ 6: Chứng minh rằng hàm số: y x = 3 + x 2 + + − x m 7

luôn đồng biến

Hướng dẫn giải

Từ đó suy ra hàm số nghịch biến với x 1 >

DẠNG 4 LẬP PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG HOẶC PARABOL

Ví dụ 8: Tìm phương trình đường thẳng đi qua điểm I (0; 1) và cắt parabol

= 2

y x

tại hai điểm phân biệt M và N sao cho MN 2 10 =

(THPT Chuyên Ngoại ngữ - Đại học Quốc gia HN năm học 2000 – 2001)

hai điểm phân M x ;y ,N x ;y( 1 1) ( 2 2)

a) Hãy vẽ Parabol ( )P

b) Viết phương trình đường thẳng ( )d

đi qua hai điểm M;I Chứng minh rằng( )d

luôn cắt ( )P

tại hai điểm phân biệt A,B với độ dài đoạn AB 4 >

(THPT Chuyên ngoại ngữ - Đại học Quốc Gia Hà Nội, năm học 2001 - 2002)

parabol (P) tại hai điểm phân biệt A,B khi k thay đổi.

b) Gọi H,Ktheo thứ tự là hình chiếu vuông góc của trên trục hoành Chứng

minh rằng tam giác IHKvuông tại I

(THPT Chuyên Ngoại ngữ - Đại học Quốc gia Hà Nội, năm học 2006 – 2007)

với mọi k, suy ra (1) có hai nghiệm phân biệt

Vậy (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt A,B

b) Giả sử (1) có hai nghiệm phân biệt x ,x1 2

Vậy tam giácIKH vuông tại I

DẠNG 5 TÌM CÁC ĐIỂM ĐẶC BIỆT CỦA ĐỒ THỊ

Ví dụ 11 Cho hàm số y mx = 2 + 2(m 2)x 3m 1 − − +

a) Tìm các điểm cố định mà đồ thị hàm số luôn đi qua với mọi giá trị m.

b) Tìm các điểm trong mặt phẳng Oxymà đồ thị hàm số không thể đi qua

b) Giả sử điểm có tọa độ (x ;y )0 0 là điểm mà đồ thị hàm số không thể đi qua

Khi đó phương trình (1) không có nghiệm đối với

Ví dụ 12 Cho các đường thẳng (d )m có phương trình:

a) Chứng minh rằng các đường thẳng (d )m luôn đi qua một điểm cố định

b) Tìm mđể khoảng cách từ điểmA( 1; 2) − −

đến (d )m là lớn nhất

Hướng dẫn giải

a) Giả sử các đường thẳng (d )m luôn đi qua M(x ;y )0 0

Khi đó với mọi y0= (2m 1)x − 0− 4m 3 +

Vậy AHlớn nhất bằng AMkhi AMvuông góc với(d )m

Phương trình đường thẳng là y x 1 = −

, vuông góc với khi và chỉ khi

− = − ⇔ =

DẠNG 6 BIỆN LUẬN SỰ TƯƠNG GIAO CỦA HAI ĐỒ THỊ

Ví dụ 13 Trong mặt phẳng tọa độOxy, cho đường thẳng (d):2x y a − − 2 = 0

cắt ( )P

tại hai điểm phân biệt khi (1) có hai nghiệm phân biệt

⇔ ∆ > ⇔ < ' 0 a 1.

Kết hợp với điều kiện 0 a 1 < <

ta có Khi đó (1) có hai nghiệm dương nênA,B

Vậy khi minT 2 2 =

b) Gọi A(x ;y )1 1 và B(x ;y )2 2 là các giao điểm của (d)và(P) Tìm giá trị lớn nhất

của biểu thức:M (y 1)(y = 1− 2− 1)

(Vòng 1, THPT Chuyên Đại học Sư phạm, năm học 2009 – 2010)

DẠNG 7 DỰA VÀO ĐỒ THỊ BIỆN LUẬN

SỐ NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH

Ví dụ 1Bài Tìm m đề phương trình sau có nghiệm:

1 x

f (x) x khi n 3k

x 1 khi n 3k 2x

x y

2 2002 1

Đặt

= 1

t x

 Chú ý: Đây là bài toán đặc biệt, nếu không đặc biệt ta xét từng khoảng

để bỏ dấu giá trị tuyệt đối.

16 y

khi x 1 =

Bài 5 Cho hàm sốy x = 2 + (2m 1)x 3m 5 − + −

a) Với mỗi giá trị của m, tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số

b) Khi m thay đổi, tìm giá trị lớn nhất trong các giá trị nhỏ nhất của hàm số

a) Với mỗi giá trị m, hãy tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số f(x) theo m

b) Khi m thay đổi, tìm giá trị nhỏ nhất trong các giá trị lớn nhất của f(x)

Với 0 x < 1< x2< 1.

Vậy hàm số nghịch biến trên (0;1).

Bài 9 Xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số:

Trọng tâm G(1;1) Lấy Eđối xứng vớiA qua G thì E( 1;1) −

Đường thẳng BE qua E song song với CGlà: x = − 1,

Hoành độ giao điểm Hcủa (d*) và ( ) ∆

là nghiệm của phương trình:

− + = ⇒ = ⇒ = ⇒ x 2 x x 1 y 1 H(1;1)

Gọi B'là điểm đối xứng của B qua H, suy ra B'(0;2).

Phương trình đường thẳng (d')qua A(3;3) và B'(2;0) là y 3x 6 = −

Bài 12 Cho parabol (P): y x = 2 − 1

cắt (P) tại hai điểm phân biệt A,B với x ,xA B là nghiệm của (1).

Để M là trung điểm của AB thì xA + xB = 2xM ⇔ = k 2.( 1) − = − 2.

Bài 13 Cho tam giácABC, cạnh AB có phương trình

a) Hai đồ thị cắt nhau tại A(1;1), B( 2;4) −

Trung điểm Icủa ABcó tọa độ

a) Xác định tọa độ giao điểm A,B của đồ thị những hàm số đã cho và tọa độ

trung điểm I của đoạn thẳngAB , biết điểm A có hoành độ dương

b) Tìm tọa độ điểm M thuộc đồ thị hàm số sao cho tam giác AMB cân tạiM

(Vòng 1, THPT Chuyên Đại học Sư Phạm, năm học 2007 – 2008)

Bài 16 Cho parabol (P): y = − x 2

a) Tìm tọa độ giao điểm I của (d ),(d )1 2 theom.

b) Khi m thay đổi, chứng minh điểm I luôn thuộc một đường thẳng cố định

(Vòng 1, THPT Chuyên Đại học Sư phạm năm học 2011 – 2012)

thuộc đường thẳng có phương trình y = − − x 3.

Bài 18 Cho parabol (P): y x = 2

và đường thẳng (d): y mx m 3 = − 3 +

, với m là

tham số Tìm tất cả các giá trị của m để ( )d

cắt ( )P

tại hai điểm phân biệt có

hoành độ x ,x1 2 Với giá trị nào của m thì là độ dài các cạnh góc vuông của tam

giác vuông có độ dài cạnh huyền bằng

5 2

Bài 19 Cho điểmA 2;4(− )

Tìm điểm B thuộc parabol sao cho tam giác OAB

tại hai điểm phân biệt A,B và trung

điểm I của đoạn thẳng AB thuộc một đường thẳng cố định

∆ = ' m 2 + 2m 10 (m 1) + = + 2 + > 9 0

với mọi m, do đó đường thẳng luôn cắt

parapol (P) tại hai điểm phân biệt A,B.

Vậy điểm Ithuộc đường thẳng x 1 =

Bài 21 Cho parabol (P): y x = 2

tại hai điểm nhận A làm trung điểm

(THPT Chuyên – tỉnh Hà Tây (cũ), năm học 2007 - 2008)

cắt (P) tại hai điểm O(0;0) và M(2;4) nên A là trung điểm của OM.

Bài 22 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giácABC Gọi M 1;1(− )

điểm A,B có hoành độ là các số dương.

(THPT Chuyên Đại học Sư phạm TP Hồ Chí minh, năm học 2008 – 2009)

b) Vẽ đồ thị ( )P

và tìm tọa độ điểm M thuộc cung AB của ( )P

sao cho tam

giác AMB có diện tích lớn nhất

Hướng dẫn giải

a) A( 1;1),B(2;4) −

và phương trình đường thẳng AB là y x 2 = +

song song với đường thẳng y = 3x

Khi đó hãy tĩnh góc tạo bởi ( )d

với mọi m( ) ( ) ( )

Vậy đồ thị hàm số đi qua ba điểm A 1;2 ,B 1;4 ,C 2;1 (− ) ( ) (− )

Dễ thấy ba điểm A,B,Ccùng thuộc đường thẳng y x 3 = +

Bài 29 Cho hàm số y x = − 3 2 m 1 x( + ) 2 +(12m 15 x 16m 30 − ) − +

Tìm m để đồ

thị hàm số cắt Ox tại ba điểm phân biệt

Bài 30 Tìm m để đồ thị hàm số sau cắt trục Ox tại ba điểm phân biệt có hoành

( ) ( ) ( ) ( )

{ 2;10 , 0;2 , 4;26 , 2;18 − }