skkn rèn LUYỆN tư DUY SUY LUẬN QUA bài TOÁN KHOẢNG CÁCH TRONG KHÔNG GIAN TRONG CHƯƠNG TRÌNH HÌNH học lớp 11

Nếu như trước đây một bàitoán khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau học sinh cứ theo phương pháptìm đường vuông góc chung để tính khoảng cách vẫn có thể khả thi vì thời gianlàm tự l

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỒNG NAI

THPT CHU VĂN AN

Mã số: (Do HĐKH Sở GD&ĐT ghi)

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

RÈN LUYỆN TƯ DUY SUY LUẬN THÔNG QUA BÀI TOÁN

KHOẢNG CÁCH TRONG KHÔNG GIAN TRONG

CHƯƠNG TRÌNH HÌNH HỌC LỚP 11

Người thực hiện: Nguyễn Đăng ThịnhLĩnh vực nghiên cứu:

- Quản lý giáo dục 

- Phương pháp dạy học bộ môn: Toán 

(Ghi rõ tên bộ môn)

- Lĩnh vực khác: 

(Ghi rõ tên lĩnh vực)

Có đính kèm: Các sản phẩm không thể hiện trong bản in SKKN

 Mô hình  Đĩa CD (DVD)  Phim ảnh  Hiện vật khác

(các phim, ảnh, sản phẩm phần mềm)

Năm học: 2016 - 2017

BM 01-Bia SKKN

SƠ LƯỢC LÝ LỊCH KHOA HỌC

––––––––––––––––––

I THÔNG TIN CHUNG VỀ CÁ NHÂN

1 Họ và tên: Nguyễn Đăng Thịnh

2 Ngày tháng năm sinh: 13/05/1986

3 Nam, nữ: Nam

4 Địa chỉ:

7 Chức vụ: Bí thư đoàn trường

8 Nhiệm vụ được giao : Giảng dạy bộ môn toán lớp 11A1 và 12A2

9 Đơn vị công tác: THPT Chu Văn An

II TRÌNH ĐỘ ĐÀO TẠO

- Học vị (hoặc trình độ chuyên môn, nghiệp vụ) cao nhất: Thạc sĩ

- Năm nhận bằng: 2014

- Chuyên ngành đào tạo: Toán giải tích

III KINH NGHIỆM KHOA HỌC

- Lĩnh vực chuyên môn có kinh nghiệm: Giảng dạy bộ môn toán

Số năm có kinh nghiệm: 7

- Các sáng kiến kinh nghiệm đã có trong 5 năm gần đây: 1 sáng kiến kinh nghiệm

BM02-LLKHSKKN

3 Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau trang 15

IV HIỆU QUẢ CỦA ĐỀ TÀI trang 23

V ĐỀ XUẤT, KHUYẾN NGHỊ KHẢ NĂNG ÁP DỤNG trang 23

VI TÀI LIỆU THAM KHẢO trang 23

em bỏ qua luôn vì nghĩ mình không thể làm được có làm cũng sai và mất thời gian.

Vì vậy, khi giảng dạy phần hình học không gian lớp 11 đặc biệt là phần khoảngcách trong không gian giáo viên phải kiên nhẫn hướng dẫn các em từng bước đểxác định cũng như tính được khoảng cách trong từng loại bài toán Qua nhiều nămdạy lớp 11 tôi nhận thấy rằng để giúp các em làm được phần khoảng cách thì việcdạy phương pháp với từng loại bài khoảng cách, hướng dẫn các em từng bướctrong việc xác định khoảng cách sẽ giúp các em có được sự định hướng và đặc biệt

là tự giải quyết được các bài toán về khoảng cách

Hiện nay, khi việc thi trung học phổ thông quốc gia đã được chuyển sanghình thức thi trắc nghiệm, điều đó có nghĩa là thời gian để giải quyết các bài toán

ít hơn đòi hỏi học sinh phải xử lí các bài toán nhanh hơn Vì vậy, khi dạy giáo viênphải chú trọng hơn đến việc rèn luyện tư duy cho học sinh

Kì thi trung học phổ thông quốc gia từ năm 2018 trở đi sẽ mở rộng giới hạnchương trình, do đó bài toán khoảng cách là bài toán không thể thiếu trong đề thi.Chính vì vậy, việc dạy cho học sinh cách giải, cách tư duy bài toán khoảng cách làđiều hết sức cần thiết

BM03-TMSKKN

II CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN

Một trong những trọng tâm của đổi mới chương trình và sách giáo khoa giáodục phổ thông là tập chung vào việc đổi mới phương pháp dạy học, thực hiên việcdạy học dựa trên sự tích cực, chủ động của học sinh với sự tổ chức và hướng dẫncủa giáo viên nhằm phát triển tư duy độc lập, sáng tạo, tạo niềm tin và niềm vuitrong quá trình học của học sinh

Việc thay đổi cách thi từ tự luận sang trắc nghiệm cũng đòi hỏi người học vàngười dạy phải thay đổi để phù hợp với cách thi mới Nếu như trước đây một bàitoán khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau học sinh cứ theo phương pháptìm đường vuông góc chung để tính khoảng cách vẫn có thể khả thi vì thời gianlàm tự luận sẽ nhiều hơn, còn đối với trắc nghiệm thì việc lựa chọn đúng phươngpháp sẽ phù hợp với thời gian của trắc nghiệm

Sách giáo khoa Hình học lớp 11 cơ bản và nâng cao đều viết bài “KHOẢNGCÁCH” rất đơn giản về lí thuyết tuy nhiên phần bài tập đối với học sinh thì lạikhông đơn giản đối với học sinh Nếu người dạy chỉ đưa ra các định nghĩa nhưsách giáo khoa và cho học sinh làm bài tập thì chắc chắn nhiều học sinh không thểlàm được Học sinh thường lúng túng khi tìm hình chiếu vuông góc của điểm lênmặt phẳng thì điểm đó nằm ở đâu? Tại sao lại nằm ở đó? Tìm ra điểm đó như thếnào ? Trong sách giáo khoa nâng cao lớp 11, phần lý thuyết có bài toán tìm đườngvuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau, nhưng rõ ràng trong thực tế khigiải bài toàn khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau không phải lúc nào tacũng phải bắt buộc tìm đường vuông góc chung

Toán là môn khoa học rèn luyện tư duy cho học sinh và hình học không gian

là một chương rất tốt để thực hiện nhiệm vụ này

Xuất phát từ những lí do trên, nên tôi đã chọn đề tài: Rèn luyện tư duy suy

luận qua bài toán khoảng cách trong không gian trong chương trình hình học lớp 11.

III TỔ CHỨC THỰC HIỆN CÁC GIẢI PHÁP

Phần khoảng cách trong không gian ở hình học lớp 11 thường là một bàitoán khó cho học sinh Chính vì vậy nếu người giáo viên chỉ đưa ra các khái niệm

về khoảng cách ở các mục trong sách giáo khoa rồi đưa ví dụ áp dụng sẽ rất khó đểmột số học sinh có thể tự làm được các bài toán về khoảng cách Nhiều học sinhkhông biết bắt đầu từ đâu, dùng phương pháp nào, tại sao lại nghĩ đến kẻ đườngthẳng này, vẽ đường thẳng kia Một số học sinh khá hơn thì mày mò tìm đượccách giải theo kiểu thử sai, có khi được có khi không, một số học sinh khác gầnnhư không có hướng giải quyết cho loại bài toán này Đề tài này mong muốn giúpcác em từng bước tự giải quyết vấn đề trên

1 Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng và đến một mặt phẳng:

1.1 Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng

Phần này chỉ lưu ý học sinh cách tính độ dài đoạn MH, người ta thường xem đoạn

MH là đường cao của tam giác MAB với A,B nằm trên đường thẳng d

Chú ý : Khi tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng  

1 Nếu đã có sẵn đường thẳng  vuông góc với mặt phẳng   chỉ cần dựngđường thẳng qua A và song song với 

Nhắc lại định lí 2, hai mặt phẳng vuông góc với nhau theo giao tuyến d,

trong mặt này kẻ đường thẳng a vuông góc với d thì a sẽ vuông góc với mặt phẳng kia.

Từ đó giáo viên cho học sinh ghi nhớ “Các bước xác định khoảng cách từ

một điểm M đến một mặt phẳng (P)” như sau:

+ Tìm mặt phẳng (Q) qua M và vuông góc với (P)

+ Tìm giao tuyến d của (P) và (Q)

+ Trong (Q), Kẻ MH vuông góc với d (H thuộc giao tuyến d) Khi đó

+ Mp(SAM) đi qua A và vuông góc với mp(SBC)

(M là trung điểm của BC);

Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật

ngay mặt phẳng SAM Tiếp tục yêu cầu học sinh tìm mặt phẳng đi qua B và

vuông góc với mặt phẳng SMD Đối với yêu cầu thứ 2 gần như các em không

thể tìm ra ngay hoặc tìm sai mặt phẳng

Như vậy, học sinh sẽ thấy rằng việc tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng

SMD sẽ dễ hơn việc tính khoảng cách từ B đến mặt phẳng  SMD , công việc

còn lại là tìm mối quan hệ giữa hai khoảng cách này

Trong mặt phẳng ABCD  : E ABDM , theo chú ý 3, ta có:

GV yêu cầu học sinh sử dụng các bước đã hướng dẫn để tìm khoảng cách

+ Mặt phẳng qua A và vuông góc với mpSMD là mp SAM ;

(AM2 DM2 AD AM2 DM 2a 2

+ Giao tuyến SM =(SAM) (Ç SDM);

+ Trong mặt phẳng SAM : kẻ  AH SM H SM   Ta có AH SMD

suy ra d A SMD ,   AH

AH là đường cao tam giác nào ?

Xét tam giác vuông SAM có:

có sẵn yếu tố vuông góc SA ABCD nên việc tìm mặt phẳng thỏa phương pháp

GV yêu cầu mỗi học sinh làm 1 bước (theo các bước đã hướng dẫn)

+ Tìm mặt phẳng qua O vuông góc với ABC : đó là mặt phẳng   AOH trong đó

H là hình chiếu vuông góc của O lên BC;

+ Giao tuyến của mpAOH và mp  ABC là AH;

+ Trong mpAOH , kẻ OK vuông góc với AH

Chú ý: Cho tứ diện OABC có OA,OB,OC đội một vuông góc, OA a ,,

AA  ABC Nên thay vì tìm mặt phẳng qua G vuông góc với mặt phẳng

A BC ta sẽ tìm mặt phẳng qua A và vuông góc với '  A BC : đó là mặt phẳng' 

+ Giao tuyến của mặt phẳng  AA B và '  ABC là: A’B;

+ Trong mặt phẳng  AA B kẻ '  AH A B' (H thuộc A’B) thì

+ Mà AH là chiều cao của tam giác nào? Dựa vào tam giác A’AB học sinh

sẽ đưa ra hướng tính AH: 1 2 1 2 12 2' 2 22 2 2

Nhận xét: Trong câu b) việc tính khoảng cách vẫn có thể tuân theo các bước như

các ví dụ 1,2,3 Tuy nhiên việc học không phải là rập khuôn, việc quan sát để ý đếncác đặc trưng của bài toán sẽ cho ta cách làm ngắn gọn hơn, phù hợp hơn với yêucầu thi trắc nghiệm hiện nay

Đây là một bài toán tuy đơn giản nhưng nó phù hợp với hình thức thi trắcnghiệm hiện nay, nó là một bài toán ứng dụng thực tế

Hình chóp S.ABCD là hình chóp đều Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếphình vuông ABCD, khoảng cách từ đỉnh S đến mặt đáy (ABCD) khi đó là SO

2 Khoảng cách giữa một đường thẳng và một mặt phẳng song song, giữa hai mặt phẳng song song.

2.1 Khoảng cách giữa một đường thẳng và một mặt phẳng song song

Do AB/ /SCD , nên đây là khoảng cách giữa đường thẳng song song với

mặt phẳng, rất nhiều học sinh rất lúng túng trong việc lựa chọn điểm M bất kì trên

AB để tính khoảng cách đến mp SCD Vậy làm thế nào để xác định được điểm

M sao cho từ vị trí điểm M đó khoảng cách tính được dễ dàng?

+ Mặt phẳng nào vuông góc được với mặt phẳng SCD : mặt phẳng  SNO

;

+ Mặt phẳng SNO cắt đường thẳng AB tại điểm nào: tại điểm M (M là

giao điểm của ON và AB)

+ Như vậy, nếu tính khoảng cách từ điểm M đến mpSCD có thuận lợi gì

so với các điểm khác trên AB : đã có sẵn mặt phẳng qua M và vuông góc với mp

SCD 

+ Mặt phẳng SCD và  SNO có giao tuyến là đường nào: đường SN.

+ Trong mpSNO , kẻ MH vuông góc với SN (H nằm trên SN) Suy ra

SMN

 là tam giác đều nên MH a 3

Qua ví dụ 5 học sinh có thể dần hình thành “Các bước để tính khoảng cách

giữa đường thẳng và mặt phẳng song song”

Ngoài việc tính khoảng cách như trên ta có thể lựa chọn điểm trên đườngthẳng AB phụ thuộc vào kĩ năng tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng

Cách giải khác: Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp hình vuông ABCD (O

là giao điểm AC và BD), do hình chóp S.ABCD đều suy ra SOSCD

+ Giao tuyến của BCC B và ' '  A B P là: đường thẳng ' '  B'P;

+ Giao tuyến của BCC B và ' ' MNC là: đường thẳng  NC;

+ Trong mặt phẳng BCC B kẻ ' ' HPNC (H thuộc NC) Khi đó, khoảngcách phải tìm là HP

+ Nếu đường vuông góc chung cắt hai đường thẳng chéo nhau tại I và J thì đoạn IJ

được gọi là đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng đó.

Định nghĩa: Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau a và b là độ dàiđoạn vuông góc chung của hai đường thẳng đó

Kí hiệu d a b , 

Ví dụ 8: Cho hình chóp S.ABCD, có đáy ABCD là hình vuông cạnh a

Cạnh SA vuông góc với mặt đáy và SA=a 2 Tính khoảng cách giữa các cặp đường thẳng :

a) SA và BD;

b) AB và SD;

c) AD và SC.

Phương pháp để tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau a

b) Học sinh dễ dàng nhận xét được AB^SD, sử dụng phương pháp đã nêu

để tìm đoạn vuông góc chung và tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SD.

- Mặt phẳng (SAD thỏa : ) SDÌ (SAD AB), ^(SAD);

Phương pháp dựng đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau

a và b nhưng không vuông góc với nhau.

- Ta dựng mặt phẳng ( )a thỏa: bÌ a và ( ) a/ /( )a

- a' là hình chiếu vuông góc của a lên mp( )a và a' cắt b tại N.

- Qua N dựng đường thẳng vuông góc với đường thẳng a cắt a tại M Khi

đó, MN là đoạn vuông góc chung của a và b.

- Mặt phẳng (SBC) chứa SC và song song với AD;

- Gọi K là hình chiếu vuông góc của A lên SB, qua K kẻ KE/ /AD (Ethuộc SC) Suy ra, KE là hình chiếu vuông góc của AD lên mp(SBC).

- Qua E dựng EF vuông góc AD cắt AD tại F

Vậy, EF là đoạn vuông góc chung của AD và SC hay d AD SC( , )=EF

íï

ïî thì d a b( , )=d a( ,( )a )Qua bài tập ở trên chúng ta thấy rằng việc tìm khoảng cách giữa hai đườngthẳng chéo nhau nhưng không vuông góc với nhau không nhất thiết phải dựngđường vuông góc chung

Trường hợp 2: a b, chéo nhau nhưng không vuông góc với nhau

Ở đây học sinh dễ dàng nhận thấy SC BD, điều này có nghĩa ta sẽ dùngphương pháp ở trường hợp 1 để giải quyết bài toán khoảng cách này

+ Mặt phẳng chứa SC và vuông góc với BD là: mặt phẳng SAC ;

+ Giao điểm của BD và mpSAC là: điểm O    O ACBD;

+ Trong mặt phẳng SAC kẻ OH vuông góc với SC (H thuộc SC) Khi đó,

OH là khoảng cách giữa hai đường thẳng SC và BD

AC a (ABC đều), gọi K là hình chiếu vuông góc của A lên SC Do SAC

+ Yêu cầu học sinh tìm mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng (SBC):mp(SAB)

+ Mp (SAB) cắt AD tại A, trong mp(SAB) kẻ AH vuông góc SB (H thuộcSB)

AH vuông SB suy ra AH vuông góc mp(SBC) (vô lí)

+ Yêu cầu học sinh tìm mặt phẳng chứa 1 đường và song song với đườngcòn lại Trong mặt phẳng (ABC) qua B kẻ Bx/ /AH Khi đó, mp Bx SB ,  là mặt

phẳng thỏa yêu cầu

Khi đó: d AH SB ,  d AH SB Bx , ,   Như vậy, ta đã chuyển khoảngcách giữa hai đường thẳng chéo nhau về khoảng cách giữa đường thẳng và mặtphẳng song song Đến đây ta tiếp tục sử dụng các bước tính khoảng cách giữađường thẳng và mặt phẳng song song để tính khoảng cách

+ Tìm mặt phẳng vuông góc với mp Bx SB ,  , ta có thể nhận thấy H là chân

đường cao hình chóp có nghĩa là SH Bx như vậy ta chỉ cần một yếu tố vuông

góc với Bx là đã xác định được mặt phẳng vuông góc với mp Bx SB Gọi E là , 

hình chiếu vuông góc vủa H lên Bx, ta được mặt phẳng vuông góc với mp Bx SB , 

là mp SHE  

+ mp SHE  cắt AH tại H

+ Trong mp SHE kẻ HK vuông góc SE (K thuộc SE) suy ra   HK làkhoảng cách giữa AH và SB

Góc giữa SA và mp(ABC) là SAH 600 , 2 3

Ví dụ 12: Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác đều cạnh

a Gọi M là trung điểm của AB, Tam giác MA’C đều và nằm trong một mặt phẳng

vuông góc với mặt đáy hình lăng trụ Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AC,

BB’.

Gọi H là trung điểm của CM, vì (A CM' ) (^ ABC) nên A H' ^(ABC)

+ Mặt phẳng chứa AC và song song với BB’ là: mp(AA’C’C);

 ',   ', ' '  

d BB AC d BB AA C C Như các ví dụ ở trên ta thấy về cơ bản chúng tachuyển khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau thành khoảng cách giữađường thẳng và mặt phẳng song song sau đó tiếp tục chuyển về khoảng cách giữađiểm và mặt phẳng

+ M là trung điểm AB nên d B AA C C , ' '   2d M AA C C , ' '  ;

+ H là trung điểm MC nên d M AA C C , ' '   2d H AA C C , ' '  ;

Suy ra d B AA C C , ' '   4d H AA C C , ' '   Gọi E, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của H trên AC và A’E Khi đó HK A E HK' , AC AC A HE'  suy ra

 ' ' 

HK  AA C C  d H AA C C , ' '   HK

IV HIỆU QUẢ CỦA ĐỀ TÀI

Qua nghiên cứu, sử dụng đề tài này vào thực tế giảng dạy, tôi thấy có hiệuquả rất đáng kể Trước đây, khi chưa áp dụng đề tài này tôi nhận thấy số lượng họchọc sinh có thể tìm ra hướng giải là tương đối thấp, một số em thậm chí khi ngheđến bài toán khoảng cách là các em bỏ qua vì cho rằng nó khó quá so với khả năngcủa mình, một số thì hiểu bài giải nhưng khi tự giải thì không có khả năng Từ nămhọc 2014-2015 khi đưa đề tài này vào để giảng dạy bài toán khoảng cách cho họcsinh lớp 11 ở trường, số lượng học sinh có thể làm được các bài tập khoảng cáchthông dụng tăng lên khá cao, ở các lớp thường có hơn 50% các em đã tự địnhhướng và giải được các bài thông dụng, ở lớp nguồn thì ngoài các bài thông dụngthì trong các bài khó hơn số lượng học sinh làm được bài tăng lên rõ rệt Điều màtôi tâm đắc khi đưa đề tài này vào giảng dạy là việc học sinh đã không còn cảmgiác sợ các bài toán khoảng cách, việc cung cấp hướng đi giúp các em bắt đầu tưduy để giải bài tập thay vì như trước đây học thụ động không có hướng đi, khôngmuốn tư duy

Việc xây dựng các bước xác định khoảng cách đối với học sinh, giúp họcsinh có hướng giải quyết loại toán khoảng cách này, đặc biệt không dạy theo kiểu

“đáp án từ trên trời rơi xuống” hay “ta kẻ đường này, ta dựng đường kia” mà họcsinh không biết tại sao phải làm vậy Việc người dạy cần làm là hướng dẫn chỉđường để học sinh tư duy phát hiện ra kết quả

V ĐỀ XUẤT, KHUYẾN NGHỊ KHẢ NĂNG ÁP DỤNG

Qua hiệu quả mà đề tài nay mang lại khi tôi áp dụng vào thực tế giảng dạytại lớp Tôi mong rằng tài liệu nhỏ này là nguồn tham khảo cho các đồng nghiệp,học sinh giúp các em giải quyết tốt hơn loại bài toán khoảng cách này

VI DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO

1 Trần Minh Quang (2000) 27 chủ đề toán hình học không gian Nhà xuất

bản Đại học quốc gia Hà Nội

2 Bộ Giáo dục và Đào tạo (2016) Bài tập hình học 11 Nhà xuất bản Giáo

dục Việt Nam

3 SGK lớp 11 cơ bản và nâng cao (2016) Nhà xuất bản Giáo dục Việt

Nam

NGƯỜI THỰC HIỆN (Ký tên và ghi rõ họ tên)