PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN KHOẢNG CÁCH HÌNH KHÔNG GIAN

Nêu tam giac cân tai M?. thố H la trung điêm cua AB.. thố tốnh diên tốch tam giac va đô dai AB, t đo suy ra đô dai MH... Vố du 5: Cho hốnh chop S.ABCD co đay ABCD la hốnh vuông canh a...

KINH NGHI M H C T T BÀI “KHO NG CÁCH”

Các em thân m n, kho ng cách th ng là câu 7đ, nhi u b n lúng túng trong vi c tính kho ng cách không gian, đ c bi t là kho ng cách 2

đ ng chéo nhau, d i đây là kinh nghi m h c (rút g n l i)

CÁC EM CÓ TH K T H P V I B GIÁO ÁN CHU N CHÉP

TAY MÀ TH Y Ã G I D NG HÌNH NH NHÉ

1- Khoang cach t 1 điêm đên môt m t ph ng va đên môt đ ng th ng

1.1- Khoang cach t 1 điêm đên môt đ ng th ng

Phân nay chố l u y : muôn tinh đ c đô dai cua đoan MH, ng i ta th ng xem no la

chiêu cao cua tam giac MAB (v i A, B thuôc đ ng )

Nêu tam giac MAB vuông tai M thố tính đ dài MH nh th nào? nh lai hê th c trong tam giac vuông: 2 2 2

MH  MA MB

Nêu tam giac cân tai M? thố H la trung điêm cua AB

Nêu tam giac th ng? thố tốnh diên tốch tam giac va đô dai AB, t đo suy ra đô dai

MH

B B

H

A

M M

H

M

Vố du 1: Cho hốnh chop t giac đêu S.ABCD co canh đay a, canh bên 2a Tốnh

khoang cach t A đên SC

V i vố du nay không kho kh n trong viêc ke AH vuông goc v i SC ( H thuôc SC) va nêu h ng tốnh AH:

SO.AC = AH SC

CHIA S TÀI LI U CHO HS T M T G C T 8-9 I M

TR N HOÀI THANH FB.COM/TRANHOAITHANHVICKO

H

O

D

C

B A

S

1.2 - Khoang cach t 1 điêm đên môt m t ph ng

( tr ng tâm nh t, cu i cùng kho ng cách 2 đ ng chéo nhau c ng quy v d ng này)

V i c tính kho ng cách , tìm m t ph ng vuông góc hãy chú ý bám sát vào

các đi m c a 1 c nh vuông góc v i 1 m t nào đó ( th ng là vuông v i đáy)

"Cac b c xac đinh khoang cach t 1 điêm M đên 1 m t ph ng (P)" nh sau:

+ Tốm m t ph ng (Q) qua M va vuông goc v i (P)

+ Tốm giao tuyên a cua (P) va (Q)

+ Trong (Q), ke MH vuông goc v i a Khi đo d(M;(P)) = MH

Vố du : Cho hốnh hôp ch nhât ABCD.A'B'C'D' co AB =a, AD = b, AA' = c Tốnh

khoang cach t B đên (ACC'A')

H

D'

C' B'

A'

D

C

A

B

+ Tim m t ph ng qua B va vuông goc v i (ACC'A'): đo la m t ph ng (ABCD)

vố mp (ABCD) vuông goc v i AA' nên vuông goc v i (ACC'A'))

+ Giao tuyên cua (ABCD) va (ACC'A'): la AC

+ Trong m t (ABCD), ke BH vuông goc v i AC (H thuôc AC), thê thố BH

vuông goc v i (ACC'A') Vây d(B; (ACC'A')) = BH

+ BH la đ ng cao cua tam giac nao? HB la đ ng cao cua tam giac vuông

ABC nên: 2 2 2

BH

BH  BA  BC   a b



Vố du 2: Cho hốnh chop t giac đêu S.ABCD co canh bên b ng 2a, canh đay b ng a

Goi M la trung điêm cua AB Tốnh khoang cach t M đên (SCD)

+ M t ph ng (Q) qua M va vuông goc v i (SCD): L u ý ch n mp (Q) ch c n

vuông góc v i 1 đ ng c a (SCD) Trong các đ ng c a (SCD) hi n nay th y DC có

liên quan nhi u đ n quan h vuông góc h n Tìm nh ng đ ng vuông góc v i CD

T đó phát hi n ra mp (SNM) vuông

goc v i CD (N là trung đi m c a CD),

hay (SNM) vuông goc v i (SCD)

+ Giao tuyên cua (SCD) va

(SMN) la: SN

+ Trong (SMN): ke MH vuông

goc v i SN (H thuôc SN) thố MH

vuông goc v i (SCD) T đo suy ra

d(M; (SCD)) = MH

+ MH la chiêu cao cua tam giac

nao? D a vao tam giac SMN h ng tốnh: SO.MN = MH SN

2- Khoang cach gi a môt đ ng th ng va môt m t ph ng song song, gi a hai m t

ph ng song song

2.1- Khoang cach gi a 1 đ ng th ng va môt m t ph ng song song

"cac b c lam đê tinh khoang cach gi a đ ng th ng a va m t ph ng (P) song

song" nh sau:

N

H

M

O

D

C B

A

S

CHIA S TÀI LI U CHO HS T M T G C T 8-9 I M

TR N HOÀI THANH FB.COM/TRANHOAITHANHVICKO

+ Tốm m t ph ng (Q) vuông goc v i (P)

+ Tốm điêm chung M cua (Q) va a (nêu a song song v i (Q) thố đôi (Q) thanh (Q') ch a a va song song v i (Q))

+ Tốm giao tuyên () cua (P) va (Q)

+ Trong (Q): ke MH   (H) Khi đo MH (P) va d(a; (P)) = d(M;(P)) =

MH

Vố du 3: Cho hốnh lâp ph ng ABCD.A'B'C'D' canh a Tốnh khoang cach gi a

AB’ và mp (A'C'D)

H

I

O

D'

C' B'

A'

D

C

A

B

+ Tìm mp vuông góc v i (A’DC’): Ta tìm mp vuông góc v i A’C’ ó là mp

(BDD’B’)

Hai mp (A’DC’) và (BDD’B’) có giao tuy n DO ( O là tâm A’B’C’D’)

Trong mp (DBB’) k B’H vuông góc v i DO thi B’H vuông góc v i (DA’C’)

kho ng cách ph i tìm là B’H

tính đ dài B’H : 2.dt tam giác DB’O = B’H.OD = DD’.B’O

2.2 - Khoang cach gi a hai m t ph ng song song

Cac b c lam đ c tiên hanh t ng t khoang cach gi a đ ng th ng va m t

ph ng song song

Vố du 4: Cho hốnh lâp ph ng ABCD.A'B'C'D' canh a Tốnh khoang cach gi a hai

m t ph ng (ACB') va (A'C'D)

+ Tốm m t ph ng vuông goc v i (A'C'D): đo la m t ph ng (BDD'B') (vố (BDD'B') 

A'C')

+ Giao tuyên cua (A'C'D) va (BDD'B'): la DO

+ iêm chung cua (BDD'B') va (ACB') thuôc đ ng B'I

+ Trong (BDD'B'), ke B'H DO thố khoang cach phai tốm la B'H

+ B'H la đ ng cao cua tam giac B'OD T đo co h ng tốnh: B’H.OD = DD’.B’O

3- Khoang cach gi a hai đ ng th ng cheo nhau

Vố du 5: Cho hốnh chop S.ABCD co đay ABCD la hốnh vuông canh a

SA(ABCD), SA =a Xác đ nh đo n vuông góc chung c a SA và BC; SA và DB;

SA và d (trong đó d là đ ng th ng n m trong mp (ABC) và không đi qua A

O

d

D

C

A

B

S

D dàng tìm đ c đo n vuông góc chung c a SA và BC, đó là AB

H

I

O

D'

C' B'

A'

D

C

A

B

CHIA S TÀI LI U CHO HS T M T G C T 8-9 I M

TR N HOÀI THANH FB.COM/TRANHOAITHANHVICKO

C a SA và BD đó là AO

V y mu n d ng đ c đo n vuông góc chung c a SA và d thì làm th nào?

T A k đ ng th ng vuông góc v i d, nó c t d t i H Khi đó đo n AH là đo n

vuông góc chung c a SA và d

M t cách t ng quát, mu n d ng đ c đo n vuông góc chung c a hai đ ng chéo nhau và vuông góc v i nhau thì làm th nào?

3.1- Nêu hai đ ng cheo nhau a va b ma vuông goc v i nhau:

N M

b a

P)

+ Tìm mp (P) ch a b va vuông goc v i a

+ (P) c t a tai M

+ Ke MN b (N thuôc b), MN chốnh la đ ng vuông goc chung cua a va b

Vố du 6 : Cho hốnh chop S.ABCD co đay ABCD la hốnh vuông canh a

SA(ABCD), SA =a Tốnh khoang cach gi a SB va AD; gi a DB va SC

*) Khoang cach gi a SB va AD

- Hai đ ng nay co vuông goc không? tai sao?

+ AD vuông goc v i SB (vố AD vuông goc v i (SAB) )

T đo suy ra co m t ph ng ch a SB va vuông goc v i SD, đo la (SAB)

H M

O

D

C B

A

S

+ AD c t (SAB) tai A

+ Ke AM vuông goc v i SB.Khi đo AM la đoan vuông goc chung cua AD va

SB

+ dê dang tốnh đ c AM vố no la đ ng cao cua tam giac vuông SAB

*) Khoang cach gi a DB va SC

+ Co mp ch a SC va vuông goc v i BD, đo la (SAC)

+ (SAC) c t BD tai O la trung điêm cua BD

+ Ke OK vuông goc v i SC Khi đo OK la đoan vuông goc chung cua SC va

BD

+ OK la đ ng cao cua tam giac SOC nên: OK SC = SA OC

v i nhau:

Viêc xac đinh đ ng vuông goc chung không cân thiêt cho bai toan tốnh khoang cach nay

Ta đôi khoang cach phai tốm thanh khoang cach gi a a va mp(P) ( trong đo (P) ch a

b va vuông goc v i a).(sgk trang 115 -hình h c 11 nâng cao)

Vố du 7 : Cho hốnh chop t giac đêu S.ABCD co canh bên b ng 2a, canh đay b ng a

Tốnh khoang cach gi a AB đên SC

CHIA S TÀI LI U CHO HS T M T G C T 8-9 I M

TR N HOÀI THANH FB.COM/TRANHOAITHANHVICKO

N

H

M

O

D

C B

A

S

Tr c tiên ki m tra xem hai đ ng có vuông góc không?

i k/c ph i tìm thành k/c gi a đ ng và m t song song

ó là k/c gi a đ ng AB và (SCD)

Bài toán này đã làm trong ví d 2

Vố du 8: Cho hình l p ph ng ABCD.A’B’C’D’ c nh a Tính k/c gi a AA’ và DB;

gi a AC’ và BD; gi a AI và D’C’ ( v i I là tâm m t DCC’D’)

- ki m tra xem hai đ ng có vuông góc không

D th y AA’ và BD vuông góc vì AA’ vg v i (ABCD)

K t qu k/c th nh t là AO b ng 2

2 a

- AC’ và BD có vuông góc vì BD vg v i (ACC’) t i O Trong (ACC’) k ON

vuông góc v i AC’ thì ON là đo n vgc c a AC’ và BD

- d a vào di n tích tam giác AOC’ suy ra: ON.AC’ = AO CC’

T đó tính đ c k/c c n tìm là

2

6 2

6 3

a a a

M

H I O

A

D

A'

D' N

- ki m tra hai đ ng AI và C’D’ không vuông góc C n đ i k/c này thành k/c

gi a đ ng và m t nào? Có th k đ ng song song v i C’D’ ho c k đ ng //

v i AI đ t o ra mp

- Th ng nh t đ i k/c ph i tìm thành k/c gi a đ ng C’D’ và mp(ABPM)

- th c hi n các b c c a bài toán này:

+ Mp (BCC’) vuông góc v i BA nên (BCC’) vuông góc v i (BAPM)

+giao tuy n c a (BCC’) và (BAPM) là BM

+Trong mp (BCC’) k đ ng C’H vuông góc v i BM thì nó vuông góc v i

(BAPM) Kho ng cách ph i tìm là C’H

+Mu n tính đ dài c a C’H, ta tính nh di n tích c a tam giác BMC’:

BM C’H= BC MC’ T đó suy ra k/c ph i tìm là:

.

5 2

5 5

2

a a a

Ví d 9: Cho l ng tr đ u ABC A’B’C’ có AA’ = a, AB’ t o v i (ABC) góc

600 Tính kho ng cách gi a AA’ và BC’

CHIA S TÀI LI U CHO HS T M T G C T 8-9 I M

TR N HOÀI THANH FB.COM/TRANHOAITHANHVICKO

H

C'

B' A'

C

B A

Do l ng tr đ u nên các c nh bên vuông góc v i đáy AB’ có hình chi u trên đáy là AB nên góc gi a AB’ và đáy là B’AB = 600

K/c gi a AA’ và BC’ b ng k/c gi a AA’ và mp(BCC’B’) Mp( ABC) vuông

góc v i (BCB’) theo giao tuy n BC nên t A k AH vuông góc v i BC thì AH

vuông góc v i (BCC’) K/c ph i tìm là AH b ng 3

3



4-M r ng bài toán kho ng cách:

- Trong bài toán k/c gi a 1 đ ng và m t m t song song ta đã bi t đ i k/c t A

đ n mp(P) thành k/c t B đ n mp(P) khi AB song song v i (P) và d d ng, d

tính k/c t B đ n (P) h n nhi u k/c t A đ n (P)

- Trong tr ng h p AB không song song v i (P) thì có tìm đ c m i liên quan

gi a hai k/c này không? Yêu c u h/s so sánh trong các tr ng h p đ c bi t sau:

K H

K

B A

M

B

A

P) P)

Tr ng h p th nh t M là trung đi m c a AB H/s có th suy ra đ c hai k/c

b ng nhau (hai tam giác AHM và BMK b ng nhau)

Tr ng h p th hai AB c t (P) t i M và AB= 2MB D a vào đ nh lí ta lét có

th suy ra k/c t A đ n (P) b ng 3 l n k/c t B đ n (P)

V y t đây ta có th tính đ c k/c t B đ n (P) n u bi t k/c t A đ n (P)

Ví d 10: Cho hình chóp SABC có SA vuông góc v i (ABC) Tam giác ABC

đ u c nh a SA =2a Tính k/c t A, Tr ng tâm I c a tam giác SAB đ n mp (

SBC)

-Bài toán k/c t A đ n (SBC) h/s hoàn toàn có th tính đ c K t qu là đ dài

c a đo n AH b ng 2

2

3

2

2

19 3

4

4

a a

a a

a





CHIA S TÀI LI U CHO HS T M T G C T 8-9 I M

TR N HOÀI THANH FB.COM/TRANHOAITHANHVICKO

I N

K

H

G

M

S

A

B

C

d ng đ c k/c t I đ n mp( SBC) thì trông hình v r t r i Ki m tra th

xem nó có liên quan gì đ n k.c t A đ n (SBC) hay không? AI c t SBC t i N

là trung đi m c a SB Gi s IE vuông góc v i mp(SBC) Theo đ nh lí talét ta

suy ra: IE/ AH= NI/ NA = 1/3 V y k/c t I đ n (SBC ) là 2 3

3 19 a