Lý thuyết dao động

Dao động tự do không cản của hệ một bậc tự do với đặc trưng phi tuyến của lực phục hồi .... Dao động cững bức không cản của hệ một bậc tự do với đặc trưng phi tuyến của lực phục hồi.....

TRƯỜNG ĐẠI HỌC THUỶ LỢI

BỘ MÔN CƠ HỌC KỸ THUẬT

- [\ [\ -

GS.TS NGUYỄN THÚC AN PGS.TS NGUYỄN ĐÌNH CHIỀU PGS.TS KHỔNG DOÃN ĐIỀN

LÝ THUYẾT DAO ĐỘNG

HÀ NỘI 2003

MỤC LỤC

LỜI NÓI ĐẦU 5

CHƯƠNG MỞ ĐẦU 6

1 MỘT VÀI KHÁI NIỆM VÀ ĐỊNH NGHĨA 6

1.1. Các quá trình thay đổi khác nhau của các đại lượng vô hướng được chia thành hai dạng: 6

1.2. Chuyển động dao động được đặc biệt quan tâm là những dao động có chu kỳ 6

2 ĐỘNG NĂNG CỦA HỆ 6

3 THẾ NĂNG CỦA CƠ HỆ 7

4 HÀM HAO TÁN 8

5 PHƯƠNG PHÁP THIẾT LẬP PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CHUYỂN ĐỘNG 9

5.1. Thiết lập phương trình vi phân chuyển động theo phương trình Lagrăng II 9

5.2 Thiết lập phương trình vi phân chuyển động theo phương pháp Đalămbe 11

5.3 Áp dụng phương pháp lực để lập phương trình vi phân dao động nhỏ (trường hợp riêng của phương pháp Đalămbe) 11

6 XÁC ĐỊNH ĐỘ CỨNG CỦA HỆ DAO ĐỘNG 13

6.1. Thanh đàn hồi 13

6.2. Hệ các lò xo 14

Câu hỏi ôn tập 16

CHƯƠNG I: DAO ĐỘNG TUYẾN TÍNH CỦA HỆ MỘT BẬC TỰ DO 17

1.1 Dao động tự do của hệ tuyến tính một bậc tự do 17

1.1.1 Dao động tự do không cản 17

1.1.2 Dao động tự do có cản 19

1.2 Dao động cưỡng bức của hệ tuyến tính một bậc tự do 24

1.2.1 Tính toán dao động cưỡng bức không cản (n = 0) 26

1.2.2 Tính toán dao động cưỡng bức có cản (n≠0) 28

1.2.3 Đệm đàn hồi của máy 32

1.2.4 Áp dụng phép biến đổi Laplace tính toán dao động cưỡng bức 34

Câu hỏi ôn tập 39

CHƯƠNG II: DAO ĐỘNG TUYẾN TÍNH CỦA HỆ NHIỀU BẬC TỰ DO 40

2.1 Phương pháp chung thiết lập phương trình vi phân chuyển động 40

2.1.1 Hệ nhiều bậc tự do 40

2.1.2 Phương pháp chung thiết lập phương trình vi phân chuyển động 40

2.1.3 Những nguyên tắc giải phương trình dao động của hệ 41

2.2 Dao động tuyến tính của hệ có hai bậc tự do 43

2.2.1 Dao động tự do không có cản 43

2.2.2 Dao động cưỡng bức không cản 47

2.2.3 Một vài bài toán ứng dụng 50

2.3 Dao động xoắn của trục mang các đĩa 55

2.3.1 Phương trình cơ bản - Phương trình tần số 55

2.3.2 Phương trình dao động xoắn cưỡng bức trục mang các đĩa 57

2.4 Dao động uốn của dầm có các khối lượng tập trung 59

2.4.1 Phương trình cơ bản - Phương trình tần số 59

2.4.2 Phương trình dao động uốn cưỡng bức của dầm có các khối lượng tập trung 60

Câu hỏi ôn tập 63

CHƯƠNG III: DAO ĐỘNG TUYẾN TÍNH CỦA HỆ CÓ VÔ SỐ BẬC TỰ DO 65

3.1 Dao động dọc của thanh tiết diện không đổi 65

3.1.1 Phương trình vi phân dao động dọc của thanh 65

3.1.2 Giải phương trình (3-4) bằng phương pháp Furiê 66

3.1.3 Các điều kiện biên của thanh, phương trình tần số 67

3.2 Dao động xoắn của trục tròn tiết diện không đổi 69

3.2.1 Phương trình cơ bản và nghiệm của nó 69

3.2.2 Các điều kiện biên - phương trình tần số 70

3.3 Dao động uốn của dầm tiết diện không đổi 71

3.3.1 Phương trình cơ bản 71

3.3.2 Giải phương trình (3-39) 73

3.3.3 Phương trình tần số 73

3.4 Sự truyền sóng đàn hồi dọc trong thanh tiết diện không đổi 76

Câu hỏi ôn tập 77

CHƯƠNG IV: VA CHẠM DỌC CỦA VẬT RẮN VÀO THANH ĐÀN HỒI VÀ ÁP DỤNG LÝ THUYẾT VA CHẠM VÀO BÀI TOÁN ĐÓNG CỌC 79 4.1 Một vài bài toán về va chạm dọc của vật rắn vào thanh đàn hồi 79

4.1.1 Va chạm dọc của vật rắn vào thanh đàn hồi tự do 79

4.1.2 Va chạm của vật rắn vào thanh đàn hồi một đầu bị gắn chặt 82

4.2 Một vài bài toán va chạm của búa vào cọc 89

4.2.1 Va chạm của búa vào cọc tự do 89

4.2.2 Va chạm của búa vào cọc tựa trên nền cứng 94

4.2.3 Va chạm của búa vào cọc đóng trong nền đồng nhất đáy cọc gặp lực cản không đổi 99

Câu hỏi ôn tập 117

CHƯƠNG V: CƠ SỞ CỦA LÝ THUYẾT DAO ĐỘNG PHI TUYẾN 118

MỞ ĐẦU 118

5.1 Dao động tự do không cản của hệ một bậc tự do với đặc trưng phi tuyến của lực phục hồi 120

5.1.1 Phương trình vi phân cơ bản và nghiệm chính xác của nó 120

5.1.2 Nghiệm gần đúng của phương trình (5-1) 122

5.2 Dao động cững bức không cản của hệ một bậc tự do với đặc trưng phi tuyến của lực phục hồi 128

5.2.1 Phương pháp Butnôp-Galepkin 129

5.2.2 Phương pháp tuyến tính hoá trực tiếp 129

5.2.3 Phương pháp Đufing 129

Câu hỏi ôn tập 135

BÀI TẬP 136

Bài tập chương I: Dao động tuyến tính của hệ một bậc tự do 136

Bài tập chương II: Dao động tuyến tính của hệ nhiều bậc tự do 146

Bài tập chương III: Dao động của hệ có vô số bậc tự do 151

Bài tập chương IV: Cơ sở của lý thuyết dao động phi tuyến 153

TÀI LIỆU THAM KHẢO 157

THÔNG TIN TÁC GIẢ 158

LỜI NÓI ĐẦU

Giáo trình “Cơ học Lý thuyết II – Lý thuyết Dao động” – Tác giả PGS PTS

Nguyễn Thúc An, PTS Nguyễn Đình Chiều, PTS Khổng Doãn Điền, xuất bản tại

Trường Đại học Thủy lợi, năm 1989, đã đáp ứng yêu cầu giảng dạy cho sinh viên

ngành Công trình, ngành Thuỷ điện và ngành Máy Xây Dựng những năm qua, trong

đó đề cập đến các bài toán dao động của hệ một bậc tự do, hai bậc tự do, vô số bậc tự

do và giải quyết nguyên lý của bộ tắt chấn động lực, triệt tiêu dao động của một vài

trường hợp cụ thể và cách giải quyết khi hệ có nguy cơ xuất hiện hiện tượng cộng

hưởng

Để đáp ứng yêu cầu giảng dạy cho sinh viên ngành Máy Xây Dựng & TBTL và

các học viên Cao học, Nghiên cứu sinh mà luận án có đề cập đến bài toán động lực,

chúng tôi biên soạn và đưa vào thêm: Chương IV (Va chạm của vật rắn vào thanh đàn

hồi và áp dụng Lý thuyết va chạm vào bài toán đóng cọc); Chương V (Cơ sở của Lý

thuyết dao động phi tuyến) và có đưa vào những ví dụ gần với thực tế tính toán công

trình cho ngành Thuỷ lợi

Tài liệu dùng để giảng dạy “Lý thuyết dao động” cho sinh viên các ngành Công

trình, Thuỷ điện, Cấp thoát nước, Trạm bơm và giảng dạy môn “ Dao động kỹ thuật”

cho sinh viên ngành Máy Xây Dựng & Thiết Bị Thuỷ Lợi Tài liệu này cũng có thể

dùng làm tài liệu ôn tập thi tuyển Cao học và Nghiên cứu sinh cho các ngành Công

trình, Động lực và làm tài liệu học tập và tham khảo cho Nghiên cứu sinh các ngành có

liên quan

Chúng tôi mong nhận được những đóng góp ý kiến của đồng nghiệp và bạn đọc

để bổ xung, sửa chữa cho tập giáo trình ngày một hoàn chỉnh hơn

Các tác giả

CHƯƠNG MỞ ĐẦU

1 MỘT VÀI KHÁI NIỆM VÀ ĐỊNH NGHĨA

1.1 Các quá trình thay đổi khác nhau của các đại lượng vô hướng được chia thành hai dạng:

Các quá trình dao động và các quá trình không dao động

Quá trình dao động được đặc trưng bằng sự tăng hay giảm một cách luân phiên của các đại lượng biến đổi Nó được mô tả bằng các phương trình toán học

Dao động trong đó các phương trình vi phân mô tả chuyển động của nó là tuyến tính, gọi là dao động tuyến tính Ngược lại, gọi là dao động không tuyến tính (phi tuyến)

1.2 Chuyển động dao động được đặc biệt quan tâm là những dao động có chu kỳ

Hàm f t*( ) mô tả quá trình dao động có chu kỳ, nếu như tồn tại giá trị T > 0, thoả

mãn điều kiện sau:

f t*( )= f t T*( ± )= f t*( ±2 ) T = = f t nT*( ± ) (1)

Trong đó: T gọi là chu kỳ; n là số nguyên dương

Một dạng đặc biệt của dao động có chu kỳ chiếm vị trí quan trọng trong thực tế là dao động điều hoà Về mặt động học dao động điều hoà được miêu tả bởi hệ thức:

q= Asin(kt+α) (2)

Ở đây: q là toạ độ của điểm dao động tính từ vị trí trung bình của nó (chọn làm gốc toạ độ); A là toạ độ của q ứng với độ lệch lớn nhất của điểm về một phía và được gọi là biên độ dao động; (kt + α) là Argument của sin gọi là pha dao động; α là pha

ban đầu; k là tần số vòng (riêng) của dao động Tần số riêng k liên quan với chu kỳ T

(5)

Động năng của hệ xác định bằng biểu thức: 2

1

12

n

k k k

=

= ∑ Thay (5) vào biểu thức trên với chú ý: v k2 =uur uurv v k k

Ta có:

, 1

12

, 1

12

Nếu hệ có một bậc tự do (n = 1), ta có:

212

T = a q• , trong đó a = A(0) (8) Nếu hệ có hai bậc tự do (n = 2), ta được:

3 THẾ NĂNG CỦA CƠ HỆ

Với liên kết dừng, thế năng của hệ cũng là hàm của các toạ độ suy rộng:

Do đó thế năng π của hệ khi tuyến tính hoá là dạng toàn phương sau:

, 1

12

2cq

π = , c=π′′(0) (13) Nếu hệ có hai bậc tự do (n = 2), ta được:

v

=

φ được biểu diễn ở (16) gọi là hàm hao tán Ta có thể viết φ giống như động năng

T trong tọa độ suy rộng:

, 1

12

, 1

12

Các hệ số b ij của dạng toàn phương (18) cũng thoả mãn tiêu chuẩn xác định dương

5 PHƯƠNG PHÁP THIẾT LẬP PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CHUYỂN ĐỘNG

5.1 Thiết lập phương trình vi phân chuyển động theo phương trình Lagrăng II

Cơ sở lý thuyết của nhiều công trình nghiên cứu dao động các hệ Hôlônôm nhiều bậc tự do là việc áp dụng phương trình Lagrăng loại II

Phương pháp thiết lập phương trình vi phân chuyển động của hệ dao động bằng cách sử dụng phương trình Lagrăng loại II gọi là phương pháp cơ bản

Đối với hệ Hôlônôm, có n bậc tự do, xác định bởi các toạ độ suy rộng độc lập:

1, 2, ( :n i 1, )

; 1,

i i i

D D

P1

P2

θ1

θ2

2 2 2

5.2 Thiết lập phương trình vi phân chuyển động theo phương pháp Đalămbe

Theo nguyên lý Đalămbe: Ở mỗi thời điểm các lực hoạt động tác dụng lên cơ hệ và các phản lực liên kết cân bằng với các lực quán tính Từ đó:

m m m Để lập phương trình vi phân dao động (uốn) của dầm, thuận lợi hơn cả

là dùng phương pháp lực Khi này cần sử dụng khái niệm dịch chuyển đơn vị

Các dịch chuyển theo hướng i do lực đơn vị tác dụng theo hướng k gây ra gọi là dịch chuyển đơn vị, ký hiệu δik Các dịch chuyển đơn vị δik còn gọi là các hệ số ảnh hưởng (Hình 2)

Đối với các hệ đàn hồi, theo hướng k hệ chịu tác dụng của lực Pk thì dịch chuyển do nó gây ra theo hướng i sẽ tỷ lệ với lực, nghĩa là:

Công thức (25) là cơ sở để thiết lập phương trình vi phân dao động của hệ theo

M EJ

δ = ∑Ω (27)

Ở đây: Ω là diện tích biểu đồ i M M là tung độ của biểu đồ i, k* M k tương ứng hoành

độ trọng tâm của Ω Khi sử dụng công thức (27) cần chú ý chia chiều dài thanh sao icho trong mỗi đoạn của M k là đường thẳng Theo định lý Macxoen ta luôn có:

M 3

P 3 = 1

36 5L

HÌNH 4

m

Theo công thức nhân biểu đồ Vêrêsaghin, ta có:

EJ

=

ϕ

Δ =

Trong đó: G là môđun trượt, JP là mômen quán tính độc cực

của mặt cắt ngang Suy ra:

c Thanh đàn hồi không trọng lượng chịu uốn Khi này: Hệ số cứng C còn phụ

thuộc vào điều kiện biên Ta xét thanh chịu uốn bị ngàm ở một đầu (Hình 8) Độ võng

f bằng:

313

PL f

Vậy, ta được: C = C1 + C2 Nếu hệ có n lò

xo mắc song song, tương tự nhận được:

1

n i i

Nếu hệ có n lò xo mắc nối tiếp, thì hệ số cứng C

của lò xo thay thế xác định bởi hệ thức:

với các giả thiết nhất định và có thể tra cứu trong các sổ

thường dùng trong tính toán (bảng 1)

Bảng 1 Công thức xác định các hệ số cứng tương đương

1

48

Gd C iD

= Với G: môđun trượt của vật liệu; d: đường kính dây lò xo;

=+

b L b

=+

9

12(4 3 )

EJ C

=+

=

(EJ là độ cứng khi uốn của một

trong hai lò xo phẳng)

L EJ

11 N

L

C Lch L sh L

α =

Câu hỏi ôn tập

1 Định nghĩa các đại lượng: Chu kỳ T (chu kỳ thời gian); tần số f (tần số dài); Biên

độ và góc pha; Tần số tự nhiên k (tần số riêng, tần số góc) Mối liên hệ giữa các đại lượng T, f, k

2 Định nghĩa bậc tự do của cơ hệ Các xác định bậc tự do và cho ví dụ

3 Viết biểu thức tính động năng, thế năng, hàm hao tán đã tuyến tính hóa đối với hệ

có số bậc tự do n bất kỳ Suy ra cho hệ có hai bậc tự do và một bậc tự do

4 Các phương pháp thiết lập phương trình chuyển động dao động của cơ hệ (phương trình Lagrăng loại II; nguyên lý Đalămbe; phương pháp lực) Viết công thức xác định

độ cứng của thanh đàn hồi và hệ lò xo đàn hồi

CHƯƠNG I: DAO ĐỘNG TUYẾN TÍNH CỦA HỆ MỘT BẬC TỰ DO

1.1 Dao động tự do của hệ tuyến tính một bậc tự do

1.1.1 Dao động tự do không cản

Xét hệ một bậc tự do, lực tác dụng lên hệ có thế Toạ độ suy rộng xác định vị trí

cơ hệ là q Phương trình Lagrăng II có dạng:

Trong thực tế, việc xác định tần số riêng k là nhiệm vụ quan trọng của bài toán nghiên cứu dao động tự do Bảng 2 thống kê một số công thức đối với k của một số hệ đơn giản

Bây giờ ta biểu diễn nghiệm của bài toán trên mặt phẳng pha (hệ tọa độ dịch chuyển - vận tốc) Tại mỗi thời điểm trạng thái của hệ được đặc trưng bằng dịch

chuyển q và vận tốc v q= Ta có trong trường hợp khảo sát: •

sin( )cos( )

αα

Tập hợp các phương trình này có thể khảo sát như quỹ đạo pha cho ở dạng thông

số Để nhận được phương trình quỹ đạo pha cần khử t từ hệ (1-7) ta được:

điều kiện ban đầu quỹ đạo pha biểu diễn trên Ellíp khác Tập hợp trạng thái có thể của

hệ được mô tả bằng hệ các Ellíp (Hình11) Gốc toạ độ tương ứng với trạng thái cân bằng của hệ (q0 =0 và q•0 = ) Điểm này là điểm kỳ dị và gọi là tâm 0

Bảng 2: Tần số riêng của một số mô hình dao động

Stt Mô hình dao động Phương trình k2

2 Hệ khối lượng lò

xo trọng trường

C M

x m

C

HÌNH 11

3 Con lắc toán học ϕ L

O

0

g L

ϕ••+ ϕ = (q = ϕ)

c m

4 Con lắc vật lý

C ϕ

a O

0

O

mga J

ϕ••+ ϕ=

mga J

ϕ••+ ϕ =

C J

1 2 1

m

0

C mgL J

ϕ••+ − ϕ =

C mgL J

m m

y

x C

O r J C

m

ϕ L

r

JCC

m

Giả sử lực tác dụng lên hệ ngoài lực có thế còn có lực cản (nhớt) phụ thuộc bậc nhất vào vận tốc Khi đó phương trình Lagrăng II có dạng:

21

= Phương trình (1-9) là phương trình vi phân mô tả dao động nhỏ tự do tắt dần của

hệ tuyến tính một bậc tự do NTQ của (1-9) tìm được dưới dạng: q e= λt Trong đó λ được xác định từ phương trình đặc trưng sau:

2

0 0

Với n khá nhỏ ta viết được:

q

T1 T1

Với giá trị của biểu thức trong dấu móc bất kỳ, vế trái của phương trình → 0 khi

t → ∞ Ta có chuyển động không tuần hoàn tắt dần

1.1.2c Trường hợp 3: n = k (lực cản tới hạn) Trong trường hợp này nghiệm của phương trình đặc trưng là thực, âm và bằng nhau NTQ của (1-9) có dạng:

nt

Chuyển động của hệ là tắt dần, không dao động

Trong một số tài liệu kỹ thuật trình bày về dao động người ta còn sử dụng khái niệm độ cản Lehr - Độ cản Lehr ký hiệu là D, được xác định bởi hệ thức:

D D

δ = π

Thí dụ 1-1:

Xét dao động nhỏ của con lắc toán học có độ dài L, khối lượng m (Hình 1-2) Lấy

θ làm tọa độ suy rộng Tọa độ của khối lượng m bằng: x = Lsinθ; y = Lcosθ Do đó:

m x

y

HÌNH 1-2

Đó là dao động điều hoà với tần số riêng k g

Xét dao động xoắn nhỏ của đĩa gắn vào đầu mút dưới

của thanh đàn hồi không trọng lượng dài L Mút trên của

thanh bị ngàm (Hình 1-3) Gọi M là khối lượng của đĩa; ρ là

bán kính quán tính của đĩa đối với trục thanh; G là môđun

trượt của vật liệu thanh; JP là mômen quán tính độc cực của

tiết diện ngang thanh

Độ cứng của thanh khi xoắn bằng GJ P

C L

= Lấy θ là góc quay của đĩa đối với vị trí cân bằng ổn định Động

năng của đĩa bằng:

2 212

T = Mρ θ• Thế năng đàn hồi của

nó khi θ nhỏ (tuân theo định luật Hooke) là 1 2

2C

π = θ Áp dụng phương trình grăngII như thí dụ 1-1, ta nhận được phương trình dao động nhỏ khi xoắn:

Thí dụ 1-3:

Người ta treo tải trọng trọng lượng P bằng một thanh

tuyệt đối cứng dài 2L Ở giữa thanh có gắn hai lò xo đàn hồi

có cùng độ cứng C Tải trọng được ngâm trong bình chứa

chất lỏng nhớt Trong quá trình tải trọng thực hiện dao

động nhỏ tự do chất lỏng gây ảnh hưởng làm giảm dao động

lên hệ (Hình 1-4) Tìm hệ số ma sát nhớt của hệ, nếu chu kỳ

dao động tắt dần của hệ T1 = 1s; các tham số của hệ lấy các

giá trị sau đây: P = 100 N; 2L = 30cm; Đường kính lò xo

D = 2cm; đường kính dây cuốn lò xo d = 2mm; Môđun trượt

của vật liệu làm lò xo G = 8.106 N/cm2; Số vòng của mỗi

C

π = − ϕ + λ = Lsinϕ là độ co dãn của lò xo so với vị trí cân

bằng thẳng đứng của thanh (khi lò xo chứa biến dạng), với ϕ nhỏ: 1 – cosϕ 2

2

ϕ

≈ ; sinϕ ≈ ϕ;

4 38

Gd C

D i

=Thay số vào ta được: C = 33,3 N/cm Do đó, từ (b) sẽ tính được: k=14rad/s

Từ (a) giải được:

2 2 2 1

4

2n k

T

π

= − ; thay số vào ta có: 2n = 12,5rad/s

Hệ số cản chuyển động tìm từ điều kiện:

42

1.2 Dao động cưỡng bức của hệ tuyến tính một bậc tự do

Dao động cưỡng bức xảy ra khi hệ có tác dụng của các kích động ngoài Các kích động này có thể tuần hoàn hoặc va chạm

Giả sử hệ khảo sát chịu tác dụng của các lực có thế, các lực cản (nhớt) phụ thuộc bậc nhất vào vận tốc và các lực kích động ngoài là hàm của thời gian t: uurP t( )

Gọi QP là lực suy rộng của lực kích động ngoài Phương trình Lagrăng II trong trường hợp này có dạng:

Trong đó q là NR của phương trình (1-25) Các hệ số A, β được xác định từ điều

kiện ban đầu

Ta tìm NR q ở dạng: q e Z t= −nt ( ) (1-27) Thay (1-27 ) vào (1-25) Ta nhận được phương trình đối với hàm Z(t):

( )sin ( )cos 0( )cos ( )sin nt ( )

Tích phân theo vế phải của (1-34) dẫn ra theo biến τ Vì vậy, khi tích phân coi t là hằng số Sau khi hoàn thành việc thay cận tích phân ta nhận được q là hàm của thời gian t

1.2.1 Tính toán dao động cưỡng bức không cản (n = 0)

Giả sử lực kích động ngoài biến đổi theo quy luật điều hoà: Q(t) = P0sinpt Phương trình (1-25) trở thành:

Trên cơ sở (1-38) ta có một số nhận xét sau:

1 Hai số hạng đầu của (1-38) ứng với dao động tự do tần số riêng k Khi (0) (0) 0

q =q• = , những dao động này không xảy ra

Số hạng thứ ba cũng là dao động điều hoà với tần số riêng k, nhưng biên độ phụ thuộc vào lực kích động Nó luôn xảy ra cùng dao động cưỡng bức với điều kiện đầu tuỳ ý

2 Số hạng cuối của (1-38) ký hiệu là q :

Biểu thị dao động cưỡng bức thuần tuý Ta chú ý một số tính chất sau:

a Dao động cưỡng bức xảy ra với tần số lực kích động p Nó không phụ thuộc vào điều kiện đầu của hệ

b Khi k > p thì dấu của độ lệch q cùng dấu với lực kích động Q, ta nói nó cùng pha Khi k < p chúng ngược dấu nhau (ngược pha) Ta có thể viết:

Sự trùng nhau giữa tần số của lực kích động

p với tần số riêng của hệ k và các hiện tượng xảy

ra tiếp sau gọi là hiện tượng cộng hưởng

Thực tế khi tính toán dao động cưỡng bức

không cản thường phân ra hai trường hợp: Trường

hợp xa cộng hưởng (p ≠ k) và trường hợp gần

cộng hưởng (p ≈ k) Khi này nếu: p = k+2ε (ε là

đại lượng vô cùng bé) ta có hiện tượng phách, còn

p = k ta có hiện tượng cộng hưởng

Đối với các máy được thiết kế làm việc gần cộng hưởng khi tăng vận tốc của máy qua vùng cộng hưởng phải khẩn trương cho vượt qua đủ nhanh

C

a) b) HÌNH 1-6

Theo nguyên lý Đa-lăm-be, ta có:

x = C1sinkt+ C2coskt + Bcospt

=> x•= C1kcoskt - C2ksinkt - Bpsinpt

Điều kiện đầu của bài toán: t = 0 thì x(0) = 0; (0) 0x• =

Ta suy ra: C2+B = 0; C1 = 0;

2 2 1 2

m r p B

p t x

→ = 0,12t.sinpt = 0,12t.sin30t (cm)

1.2.2 Tính toán dao động cưỡng bức có cản (n≠0)

Xét lực cản (nhớt) phụ thuộc bậc nhất với vận tốc, lực kích động ngoài biến đổi theo quy luật điều hoà Q(t) = P0sinpt Phương trình (1-25) trở thành:

2 0

Phương trình (1-47) xác định chế độ dao động bình ổn của hệ

2 Dao động cưỡng bức kể cả khi có cản vẫn xảy ra với tần số lực kích động p Biên độ của nó không phụ thuộc vào thời gian và không tắt dần vì lực cản Khi xảy ra cộng hưởng (p = k) biên độ này vẫn hữu hạn và không phải là giá trị lớn nhất trong các giá trị của biên độ Ta tìm p để biên độ:

0

P B

3 Trong dao động cưỡng bức của hệ có cản luôn xảy ra độ lệch pha giữa pha dao động với pha của lực kích động Độ lệch pha ε xác định bằng công thức:

4 Gọi độ lệch tĩnh của hệ là B0 (bằng tỷ số biên độ lực kích động với hệ số cứng của hệ; ở đây P o2

k ) Ta lập tỷ số giữa biên độ B và B0, ký hiệu là η Hệ số η được gọi là hệ số động lực và bằng:

Trên hình vẽ (Hình 1-7a) ta có các đường cong cộng hưởng Những đường này biểu diễn quá trình biến đổi của giá trị tuyệt đối của hệ số động lực η phụ thuộc vào tần số của lực kích động với một vài giá trị của hệ số cản

Từ đồ thị rõ ràng là: Các lực cản (nhớt) có tác dụng rõ rệt trong vùng gần cộng hưởng, ở các vùng này thì có thể lấy η= ηmax (Hình 1-7b)

Do đó, mặc dù biên độ dao động cưỡng bức khi có cản là hữu hạn; nhưng các chi tiết của máy vẫn làm việc trong trường hợp này thì luôn xảy ra nguy cơ phá huỷ do ứng suất mỏi Vì vậy, khi thiết kế cần chọn mối liên hệ các kích thước và độ bền sao cho chế độ bình thường nằm xa chế độ cộng hưởng

Thí dụ 1-5:

Để ghi các quá trình dao động khi có tác động

ngẫu nhiên khác nhau (xô đập, va chạm) người ta

thường dùng các chấn đồ tần số thấp có lắp thêm bộ

giảm chấn (dạng giảm chấn ma sát nhớt) Sơ đồ

nguyên tắc của chấn đồ này được mô tả trên hình vẽ

(Hình 1-8) Ở đây chuyển động của khối lượng m

treo bằng lò xo với độ cứng C được hãm lại bằng

lực cản tỉ lệ với vận tốc chuyển động tương đối của

tải trọng, tức là bằng yα • trong đó y là độ lệch của

khối lượng m đối với nền Tìm giá trị độ lệch mà

máy ghi lại như hàm của thời gian t, nếu nền chuyển động theo quy luật:

0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 2n/p=0

HÌNH 1-7

Chuyển động thẳng đứng y của tải trọng m là chuyển động tương đối đối với

khung chấn đồ gắn với bảng chia độ

Do móng và chấn đồ thực hiện chuyển động theo quy luật cho trước:

Thay: k2 =0,01 ;ω2 n=0,02ω ta nhận được dịch chuyển tương đối của khối

lượng m do máy ghi ra:

Để đầm bê tông ở chân móng các công trình người ta thường dùng một thiết bị đặc

biệt: Đó là chấn tử lệch tâm gồm một đế nặng khối lượng m, trên đó đặt hai đĩa quay khối

lượng mỗi đĩa bằng m1 Các đĩa quay trong mặt phẳng thẳng đứng theo chiều ngược nhau

với vận tốc góc ω Trên mỗi đĩa người ta gắn một tải trọng m0 cách trục quay một khoảng

là e (Hình 1-9a) Sau một thời gian đầm, ta có thể mô tả các tính chất của móng bê tông

một cách gần đúng bởi mô hình lưu biến như hình vẽ (Hình 1-9b)

Hãy thiết lập phương trình dao động bình ổn của vỏ chấn tử Tính biên độ dao

động Biết rằng trong quá trình làm việc vỏ chấn tử không bao giờ tách rời khỏi khối

lượng đang đầm

Bài giải:

Gọi x là toạ độ trọng tâm của vỏ chấn tử tính từ vị trí cân bằng tĩnh, áp dụng

nguyên lý Đa-lăm-be Lực ly tâm do các đĩa gắn khối lượng lệch tâm chuyển động

ngược nhau tác dụng theo phương chuyển động của vỏ chấn tử (theo phương x thẳng

đứng) sẽ bằng:

0( ) 2 sin

Mô hình tính hệ dao động được mô tả trên hình 1-9

Phương trình vi phân chuyển động của vỏ chấn tử có dạng:

21

A A

1.2.3 Đệm đàn hồi của máy

Ta xét một mô hình áp dụng kỹ thuật của lý thuyết dao động cưỡng bức

1.2.3a. Các máy quay có bộ phận không cân bằng sẽ truyền các lực kích động có chu kỳ lên nền (móng) của nó, gây lên sự rung và tiếng ồn không mong muốn Để giảm hiện tượng này thường áp dụng đệm đàn hồi

Giả thiết máy có trọng lượng Q (Hình 1-10) và ký hiệu P là lực ly tâm xuất hiện

do phần quay không cân bằng với vận tốc góc (ω rad s/ ) Như đã chỉ trên hình vẽ (Hình 1-10a) Các lực kích động thẳng đứng, nằm ngang tương ứng là: sinP ωt và cos

Nếu máy được bắt chặt với nền cứng thì lực kích động sẽ truyền hoàn toàn xuống nền Để giảm lực kích động lên nền (móng) ta đưa vào đệm đàn hồi như hình vẽ (Hình 1-10b), ở đó ta hạn chế chuyển động ngang của máy bởi các liên kết Khi này ta nhận được dao động cưỡng bức của vật Q đặt trên lò xo theo phương thẳng đứng với lực kích động P0sinωt Nếu chú ý đến biểu thức (1-39) ta có biên độ dao động cưỡng bức khi này bằng:

21

A

C C

k

ηω

lò xo mềm sao cho tần số riêng của hệ dao động nhỏ so với số vòng quay trong một đơn vị thời gian của máy

1.2.3b. Trong phần trên ta mô tả đệm đàn hồi của

máy với giả thiết không tồn tại lực cản Điều này chỉ gần

đúng trong trường hợp đối với các lò xo xoắn bằng thép

Nếu sử dụng các nhíp lá hoặc bản bằng cao su thì lực cản

là đáng kể và không thể bỏ qua Khi đó đệm đàn hồi máy

quy đổi thành mô hình tính gồm lò xo độ cứng C và giảm

41

41

η =η + , η* thường gọi là hệ số động lực gia tăng Sự phụ

thuộc hệ số này với

k

ω trong các giá trị 2n

Tất cả các đường cong đi qua một điểm có hoành độ 2 và tung độ bằng 1 Trong miền

k

ω < 2 sự tắt dần là có lợi vì làm giảm hệ số truyền lực, trong miền

k

ω

> 2 với sự tăng của lực cản, hệ số truyền lực tăng Vì vậy, trong các trường hợp: Khi chế độ làm việc nằm ở vùng sau cộng hưởng lực truyền cho nền (móng) tăng do hệ quả của giảm chấn Ý nghĩa vật lý của hiện tượng này là ở chỗ: Các dao động truyền cho nền móng thực hiện bằng hai lực: Theo “con đường đàn hồi” và “con đường nhớt” Khi lực kích động có tần số cao xảy ra vận tốc lớn và tương ứng với lực cản nhớt tăng lên

1.2.4 Áp dụng phép biến đổi Laplace tính toán dao động cưỡng bức

1.2.4.a Định nghĩa phép biến đổi Laplace

Giải sử: f(t) là hàm liên tục từng khúc trên khoảng [0; +∞ ) Phép biến đổi place là một phép biến đổi tích phân biến đổi hàm gốc f(t) của biến số thực thành hàm ảnh F(s) của biến số phức nhờ hệ thức:

La-0( ) [ ( )] st ( )

ω/k

η*

HÌNH 1-12

0,5 0,4 0,3 0,2 2n/p=0,1

0,5 0,4 0,3 0,2 n/p=0,1

1.2.4.b Các tính chất của phép biến đổi Laplace

Ta nêu một số tính chất cơ bản (không chứng minh) của phép biến đổi Laplace

0

0(0) lim ( )

Một số công thức cơ bản của phép biến đổi Laplace được trình bày trong Bảng 3

Bảng 3 - Hàm f(t) và hàm ảnh F(s) qua phép biến đổi Laplace

0( )

1(e αt αt 1)α

ωω

−+

++

s

ββ

ββ

ββ

+

−

1.2.4.c Áp dụng phép biến đổi Laplace tính dao động cưỡng bức

Cho phương trình vi phân mô tả dao động cưỡng bức ở dạng

Đặt: D(s)= s2+2ns +k2; N s0( )=sq0+2nq0+ q•0 (1-63) Nghiệm của phương trình ảnh có dạng:

mD s phụ thuộc vào hàm lực kích động f(t) và tương ứng với

NR của phương trình vi phân có vế phải

Nghiệm của phương trình vi phân gốc (1-61) sẽ có dạng:

ωπω

HÌNH 1-13

Từ điều kiện ban đầu t = 0: q(0) = 0 ; (0) 0q• = Do đó theo (1-63): N0(s)=0 Trong

ω

+Đến đây nói chung có thể dùng bảng để tìm ảnh ngược và khi đó có nghiệm q(t)

Ở đây ta dùng cách phân tích các phân thức vế phải để có nghiệm của bài toán

Giả sử trong trường hợp tổng quát hàm F(s) là phân thức dạng:

Với ( )D s =M(s)D(s) Nếu D(s) và ( )D s là những đa thức có nghiệm đơn Ta gọi

sk là nghiệm của D(s)=0 và s j là nghiệm của ( )D s =0, khi đó có thể phân tích các phân thức 0( )

( )

N s

( )( )

2 0

=

Câu hỏi ôn tập

1 Khảo sát dao động tự do không cản của hệ một bậc tự do (phương trình chuyển động dao động, nghiệm, tần số riêng) Cách xác định tần số riêng ?

2 Khảo sát dao động tự do có cản của hệ một bậc tự do (phương trình chuyển động, nghiệm, độ suy giảm Lôgarít) Chu kỳ dao động tự do có cản của hệ lớn hơn hay nhỏ hơn chu kỳ dao động tự do không cản của hệ

3 Viết phương trình mô tả dao động cưỡng bức của hệ tuyến tính một bậc tự do có cản chịu lực kích động ngoài là hàm bất kỳ của thời gian Biểu thức nghiệm tổng quát

CHƯƠNG II: DAO ĐỘNG TUYẾN TÍNH CỦA HỆ NHIỀU BẬC TỰ DO 2.1 Phương pháp chung thiết lập phương trình vi phân chuyển động

2.1.1 Hệ nhiều bậc tự do

Thực tế các hệ cần tính toán dao động phần lớn là các hệ đàn hồi phức tạp, như: dầm, thanh có tiết diện không đổi hoặc thay đổi, các trục thẳng có gắn các đĩa, các trục khuỷu của động cơ đốt trong, các cánh và đĩa tuốc bin v.v

Để xác định đầy đủ biến dạng của hệ sinh ra do dao động, ta cần biết dịch chuyển của tất cả các điểm của nó, những hệ đàn hồi như thế có vô số bậc tự do

Tuy nhiên, trong nhiều trường hợp việc nghiên cứu dao động ở các hệ phức tạp vô

số bậc tự do gặp nhiều khó khăn về toán học Việc tính toán thực tế kỹ thuật phải đưa vào các sơ đồ đơn giản để tính toán hệ dao động Có nhiều cách đơn giản hoá khác nhau, một trong các cách được sử dụng rộng rãi là: Thay hệ phức tạp bằng một hệ khác đơn giản hơn với khối lượng và độ cứng phân bố khác đi, nhưng gần hệ đã cho ở chỗ: Giá trị tính toán không khác mấy giá trị thực Hệ này được gọi là hệ thu gọn (hay hệ tương đương) Phương pháp này cho phép ta thay các hệ vô số bậc tự do bằng

hệ hữu hạn bậc tự do tương đương

Ta minh hoạ ý tưởng trình bày trên bằng ví dụ đơn giản sau đây:

Tải trọng m được treo vào điểm A cố định bằng lò xo AB (Hình 2-1)

Nếu kể đến sự phân bố khối lượng của lò xo thì hệ sẽ có vô số bậc tự

do Nhưng nếu khối lượng của tải trọng m vượt xa khối lượng của lò xo

và yêu cầu chỉ xác định tần số dao động nhỏ nhất, ta có thể bỏ qua khối

lượng lò xo và chỉ tính đến tính đàn hồi của nó Mặt khác chỉ xét đến

dịch chuyển thẳng đứng của tải trọng m thì ta hoàn toàn có thể xem hệ có một bậc tự do,

vị trí của hệ dao động được xác định duy nhất bởi toạ độ suy rộng q

2.1.2 Phương pháp chung thiết lập phương trình vi phân chuyển động

Việc lựa chọn phương pháp thiết lập phương trình vi phân dao động của hệ nhiều bậc tự do phụ thuộc vào mô hình cơ học của hệ

Đối với các cơ hệ gồm các chất điểm, các vật rắn, các lò xo bỏ qua khối lượng, các

bệ giảm chấn ma sát, người ta thường dùng phương trình Lagrăng loại II để thiết lập phương trình dao động Đối với các kết cấu đàn hồi, như dao động uốn của dầm có khối lượng tập trung, , người ta thường dùng phương pháp lực,

Trong phần trình bày này, ta nêu cách áp dụng phương trình Lagrăng loại II để thiết lập phương trình vi phân dao động của hệ nhiều bậc tự do

Xét hệ N chất điểm, có n bậc tự do, chịu tác dụng của các lực có thế, các lực cản phụ thuộc bậc nhất vào vận tốc và các lực kích động là hàm bất kỳ của thời gian Pi(t)

(i =1, n )

Gọi q1, q2, qn (qi, i =1, n ) là các toạ độ suy rộng của hệ: Q iπ, Q iφ, P

i

Q là các lực suy rộng của các lực có thế, các lực cản và các lực kích động Pi(t), phương trình Lagrăng II viết cho hệ có dạng:

m

B

qA

HÌNH 2-1