ứng dụng lý thuyết ánh xạ đóng nghiên cứu các luật trong trí tuệ nhân tạo

n> GIA.o nvc vA aAo T~o TRUONG D~I HOC KHOA HOC TV NHIEN NGUYEN VAN TINH NGHIEN caa cAc LOAT TRONG • LuQ,n vii.n thf!,c si khoa hpc Chuyen nganh : TIN HOC NgliUi hlifJng ddn khoa hpc

l •

\

n(> GIA.o nvc vA aAo T~o

TRUONG D~I HOC KHOA HOC TV NHIEN

NGUYEN VAN TINH

NGHIEN caa cAc LOAT TRONG

•

LuQ,n vii.n thf!,c si khoa hpc Chuyen nganh : TIN HOC

NgliUi hlifJng ddn khoa hpc :

PGS.TSKH NGUYEN XUAN HUY

\ LUU HANH NQI BQ J

TP.HO CHI MINH-THANG 3 NAM 2001

Tac gia lu?n van hay to long hiet dn sau sic il<fi vai Tha'y Nguy~n

Xuan Huy, PGS.TSKH thm)c W¢n COng Ngh¢ Thong Tin, Trung Tam

Khoa H9c va COng Ngh¢ Quoc Gia, aa danh cho tac gia Sl/ quan tam

hu'ang dfin quy gia vJ n<)i dung va phu'dng phap nghien CUu ae? Ju?n van

au'{1c hoan thanh

Tac gia 1u?n van chan thanh aim dn Thi y Tru'dng Khoa COng Ngh¢

Thong Tin, GS.TSKH Hoang Kiem, aic thiy, c6 Khoa COng Ngh¢ Thong

Tin va Phong Sau D<Ji H9c Truang D<Ji H9c Khoa H9c Tl/ Nhien, D<Ji

H9c Quoc Gia Tp Ho' Chi Minh aa trlfc tiep giang d<J y va t<Jo m9i c!Mu

ki¢n thwjn l<;1i trong thai gian h9c t?p t<Ji tru'ang

Tac gia lu?n van cung cam nh?n chan thanh Sl/ chia xe, giup aa cua

aic a6ng nghi¢p Phong Dao T?o Tru'ang Cao Ding BC Marketing, aic h?n

h<Jc vien cung kh6a trong qua trinh h9c t?p va hoan thanh lu?n van nay

Tp.H6 Chi Minh thang 3 nam 2001

,,

Ml)C Ll)C

Trang

Loi noi dau 1

Chtfdng 1 Anh xc;i dong va cac phep toan tren anh x~ dong 4

1 1 Anh xq d6ng 5

1 2 Giao cua cac anh xq d6ng 8

1 3 Tich cua cac anh xq d6ng 11

1 4 Hc;Jp cua cac anh xq d6ng 16

1 5 Quan he thu tl,! tren t~p anh xq 18

1 6 Dieu kien de t i ch cua anh xq d6ng la mot anh xq d6ng 19

Chtfdng 2 Ung d\lng anh X9- dong nghien cuu cac lu~t trong cd sd tri thuc, 31

2.1 cackhainiemcoban 32

2 2 T~p 1 u~ t t uong duong 3 6 2 3 Bao dong cua t~p sv kien 3 8 2 4 T~p d6ng 4 0 2 s T~p lu~t dq.i dien 49

Chudng 3 Bieu dien lu~t bang cong thuc logic 55 3 1 Cong thuc logic duong 5 6 3 2 Bieu di en cac 1 u~ t b~ng cong thuc logic 60

Chudng 4 M¢t so thu~t toan trich ch9n lu~t 70

4 1 Xay dl,!ng cac thu~ t toan 7 0 4.2 Cai d~t cac thu~t toan 82

Ket lu~n 86

Ta i 1 i ~ u t ham kha o a a

,

LOI NOi E>AU

ap dt;mg cac ke't qua nghien cuu v~ anh x~ dong vao lTnh vlfc tri tu~ nhan

t~o

nhung thanh ph§n chti ye'u Hi~u qua giai quye't cac bai toah n'ay ph9 thUQC nhi~U VaO chfi't lu'<Jng CUa CO Sd tri thuc ma trong do t~p CaC lu~t giu vai tro quan tr9ng Voi m()t t~p cac slf ki~n da cho, d€ xay dlfng m()t co Sd tri thuc t6i ttu, giau ngu nghia, c§n co m()t t~p lu~t d§y du, khong du thua, khong mau thu§n, khong bi "luftn quftn" V.V

Trong lu~n van trlnh bay m()t so' ke't qua khao sat, nghien cuu cac lu~ t d§n trong CO Sd tri thuc du'oi goc d(> ly thuye't anh X~ dong

Co th€ noi trong vi~c nghien cuu v~ ph9 thu(>c du li~u noi chung va cac lu~t noi ri.eng thl khai ni~m bao dong cua t~p cac Slf ki~n dong vai tro quan tr9ng v~ m~t ngu nghia, bao dong cua t~p slf ki~n x la t~p toan be) cac slf ki~n ph9 thUQC vao X Cac ke't qua co y nghia sau sac nhu' dinh' ly tu'ong du'ong giua cac ki€u suy d§n, cac ke't qua lien quan de'n vi~c tlm phu ctia t~p slf ki~n, t~p lu~t v.v d~u dttqc phan tich ho~c chung minh tren co Sd khai ni~m bao dong ctia t~p cac slf ki~n N(>i dung d~ tai se d~ c~p de'n m(>t so' tinh chfft ctia cac anh x~ dong va hu'ong ung d9ng cac anh

X(;l dong trong Vi~c nghieil cliu bao dong CUa t~p cac Slf ki~n, tom lu'(;Jc mot s6 ke't qua chu ye'u cua hu'ong nghien cliu nay

Lu~n van g6m 4 chu'ong:

Chu'ong 1 Anh X(;l dong va cac phep toan tren anh X(;l dong

Chu'ong 2 Ung dt;mg anh X(;l dong nghien cliu cac lu~t trong co sd

tri · thlic

Chu'ong 3 Bi€u di€n lu~t bang cong thlic logic

Chu'ong 4 Mot s6 thu~t toan trich ch9n lu~t

Chu'ong 1 trlnh bay mot s6 ke't qua nghien cliu ly thuye't v~ anh X(;l

dong nhu' la mot hu'ong nghien cliu doc l~p cua toan h9c D6ng thoi cac ke't qua da du'qc d~ c~p tOi co dinh hu'ong ap dt;mg vao vi<%c nghien cliu ly thuye't cong ngh<% thong tin nhu' mot trong cac linh vlfc ke' c~n-cua toan h9c

Chuong 2 d~ c~p vi<%c ling dt;mg cac ke't qua nghien cliu v~ anh X(;l

dong d€ khao sat cac lu~t trong co sd tri thlic

Chu'ong 3 trlnh bay phu'ong phap bi€u di€n cac lu~t, t~p lu~t'bang cong thlic logic duong va ling dt;mg phu'ong phap nay d€ chling minh mot s6 ke't qua v& tu'ong quan d~ng ca'u giua t~p cac t~p dong va t~p cac t~p con cua 23 n

Chuong 4 cua lu~n van danh cho vi<%c xay dlfng va cai d~t m(>t s6 thu~t toan giup giai bai toan trich ch9n lu~t tu m(>t co sd tri thlic dlfa tren cac ke't

· qua da thu duqc trong chu'ong 3 ding nhu' cac chu'ong tnroc Trong cac th~~t toan se d~ c~p toi co thu~t toan trich ch9n cac lu~t duqc g9i la "co

minh chung", nghia la cac lu~t d~ng X~Y ma trong bang du lic$u K c6 it

nha't hai dong a va ~ thoa di~u ki~n:

Trong m6i chu'dng d~u c6 nh~c l~i m<)t s6 khai nic$m, ke't qua nghien cuu cua cac tac gia di tru'ck trong nhii'n'g va'n d~ thu<)c cac linh vlfc lien quan Phftn chie'm ty 1«$ IC1n hon cua lu~n van du'qc danh cho vi~c trlnh bay cac ke't'qua nghien cuu, phat tri€n cac bai toan cua.tac gia trong qua trlnh hoan thanh ban lu~n van nay

CHU'dNG 1

ANH x~ E>ONG vA cAc PHEP TOAN

TREN ANH X~ E>ONG

Chudng 1 trlnh bay m9t s6 ke't qua nghien cuu ly thuye't v€ anh xe;t dong nhu' la mc)t huong nghien cuu dc)c l~p cua toan h9c D6ng thoi cac ke't qua da du'c;:lc d€ c~p tdi co dinh hu'ong ap d9ng vao vi~c nghien cuu ly thuySt Cong ngh~ thong tin nhu' IDQt trong CaC linh VlfC ke'° C~n CUa toan

hQC

Phfrn kie'n thuc Cd sd v€ ly thuye't cho cac va'n d€ cua chu'dng nay (cac khai ni~m cac djnh nghia, m<)t s6 ke't qua da bie't) chu ye'u dlfa vao cac tai li~u [1], [2], [3], [4]

M1;1c l.1 neu khai ni~m va cac tinh cha't cua anh XC;l dong cling mc)t s6 vi d9, phan vi d9 lam ro cac khai ni~m va cac tinh cha't da neu

Trong cac m9c 1.2, 1.3, 1.4 lfrn lu'c;:lt trlnh bay v€ cac phep toan co th~ thlfc hi~n d6i VOi cac anh XC;l dong Va cac tinh chfft, cac h~ thuc tu'dng ung Do la phep giao, phep Iffy ham hc;:lp (Iffy tich) va phep hc;:lp

M1;1c 1.5 xac d!nh mc)t thu tl! be) ph~n tren t~p <inh XC;l dong M1;1c 1.6 chung minh IDQt s6 h~ thuc lien h~ giua cac phep toan tren anh XC;l dong trong quan h~ thu tl! be) ph~n da xac djnh trong ml)c 1.5 Trong ffil;IC 1.6, ngoai vi~c h~ th6ng le;ti mc)t s6 ke't qua da du'c;:lc cong b6 cua nhi€u tac gia

(trang 19-20), lu~n van ding d€ c~p m<)t s6 ke't qua moi, phat bi~u va

chung minh· m<?t s6 h~ thuc (cdc m~nh d~ 1.11-1.18, trang 22-27 ), chung minh m<?t di~u ki~n du (nhu'ng khong la di~u ki~n cffn) d~ tich cua cac ~nh X(;l dong la ffiQt anh X(;l dong (djnh fy 1.4, nhcJ,n xet 1.2 VQ phan vi dij, 1.3,

trong d6 P/-f U) la ky hi~u t~p ta't ca cac t~p con cua U, duqc g9i la

(Tlnh cha't lfiy d~ng con duqc vie't la f.f = f hay f 2 = f )

1.1.2 Vi di!- vi anh xq dong:

1 Anh x(l to'i d(li:

M(X) = U, X cU;

2 Anh X(l ddn vj:

3 Anh x~ tinh tien:

He (X) = CX, voi x cu va c la m()t t~p con xac djnh tnroc cua u

Theo quy u'oc, CJ day sa dl;lng CX d~ chi hqp cua 2 t~p C va X, nghia

la theo quy u'oc: CX = C u X

D~ chung minh cac anh XC;l M, E, He neu trong cac vi dl;l tren la dong ta Chung ffiinh r~ng cac anh XC;l do l§n lu'Qt thoa ta'°t ca cac tinh cha'°t (Cl), (C2) va (C3) neu trong djnh nghia anh XC;l dong

1.1.3 MQt sif tillh chat cua anh X(l, dong:

(C4) V X,Yc U:

f(f(X)Y) = f(Xf(Y)) = f(XY)

d day xin nh~c lC;li, theo quy u'oc:

ma khong th~ vie't: f(XY) = f(X)f(Y), ta xet vi d1,1 sau:

Gia si't cho U =ABC va anh x~

f : '!Yr u) ~ '!Yr u)

du'<;1c dinh nghia nhu' sau:

f(X) = XC, ne"u AB c X;

f(X) = X, ne"u AB CZ X

Anh x~ f tren la m(H anh x~ dong (thoa cac tinh cha't (Cl), (C2), (C3))

trong khi d6,

f(X) = f(A) = A f(Y) = f(B) = B

va f(X)f(Y) = f(A)f(B) =AB

Anh x~ f tren la mot anh x~ dong (thoa cac tinh cha't (Cl), (C2), (C3))

trong khi d6:

Vdi X =AB, Y =AC, ta c6:

f(X) = f(AB) =AB f(Y) = f(AC) =ABC

Khi d6, t~p K c U duqc gQi la khod cua dnh xg, f, ne'u f(K) = U

va VK'c K ( f(K') * U ), d day K' la t~p con thlfc slf cua K N6i each khac, t~p Kc U gQi la khoa cua f ne'u K la tgp con nho

nhcft cua U thoa diSu ki~n f(K) = U

1.2 GIAO CUA CAC ANH X~ DONG:

1.2.1 Khai lli~m giao cua hai anh Xf!,

Gia Slr cho t~p huu h~n u va hai anh x~ f va g xac dinh tren U, nghia

Giao cua hai anh Xt;l dong la m()t anh X(;l dong

Ne'u ky hi<$u ?l?u la t~p hcjp ta"t ca cac anh X(;l dong xac djnh tren U, thl mc$nh d€ tren co th~ phat bi~u nhu' sau:

'rlf, g(f, gE?l?u =:>f /\ gE?l?u)

Chang minh m~nh d~ 1.1:

Gia slt f va g la cac anh X(;l dong, nghia la f va g tho a man cac tinh cha"t (Cl), (C2), (C3)

Ta chung minh, khi do f /\ g cfing thoa cac tinh cha"t (Cl), (C2), (C3)

• Chang minh f /\ g thoa (Cl):

Vai x c U: (f /\ g) (X) = f(X) n g(X)

Nhung: f(X) :::J X (vl f E ?l?u)

g(X) :::J X (vl gE ?l?u)

suy ra: f (X) n g(X) =:J X

• Chang minh f /\ g thoa tfnh cha't ( C2 ):

M~t khac, nhu' da chung minh a tren f" g c6 tinh cha't phan x~ (tinh chfft (Cl)), nen :

1.3 TICH CUA CAC ANH X~ DONG

1.3.1 Khai ni~m tich cua cac anh X(l (theo nghia ham hf!p cua hai dnh xg,)

Dinh nghia 1.4 Gia sll' f : '.o/{ U) ~ '.o/{ U), g : '.o/{ U) ~ '.o/{ U)

Khi d6 voi X c U, ta c6:

f(g(X)) c U

Anhx~ h(X) = f(g(X)) la m<?t anh X<;l xac djnh tren '.o/-t U)' nghia

la: h : '.o/-t u) ~ '.o/-t u)

Anh X<;l h du'QC gQi lag tich (ham hf!p) cua cdc dnh x~ f va g va ky hi~u la: h =f.g

Nhu' v~y, theo djnh nghia:

(fg)(X) =f(g(X)), vlfiX cU

1.3.2 Tinh chat cua tich cac anh X(l dong:

M~nh d~ 1.2 Ne'u f va g la cac anh X<;l dong thl tich f.g thoa cac tinh

f, ge CV?u =I=> f ge CV?u

Xet u = ~ 1, 2, 3, ,, 10~ la t~p 10 s6 tlf nhien (du'dng) dftu tien Gia sit hai anh X(;l:

f : '.o/-t'U) ~ '.o/-t'U)

f(X) = x u i a+l I a EX & a chan & a+.l EU r :::> x

• f thoa (C2):

Vdi X,Yc U va X c Y ta phai chung minh: f(X) c f(Y)

Th~t v~y, gia sli' hEf(X) thl theo clinh nghia cua f(X):

Ho~c b = a+l vdi aEX, a chan, a+l EU (ii)

Nhu'ng vl x c y nen ne'u bEX ~ bEY

va ne'u a EX~ aEY

Do cl6 tu (i) va (ii) suy ra:

Ho~c bEY Hoac b = a+l voi aEY, a chan, a+l EU Khi cl6, theo dinh nghia cua f(Y), ta c6: b.Ef(Y)

Nhu v~ y ta da chung minh:

bEf(X) ~ bEf(Y)

Nghia la: f(X) c f(Y) (dpcm)

• f thoa (C3):

Theo dinh nghia f (X):

f(X)=Xui a+I I aEX&achan&a+lEUr=XuM,

M1 = ib+l{ bEX u M & b chan & b+lEUr

f)g chung minh f thoa (C3) tntoc he't ta chung minh M 1 c M :

Gia slt CEM1

Khi d6: c = b+l voi bEX uM, b chan, b+l EU

C6 thg xay ra 2 tntong hqp:

- Truong h<Jp 1: hEX, b chan, b+l EU;

- Truong h<Jp 2: bEM, b chan, b+l EU

d day truong h<Jp 2 khong thg xay ra

Th~t v~y, bEM => b = a+l voi a chan => b le

.E>ieu nay mau thufin voi dieu ki~n b chan

Trong trudng hop I:

b Ex & b cha n & b+ 1 Eu => b+ 1 EM => c EM

Nhu v~y cEM 1 => cEM hay M 1 c M

Xet f(f(X)) = f(X u M) =(Xu M) u M 1 =Xu M = f(X) (Vl M1 c M)

=> f thoa (C3)

Theo m~n d~ 1.2, vl f va g la cac anh x~ dong, nen f.g co tinh chat phan x~ (Cl) va tinh chat d6ng bie'n (C2)

Voi cac anh ~<:t dong f va g da xay dlfrig tren, tich f.g khong thoa tinh chat (C3), nghia la (f.g)(f.g) =1- f.g

"Tich cua cdc dnh xg, dong khong c6 tinh chfft lay ddng "

Tie'p tl;lC nghien cuu v€ tich ctia anh X<;l dong, tnroc he't ta nh~n thay, noi chung, tich ctia hai anh X<;l khong co tinh giao hoan Tuy nhien, dO'i voi m9t sO' lOp anh XC;l hyp hon thl co th~ co tinh chat do Lop anh XC;l dong ~u

chat giao hoan B~ng phan vi dl;l, ta co th~ chung to di€u do

1.4.1 Khai ni~m htjp cua hai anh Xf!

M~nh d~ 1.5 H<;fp cua hai anh xc;i dong c6 tinh phan xc;i (Cl) va tinh d6ng bie'n (C2)

Chang minh:

Gia sii' cho f, gE<&'u Ta phai chung minh f v g co cac tinh cha't (Cl)

va (C2), rtghia la phai chung minh:

H<;fp cua hai anh x~ dong n6i chung khong co tinh lily d~ng (C3)

DS chung m~nh d€ 1.6 ta sii' dl;lng cac anh x~ f va g trong phan vi dl;l 1.3

da trlnh bay (J ph~n tren va chi ra ding dO'i voi cac anh x~ f va g d6:

1.5 QUAN Ht THU Tl} TREN T~P ANH XA

1.5.1 Khai lli~m thu tt! giila cac anh X(l,

Dinh nghia 1.6

Ky hi~u t~p h<jp cac anh Xt;l xac djnh tren 'PJtU) la G4'tu, nghia la :

Gia sll' f, gEGYltu Khi d6, quan h? thu t~ ~ (nho hon ho~c bang) giua f va g du'<jc djnh nghia nhu' sau:

(2) Tfnh cha't phan xung: 'rlf, gE<Yftu (f ~ g & g ~ f ~ f = g);

(3) Tinh cha't b~c cfiu: 'rlf, g, hE<Yftu((f~ g & g~ h) ~!~ h)) Nhlj,n xet:

• Cac tinh cha't tren dttc;fc suy ra tnfc tie'p tu dinh nghia quan h~ thu tlf ~ gifi'a hai anh X<;l

• Quan h~ thu tlf ~ la IDQt thu tlf bQ ph~n VI t6n t<;ti nhfi'ng anh X<;l

khong SO Sanh dltc;fC VOi nhau, nghfa la t6n t<;ti cac anh X<;l f Va g thu(k <Yftu ma khong thoa di~u ki~n f -~ g va ding khong thoa

• Theo qui uoc, trong truong hc;fp c§n thie't d~ thu~n ti~n cho vi~c trlnh bay, c6 th~ vie't f~ g thay cho each vie't g~f

1.6 DIEU KitN DE Tieu CAC ANH x~ DONG LA ANH x~ DONG

1.6.1 Nhiic l{li mQt sfi'ket qua: [l], [3], [13]

Dinh ly 1.2 (Diiu ki~n c&n va du de' tich cua hai dnh X(J, dong

la m9t dnh xg, dong)

Cho hai anh X<;t dong f va g Khi do, cac tich f.g va g.f d6ng thoi

la CaC anh X<;l dong khi Va chi khi chung giao hoan:

V f, gE~u (f.g, g.fE~u <=> f.g = g.f)

Dinh ly 1.3

Tich cua hai anh X<;t dong f va g la m()t anh X<;t dong khi va chi khi

f.g.f = f.g

Noi each khac: v f, g E '$7u (f.g E ~u <=> f.g.f = f.g)

1.6.2 Mqt slf ket qua khac

Trong m1:1c 1.6.1 da d~ c~ p m()t s6 tinh cha't ctia quan h~ ~ giua cac anh X<;l dong, nhu' tfnh chfft gia tang trai, gia tang phai (cac m~nh di J.9,

I.JO) Trong m1:1c nay, truck he't tac gia lu~n van se chung minh cac tinh cha't tu'dng tlf nhu' tren nhu'ng md r()ng hon, khong doi hoi nha't tpie't ta't ca cac anh X<;l d~u phai la anh X<;l dong (cdc m~nh di 1.11, l.J2, Va J.J3, trang

h<;1p cua cac anh X<;t dong (cdc m~nh di 1.14 - 1.18, trang 22-27) Cu6i illl;IC nay, se chung minh m()t di~u ki~n du (nhu'ng khong la di~u ki~n cfin) dti

tich cua cac anh X<;l dong la IDQt anh X<;l dong (djnh /y J.4, nh!jn xet J.2 Va

phdn vi di!- 1.3, · trang 27-_30)

(1) \:/ f, gE'$7u (f.g ~ f) ([13]);

(2) V fE'$7u V gEo&'u (f.g ~ g)

Chung minh: (2)

Gia slt fE ~U- gE0Atu va la'y tuy y x cu

Khi d6, d~t Y = g(X), vl f E ~u nen f c6 tinh cha't phan x~ do do :

f (Y) ::) Y hay f (g(X)) ::) g(X), nghia la: f.g ~ g (dpcm)

Theo gia thie't : g ~ k, h E ~u

(phep hqp khong c6 tinh cha't phan b6 trai d6i voi tich)

Trude he't ta chung minh (1) :V f, gEg,/{u ( f /\ g ~ f ~ f v g );

Ta tha'y, ht$ thuc (1): f /\ g ~ f ~ f v g duqc suy rad~ dang tu dinh nghia cac phep toan /\, v cua cac anh x~ va tu h~ thuc hi~n nhien sau trong ly-

thuye't t~p hqp:

f(X) n g(X) c f(X) ·c f(X) u g(X), X c U

D~ chung minh (2), xet X c U,

Gia sti' Ela anh Xl;l don vi Khi do E(X) = X, 'i:f X c U

Trong m9c 1.1, khi xet cac vi d9 ve anh X(;l dong, da chi ra rang EE Yrfu Nhuv~y, vdi f, gE~u, ta co E::::; f va E::::; g => E::::; fv g

Theo m~nh d€ 1.12, (1):

E ~ f v g => E(f.g) ~ (f v g)(f.g)

= f.f.g v g.f.g = f.g v f.g = f.g

Nhu v~y: f.g ~ (f v g)(f.g) ~ f.g => (f v g)(f.g) = f.g (*)

Tu dftng thuc nay se chung minh du9c: f v g ~ f.g

Theo gia thie't, g E <t87u => g ~ E, vdi E (X) = X, v x c u

Do f d6ng bie'n, nen: f.g ~ f.E = f, ma g = fg Do d6 g ~ f (<=)?

Gl·a? S'?"' u f < - ;; g, g~ Q9 IPU, ngoa1 ra: g- ;; ' < g_

Theo m~nh d~ 1.13, ta c6: f.g:::; g.g = g (*) M~t khac, do f c6 tinh cha't phan X<:!, nghia la f~ E, do d6 ta c6

Khi d6, theo m~nh d~ 1.17, vi f v g c6 tinh cha"t phan x:;i (Cl) va tinh

chfft d6ng bie'n (C2) (m~nh d~ 5.1, mf:lC 1.4.2) va fgE'&'u, ta c6:

(f v g)fg = fg Chung minh fg(f v g) = fg ?

Theo gia thie't f, g E '&'u va f g E '&'u, do d6:

f ~ E g~E

N6icachkhac, 'Vf, gE'&'u(f~ g hoiJ,c g~f=>fgEo/u)

Chung minh djnh ly 1.4 du'<;lc suy ra tu dinh ly I I

Th~t v~y gia sli' f, gE <$'u va f ~ g

Khi do, theo d!nh ly 1.1: f.g = gE<$'u

Ne'u g ~ f thl cfing theo dinh ly 1.1: f.g = f E <$'u

NhQ,11xet1.2 E>iSu ki~n neu trong dinh ly 1.4 la diSu ki~n du nhung khong phai la diSu ki~n cfrn d~ f.g la anh X(;l dong, nghia la:

Vai f, gE ?tu (f.gE Yf?u =I=> f ~ g h0<Jc g ~ f )

dl,l nay co sii' dl,lng m(>t ke't qua da du'<Jc chung minh ([1],[3]) va trong chu'ong sau cua lu~n van ding se dS c~p toi (djnh ly 2.3, m1fc 2.3, tr.39-40)

E>6 la khAng dinh: phep la'y bao dong ( t Fla m(>t anh X(;l dong tren U

Phan vi d11- 1.3

Cho U =ABC;

P/-tU) = i 0, U" A, B, C, AB, AC, BC r

Xet cac t~p lu~t:

Ky hi~u phep la'y bao dong theo F la f, phep la'y bao dong theo G la g, Nghia la: V X c U: f(X) = (XtF va g(X) = (Xto

Khi do f Va g la cac anh X(;l dong

Cac ham f, g thoa diSu ki~n fg = gf

Do d6 theo dinh ly 1.2: fg, gf E <$'u

Nhung trong truong h<Jp nay khong thoa diSu ki~n

f ~ g ho~ c g ~ f

(1) (2)

(3)

Kh~ng dinh m~nh d€ (1): f, gE<$'u vi theo dinh nghia, phep Iffy bao dong thoa cac tfnh cha"t (Cl), (C2) va (C3)

Kh~ng dinh m~nh d€ (2):

fg = gf

<=> V X c U ((fg)(X) = (gf)(X))

£)~ chung minh (2') ta ki~m tra tnfc tie'p voi V X c U (XE 9?tUJ)

Voi X=0, X=U: hi~n nhien;

Nh11 v~y (2') da d11qc chung minh, nghia Ia m~nh de (2) duqc khang dinh : f g = gf

(3)<::::> f ~ g & g~f ¢::> ( tF ~ ( tG & ( tG ~ ( tF

<::::>G~F&F~G

Do do, ta chi c§n chung rninh F ~ G va G ~Fla du

D~ chung minh F ~ G, ta xet lu~t (B~A)EG, ro rang la F ~(B~A) va

do do F~ G

,

Tuong tt!, voi (A~B) eF ta ciing co G ~ (A~B), do do G ~ F

Nhu' v~y trong tru'~ng h<;1p nay, m~c du voi cac anh X<;l dong f, g, di~u kit$n f.g = g.f du'<;1c thoa Va do do f.g se la m()t anh X<;l dong, nhu'ng trong

,

khi do f ¢ g va g ~ f '(dpcm)

CHUONG 2

Chuong nay trlnh bay vi~c ung dl;mg cac ke't qua nghien cuu v~ anh

ly thuye't cho vi~c trlnh bay cac vffn d~ cua chu'ong nay (cac khai ni~m

cac djnh nghia, m<)t s6 ke't qua da chung minh) chu ye'u dlfa vao cac tai

M1:1c 2.4 trlnh bay m(>t s6 ke't qua nghien cuu v~ t?p dong d6i ·vdi phep Iffy bao dong cac t?p slf kic$n Trong m9c nay d~ c~p de'n tu'ong quan

van chung minh m9t di~u ki~n du dS h9 cac t?p dong theo t?p lu?t F t(;lo thanh m<)t dan phan b6 bu (eek djnh ly 2.5, 2.6, 2.7, m1;1-c 2.4.3, trang 45-49)

M9c 2.5 trlnh bay v€ t~p lu?t d<;ti di~n trong m()t co sa tri thuc Va'n

de d~t ra la: khi thlfc hi~n lien tiep cac phep la'y bao dong d6i voi m9t t~p

kha nang thay the F va G·bai m()t t?p lu?t H duy nha't sao cho vi~c thao tac

tren H tu'ong du'ong thao tac tren F va G M()t s6 ket qua nghien cuu nh~m giai quyet va'n d€ d~t ra va m()t s6 bai toan ma cftn tiep t9c giai quyet la n()i dung phftn cu6i CUa n1l;IC nay (cdc m~nh di 2.8, 2.9, 2.JO, m{l.C 2.5.2, 2.5.3, trang 50-54)

2.1 CAC KHAI NI)tM CO BAN

2.1.1 Slf ki?n, bang dil li~u:

U = ~ Al, A2, ,An r khac tr6ng(:;t: 0), nghia la n ~ 1

Khi do cac phftn tti' CUa u· du'QC gQi la cac Slf ki~n

Ung voi m6i S\l' ki~n AiEU, i = 1, 2, , n, la t?p Di du'QC gQi la mi€n tri (mien bien thien) cua Slf ki~n Ai: Di= <lorn (Ai)

D~t D = DlxD2 x x Dn la tich de-cac cua cac t?p DI, D2, , Dn

Bdng dil li~u K wJi t<J,p Slf ki~n U =(Al, A2, ., An}, la t~p hqp cac anh X<;l n bien tu u vao D ,tuc la cac anh X<;l t : u ~ D

M6i anh x~ t nhu' treri duqc gQi la mqt bq cua bang du li~u K

Tren th\fc te, m6i dbng cua bang du li~u la m9t b() theo dinh nghia tren Bang du li<~u K voi t~p slf ki~n ~ = i Al, A2, , An r da duqc dinh nghia tren ky hi~u la K(U) ho?c K(Al, A2, ,An)

Trong tru'ong hqp t?p U da_ duqc xac dinh tru'oc thl c6 thS ky hi<%u K(U) don gian la K

2.1.2 Ml)t so' quy ufJc vi kj hi~u:

Cac 'slf ki~n du'qc ky hi~u b~ng cac chu cai Latinh d§u bang: A, B, C, D, T~p cac slf kit%n dttqc ky hit%u bdi cac chu cai Latinh cu6i bang: X,Y, Z, Ca_c slf kit%n (cac ph§n tlt) trong m<)t t~p h<;1p dttqc lit%t ke dttoi dt;tng m<)t xau ky tlf, khong c6 da'u biSu di~n t~p khong c6 da'u ngan each

se dtt9c ky hit%u ngan gQn la: X = ABC

va t~p slf kit%n U c6 thS vie't la : U =ABC

H<;1p cua hai t~p X va Y, thay vl vie't Xu Y se vie't ng~n gQn la XY; Cac b<) (cac anh Xt;l da neu trong phgn dinh nghia tren) du'<;jc ky hit%u bdi cac chu cai Latinh nho: t, u, v,

Gia slt t la m<)t b<) cua bang du lit%u K(U), (tEK(U)) va ne'u A la m<)t Slf kit%n (AE U), thl gia tri cua t tren A qui u'dc ky hit%u la t(A) (ho?c t.A)

Ne'u x la t~p cac Slf kit%n (X c U), thl gia tri cua t tren x (la ht;tn che' cua anh Xt;l t tren x) ky hit%u la t(X) (ho?c t.X)

2.1.3 LuQ.t:

Dinh nghia 2.2

Gia slt cho bang du lit%u K = K(U) vdi Ula t~p slf kit%n va X,Yc U

Lu(lt (Rule) la m<)t phat biSu dt;tng x~ Y

Qui uac: thay vl vie'tlu~ t X ~ Y doi khi ta ding vie't (R) X ~ Y

Ta n6i, co sd tri thuc K thoa lu~t (R)X~ Y, ky hit%u KESAT(X~ Y), ne'u Vu,vEK ( u(X) = v(X) => u(Y) = v(Y) )

N6i each khac, K thoa X~ Y nghia la ne'u c6 hai b(> c6 cling gia tri (b~ng nhau) tren X thl cfirig phai c6 cling gia tri (cilng b~ng nhau) tren Y

Dinh nghia 2.3 (Bang dilli~u thoa tt?.p lutJ,t cho trucJc)

Ky hi~u Q/C= i K(U)r la t~p cac bang du li~u tren t~p slf ki~n U

Cho F la t~p cac lu~t tren t~p Slf ki~n u Bang du li~u KEQ/i:'."thoa t?p lu?t F, ne'u K tho a m<;>i lu?t f EF ( d day, f la ky hi~u ng~n g<;>n cho (R) X~Y voi X,Yc U )

Nhu' v~y, ne'u ky hi~u:

SAT(F) = i KEQ/C I K thoa F r

thl ta c6 thS vie't: V KE Q/C: KESAT(F) <=> VfEF (KESAT(f))

Dinh nghla 2.4 (Suy ddn theo dil li~u)

Gia sll' F la t~p cac lu~t tren t~p slf ki~n U va f cling la mot lu~t tren U, (n6i chung f~ F)

Ta n6i: f dur;c suy ddn theo dil li~u tit F, ky hi~u F I-f, ne'u m<;>i bang du li~u KEQ/C thoa F thl K ciing thoa f, nghTa la :

Dinh nghia 2.5 (Bao dong cua ttJ,p lugt)

Bao dong p+ cua t?p lu~t Fla t~p h<jp g6m ta't ca cac lu~t du'<jc suy d~n theo du li~u tu F, nghTa la:

F+= {fiFrf}

2.1.4 H? tien di Armstrong

E>S giai bai toan thanh vien fEF+, ngu'oi ta xay dlfng cac quy t~c suy

dftn du'di dC:lng h~ cac tien d~ ma nho d6 c6 th~ tra IOi cau hoi: "Vdi t?p

lu?t F va m9t lu?t f cho tntdc, se c6 Ff-f hay khong ?"

Phep suy dfrn nho cac quy tac nay du'qc g9i la suy d§n theo ht% tien d€ va

F l=f

M9t h~ tien d€ quen thu{>c la h<% tien d€ Armstrong, g6m 3 tien d€

Al, A2 va A3 du'qc trlnh bay dudi day:

Gia sll' Ula t?p slf ki~n, Fla t?p lu?t tren U, va X,Y, Z c U, khi d6: Al) Tien d~ v€ tinh phan XC:l:

A2) Tien d~ v~ tinh tang tru'dng:

(F l=X ~ Y) => (F F=XZ~ YZ)

A3) Tien d~ v~ tfnh bac c§u:

(FF=X~Y) & (FF=Y~Z) => (FF=X~Z)

Tu cac quy de Al, A2, A3 ta c6 cac quy tac sau (cac quy tac suy dftn b6 sung): Gia sll' X, Y, Z, W la cac t?p con cua U

A4) Quy tac hqp:

(FF=X~Y) & (FF=X~Z) => (Fl=X~YZ)

AS) Quy tac tlfa bac c§u:

Nghia la:

Voi mc;>i t~p lu~t F va mc;>i lu~t f tren U, ta c6: Fr f <=> F F=f

N6i each khac: suy d§n theo du li~u va suy d§n theo tien d~ la tu'dng du'dng

Nh{jn xet 2.3:

Nho vao dinh ly tren, se khong c~n phan bi~t giua suy d§n theo du

Ta n6i, G du(Jc suy dJn tit F, ky hi~u: F !=G, ne"u VgEG (F ~g)

Nh{jn xet 2.4 (vi bao d6iig cua tcJ,p lucJ,t)

Cho lu'Qc d6 a= (U,F)

Khi d6 bao dong cua t~p lu~t F, ky hi~u la F+, c6 th~ coi la t~p lu~t

Ian nhff t G tren U, sao cho F !=G :

p+ = max ~ G I F l=G ~

N6i each khac, p+ la t~p tfft ca cac lu~t g, sao cho F f:g:

M~nh d~ 2.2

Bao dong cua t~p lu~t co mot sO' tinh chfft sau:

1/ Tinh phan x.:;i :

vdi Fla t?p ta't ca cac lu~t tren u thoa trong m9i co sd tri thuc KEd/C (Nha'.c l<;li: Q/Cla ky hi~u t~p ta't ca cac co sd tri thuc tren t?p slf ki~n U) Cac tinh cha't 4, 5, 6 suy ra tu tinh cha't chung cua anh X<;l dong