Toán 6,7,8 năm học 2016-2017

Tổng điểm toàn bài bằng tổng điểm của các câu không làm tròn.[r]

PHÒNG GD&ĐT

THÁI THỤY

ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI HUYỆN

NĂM HỌC 2016 – 2017 Môn: Toán 8

Thời gian làm bài: 120 phút

(Không kể thời gian giao đề)

Bài 1 (4,0 điểm) Cho biểu thức:  

3x x 1

a Rút gọn P

b Tìm các giá trị của x để 3

P P

c Cho x > 0 và x ≠ 1, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P

Bài 2 (3,0 điểm)

a Phân tích đa thức sau thành nhân tử:    2 

x x2 x 2x2  1

b Xác định số hữu tỷ a, b để đa thức 3 2

2x x ax chia hết cho đa thức b 2

x  1

Bài 3 (4,0 điểm)

a Xác định m nguyên để phương trình sau có nghiệm nguyên:

mx m



b Giải phương trình: 12 2 1 2 1

5x  x 9x36  x 4x 16

Bài 4 (3,0 điểm)

a Tìm số nguyên x, y, z thỏa mãn:  3 2

xy (yz) 2015 zx 2017

b Cho x, y, z thỏa mãn: x2 y2  z – xy – 3x – 2z 2  4  0 Tính Q8x y2016z2017

Bài 5 (5,0 điểm)

Cho tam giác ABC đều cạnh 2a, M là trung điểm của BC Góc xMy600 quay quanh đỉnh

M sao cho hai tia Mx, My luôn cắt cạnh AB, AC lần lượt tại D và E

Chứng minh:

a ∆BDM∽∆CME và BD.CE không đổi

b DM là phân giác của BDE

c BD.MECE.MD a.DE

d Chu vi tam giác ADE không đổi khi xMy quay quanh M

Bài 6 (1,0 điểm) Cho x, y, z là các số thực khác 1 thỏa mãn xyz = 1

Chứng minh:

1

x 1  y 1  z 1 

-HẾT -

Họ và tên thí sinh:………Số báo danh: ………… ……

HƯỚNG DẪN CHẤM TOÁN 8– NĂM HỌC 2016-2017

1

Cho biểu thức:  

3x x 1

a Rút gọn P

b Tìm các giá trị của x để P3 P

c Cho x > 0 và x ≠ 1, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P

0,25

2 2

x 1

x 1 x x 1





2 2

x 3x 3x 1 1 2x 4x+x x 1 x 1

x 1

x 1 x x 1





3

x 1 x 1

x 1 x 1



2

x 1

P

x 1





Vậy

2

x 1 P

x 1





3

P 0









  



0,25

+)

2

x 1

x 1



0,25

+)

2

x 1

x 1





x x 1 0

x 1







(không thỏa mãn đk)

0,25

+)

2

x 1

x 1





         

0,25

Vậy không tìm được giá trị của x thỏa mãn đề bài 0,25 c) ĐK: x0; x 1

0,25

Vì x > 0 suy ra x + 1 > 0, áp dụng BĐT Cô-si ta có:

Dấu “=” xảy ra khi: x 1 2 2 x  2 1 , đối chiếu điều kiện ta

được x 2 1

0,25

2

a Phân tích đa thức sau thành nhân tử:    2 

x x2 x 2x2  1

b Xác định số hữu tỷ a, b để đa thức 3 2

2x x ax chia hết cho đa b thức 2

x  1

a)

2

x x 2 x 2x 2 1

0,25

x 2x 1

x 1

b) Thực hiện phép chia được thương là 2x-1 và dư là (a+2)x+b-1 0,75

Để phép chia hết thì: a 2 0 a 2





0,5

3

a Xác định m nguyên để phương trình sau có nghiệm nguyên:

mx m



b Giải phương trình: 12 2 1 2 1

5x x 9x36  x 4x 16 a) TH1: m = 0 khẳng định phương trình vô nghiệm 0,25 TH2: m ≠ 0 suy ra:

2

PT xmmxmm 1 x   2m (*) 0,25

+) m ≠ 1 phương trình (*) có nghiệm duy nhất: x 2m

m 1





2m 2



m 1

  ¦ (vì mm 1  )

m 1 2; 1;1;2

m 1   2 m 1 (thỏa mãn điều kiện m;m1; m0)

m 1   1 m0 (không thỏa mãn điều kiện m ) 0 0,25

m 1 1  m2 (thỏa mãn điều kiện m;m1; m0)

m 1 2 m3 (thỏa mãn điều kiện m;m1; m0) 0,25

Đặt a = x2; b = x – 4 (với a > 0)

Phương trình đã cho trở thành

a 4b a 9b 5a a 4b 5a a 9b

a 12ab 36b 0

a 6b2 0

a 6b 0

0,25 hay x26x240 x  3 33 (thỏa mãn) 0,25

4

a Tìm số nguyên x, y, z thỏa mãn:

xy (yz) 2015 zx 2017

b Cho x, y, z thỏa mãn: x2  y2 z – xy – 3x – 2z 2  4  0 Tính

x 2016 2017

Q8 y z

a) Chứng minh: xy3 xy chia hết cho 2 0,25 yz2 yz chia hết cho 2 0,25

zx zx chia hết cho 2 0,25

Chia hết cho 2

0,25

Mà 2017 không chia hết cho 2 nên không tồn tại các số x; y; z thỏa mãn

Vậy không tìm được các số nguyên x; y; z thỏa mãn đề bài 0,25

2

0,5

y

K

I H

E D

M B

A

C

Thay vào ta được 2 2016 2017

5

Cho tam giác ABC đều cạnh 2a, M là trung điểm của BC Góc

xMy60 quay quanh đỉnh M sao cho hai tia Mx, My luôn cắt cạnh

AB, AC lần lượt tại D và E

Chứng minh:

a ∆BDM∽∆CME và tích BD.CE không đổi

b DM là phân giác của BDE

c BD.MECE.MDa.DE

d Chu vi tam giác ADE không đổi khi xMy quay quanh M

DMC60 CME60 BDMBDMCME 0,5 Suy ra: BMD ∽CEM(g.g) vì:   0

DBM MCE60 BDM CME (cmt) 0,5 Suy ra: BD CM BD.CE BM.CM a2

b) Vì BMD ∽CEMnên BD CM

MD EM hay

MD ME

0,25

  suy ra DM là phân giác của BDE 0,25 c) Vì BMD ∽MEDnên BD BM BD.ME a.DM

Chứng minh tương tự: CEM ∽MED rồi suy ra CE.MDa.ME (2) 0,5 Cộng vế với vế của (1) và (2) sau đó áp dụng BĐT tam giác ta có:

BD.MECE.MDa.DMa.MEa(DMME)a.DE (đpcm) 0,5 d) Kẻ MH, MI, MK lần lượt vuông góc với AB, DE, AC tại H, I, K

Chứng minh: ∆MBH = MCK (ch-gn) MH = MK;

∆MHD = ∆MID (ch-gn) MH = MI; DI=DH 0,25 Suy ra DI=DH, EI=EK Suy ra Chu vi tam giác ADE bằng 2AH 0,25

HBM 60 và BM=a nên BH=a

2

3a AH

2

Suy ra chu vi tam giác ADE không đổi và bằng 3a 0,25

6

Cho x, y, z là các số thực khác 1 thỏa mãn xyz = 1

Chứng minh:

1

x 1  y 1  z 1 

Đặt a x ; b y ; c z

      

1

x 1 y 1 z 1



xyz

abc

x 1 y 1 z 1

0,25

Ta có a 1 b 1 c 1     abc

Suy ra: abbc ca   a b c 1 0abbc ca a b c 1 0,25

Do đó :

a b c  a b c 2 abbcca

             (đpcm)

0,25

Hay

1

Lưu ý :

- Hướng dẫn chấm chỉ trình bày những ý cơ bản của một cách giải, nếu học sinh có cách giải khác

mà đúng thì Giám khảo vẫn cho điểm nhưng không vượt quá thang điểm của mỗi ý đó

- Phần hình học, học sinh không vẽ hình thì không cho điểm

- HS làm đến đâu cho điểm tới đó và cho điểm lẻ đến 0,25 Tổng điểm toàn bài bằng tổng điểm của các câu không làm tròn