CHỦ đề 1 tứ GIÁC

* Tứ giác lồi là tứ giác luôn nằm trong một nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng chứa bất kỳ cạnh nào của tứ giác.. DẠNG 1: TÍNH CÁC GÓC CỦA TỨ GIÁC TỪ HÌNH VẼ.. DẠNG 2: TÍNH CÁC GÓC CỦA T

PHẦN 2 – CÁC CHỦ ĐỀ TRỌNG TÂM.

CHỦ ĐỀ 1: TỨ GIÁC.

A/ LÝ THUYẾT.

* Tứ giác ABCD là hình gồm 4 đoạn thẳng AB, BC, CD, DA, trong đó bất kỳ hai đoạn thẳng nào cũng không cùng nằm trên một đường thẳng

* Tứ giác lồi là tứ giác luôn nằm trong một nửa mặt phẳng có

bờ là đường thẳng chứa bất kỳ cạnh nào của tứ giác

* Định lý: Tổng các góc của một tứ giác bằng 3600

* Chú ý: Để 4 góc cho trước thỏa mãn là 4 góc của một tứ giác chỉ khi 4 góc đó có tổng bằng 360o

B/ CÁC DẠNG TOÁN.

DẠNG 1: TÍNH CÁC GÓC CỦA TỨ GIÁC TỪ HÌNH VẼ.

- Tổng 4 góc trong một tứ giác bằng 360o

- Tổng hai góc kề bù bằng 180o

- Tổng 3 góc trong một tam giác bằng 180o

- Trong một tam giác vuông, tổng số đo hai góc nhọn bằng

90o

Bài 1: Tìm số đo x trong các hình vẽ sau:

Hình a) Hình b)

Bài 2: Tìm số đo x trong các hình vẽ sau:

1

g g

o

120 80o

o

110

x A

D S

R Q

P g

g

g g

65

o

95 x

g

g

o

60

C

D F

G g x g

Hình a) Hình b) Hình c)

Bài 3: Tính số đo x trong các hình sau:

Hình c)

Bài 4: Góc kề bù với một góc của tứ giác gọi là góc ngoài của tứ

giác

Hình a) Hình b)

a) Tính các góc ngoài của tứ giác ở Hình a).

b) Tính tổng các góc ngoài của tứ giác ở Hình b) (tại mỗi

đỉnh của tứ giác chỉ chọn một góc ngoài): A�1B�1C�1D�1?

g

g

g g

o

114

o

76

o

71

C

D

E F

x g

g

o

90

x

o

61

M

N P

Q

g g

g

o

71

G H

o

o

120 x

g g

g

g

g g

1

1 1

A

B

C D

1 g

g

g g

o

120

o

75

D

1

1

1

c) Có nhận xét gì về tổng các góc ngoài của tứ giác?

Bài 5: Tìm số đo x và y trong các hình sau:

Bài 6: Cho tứ giác ABCD góc B = 80o, D = 120o góc ngoài đỉnh C bằng 130o Tính góc A?

DẠNG 2: TÍNH CÁC GÓC CỦA TỨ GIÁC KHI BIẾT QUAN HỆ GIỮA CÁC GÓC.

- Thay liên hệ giữa các góc vào hệ thức “Tổng 4 góc trong một tứ giác bằng 360o”

- Nếu tứ giác ABCD biết A : B:C : D m:n :p :q� � � �  (m, n, p, q là các số nguyên dương)

�  � �  �  � � � �   

�

o

m n p q m n p q m n p q (tính chất dãy tỉ

số bằng nhau)

� Tính được các góc A , B, C, D.� � � �

Bài 7: Tính các góc của tứ giác ABCD, biết B A 15 ,�  � o C B 30 ,�  � o

�  �  o

D 2A 10

Bài 8: Cho tứ giác ABCD, biết B A 15 , C 3A , D C 25�  � o �  � � �  o Tính

các góc của tứ giác ABCD

Bài 9: Cho tứ giác EFGH, biết G E 10 , F E 30 , H 2G�  � o $ � o �  � Tính các góc của tứ giác EFGH

g

g

o

111

o

50 x

y

A

B

C D

AD / /BC G H

I K

o

g g

GH/ / IK

Bài 10: Cho tứ giác MNPQ, biết P Q 5 , M Q 45 , N 2Q 40�  � o �  � o �  �  o

Tính các góc của tứ giác MNPQ

Bài 11: Cho tứ giác ABCD có A 70 , B 80 , C D 20�  o �  o � �  o Tính góc

� �

C, D

Bài 12 Cho tứ giác ABCD biết B�+ C = 200� 0, B� + �D = 1800; C� + D� = 1200 Tính số đo các góc của tứ giác

Bài 13 Cho tứ giác ABCD , biết AB AD ;  �  o

B 90 , �  o

A 60 ,

�  o

D 135

a) Tính góc C

b) Từ A ta kẻ AE vuông góc với đường thẳng CD Tính các góc của tam giác AEC

Bài 14: Tính các góc của tứ giác ABEF biết A : B:E :F 1:3:4:7� � � $ .

Bài 15: Tính các góc của tứ giác ABCD biết A :B:C :D 1:2:4:5 � � � � 

DẠNG 3: MỘT SỐ BÀI TOÁN CHỨNG MINH, TÍNH SỐ ĐO GÓC LIÊN QUAN TỚI PHÂN GIÁC CỦA GÓC TRONG TỨ GIÁC.

* Tia phân giác của một góc sẽ chia góc thành hai góc bằng nhau

* Tia phân giác trong và phân giác ngoài của một góc sẽ vuông góc với nhau

Bài 16 Cho tứ giác ABCD Gọi I là giao điểm của các tia phân

giác của A� và B� của tứ giác Chứng minh: �

� �

C D AIB

2





Bài 17 Cho tứ giác lồi ABCD có B� + D� = 1800, CB = CD Chứng minh AC là tia phân giác của BAD�

Bài 18 Cho tứ giác ABCD, các tia phân giác góc A và góc B cắt

nhau tại M Các tia phân giác góc C và góc D cắt nhau tại N Chứng minh � �  o

AMB CND 180 ?

Bài 19 Cho tứ giác lồi ABCD, hai cạnh AD và BC cắt nhau tại E,

hai cạnh DC và AB cắt nhau tại F Kẻ tia phân giác của hai góc CED và BFC cắt nhau tại I Tính góc EIF theo các góc trong tứ giác ABCD

Bài 20: Cho tứ giác ABCD có AC là tia phân giác của góc A, BC =

CD, AB AD 

a) Lấy điểm E trên cạnh AD sao cho AE = AB Chứng minh

� �

ABC AEC

b) Chứng minh � �  o

B D 180

Bài 21: Cho tứ giác ABCD, phân giác ngoài của góc A và góc B

cắt nhau tại Q Chứng minh:

�  A B� � AQB

2

Bài 22: Tam giác ABC có �  o

A 76 , các tia phân giác của góc B và góc C cắt nhau tại I, các tia phân giác góc ngoài tại đỉnh B và C cắt nhau tại K Tính các góc của tứ giác BICK

Bài 23: Cho tứ giác lồi ABCD, biết có �  o

A 90 , �  o

D 90 ; góc B và C khác nhau

a) Chứng minh AB/ / DC

b) Chứng tỏ trong hai góc B và C phải có một góc nhọn

c) Khi góc C nhọn Chứng minh AB < DC.

PHẦN 3 – HƯỚNG DẪN GIẢI

HƯỚNG DẪN GIẢI CHỦ ĐỀ 1

Bài 1:

Hình a) Ta có: � � � �    o

A B C D 360 (định lý)

�110o 1200 80o x 360o�x 50 o

Hình b) Ta có: P Q R S 360� � �   $ o (định lý)

�650 95o 2x 360o �x 100 o

Bài 2:

Hình a) Ta có: M N P Q 360�    � � � o (định lý)

�270o x 360o �x 90 o

Hình b) Ta có: E F G H 360�    $ � � o (định lý)

�65o 180o x 360o�x 115 o

Hình c) Ta có: CDE kề bù với góc � o

60 nên �  o

CDE 120 , �DEF

kề bù với góc 105 nên �o  o

DEF 75 , �  o

FCD 90

Mà � � �   o

FCD CDE DEF x 360 (định lý)

�90o 120o 75o x 360o�x 75o.

Bài 3:

Hình a) Ta có: C D E F 360� � �   $ o (định lý)

�114o x 76o 71o 360o�x 99 o

Hình b) Ta có: Q M N P 360� �   � � o (định lý)

� �

�90o 71 P 61o o 360o�P 138 o

Mà �P kề bù với góc x�x 42 o

Hình c) Ta có: G kề bù với góc � 120o nên �  o

G 60

Mà E F G x 360�   $ � o (định lý)

�96o 120o 60o x 360o�x 84o.

Bài 4:

a) � �  o

1

B B 180 (hai góc kề bù) nên �  o

1

B 90 , � �  o

1

C C 180 (hai góc kề bù) nên �  o

1

C 60 , � �  o

1

A A 180 (hai góc kề bù) nên �  o

1

Ta có: � � � �    o

A B C D 360 (định lý) � � o

D 75

Ta có: � �  o

1

D D 180 (hai góc kề bù) nên �  o

1

D 105 .

b) Ta có � �  o

1

B B 180 (hai góc kề bù), � �  o

1

C C 180 (hai góc kề bù), � �  o

1

D D 180 (hai góc kề bù), � �  o

1

A A 180 (hai góc kề bù)

� A A� � 1 B B� �1 C C� �1 D D� �14.180o 720o.

Mà � � � �    o

A B C D 360 (định lý)

� � � � 

c) Nhận xét: Tổng các góc ngoài của tứ giác bằng tổng các góc trong của tứ giác và bằng 360o

Bài 5:

Hình a) Ta có: GH / /IK , theo tính chất một đường thẳng cắt hai đường thẳng song song ta có:

x 74 180 (hai góc trong cùng phía)

�x 180o 74o 106o.

y 59 180 (hai góc trong cùng phía)

�y 180o 59o 121o.

Hình b) Ta có: AD/ / BC , theo tính chất một đường thẳng cắt hai đường thẳng song song ta có:

y 111 180 (hai góc trong cùng phía)

�y 180o 111o 69o.

 o

x 50 (hai góc đồng vị)

Bài 6:

Ta có góc ngoài tại đỉnh C có số đo bằng 130o và kề bù với

�C

� 

C 50

Ta có: � � � �    o

A B C D 360 (định lý)

�A 800 50o 120o 360o �A 110 o

Bài 7:

Ta có: � � � �    o

A B C D 360 (định lý)

Mà B A 15 ,�  � o C B 30�  � o  A 45 ,� o D 2A 10�  �  o

� �   �  �  

�A A 15o A 45o 2A 10o 360o

�  � 

�5A 290o �A 58o

� 

B 73 , �  o

C 103 , �  o

D 126

Bài 8:

Ta có: � � � �    o

A B C D 360 (định lý)

Mà

�  � o

B A 15 , C 3A�  �

� �  o��  � o  �  o

� �   �  �  

�A A 15o 3A 3A 25o 360o

�8A 40o 360o �A 40o

� 

B 55 , �  o

C 120 , �  o

D 145

Bài 9:

Ta có: E F G H 360�   $ � � o (định lý)

Mà

�  � o  � o

G E 10 , F E 30 ,$ H 2G 2E 20�  �  � o

� �   �  � 

�E E 30o E 10o 2E 20o 360o

�5E 60o 360o �E 60o

� 

G 70 , F 90$ o, �  o

H 140

Bài 10:

Ta có: M N P Q 360�    � � � o (định lý)

Mà

�  � o �  � o

P Q 5 , M Q 45 , �N 2Q 40 � o

�   �  �  �

�Q 45o 2Q 40o Q 5o Q 360o

�  

�5Q 10o 360o

� 

�Q 70o

� 

P 75 , �  o

M 115 , �  o

N 100

Bài 11:

Ta có: � � � �    o

A B C D 360 (định lý)

Mà A 70 ,�  o B 80�  o , C D 20� �  o�C D 20�  � o

�70o 80o D 20o D 360o

�2D 170o 360o

� 

�D 95o �C 115 �  o

Bài 12

Từ giả thiết ta có:

2B 2C 2D 200   180 120 � � � �B C D 250    0

Vì A B C D 360� � � �    0�A 110� 0.

B 250  C D 250 120 130

C 200  B 200 130 70 .

D 120  C 120 70 50 .

Bài 13

a) Trong tứ giác ABCD

có � � � �    o

A B C D 360 (định lý)

Mà �  o

B 90 , �  o

A 60 , � D 135o

�90o 60o C 135o 360o�C 75 o

b) Ta có AB = AD và �  o

A 60 nên tam giác ABD đều

Mà � �  o

D ADC 135 , nên �  o

BDC 75

Mà �  o

C 75 , nên tam giác BDC cân tại B, suy ra BD = BC

Do đó BA = BC, mà �  o

B 90 nên tam giác ABC vuông cân tại B

�BAC BCA 45o

Trong tứ giác ABCE có: � � � �    o

A B C E 360 (định lý),

A

B

C

D

g g

g

g

E

g

Mà B 90 , E 90�  o �  o (vì AE CD tại E), �  � o

BCD C 75 nên

BAE 105

Ta có: BAE BAC CAE� � � �CAE 105�  o45o 60 o

Mặt khác AEC có �  o

E 90 (vì AE CD tại E), nên �  o

ECA 30

Bài 14:

Ta có: A : B:E :F 1:3:4:7� � � $

  

$

Ta có: A B E F 360� � �   $ o (định lý) và theo tính chất dãy tỉ số

bằng nhau ta có:

�    � � � � �    

  

o o

24

Khi đó: �  o

A 24 , B 3.24�  o 72 , � o E 4.24o 96 , o F 7.24$ o 168 o

Bài 11:

Ta có: A :B:C :D 1:2:4:5� � � � 

1 2 4 5

Ta có: � � � �    o

A B C D 360 (định lý) và theo tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:

�  � �  �  � � � �    

  

o o

Khi đó: �  o

A 30 , � B 2.30o 60 , � o C 4.30o 120 , � o D 5.30o 150 o

Bài 15

Ta có:

�  A� IAB

giác của A )�

�  B� IBA

2 (vì BI là tia phân giác của �B) Trong tam giác ABI:

�  o� �  oA B C D� �  � �

AIB 180 IAB IBA 180

Bài 16

Trên tia đối tia BA lấy điểm I sao cho BI = AD

Ta có ADC IBC�  � (cùng bù với gócABC�

)

AD = IB, DC = BC Từ đó ta có

Suy ra: DAC BIC�  � và AC = IC.

Tam giác ACI cân tại C nên

BAC BIC DAC  .

Vậy AC là phân giác trong góc BAD� .

Bài 17:

13

N

g

g

Xét CND có � � �  o

CND CDN DCN 180 (định lý)

Xét AMB có � � �  o

AMB ABM BAM 180 (định lý)

Do đó: CND CDN DCN AMB ABM BAM 360� � � � � �  o

Mà

�  B�

ABM

2 (vìa BM là tia phân giác của �B),

�  A� BAM

2 (vìa

AM là tia phân giác của A ), �

� C� DCN

2 (vì CN là tia phân giác của

�C ), �

�

 D

CDN

2 (vì DN là tia phân giác của �D )

� �    � � � � 

2 2 2 2

� �   � � � �  

�CND AMB 360o A B C D

2

Mà trong tứ giác ABCD có � � � �    o

A B C D 360 (định lý)

CND AMB 180 (đpcm)

Bài 18

FI cắt BC tại K, suy ra K thuộc đoạn BC

� �EIF EKI IEK� � ( EIF� là góc ngoài củaIKE)

= B BFK IEK� � � (CKF là góc ngoài của� FBK)

BFC 180  B C �BFK 90�  0B C� �2

2



Vậy

� � 0 B C� � 0 A B� �

180

Bài 19:

a) Xét ABC và AEC có:



AB AE (giả thiết)

�  � BAC EAC (vì AC là tia phân giác của góc A)

AC chung



� ABC AEC(c g c).

A

D

E

g

g g g

g

�  �

� ABC AEC (đpcm) (1)

b) Ta có ABC AEC (cmt)



� CB CE , mà CB CD (giả thiết)  � CE CD



� CED cân tại C �� CED CDE hay �� CED D�

(2)

Mà � �  o

AEC CED 180 (hai góc kề bù), nên từ (1) và (2)

� � 

B D 180

Bài 20:

Ta có AQ là tia phân giác của xAB là góc ngoài của �A �

�QAB xAB 180o A

Ta có BQ là tia phân giác của yBA� là góc ngoài của �B

�QBA yBA 180o B

Trong tam giác ABQ có:

�  � �   o�  o�  � �

AQB 180 QAB QBA 180

D

Q

C

B

A

g

g

g g

g

x

y

Bài 21:

Ta có BI là tia phân giác của góc ABC, BK là tia phân giác góc ngoài đỉnh B

�

�



�

� �

ABC

2

Ta có CI là tia phân giác của góc ACB, CK là tia phân giác góc ngoài đỉnh C

�

�



�

� �

ACB

2

Trong tam giác BIC có:



o

ABC ACB BIC 180 IBC ICB 180

2

180 A 180 A 180

Mà �  o

A 76 , nên � BIC 128o

Trong tứ giác IBKC có: BIC ICK IBK BKC 360� � � �  o�BKC 52�  o

A

B

K

C

I

g

g g

g

g

o

76

Bài 22:

a) Tứ giác ABCD có �  o

A 90 , �  o

D 90 nên: AB AD và



DC AD

� AB/ / DC (từ vuông góc đến song song)

b) Xét tứ giác ABCD có � � � �    o

A B C D 360 (định lý)

Mà �  o

A 90 , �  o

D 90

� � 

Nếu B, C� � đều là các góc tù, tức là

�  o �  o�� � o

B 90 , C 90 B C 180 (mâu thuẫn với (*))

Nếu B, C� � đều là các góc nhọn, tức là

�  o �  o�� � o

B 90 , C 90 B C 180 (mâu thuẫn với (*))

Vậy trong hai góc B, C� � phải có một góc nhọn