diện tich đa giác

I/ LÝ THUYẾT 1/ Công thức diện tích các hình: Hình học 8 2/ Các tính chất cơ bản để giải toán Tính chất 1: Nếu hai tam giác có cùng chiều caohoặc chiều cao bằng nhau thì tỉ sốhai diện

I/ LÝ THUYẾT

1/ Công thức diện tích các hình: (Hình học 8)

2/ Các tính chất cơ bản để giải toán

Tính chất 1: Nếu hai tam giác có cùng chiều cao(hoặc chiều cao bằng nhau) thì tỉ sốhai diện tích bằng tỉ số của hai đáy tương ứng

Tính chất 2: Nếu hai tam giác có cùng chiều cạnh đáy(hoặc cạnh đáy bằng nhau) thì tỉ

số hai diện tích bằng tỉ số của hai chiều cao tương ứng

ABC D

ABC ABC ABC ABN

D AMN ABN AMN

Trên tia AC và trên tia đối tia AB lấy M và N sao cho AM = DE và AN = DF ⇒ ∆AMN =∆ DEF

⇒

EF

ABC ABC ABC ABN

D AMN ABN AMN

3/Chú ý một số tính chất thường dùng trong bài toán diện tích

1/ Hệ quả của định lý Ta let:

A

E

D

C B

A

H6

A

E D

C/m: Vẽ AI; BJ; CK lần lượt vuông góc với đường thẳng d Đặt AI =x; BJ = y; CK = z

ta tính mồi tỉ số trong định lý theo x;y;z rồi nhân lại sẻ được KL

( Chú ý ĐL này dùng rất nhiều trong diện tích, Nhưng phải phát biểu dạng bổ đề, đichứng minh rồi mới Áp dụng

II/ BÀI TẬP

Bài tập 1 : Cho∆ABC, trên cạnh BC lấy K sao cho KB 1

KC = 2, trên cạnh AC lấy H saocho HA 1

HC = 3 Gọi O là giao điểm của AK và BH Biết SABC = S Tính SAOB?

+ Trong ∆ AKC có 3 điểm thẳng hàng

nằm trên 3 cạnh là điểm H;O và B nên theo định lý Menelaus ta có

IA=x

K

J I

d P

A

⇒ S(ABO) = 1/2 S(ABK) = S:6

Chú ý bài toán trên có thể dùng Talet ( Không dùng Menelaus) Nhưng tập dùng Menelaus

Thời gian sẻ quen và thấy gọn hơn

Bài tập 2 : Cho hình bình hành ABCD có diện tích S Gọi M là trung điểm BC, AM cắt

đường chéo BD tại Q Tính SMQDC theo S

Gọi N là trung điểm của AD Ta có: NP, MQ, MI là các đường trung bình của ∆ADQ,

b/ SMNP = 1S

4

2 2

1 1

k k k

a/ ∆ABC cân tại C, CH ⊥ AB ⇒ HA = HB

Lại có: NB = NC nên O là trọng tâm ∆ABC

Vẽ HI ⊥ KM và HJ ⊥ KA

∆ OHA vuông tại H sẻ tính được HJ

∆ CHM vuông tại H tính được HI

Bài tập 5: Cho hình thoi ABCD có tâm O Đường trung trực AB cắt BD và AC lần

lượt tại O1 và O2 Biết rằng O1B = a, O2A = b Tính diện tích hình thoi theo a và b.gợi ý:

Gọi trung điểm AB là M

I là giao điểm 2 đường chéo hình thoi.AB = x

Từ IA2 +IB2 = x2 đi tính x2 ⇒ tính IA;IB và S

Bài tập 6: Một hình thang có các đường chéo vuông góc với nhau Tính diện tích hình

thang đó nếu biết rằng độ dài của một trong các đường chéo của nó bằng 5 và đườngcao bằng 4

O1 D

C B

A

D

C B A

Nếu BD =5 ∆ DBE tính được BE ⇒ AC ⇒ S

Bài tập 7: Cho hình bình hành ABCD, M là điểm bất kỳ trên cạnh CD, AM cắt BD tại

O Chứng minh rằng: SABO = SDMO + SBMC

2SABCD

Hay SBCM + SBMO + SDMO = 1

2SABCD (2)

Từ (1) và (2) suy ra: SABO = SDMO + SBMC

Bài toán 8: Cho ∆ABC, trên cạnh AB và AC lấy hai điểm M và N tương ứng sao cho

Suy ra: SBMC = SABN (1)

Mặt khác: SABC = SAMON + SBMC + SONC = SBOC + SABN + SONC (2)

Từ (1) và (2) suy ra: SAMON = SBOC (đpcm)

Bài tập 9: Cho ∆ABC với ba trung tuyến AE, BM và CF

1/ Chứng minh rằng tồn tại một tam giác với độ dài ba cạnh là độ dài các đoạnAE,BM,CF

2/ Tính diện tích tam giác có độ dài ba cạnh là độ dài các đoạn AE, BM, CF theo S =

SABC

a/Gọi G là trọng tâm ∆ ABC

Trên tia đối tia EG lấy K sao choEK = EG

A

b/Gọi diện tích ∆ ABC = S Dể C/m: S(BGE) = S : 6 ⇒ S(BGK) = (2S) : 6 = S :3

Bài tập 10: Cho tứ giác lồi ABCD, M và N là trung điểm AB và CD, AN cắt MD tại P,

BN cắt MC tại Q Chứng minh: SMPNQ = SAPD + SBQC

⇒ S(BMDN) =S(BNC) +S(AMD) ⇒ a+d+f= b+e+c+g (1)

Tương tự: S(AMC) = ½S(ABC) và S(ANC) = ½S(ACD) ⇒ S(AMCN) = ½ S (với S

AB = CD = (k > 0) Các đoạn thẳng AN và DM cắt nhau tại E, các đoạn thẳng BN

và CM cắt nhau tại F Chứng minh: SMENF = SADE + SBCF

N

M

D

C B

A

gợi ý: giống bài 10

gọi diện tích các đa giác BMF; BCF;

Suy ra ⇒ S(ADM) +S(BCN)= k.S ⇒ c+g+b+e=kS ⇔ b+g=k.S-(c+e) (1)

Tương Tự: S(AMC) +S(ANC) = k.S ⇔ S(AMCN) = k.S ⇔ c+d+e = k.S

⇒ d= k.S-(c+e) (2)

Từ (1) và (2) ⇒ ĐPCM.

Bài tập 12: Trên các cạnh AB, BC, CD, DA của tứ giác ABCD lần lượt lấy các điểm

M, N, P, Q sao cho: AM CN CP AQ k

BM = BN = DP = DQ = (k > 0) Gọi O là giao điểm của MP và

NQ Biết SAMOQ + SCPON = S Tính SABCD theo k và S

Ta kí hiệu diện tích các tam giác trên hình vẽ là S1, S2, S3, S4, R1, R2, R3, R4 Tacó:

k 1 +Tương tự: BE k BC;CF k AC

3SABC (Cminh được)

SGFAD = SADG + SAGF = 1

Bài tập 14: Cho ∆ABC Trên các cạnh BC, AC và AB lấy các

điểm A1, B1, C1 sao cho BA1 = 1BC

Suy ra: S AA B 1 + S AC C 1 + S BB C 1 = SABC ⇒ SMNP =SA MB1 +SB CN1 +SC AP1

Bài tập 15: Cho tứ giác ABCD Gọi A1, B1, C1, D1 lần lượt là trung điểm các cạnh BC,

CD, AD và AB ; CC1 cắt BB1 và DD1 ở P và Q ; còn AA1 cắt BB1 và DD1 ở N và M.Chứng minh: SMNPQ =SAMD1 +SBNA1 +SCPB1 +SDQC1

gợi ý:

9

Gọi diện tích các đa giác :AMD1; MD1BN; B NA1; NA1CP; PNMQ;MQC1A; CPB1;

Hình bài 16 Q

Bài tập 17: Cho ∆KLM Trên hai cạnh KL và LM lấy lần lượt hai điểm A và B saocho KA: AL = 1:3 và LB : BM = 4:1 Gọi C là giao điểm của KB và MA Biết SKLC =

2 Tính diện tích ∆KLM?

gợi ý:

Từ SKLC = 2 và AK : AL = 1:3 ta tính được SKAC) = ½ ; S( CAL) = 3/2

Muốn tính diện tích ∆ KLM ta chỉ cần tính diện tích CKM và CLM Muốn vậy ta chỉcần tính CA: CM

Trong ∆ ALM có C;B;K nằm trên 3 cạnh và thẳng hàng nên theo Định lý Menelaus tađược

S ABC =S ADE S ADB S ABC = AD AB BC = (*)

Chú ý khoảng cách từ chân phân giác đến mỗi đỉnh của ∆ luôn tính được theo độ dài 3cạnh( Bằng cách dùng tính chất phân giác) Vậy: ∆ ABC tính được AE;BE;DC; BD Còn ∆ ADC có FD CD

FA = ACtính được theo a;b;c ⇒ FD

AD tính được theo a;b;c Sau đóthay kết quả vào (*)

Hình bài 18

F E

D

C B

A

Bài tập 19: Cho ∆ABC cân tại C, biết AC k

AB = (k ≠ 1) Các phân giác trong của tamgiác cắt các cạnh AB, BC, AC tại M, N, P Chứng minh: ( )2

ABC MNP

k 1 S

+

=gợi ý:

P N

M Hình bài 19

C

B A

Bài tập 20: Trong ∆ABC, đường thẳng đi qua đỉnh A cắt cạnh BC tại K và cắt đườngtrung tuyến BM tại I sao cho BI 1

ABC cắt cạnh AD ở E sao cho EA = 3ED Đoạn thẳng BE chia hình thang thành hai

đa giác Tính tỉ số diện tích hai đa giác đó

gợi ý:

Đặt CD = x ⇒ AB = 5x

Vẽ DH và EK cùng vuông góc AB ⇒ DH//EK

⇒ EK:DH= AE: AD= 3:4 ⇒ EK=3y thì DH = 4y

E

D C

B

A

Bài tập 22: Cho ∆ABC Trên cạnh BC lấy hai điểm P, Q (P ở giữa B và Q), còn trêncạnh AC lấy điểm R sao cho BP: PQ: QC = 1: 2: 3 và AR: RC = 1: 2 Gọi T và K lầnlượt là giao điểm của BR với AP và AQ Tính PQKT

ABC

S Sgợi ý:

Ta có S(APQ):S(ABC) = PQ:BC= 2:6=1:3 ⇒ S(APQ) = 1 ( )

3S ABC

Ta chỉ cần tính S(ATK) :S(APQ)=(AT.AK): (AP.AQ)

∆ APC có R;T;B thẳng hàng và nằm trên 3 đường thẳng chứa cạnh ⇒

Bài tập 23: Gọi O là giao điểm hai đường chéo AC và BD của hình thang ABCD với

đáy lớn CD Các đường thẳng kẻ từ A và B lần lượt song song BC và AD cắt cácđường chéo BD và AC tương ứng tại F và E

B A

∆ BAD= ∆ BCE (g-c-g) ⇒ BD=BE

Trên AB và BC lấy T và K sao cho BE= BK=BD=BT

Ta cm được N là trung điểm BK , ∆ BEK=∆ BDE =∆ TBD

⇒ S(BEK)=S(BDE)=S(TBD)=x

∆ ATD=∆ CKE ⇒ S(ATD)=S(CKE)=y

Vậy S = S(ABC) = 3x+2y

Bài tập 25 : Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng 1, I là trung điểm AD, M là một

điểm trên cạnh CD, MA và MB lần lượt cắt IC tại J và K Đặt DM = x (0 < x < 1) Tínhdiện tích ∆MJK theo x (Trích đề thi HSG tỉnh KHánh Hoà năm học 2008 – 2009)gợi ý:

15

K

T

E D

N

M

C B

A

Ta có SMAB = ½ AB.AD= ½

1 1

Kéo dài CI cắt đường AB tại E ⇒ ∆ IDC = ∆ IAE ⇒ AE = 1

Trong ∆ MAB cĩ K;J;E thẳng hàng

1 2

1 1 2 1

1 1

Lấy các kết quả thay vào (*)

Bài tập 26: Trên cạnh BC và AB của ∆ABC lần lượt lấy hai điểm A1 và C1, AA1 và

1/ SBDEF = 2 S ADE S EFC

2/ S ABC = S ADE + S EFC

Bài tập 28: Qua một điểm nằm trong tam giác kẻ 3 đường thẳng song song với các

cạnh tam giác Các đường thẳng này chia tam giác thành 6 phần, trong đó có 3 tamgiác với các diện tích là S1, S2, S3 Tính diện tích tam giác đã cho theo S1, S2, S3

G

I D

A

B

C F

17

Tương tự câu a bài 27

∆ DGB ta được S(BFOE)=2 S S1. 3 Trong ∆ IFC có S(OHCG) = 2 S S2. 3

Trong ∆ AEH có : S(ADOI) =2 S S1. 2

(Trích Đề thi học sinh giỏi thành phố Nha Trang năm 2011-2012)

Bài tập 30: Cho tam giác ABC vuông cân tại A, M là trung điểm cạnh BC Từ đỉnh M

vẽ góc 450 sao cho các cạnh của góc này lần lượt cắt AB, AC tại E, F

B

Kẻ MP⊥AB tại P, MQ⊥AC tại Q

Kẻ Ex // AC, Ex cắt MQ tại K và cắt MF tại N ⇒ MPEK hình chữ nhật

Do ∠EMF = 450 nên tia ME, MF nằm giữa hai tia MP và MQ

1 2

MEN MEK MPEK

2

FEN QEK QAEK

S∆ <S∆ = S (S∆FEN <S∆QEK vì có cùng chiều cao nhưng đáy EN bé hơn đáy

EK)

18

S∆ < S∆

Bài 31: Gọi O là giao điểm 2 đường chéo của tứ giác ABCD Cho biết diện tích ∆

AOB = 4cm2, diện tích ∆COD = 9cm2 Tìm giá trị nhỏ nhất của diện tích tứ giácABCD(Trích đề thi HSG huyện Ninh Hoà năm học 2011 – 2012)

Vậy min S(ABCD) = 25 khi ABCD là hình thang hai đáy là AB và CD

Bài 32: Cho hình vuông ABCD, hai tia Ax và Ay quay quanh A luôn tạo với nhau một góc 450, chúng cắt các cạnh BC, CD lần lượt ở E và F Xác định vị trí của các tia

Ax và Ay để diện tích tam giác AEF nhỏ nhất (Trích đề thi HSG huyện Vạn Ninh năm học 2009 – 2010)

E

C x

y K

H Q

Kẻ AH vuông góc EF ⇒AH = AD(không đổi)Vậy S AEF nhỏ nhất khi EF nhỏ nhất, mà

EF = KF Ta sẽ chứng minh khi tam giác AKF cân tại A thì KF nhỏ nhất

Thật vậy xét 2 tia bất kỳ qua A và tạo với nhau một góc 450 cắt đường thẳng CD tại P

và Q, giả sử AQ < AP Ta chứng minh PQ > KF

19

Trên tia AP lấy điểm I sao cho AI = AQ ⇒ ∆AIK = ∆AQF c g c( ) ⇒KI =FQ(1)

Ta có ·PIK >IKA AFK· = · = ·AKF >Pµ ⇒PK >IK (2)

Từ (1) và (2) suy ra PK > FQ Do đó PQ > KF

Vậy S AEF nhỏ nhất nếu EF lấy giá trị nhỏ nhất khi đó DF = BE,

nghĩa là EF // BD, khi đó Ax, Ay lần lượt là hai tia phân giác của các góc BAC và CAD

Bài 33:

Cho ABCD là tứ giác lồi , có mỗi đường chéo chia tứ giác thành hai tam giác có cùng diện tích Chứng minh ABCD là hình bình hành (Trích đề thi HSG huyện Vạn Ninh năm học 2005 – 2006)

Vì AC chia tứ giác thành hai tam giác có diện tích bằng

Cho ∆ABC có góc B và góc C là hai góc nhọn, BC = a, đường cao AH = h Lấy M ∈

AB, N ∈ AC, dựng hình chữ nhật MNPQ với P, Q ∈ BC Xác định vị trí của M, N để hình chữ nhật có diện tích lớn nhất

(Trích đề thi HSG huyện Ninh Hoà năm học 2012 – 2013)

Bài toán 34: Cho ∆ ABC nhọn, các đường cao AD; BE;CF cắt nhau tại H Chứng minh rằng:

a)Ta có ·ACB AHB+· = 180 ; 0 ·BAC BHC+· = 180 ; 0 ·ABC AHC+· = 180 0

Theo bài toán 1 ta có

nhân hai vế cầnC/m với: . .

ABC ABC ABC