Bài 6 diện tích đa giác

DIỆN TÍCH ĐA GIÁC Mục tiêu  Kiến thức + Nhắc lại công thức tính diện tích một số hình đã học: hình chữ nhật, hình vuông, hình thoi, hình thang, hình bình hành.. + Chia đa giác thành các

CHƯƠNG 2 BÀI 6 DIỆN TÍCH ĐA GIÁC Mục tiêu

 Kiến thức

+ Nhắc lại công thức tính diện tích một số hình đã học: hình chữ nhật, hình vuông, hình thoi, hình thang, hình bình hành

 Kĩ năng

+ Tính diện tích các hình đã được học

+ Chia đa giác thành các hình đã được học sau đó tính diện tích

I LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM

- Việc tính diện tích đa giác của một đa giác bất kì thường được quy về việc tính diện tích các tam giác

Ta có thể chia đa giác thành các tam giác hoặc tạo ra một tam giác nào đó chứa đa giác

- Trong một số trường hợp, để tính toán thuận lợi ta có thể chia đa giác thành nhiều tam giác vuông và hình thang vuông

II CÁC DẠNG BÀI TẬP

Dạng 1: Tính diện tích đa giác

Phương pháp giải

Bước 1 Xác định đa giác cần tính diện tích.

Kiểm tra đa giác cần tính có thuộc các hình

đa giác quen thuộc như: Tam giác, hình

thang, hình bình hành, hình vuông, hình chữ nhật

Bước 2 Nếu cần phải chia đa giác thành nhiều

đa giác thì cần phải tính diện tích từng đa giác

Sau đó tính tổng các diện tích

Ví dụ: Cho hình bình hành ABCD có AB = 8 cm,

đường cao AH = 5 cm.



a Tính diện tích hình bình hành ABCD.



b Gọi M là trung điểm của AB Tính diện tích tứ giác AMCD.



c Gọi N là trung điểm của AD Tính diện tích tam giác NMB.

Hướng dẫn giải

a Diện tích hình bình hành ABCD là

5.8 40 cm

ABCD

S AH AB 



b Ta có: 1 1.8 4

AM  AB  (cm)

Ta có: AM // DC (ABCD là hình bình hành)

 Tứ giác AMCD là hình thang vì có hai cạnh song

song

4 8

AMCD

AM CD

cm



c Kẻ NK AB tại K, NOAH tại O.

Xét tứ giác AKNO, ta có

 Tứ giác AKNO là hình chữ nhật vì có ba góc

vuông

Xét ADH, ta có

N là trung điểm của AD (giả thiết),

NO // DH (cùng vuông góc với AH)

 O là trung điểm của AH

.5 2,5

Diện tích NMB là

NMB

S  NK MB  cm2

Ví dụ mẫu

Ví dụ 1 Cho đa giác như hình vẽ Biết AB = 10 cm, BG = 8 cm, CH = 6 cm,

EF = 7 cm, 2AG GH 2HD



a Tính diện tích tứ giác ABCD.



b Tính diện tích đa giác ABCDE.

Hướng dẫn giải

a Xét ABG vuông tại G, ta có

AB AG BG (định lí Py-ta-go)

2 2 2 102 82 36

36 6

AG

 

2 2.6 12 cm

6 cm



 

 Diện tích ABG là

.6.8 24 cm

ABG

Diện tích CHD là

.6.6 18 cm

CHD

Diện tích hình thang BCHG là:

6 8

BCHG

CH BG

S    GH    

Diện tích tứ giác ABCD là:

24 18 84 126 cm



b Ta có ADAG GH HD   6 12 6 24  (cm)

.7.24 84 cm

AED

126 84 210 cm

Bài tập tự luyện dạng 1

Câu 1: Cho tam giác như hình vẽ Hãy tính diện tích của tam giác biết rằng mỗi ô vuông có độ dài cạnh

1cm

A S 15 cm 2

20 cm

S 

C S 13 cm 2

D S 35 cm 2

Câu 2: Một mảnh đất hình thang như hình vẽ, biết số đo cạnh đáy lớn bằng 40m, số đo cạnh đáy nhỏ

20m, khoảng cách giữa hai cạnh đáy bằng 20m Diện tích mảnh đất đó là

A S ABCD 1200 m 2

B S ABCD 600 m 2

C S ABCD 800 m 2

D S ABCD 1000 m 2

Câu 3: Cho đa giác như hình vẽ Biết DC = 20 cm, AE = 15 cm, BH = 2 cm, HO = 7 cm.

Diện tích đa giác đó là

137,5 cm

S 

B S 173,5 cm 2

C S 217,5 cm 2

D Cả 3 đều sai.

Câu 4: Cho đa giác như hình vẽ và các kích thước có sẵn Diện tích đa giác đó là

A 191 cm 2

101 cm

C 77 cm 2

D 616 cm 2

Câu 5: Một mảnh đất hình chữ nhật ABCD, có một con đường mở ngang khu đất như hình vẽ Biết rằng

mảnh đất có chiều dài AB60m, BC25m Con đường cắt mảnh đất với độ rộng KH 12m Hãy tính diện tích phần còn lại của mảnh đất

Câu 6: Cho tứ giác ABCD có diện tích là S Điểm M là trung điểm của AC Chứng minh S 1

2

ĐÁP ÁN VÀ LỜI GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Câu 5:

Dựa vào hình vẽ, ta thấy tứ giác BEKH là hình bình hành.

Do đó, diện tích đường đi là

 2

12.25 300 m

BEKH

Diện tích mảnh đất là:

S ABCD AB BC 60.25 1500 m   2

Diện tích phần đất còn lại là:

S ABCD  S BEKH 1500 300 1200 m    2

Câu 6:

Kẻ DH AM và BK CM

S  AM BK AC BK  S

S  AM DH  AC DH  S

Ta có S ABMD S ABM S ADM

1 1

2S ABC 2S ADC

2 S ABC S ADC 2S ABCD

Dạng 2: Tính diện tích của đa giác bất kì

Phương pháp giải

Bước 1 Chia đa giác thành những đa giác

phổ biến như: tam giác, hình bình hành,

Ví dụ: Cho đa giác ABCDF, biết rằng mỗi ô vuông

có kích thước là 1cm Hãy tính diện tích đa giác

ABCDF.

Hướng dẫn giải

hình chữ nhật, hình vuông, hình thoi.

Bước 2 Tính diện tích các đa giác nhỏ rồi

tổng các diện tích nhỏ lại ta được diện tích

đa giác cần tìm

Độ dài các đoạn thẳng theo độ dài ô vuông là:

2 cm, 6 cm, 4 cm,

1 cm, EF 5 cm

ED

Diện tích tam giác:

ABF  AH BF  

Diện tích hình thang BCEF:

6 4

BCEF

BF CE

S    EF    

Diện tích CED là

.4.1 2 cm

CED

Diện tích đa giác ABCDF là:

Ví dụ mẫu

Ví dụ 1 Cho đa giác như hình vẽ Biết mỗi ô vuông có diện tích 4cm 2



a Tính diện tích đa giác ABCDES.



b Tính diện tích đa giác có trên hình vẽ.

Hướng dẫn giải



a Độ dài cạnh ô vuông 4 2 cm.

Độ dài các đoạn thẳng theo độ dài ô vuông là

4 cm, 8 cm, 4 cm, 6 cm,

6 cm, 4 cm, 4 cm, 14 cm

Diện tích hình thang ABCQ là

4 6

ABCQ

BC AQ

S   CQ   

Diện tích hình thang CDRQ là

4 8

CDRQ

DR CQ

S    QR   

Diện tích hình thang DESR là

6 4

DESR

ES DR

S    SR   

Diện tích đa giác ABCDES là

40 24 20 84 cm



b Độ dài các đoạn thẳng theo độ dài ô vuông như sau: SF 4 cm, EF10 cm,

2 cm, 10 cm

ASFG

GF AS

SF

.10.2 10 cm

EFH

Diện tích đa giác có trong hình vẽ là:

Bài tập tự luyện dạng 2

Câu 1: Một tam giác ABC cân tại A có đáy lớn BC 16 cm, đường cao AH 6 cm Gọi E, M lần lượt là trung điểm của AB, AH Tính diện tích đa giác AMEBC.

A 40 cm 2 B 46 cm 2 C 42 cm 2 D 48 cm 2

Câu 2: Một hình thoi ABCD có độ dài hai đường chéo AC 18 cm,BD10 cm Gọi M, N, P, Q lần lượt

là trung điểm của AB, AD, BC, CD Tính diện tích đa giác MBPQDN.

A 40 3 cm 2 B 2

67,5 cm

Câu 3: Cho hình chữ nhật ABCD có AB20 cm,BC8 cm. Gọi I là giao điểm của hai đường chéo

AC, BD Diện tích đa giác ABICD là

120 cm

Câu 4: Cho đa giác như hình vẽ, biết độ dài mỗi cạnh ô vuông nhỏ là 1 cm Diện tích của đa giác đó là

A 78 cm 2

B 22 cm 2

C 25 cm 2

99 cm

Câu 5: Một đa giác được cho như hình vẽ Biết rằng mỗi ô vuông có diện tích là 9 cm 2

a) Em hãy đề xuất cách chia đa giác thành những hình đa giác khác nhau có thể tính được diện tích một cách thuận tiện nhất

b) Hãy tính diện tích mỗi đa giác đã chia ở câu a và tính diện tích đa giác đề bài cho

Câu 6: Cho hình vuông ABCD có độ dài cạnh AB 24 cm. Trên cạnh AB lấy điểm M sao cho

1

,

3

AM  AB trên cạnh BC lấy điểm N sao cho BN NC , trên cạnh CD lấy điểm P sao cho 1

5

CP DP,

trên cạnh AD lấy điểm Q sao cho AQ5QD

a) Tính độ dài các đoạn thẳng AM, BN, CP, AQ.

b) Tính diện tích đa giác MNPQ.

c) Tính tỉ số diện tích ABCD

MNPQ

S

Câu 7: Cho hình thoi ABCD có AB = 9 cm và  A   Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của AB,60

BC, CD, AD.

a) Chứng minh ABD đều.

b) Tính diện tích hình thoi ABCD.

c) Tính diện tích đa giác MBNPDQ.

ĐÁP ÁN VÀ LỜI GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Câu 5:

a Độ dài cạnh hình vuông nhỏ 9 3 cm.

Chia đa giác đã cho thành đa giác nhỏ như sau:

Hình thang ABCD có đáy nhỏ BC = 9 cm, đáy lớn

AD = 24 cm, đường cao BO = 6 cm.

Hình thang ADEN có đáy nhỏ EN = 21 cm, đáy lớn

AD = 24 cm, đường cao DE = 6 cm.

Hình thang HGFN có đáy nhỏ HG = 3 cm, đáy lớn

NF = 15 cm, đường cao HK = 6 cm.



b Diện tích hình thang ABCD là

9 24

.6 99 cm

ABCD

BC AD

S   BO   

Diện tích hình thang ADEN là

21 24

ADEN

EN AD

S    ED   

Diện tích hình thang HGFN là

3 15

HGFN

HG FN

S    HK    

Diện tích đa giác đã cho là

99 135 54 288 cm

Câu 6:



a Ta có:

 

.24 8 cm

 

.24 12 cm

BN CM  BC 

Ta có 1

5

CP DP (giả thiết)

 

.24 4 cm

Ta có: AQ5QD (giả thiết)

.24 20 cm



b Phân tích: Diện tích tứ giác MNPQ bằng diện

tích hình vuông ABCD trừ các diện tích

tam giác xung quanh

Ta có BM AB AM 24 8 16 cm ,   

DP DC CP  24 4 20 cm ,   

DQAD AQ 24 20 4 cm    

Diện tích hình vuông ABCD là:

2 242 576 cm 2

ABCD

Tổng diện tích các tam giác

AM AQ MB BN CN PC DP QD

8.20 16.12 12.4 20.4

240 cm



Diện tích tứ giác MNPQ là:

576 240 336 cm



c Tỉ số diện tích 576 12

336 7

ABCD MNPQ

S

Câu 7:



a Ta có: AB = AD (ABCD là hình thoi)

ABD

  là tam giác cân

Mà BAD   (giả thiết) nên 60 ABD đều



b Ta có ABDđều (chứng minh trên)

Xét BAO vuông tại O, ta có

AB AO BO (định lí Py-ta-go)

2 243 4

AO

243 9 3

cm

AO

9 3

2

Diện tích hình thoi ABCD là 1 1 81 3 2

ABCD



c Xét ABD, ta có

M là trung điểm của AB (giả thiết)

Q là trung điểm của AD (giả thiết)

MQ

 là đường trung bình của ABD

.9 4,5 cm

Dễ dàng chứng minh được 1 1 9 3 9 3cm 

Diện tích đa giác MBNPDQ là

2