Trên tia Ay lấy một điểm M.. Kẻ dây BN song song với OM.. Xác định vị trí của điểm N sao cho góc DNO nhất.
Trang 1PHÒNG GD - ĐT HUYỆN ĐẮK SONG ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN TRƯỜNG THCS TRẦN PHÚ NĂM HỌC 2008- 2009
MÔN TOÁN KHỐI 9 Thời gian làm bài 150 phút Câu 1 (4đ)
Chứng minh định lý ”đường kính vuông góc với một dây thì đi qua trung điểm của dây đó”
Câu 2(3đ):Giải phương trình
3x− 5+ 2x− 3 = x+ 2
Câu 3(5đ)Cho n là số nguyên dươngvà a1,a2,….an là các số dương thỏa mãn điều kiện
= + + +
2
2 1
1 1
2 1
2 1
a a a
a a a
n
n
a)Chứng tỏ (ai +
1
)≥ 2 b)Tính n và a1,a2,……… ,an ,
Câu4(3đ)Cho biẻu thức M = x2+ y2+2z2+t2 với x, y, z, t là những số tự nhiên
Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của M và các giá trị tương ứng của x, y, z, t biết rằng:
+−3 ++4=21=101
2 2 2
2 2 2
z y x
t y
Câu5(5đ) Cho đường tròn (0) , đường kính AB và tiếp tuyến xAy Trên tia Ay lấy một
điểm M Kẻ dây BN song song với OM
a) Chứng minh MN là tiếp tuyến của đường tròn (0)
b) Điểm D cố định nằm trong đường tròn (0) (D khác O) Xác định vị trí của điểm N sao cho góc DNO nhất
-Hết-ĐÁP ÁN TÓAN 9
Câu 1(4đ):xét đường tròn (o) AB là đường kính
TH1: dây CD là đường kính thì AB vuông gó c với CD tại trung điểm O (1,5đ)
TH2: Dây CDkhông phải là đường kính
AB vuông góc với CD tại H, ∆CHO = ∆DHO suy ra CH=DH (2,5)
Câu2:(3đ) Điều kiện : x ≥ 35 (0,5đ)
Pt ⇔3x- 5+2x-3+2 ( 3x− 5 )( 2x− 3 ) = x +2
⇔ ( 3x− 5 ).( 2x− 3 ) = 5- 2x
⇔ 5-2x ≥0 và (3x-5)(2x-3)= 25-20x +4x
Trang 2⇔x=2 hoặc x= −25(loại vì không thỏa mãn đk x≥ 35 )
Vậy pt có nghiệm duy nhất x = 2 (2,5đ)
Câu3:(5đ)
a) ai +ai1 ≥ 2 ⇔ai2+1 ≥2ai ⇔(ai – 1)2 ≥0 luôn đúng (1đ)
b) Cộng từng vế hai pt của hệ ta được
(a1+
a1
1
)+( a2
a2
1 )+…+(an +
1
) = 4
Áp dụng kết quả câu a) ta có:
(a1+
1
)+( a2
1 )+…+(an +
1
)≥2n ⇒ 4≥2n suy ra n≤2 (2đ)
Với n= 1 ta có :
=
=
2 2 1 1
1
a
a vô nghiệm Với n =2 ta có:
+ =
= +
2 2 1 1 2 1
2 1
a a a a
Giải hệ phương trình trên tìm được a1= a2 =1 (2đ)
Câu 4(3đ): Cộng từng vế hai pt của hệ ta được:
2.(x2+y2+2z2++t2) – t2 =122
Suy ra (x2+y2+2z2++t2)= 61+ ≥
2
2
Vậy minM= 61 xảy ra khi t=0 (1,5)
Thay t=1 vào pt thứ nhất ta được x2- y2= 21
Xảy ra hai trường hợp : 1.{ 1
21
=
−
= +
y x y
x suy ra x=11, y=10 loại vì không thỏa mãn pt thứ hai
2.{ 3
7
=
−
= +
y x y
x suy ra x=5,y=2 thay vào pt (2)được z=4 Vậy minM=61 và x=5,y=2,z=4 (1,5đ)
Câu 5 (5đ):a)Chứng minhMN là tiếp tuyến của đường tròn (2đ)
b)Kẻ OH ⊥DN tại H ,góc DNO luôn nhọn và OH≤OD
OH= R.SinDNO,do đó <DNO lớn nhất khi SinDNO lớn nhất
⇔OH lớn nhất
⇔ OH=OD⇔ H≡ D
Vậy khi DN vuông góc với OD tại D thì góc DNO lớn nhất (3đ)