Tối Ưu Hóa Đại HỌc CÔng Nghiệp

Bài Tập Lớn Tối Ưu Hóa DHCNHN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHIỆP HÀ NỘI

KHOA CÔNG NGHỆ THÔNG TIN

- -BÁO CÁO BÀI TẬP LỚN MÔN HỌC

TỐI ƯU HÓA

Đề tài: Bài toán về lập kế hoạch sản xuất kẹo của

công ty Bibica Hà Nội.

Nhóm thực hiện : Nhóm 6 Thành viên trong nhóm :

Giảng viên hướng dẫn :

Hà Nội, 2019

Menu

I Mục đích và ý nghĩa của bài toán 4

1 Mục đích của bài toán 4

II Khảo sát và xây dựng bài toán: 9

1 Khảo sát 9

2 Xây dựng bài toán: 10

III THUẬT TOÁN ĐƠN HÌNH 11

IV Áp dụng thuật toán để giải: 14

V Ưng dụng phần mềm để giải (Excel): 14

Lời nói đầu

Trong khoa học máy tính và toán học, bài toán Tối ưu hóa

là bài toán tìm kiếm lời giải tốt nhất trong tất cả các lời giải khả thi Tối ưu hóa có rất nhiều ứng dụng hiểu quả và rộng rãi trong quy hoạch tài nguyên, thiết kế chế tạo máy, điều khiển tự động, quản trị kinh doanh, kiến trúc đô thị, công nghệ thông tin, trong việc tạo nên các hệ hỗ trợ ra quyết định trong quản lý và phát triển các hệ thống lớn Vì vậy, tối ưu hóa là môn học không thể thiếu trong đào tạo cho các ngành liên quan đến kinh tế, kỹ thuật và công nghệ thông tin.

Thông qua môn học này, nhóm em đã nắm bắt được những kiến thức cơ bản nhất về lĩnh vực tối ưu hóa.

Dựa trên những kiến thức được trang bị và sự hướng dẫn

của Ths nhóm em xin phép được chọn đề tài: Bài toán về

lập kế hoạch sản xuất kẹo của công ty Bibica Hà Nội.

Trong quá trình thực hiện không thể tránh khỏi những sai lầm và thiếu xót, kính mong sự nhận xét và đóng góp của Giảng Viên.

Nhóm em xin chân thành cảm ơn!

I Mục đích và ý nghĩa của bài toán

1 Mục đích của bài toán

- Bài toán là lập kế hoạch sản xuất tối ưu ở xí nghiệp sản xuất bánh kẹo là

phải chỉ ra được số lượng (kg) của từng nguyên liệu để làm ra kẹo cần sản xuất trong mỗi tháng, mỗi quý hoặc mỗi năm, căn cứ trên các yếu tố ảnh hưởng như nhu cầu tiêu thụ, biến động của thị trường, nhịp điệu cung cấp nguyên liệu, tình trạng vận hành của thiết bị… Ở đây chúng ta yêu cầu là

kế hoạch đặt ra phải là kế hoạch tối ưu Một kế hoạch được gọi là tối ưu khi nó thoả mãn các điều kiện:

 Sản phẩm sản xuất ra phải đáp ứng được nhu cầu của người tiêu dùng về phương diện khối lượng và chất lượng

 Phải phù hợp khả năng cung cấp về nguyên liệu, sức sản xuất của máy móc, thiết bị và nhiều điều kiện nội tại khác tại xí nghiệp Đối với các xí nghiệp chế biến gỗ, điều kiện về nguyên liệu được xem là yếu tố quan trọng nhất, vì nó luôn biến động tùy thuộc nguồn cung cấp…

 Phải đạt được một chỉ tiêu kinh tế nào đó có lợi nhất, ví dụ: tiết kiệm nguyên liệu nhất, giá thành thấp nhất, chi phí năng lượng ít nhất, thời gian quay vòng vốn lưu động nhanh nhất…

Việc tìm kiếm một phương án như vậy không phải là quá khó nhưng cũng không phải khi nào ta cũng làm được, bởi vì trong sản xuất có rất nhiều yếu tố chi phối đến quá trình sản xuất mà ta chưa lường hết được, hoặc những giới hạn

mà chúng ta phải tuân thủ Trong lý thuyết quy hoạch toán học thường gọi những giới hạn đó là những ràng buộc hoặc là điều kiện biên hoặc là điều kiện ràng buộc

Bài toán quy hoạch sẽ cho ta nhiều nghiệm số.Trong nhiều nghiệm số đó ta phải chọn lấy một Nghiệm này phải thoả mãn các điều kiện giới hạn và phải làm cực đại hoặc cực tiểu một chỉ tiêu kinh tế nào đó Để giải quyết vấn đề này, quy hoạch toán học là công cụ chủ yếu mà ta phải sử dụng Điều khó khăn lớn nhất là ta phải khắc phục khi sử dụng phương pháp này là đồng thời một lúc phải giải nghệ nhiều phương trình và nghiệm của bài quy hoạch không phải bao giờ cũng ổn định

Việc lựa chọn phương án tốt nhất (tối ưu) trong một tập hợp nhiều phương án chấp nhận được là một quá trình toán khá phức tạp, đơn thuần mang tính chất toán học Để thực hiện được quá trình tính toán đó ta phải sử dụng những phương pháp tính riêng Giải bài toán để tìm một phương án tối ưu cho sản xuất thuộc loại bài toán tìm cực trị, có điều kiện, nghĩa là ta phải đi tìm giá trị lớn nhất hoặc bé nhất của hàm nhiều biến đồng thời phải thoả mãn các điều kiện ràng buộc của các biến đó

Trong khi lập kế hoạch sản xuất, vấn đề có ý nghĩa quan trọng hơn cả là phải xác định chỉ tiêu mà ta cần tối ưu Ứng với một chỉ tiêu cần tối ưu ta có các giới hạn tương ứng Một điểm ta cần lưu ý là đối với một dạng bài toán khi ta chọn chỉ tiêu tối ưu khác nhau thì nghiệm của bài toán cũng hoàn toàn khác nhau Chỉ tiêu tối ưu tức là một đại lương, một chỉ số nào đó mà ta cần phải cưc đại hóa hoặc cực tiểu hóa Chỉ tiêu cần tối ưu hoá thì có rất nhiều Các ngành khác nhau

có các chỉ tiêu tối ưu khác nhau, thậm chí trong một ngành hoặc trong một dây chuyền sản xuất của một loại sản phẩm cũng có thể có các chỉ tiêu khác nhau Trong công nghiệp chế biến kẹo, các chỉ tiêu tối ưu thường là những đại lượng sau:

Giá thành công xưởng thấp nhất

Lợi nhuận nhiều nhất

Nguyên liệu tiêu tốn ít nhất

Năng suất máy cao nhất

Nhân lực tham gia sản xuất ít nhất

Chi phí vận tải thấp nhất

Dữ trữ nguyên liệu và lưu kho sản phẩm hợp lý nhất

Tiêu hao năng lượng ít nhất

Các chỉ số đặc tính của sản phẩm đạt giá trị min hay max

Ngành sản xuất kẹo ngày càng chiếm tỷ trọng không nhỏ trong nền kinh

tế quốc dân…Yêu cầu của công tác quản lý sản xuất ngày càng khoa học và chặt chẽ Trình độ sản xuất càng tiên tiến thì tính khoa học trong công tác quản lý càng cao

Lập kế hoạch sản xuất là một trong những khâu quan trọng nhất trong công tác quản lý Kế hoạch sản xuất của một ngành, một xí nghiệp là động lực thúc đẩy sản xuất của ngành, xí nghiệp đó phát triển Lập kế hoạch tối ưu là một bước phát triển cao trong công tác quản lý sản xuất Một kế hoạch tối ưu bao giờ cũng cho ta một phương án cụ thể để sử dụng nhân lực, vốn đầu tư, quỹ thời gian, quỹ thiết bị, quỹ nguyên liệu,… để sản xuất các mặt hàng theo một chiều hướng có lợi nhất

Để giải bài toán khi cần lập một kế hoạch tối ưu, phải tiến hành các bước sau:

Bước một: Xây dựng mô hình định tính cho vấn đề thực tế, tức là xác lập các

yếu tố có ý nghĩa quan trọng nhất và xác lập các qui luật mà chúng phải tuân theo Hay nói cách khác là phải thể hiện được ý tưởng của ta bằng lời trên đối tượng cần quan tâm Ở đây cần phải xác định được mục tiêu cần đạt là cái gì, và cái đó bị chi phối bởi những yếu tố nào

Bước hai: Xây dựng mô hình toán học cho vấn đề đang nghiên cứu Từ

những tư liệu này và ý tưởng đã được xác định ở bước một, ta diễn tả lại chúng dưới dạng ngôn ngữ toán học Như vậy, mô hình toán học là trừu tượng hóa dưới dạng ngôn ngữ toán học của hiện tượng thực tế, cần phải được xây dựng sao cho việc phân tích nó cho phép ta hiểu được bản chất của hiện tượng Mô hình toán học thiết lập các mối quan hệ giữa các biến số và các tham số điều khiển hiện tượng Việc làm rất quan trọng ở bước này là phải xác định hàm mục tiêu, tức là một đặc trưng bằng số mà giá trị càng lớn (hoặc càng nhỏ) của nó tương ứng với hiệu quả càng tốt hơn giải quyết vấn đề mà người nhận lời giải (người lập kế hoạch) mong muốn Tiếp theo, phải diễn tả bằng các phương trình hoặc bất phương trình các điều kiện kinh tế kỹ thuật Đó là các ràng buộc toán học mà các biến số phải tuân theo Công việc ở bước này đòi hỏi người lập kế hoạch cần

có những kiến thức toán học nhất định

Bước ba: Sử dụng các công cụ toán học để khảo sát và giải quyết bài toán đã

thiết lập ở bước hai.Căn cứ trên bài toán đã được xây dựng cần phải chọn hoặc xây dựng phương pháp giải cho phù hợp Tiếp đó phải cụ thể hóa phương pháp giải bằng các thuật toán tối ưu Nếu bài toán có kích thước lớn không giải được bằng tay thì phải sử dụng máy vi tính

Bước bốn: Phân tích và kiểm tra lại kết quả tính toán thu được ở bước ba.

Trong bước này cần xác lập mức độ phù hợp của mô hình lý thuyết với vấn đề thực tế mà nó mô tả Để thực hiện bước này, có thể làm thực nghiệm hoăc áp dụng phương pháp phân tích chuyên gia Ví dụ, khi thiết lập bài toán tính các thông số công nghệ để thu được sản phẩm ván có các chỉ tiêu về chất lượng được xác định trước (theo điều kiện biên) thì sau khi thu được lời giải, ta phải tiến hành thực nghiệm theo kết quả đó và phân tích các chỉ tiêu chất lượng của sản phẩm xem chúng có thoả mãn các điều kiện ràng buộc hay không

Sau khi thực hiện bước bốn, có hai khả năng sẽ xảy ra:

Khả năng thứ nhất là kết quả tính toán phù hợp với thực tế Khi đó có thể áp dụng nó vào việc giải quyết vấn đề từ thực tế đặt ra Nếu bài toán đặt ra có qui

mô lớn và có khả năng ứng dụng nhiều lần thì nên lập một bảng tổng kết ghi rõ cách đặt vấn đề, mô hình toán học thuật toán tối ưu để tiến xây dựng phần mềm bảo đảm giao diện thuận tiện giữa người sử dụng và máy tính, không đòi hỏi người sử dụng phải có trình độ chuyên môn cao về toán

Khả năng thứ hai là các kết quả tính toán không phù hợp với thực tế Trong trường hợp này cần phải kiểm tra:

- Thuật toán và phương thức tính toán ở ba bước (bằng tay hay bằng máy tính điện tử) có đủ độ tin cậy hay không? Nếu kiểm tra thấy chắc chắn là bài toán thu được tương ứng với quy hoạch đã xây dựng thì điều đó có nghĩa là “trục trặc” sẽ nằm ở bước hai hoặc bước một

- Kiểm tra lại xem ở bước hai, với các thông tin thu được ở bước một, việc xây dựng dạng của mô hình đã hợp chưa, đã phản ảnh đúng quy luật của hiện tượng hay chưa?

- Kiểm tra lại bước một xem có bỏ sót thứ nào hay không? Các yếu tố đưa vào mô hình đã được đặc trưng chưa? Nếu thấy có nghi ngờ thì phải rà sát lại một lần nữa và thực hiện lại các bước đã nêu trên đây Việc kiểm tra, điều chỉnh

và sửa đổi lại mô hình có thể phải lặp đi lặp lại nhiều lần cho đến khi thu được kết quả tính toán phù hợp với thực tế để có thể áp dụng vào việc giải quyết các vấn đề do thực tế sản xuất đặt ra

2. Ý nghĩa của bài toán

- Bài toán là lập kế hoạch sản xuất tối ưu ở xí nghiệp sản xuất bánh kẹo là

phải chỉ ra được số lượng (kg) của từng nguyên liệu để làm ra kẹo cần sản xuất trong mỗi tháng, mỗi quý hoặc mỗi năm, căn cứ trên các yếu tố ảnh hưởng như nhu cầu tiêu thụ, biến động của thị trường, nhịp điệu cung cấp nguyên liệu, tình trạng vận hành của thiết bị

- Ngành sản xuất kẹo ngày càng chiếm tỷ trọng không nhỏ trong nền kinh

tế quốc dân…Yêu cầu của công tác quản lý sản xuất ngày càng khoa học

và chặt chẽ Trình độ sản xuất càng tiên tiến thì tính khoa học trong công tác quản lý càng cao

- Lập kế hoạch sản xuất là một trong những khâu quan trọng nhất trong

công tác quản lý Kế hoạch sản xuất của một ngành, một xí nghiệp là động lực thúc đẩy sản xuất của ngành, xí nghiệp đó phát triển Lập kế hoạch tối ưu là một bước phát triển cao trong công tác quản lý sản xuất Một kế hoạch tối ưu bao giờ cũng cho ta một phương án cụ thể để sử dụng nhân lực, vốn đầu tư, quỹ thời gian, quỹ thiết bị, quỹ nguyên liệu,… để sản xuất các mặt hàng theo một chiều hướng có lợi nhất

II Khảo sát và xây dựng bài toán:

1 Khảo sát

Công ty đang thực hiện sản xuất 4 loại kẹo: kẹo dẻo, kẹo sữa, kẹo cafe, kẹo mút Có 3 loại nguyên liệu được sử dụng để sản xuất kẹo là: đường, sữa và cafe Để sản xuất 1kg kẹo dẻo cần 1.8kg đường, 0.9kg sữa, 0.3kg cafe và lãi được 15000đ; Kẹo sữa cần 0.6kg đường, 2.7 kg sữa, 0.3 kg cafe và lãi được 13500đ; Kẹo cafe cần 0.6kg đường, 2.4kg sữa, 2.7 kg cafe và lãi được 9000; Kẹo mút cần 2.1kg đường, 0.6kg sữa, 0.3kg cafe và lãi được 12000đ Số lượng đường hiện có là 4500kg, sữa là 1200kg và cafe có 3000kg Số lượng tiêu thụ nguyên liệu, định mức tiêu hao của chúng và lãi bán được cho từng kg kẹo được thể hiện ở bảng sau:

liệu

Số lượng (kg)

Định mức tiêu hao (kg) Kẹo dẻo Kẹo sữa Kẹo cafe Kẹo mút

Giả sử chỉ sử dụng các nguyên liệu đã cho ở trên và sản xuất được bao nhiêu kẹo thì tiêu thụ hết bấy nhiêu nguyên liệu Hãy lập mô hình bài toán với mục tiêu là số tiền lãi thu được từ việc bán kẹo là nhiều nhất

2 Xây dựng bài toán:

Dựa trên dữ liệu khảo sát, đưa về bài toán quy hoạch tuyến tính:

f (x) = 15000x 1 + 13500x 2 + 9000x 3 + 12000x 4 → max

Các điều kiện ràng buộc :

1.8x1 + 0.6x2 + 0.6x3 + 2.1x4 ≤ 4500

0.9x1 + 2.7x2 + 2.4x3 + 0.6x4 ≤ 1200

0.3x1 + 0.3x2 + 2.7x3 + 0.3x4 ≤ 3000

xj ≥ 0, j = 1, 2, 3, 4

III THUẬT TOÁN ĐƠN HÌNH

Để giải bìa toán QHTT (G) bằng phương pháp đơn hình ta thực hiện các bước dưới đây

 Bước chuẩn bị: Đưa (G) về dạng chính tắc chuẩn (N) nếu cần.

 Bước 1: Xác định PACB xo xuất phát, chỉ ra các biến và các hệ số cơ sở

(Nếu bài toán dạng (N) thì một PACB được tìm dễ dàng từ ma trận con sơ

cấp của A – trong bảng đơn hình ở bước 2, ma trận con sơ cấp được giả định là ma trận đơn vị cấp m tạo thành từ m dòng và m cột đầu tiên, khi đó PACB xuất phát chính là x0 = (b1, b2, …, bm, 0, …, 0))

 Bước 2: Lập bảng đơn hình, tính giá trị của hàm mục tiêu và các số ước

lượng j

Hệ số

cơ sở

Biến

cơ sở

PA CB

x1 x2 …… xm xm+1 ……

xn

i



c1 c2 …… cm cm+1 ……

c1

c2

cm

x1

x2

xm

b1

b2

bm

1 0 …… 0 a1,m+1 ……

a1n

0 1 …… 0 a2,m+1 ……

a2n

…… ……

…… ……

…… ……

0 0 …… 1 am,m+1 ……

amn

Bảng 1 f (x0) 0 0 …… 0 m+1 …… n

Ở đây f(x0) = c1b1 + c2b2 + … + cmbm;

j = 0 (j=1,…, m); j = 1

; 1

m

i ij j i



  � �

�

 Bước 3: Kiểm tra điều kiện tối ưu (Đối với bài toán MIN)

a) Nếu mọi  �j 0 phương án đang xét tối ưu  STOP

b) Nếu tồn tại  j 0 mà mọi aij � 0 thì hàm mục tiêu không bị chặn, do

đó bài toán đã cho vô nghiệm  STOP

c) Nếu tồn tại  j 0 và với mỗi  j 0 đều có ít nhất một aij 0 thì

phương án đang xét chưa tối ưu  Làm tiếp bước 4

 Bước 4: Cải tiến PACB đang xét để được PACB tốt hơn (Đối với bài toán

MIN)

a) Chọn biến cơ bản mới x v sao cho  v max{ j 0} để đưa vào.

b) Chọn biến cơ bản cũ x r sao cho min{ / 0}

i

iv

b a a

    

để đưa ra.

Tiếp theo chọn dòng thứ r làm dòng xoay, cột thứ v làm cột xoay, phần tử a rv

làm phần tử xoay rồi biến đổi sơ cấp để được bảng đơn hình mới với PACB mới tốt hơn

Cách biến đổi bảng đơn hình để nhận được bảng mới và PACB mới tốt hơn

Đổi cột biến cơ sở: biến cơ sở mới là xv thay cho biến cơ sở cũ là xr ở dòng r Đổi cột hệ số cơ sở: hệ số cv thay cho hệ số cr ở dòng r

Biến đổi dòng xoay:

Dòng mới = dòng cũ / phần tử xoay,

Nghĩa là chia mỗi phần tử ở dòng xoay cho phần tử xoay (arv > 0) Kết quả nhận

được gọi là dòng chính (số 1 xuất hiện ở vị trí của arv cũ)

Biến đổi các dòng khác theo qui tắc hình chữ nhật:

Dòng mới = dòng cũ tương ứng - phần tử của nó trên cột xoay × dòng

chính,

nghĩa là

Cột ≠ cột xoay Cột xoay (cột v)

Dòng ≠ dòng xoay : a b

a’ = a – bc

Dòng chính (dòng r mới) : c 1

Sau đó lặp lại các bước 2, 3, 4 cho đến khi được P.A.C.B tối ưu thì dừng và kết luận về đáp số của bài toán đã cho

Chú ý

 Ở bước 3 khi kiểm tra điều kiện tối ưu đối với bài toán MAX, ta làm như sau:

a) Nếu mọi  �j 0 phương án đang xét tối ưu  STOP

b) Nếu tồn tại  j 0 mà mọi aij � 0 thì hàm mục tiêu không bị chặn, do đó bài toán đã cho vô nghiệm  STOP

c) Nếu tồn tại  j 0 mà với mỗi  j 0 đều có ít nhất một

ij 0

a  thì phương án đang xét chưa tối ưu  Làm tiếp bước 4

 Còn ở bước 4 khi cải tiến PACB đối với bài toán MAX, ta làm như sau:

a) Chọn biến cơ bản mới x v sao cho  v min{ j 0} để đưa vào.

b) Chọn biến cơ bản cũ x r sao cho min{ / 0}

i

iv

b a a

    

để đưa ra c) Tiếp theo chọn dòng thứ r làm dòng xoay, phần tử a rv làm phần tử xoay rồi biến đổi sơ cấp để được bảng đơn hình mới

 Cũng có thể quy bài toán MAX về bài toán MIN hoặc ngược lại bằng cách đối dấu hàm mục tiêu

 Dấu hiệu bài toán vô số nghiệm: Khi kiểm tra điều kiện tối ưu ở bước 3,

nếu mọi  �j 0 (đối với bài toán MIN) hoặc  �j 0 (đối với bài toán

MAX) đồng thời tồn tại một  j 0 ứng với biến phi cơ sở x j thì bài toán

có vô số nghiệm

 Cách tìm hết tất cả các PATU của bài toán QHTT: Giả sử đã tìm ra

một PATU x0 Khi đó giải hệ gồm phương trình f x( ) f x( )0 và các ràng buộc ta sẽ được tất cả các PATU của bài toán đã cho

IV Áp dụng thuật toán để giải: