Tích phân nâng caoCâu 1.. Mệnh đề nào dưới đây sai?. Mệnh đề nào đúng?. Tìm nguyên hàm của hàm số f x′ lnx... Tìm nguyên hàm của hàm số f x′ lnx A.
Trang 1Tích phân nâng cao
Câu 1 Nếu f ( )0 =1
, f x'( )
liên tục và
( ) 3
0
f x dx=
∫
thì giá trị của f ( )3
là:
Câu 2 Cho f x( )
và g x( )
là hai hàm số liên tục trên [−1,1]
và f x( )
là hàm số chẵn, ( )
g x
là hàm số lẻ Biết
( ) 1
0
5
f x dx =
∫
và
( ) 1
0
7
g x dx=
∫
Mệnh đề nào dưới đây sai?
A
( )
1
1
10
f x dx
−
=
∫
( ) 1
1
14
g x dx
−
=
∫
C
( ) ( )
1
1
10
−
∫
( ) ( ) 1
1
10
−
∫
Câu 3 Cho tích phân
( ) 6
0
20
f x dx=
∫
Tính tích phân
( ) 3
0
2
I =∫ f x dx
A I =40
Câu 4 Cho hàm số f x( )
liên tục trên đoạn [0; 6] thỏa mãn
( ) 6
0
10
f x dx=
∫
và ( )
4
2
6
f x dx=
∫
Tính giá trị của biểu thức
( ) ( )
P=∫ f x dx+∫ f x dx
A P=4
Câu 5 Cho tích phân
( ) 2
0 cos sin 8
π
Tính tích phân
( ) 2
0 sin cos
π
= ∫
A K = −8
Câu 6 Cho hàm số f x( )
liên tục trên đoạn [0; 1] và có
( ) 1
0
3 2− f x dx=5
∫
Tính
( ) 1
0
f x dx
∫
A −1
Trang 2
Câu 7 Cho hai hàm số f x( )
và g x( )
liên tục trên đoạn [0; 1], có
( ) 1
0
4
f x dx=
∫
và ( )
1
0
2
g x dx= −
∫
Tính tích phân
( ) 3 ( )
I =∫f x − g x dx
A −10
Câu 8 Cho hàm số y= f x( )
có đạo hàm là f x'( )
liên tục trên đoạn [0; 1] và f ( )1 =2
Biết
( )
1
0
1
f x dx=
∫
, tính tích phân
( ) 1
0
'
I =∫x f x dx
A I =1
Câu 9 Cho hàm số
f x = x+ x +
Tính tích phân
( ) 1
0
'
I =∫ f x dx
A I =ln 2
B I =ln 1( + 2)
C . I =ln 2
D . I =2 ln 2
Câu 10 Cho hàm số f x( )
có đạo hàm liên tục trên đoạn [1; ln3] và thỏa mãn ( )1 2
,
( )
ln 3
2 1
f x dx= −e
∫
Tính I = f ( )ln 3
A
2
9 2
I = − e
2
I = e −
Câu 11 Cho hai hàm số y= f x( )
và y=g x( )
có đạo hàm liên tục trên đoạn [0; 1] và
thỏa mãn
( ) ( ) 1
0
f x g x dx=
∫
,
( ) ( ) 1
0
f x g x dx= −
∫
Tính
( ) ( )
1
/ 0
I = ∫f x g x dx
A I = −2
Câu 12 Cho hàm số y= f x( )
liên tục trên R, thỏa mãn
( ) 1
0
1
f x dx=
∫
Tính
4
2
0
π
Trang 3
A I =1
I =π
I = −π
Câu 13 Cho hàm số y= f x( )
liên tục và thỏa mãn
( ) 2 1 3
x
với
1
;2 2
∈
Tính ( )
2
1
2
f x
dx
x
∫
A
9
2
3 2
9 2
−
3 2
−
Câu 14 Cho hàm số y= f x( )
liên tục trên R và thỏa mãn f x( ) + f ( )− =x 2 2cos 2+ x
Tính
( ) 2
2
π
π
= ∫
A I = −1
Câu 15 Biết hàm số 2
y= f x +π
là hàm số chẵn trên đoạn
;
2 2
π π
và
2
f x + f x +π= x+ x
Tính
( ) 2
0
I f x dx
π
=∫
A I =0
1 2
I =
Câu 16 Cho hàm số y= f x( )
liên tục trên R, thỏa mãn f ( )− +x 2018f x( ) =e x
Tính ( )
1
1
−
= ∫
A
2 1
2019
e
I
e
−
=
2 1 2018
e I
e
−
=
2 1
e I e
−
=
Trang 4
Câu 17 Cho hàm số f x( )
thỏa mãn
( ) ( ) 1
0
x+ f x dx=
∫
và 2 1f ( ) − f ( )0 =2
Tính ( )
1
0
I =∫ f x dx
A I =8
Câu 18 Cho hàm số f x( )
thỏa f ( )0 = f ( )1 =1
Biết
( ) ( ) 1
0
'
x
e f x + f x dx ae b = +
∫
Tính biểu thức
2018 2018
Q a= +b
A Q=8
Câu 19 Cho hàm số f x( )
liên tục trên (0;+∞)
và thỏa
( )
2
0
.cos
x
f t dt =x πx
∫
Tính f ( )4
A f ( )4 =123
( )4 2 3
( )4 3 4
( )4 1 4
Câu 20 Cho hàm số f x( )
thỏa mãn
( )
2 0 cos
f x
t dt=x πx
∫
Tính f ( )4
A f ( )4 =2 3
B f ( )4 = −1
( )4 1 2
D f ( )4 = 312
Câu 21 Cho hàm số f x( )
có đạo hàm liên tục trên đoạn [1, 2] và thỏa mãn f x( ) >0
khi x∈[ ]1, 2
Biết
( ) 2
1
f x dx=
∫
và
( ) ( )
2
1
'
ln 2
f x dx
∫
Tính f ( )2
A f ( )2 = −10
B f ( )2 =20
C f ( )2 =10
D f ( )2 = −20
Câu 22 Cho hàm số y= f x( )
có đạo hàm liên tục trên đoạn [−1;1]
, thỏa mãn f x( ) >0
∀x ∈ R và f x'( )+2f x( ) =0
Biết f ( )1 =1
, tính f ( )−1
A f ( )− =1 e−2
B f ( )− =1 e3
C f ( )− =1 e4
D f ( )− =1 3
Trang 5
Câu 24 Cho hàm số y= f x( )
có đạo hàm liên tục trên R, nhận giá trị dương trên
khoảng (0;+∞)
và thỏa f ( )1 =1
, f x( ) = f x'( ) 3x+1
Mệnh đề nào đúng?
A 1< f( )5 <2
B 4< f ( )5 <5
C 2< f( )5 <3
D 3< f ( )5 <4
Câu 24 Cho hàm số y= f x( )
có đạo hàm liên tục trên R và f x( ) >0
khi x ∈ [0; a] (
0
a>
) Biết f x f a x( ) ( − =) 1
, tính tích phân 01 ( )
a
dx I
f x
= +
∫
A 2
a
I =
a
I =
a
I =
Câu 25 Cho hàm số
0
x
G x =∫t x t dt−
Tính
' 2
G π
÷
A
2
G = − ÷π
2
G = ÷π
2
G = ÷π
2
G = ÷π
Câu 26 Cho hàm số
( )
2
0 cos
x
G x = ∫ t dt
(x>0
) Tính G x'( )
A G x'( ) = x2.cosx
B G x'( ) =2 cosx x
C G x'( ) =cosx
D G x'( ) =cosx−1
Câu 27 Tìm giá trị lớn nhất của
( ) ( 2 ) 1
x
G x =∫ t +t dt
trên đoạn [−1;1]
A
1
6
5 6
−
5 6
Câu 28 Cho hàm số
1 1
x
G x =∫ +t dt
Tính G x'( )
A
2
1
x
x
+
2
1 x+
2
1
1 x+
D (x2+1) x2 +1
Trang 6
Câu 29 Cho hàm số
1 sin
x
F x = ∫ t dt
(x>0
) Tính F x'( )
sin 2
x x
2sin x
x
Câu 30 Tính đạo hàm của f x( )
, biết f x( )
thỏa
0
x
f t f x
t e dt e=
∫
A f x'( ) =x
B f x'( ) =x2+1
( ) 1
'
f x
x
=
( ) 1
' 1
f x
x
=
−
Câu 31 (Trích Câu 32 mã đề 101 TNPT 2017) Cho
2 ( )
F x =x
là một nguyên hàm của hàm số
2 ( ) x
f x e
Tìm nguyên hàm của hàm số
2 ( ) x
f x e′
A
f x e dx′ = − +x x C+
∫
B
f x e dx′ = − + +x x C
∫
C
f x e dx′ = x − x C+
∫
D
f x e dx′ = − x + x C+
∫
Câu 32 (Trích Câu 40 mã đề 102 TNPT 2017) Cho ( ) ( 1)
x
F x = x− e
là một nguyên hàm của hàm số 2
( ) x
f x e
Tìm nguyên hàm của hàm số
2 ( ) x
f x e′
A
2
f x e′ x= − x e +C
∫
B
2
x x x
f x e′ x= − e +C
∫
C
2
f x e′ x= −x e +C
∫
D
2
f x e′ x= x− e +C
∫
Câu 33 (Trích Câu 37 mã đề 103 TNPT 2017) Cho
3
1 ( )
3
F x
x
= −
là một nguyên hàm của hàm số
( )
f x x
Tìm nguyên hàm của hàm số f x′( ) lnx
A
( ) ln
5
x
∫
B
( ) ln
5
x
∫
C
( ) ln
3
x
∫
D
( ) ln
3
x
∫
Trang 7Câu 34 (Trích Câu 42 mã đề 104 TNPT 2017) Cho
2
1 ( ) 2
F x
x
=
là một nguyên hàm của hàm số
( )
f x x
Tìm nguyên hàm của hàm số f x′( ) lnx
A
( ) ln
2
x
′ = − + ÷+
∫
B
ln 1 ( ) ln x
∫
C
ln 1
′ = − + ÷+
∫
D
( ) ln
2
x
∫
Đáp Án
Chọ
Chọ
Lời Giải
Câu 1: C Ta có:
3
3 0 0
∫
⇒ Chọn C
Câu 2: B Nhớ 2 tích chất sau để làm trắc nghiệm nhanh:
1 Nếu hàm f x( )
CHẴN thì
0
2
a
f x dx f x dx
−
=
LẺ thì
( ) 0
a
a
f x dx
−
=
∫
Nếu chứng minh thì như sau:
Đặt
1 2
14 2 43 14 2 43
( )
0
1
1
−
= ∫
Đặt t= −x ⇒ = −dt dx
Đổi cận:
Trang 8( ) ( ) ( ) ( )
1
(Do tích phân xác định không phụ thuộc vào
biến số tích phân)
( ) 1
0
f x dx
=∫
(Do f x( )
là hàm chẵn ⇒ f ( )− =x f x( )
)
Vậy
10
−
(1)
Đặt
1 2
14 2 43 14 2 43
( )
0
1
1
−
=∫
Đặt t= −x ⇒ = −dt dx
Đổi cận:
( ) ( ) ( ) ( )
1
(Do tích phân xác định không phụ thuộc vào
biến số tích phân)
( ) 1
0
g x dx
= −∫
(Do f x( )
là hàm chẵn ⇒g( )− = −x g x( )
)
Vậy
0
−
(2)
Từ (1) và (2) ⇒ Chọn B
Câu 3: B
( ) 3
0
2
I =∫ f x dx
Đặt t=2x⇒ =dt 2dx
Đổi cận:
( ) ( )
(Do tích phân xác định không phụ thuộc vào biến số tích phân )
1
.20 10
2
⇒ Chọn B
Trang 9Câu 4: A Ta có:
⇒ Chọn A
Câu 5: C
( ) 2
0 cos sin
π
=∫
Đặt 2
t = −π x
⇒ = −
Đổi cận:
2
π
(Tích phân xác định không phụ thuộc vào biến số tích phân) =K ⇒ = =K I 8
⇒ Chọn C
Câu 6: A Ta có:
( ) 1
0
3 2− f x dx=5
0
3dx 2 f x dx 5 3x 2 f x dx 5
⇒ Chọn A
Câu 7: B
I =∫f x − g x dx =∫ f x dx− ∫g x dx= − − =
⇒ Chọn B
Câu 8: A Ta có:
( ) 1
0
'
I =∫x f x dx
Đặt u= ⇒x du dx=
, dv= f x dx'( )
chọn v=∫ f x dx'( ) = f x( ) ( )1 1 ( ) ( ) ( ) 1 ( )
0
⇒ Chọn A
Câu 9: B Ta có:
0
0 0
I =∫ f x dx= f x = x+ x + = +
⇒ Chọn B
Câu 10: B Ta có:
( ) ( ) ( ) ( )
ln 3
1 1
∫
(gt)
Trang 10( )ln 3 2 9 2 ( )ln 3 9
⇒ Chọn B
Câu 11: B
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
/
I =∫f x x dx=∫f x g x + f x x dx
( ) ( ) ( ) ( )
f x g x dx f x g x dx
⇒ Chọn B
Câu 12: A Đặt t=tanx⇒dt = +(1 tan2 x dx)
Đổi cận:
( ) ( )
(Tích phân xác định không phụ thuộc vào biến số tích phân)=1
⇒ Chọn A
Câu 13: B Đặt
( ) 2
1 2
f x
x
=∫
(1) Đặt
2
t
Đổi cận:
( )
1
2
2
2
2
t t
(Tích phân xác định không phụ thuộc vào biến
số tích phân) (2)
Ta có:
1
2
1 2
3
x x
+ ÷
3
⇒ Chọn B
Câu 14: D
( ) 2
2
π
π
= ∫
(1) Đặt t= − ⇒x dt = −dx
Đổi cận:
−
⇒ = ∫ − − = ∫ − = ∫ −
(2) (Tích phân xác định không phụ thuộc vào biến số tích phân)
Trang 11(1) + (2)
( ) ( )
2I f x f x dx 2 2cos 2xdx
⇒ = ∫ + − = ∫ +
2
2
2 1 cos 2x dx
π
π
2
2 2cos xdx 2 cosx dx 2 cosxdx 2sinx 2 1 1 4
π
2
I
⇒ =
⇒ Chọn D
Câu 15: D Đặt 2
t = − ⇒π x dt = −dx
( )
2
π
⇒ = − ÷ − = − ÷ = − ÷
(Tích phân xác định không phụ thuộc
vào biến số tích phân)
2
0 f 2 x
π
π
= + ÷
Vì 2
f π +x
là hàm số chẵn
f π x f π x
⇒ + ÷= − ÷÷
Vậy
2
π
⇒ = −I 1
⇒
Chọn D
Câu 16: A
( ) 1
1
−
=∫
(1) Đặt t= −x ⇒ = −dt dx
Đổi cận:
( ) ( ) ( ) ( )
−
⇒ = ∫ − − = ∫ − = ∫ −
(2) (Tích phân xác định không phụ thuộc vào
biến số tích phân) Ta có:
1
1 2018 2 I 2018I f x 2018f x dx
−
1 1
−
−
−
2 1 2019
e I
e
−
⇒ =
⇒ Chọn A
Trang 12Câu 17: B
( ) ( ) 1
0
A=∫ x+ f x dx
Đặt u = + ⇒x 1 du dx=
, dv= f x dx'( )
chọn v= f x( )
0
⇒ Chọn B
Câu 18: D
1 2
A=∫e f x + f x dx =∫e f x dx+∫e f x dx
1 4 2 4 3 1 4 2 4 3
( )
1
1
0
x
A =∫e f x dx
Đặt u= f x( ) ⇒du= f x dx'( )
,
x
dv e dx=
chọn
x
v e=
2
1 1
0
A
1 4 2 4 3
Vậy
( )1 ( )1 ( ) ( )
A= e f x −A + A =e f x =e f − f = −e
2018 2018 1
1 1 2 1
a
b
=
⇒ = − ⇒ + = + =
⇒ Chọn D
Câu 19: D
Ta có: F t( ) =∫ f t dt( ) ⇒F t'( ) = f t( )
Đặt
( ) ( ) ( ) ( )
2
2 0
0
x
G x = ∫ f t dt= F x −F
( ) ( ) / ( )
(Tính chất đạo hàm hợp: f u x' ( )= f u u x'( ) ( ) '
)
Mặt khác, từ gt:
( ) ( )
2
0
.cos
x
G x = ∫ f t dt =x πx
Trang 13( )2
2 x f x xπsinπx cosπx
(1) Tính f ( )4
⇒ ứng với x=2
Thay x=2
vào (1) ⇒4.f ( )4 = −2 sin 2π π +cos 2π =1 ( )4 1
4
f
⇒ Chọn D
Câu 20: D
3
3 2
f x
f x t f x
t dt = = = x πx⇒ f x = x πx
∫
( ) 33 cos ( )4 312
⇒ Chọn D Câu 21: B
Ta có:
( ) ( ) ( ) ( )
2
2 1 1
∫
(gt) ( )
2
2 1 1
1
f x = = − = f =
∫
(gt)
Vậy ta có hệ:
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
2 20 2
1
f f
f f
=
⇒ Chọn B Câu 22: C
Từ gt:
( ) ( ) ( ) ( ) '( ) ( )
f x
( )
'
f x
f x
− +
⇒∫ = −∫ ⇒ = − + ⇒ =
Có f ( )1 = ⇔1 e− +2 c = =1 e0 ⇒ = ⇒c 2 f x( ) =e− +2x 2 ⇒ f ( )− =1 e4
⇒ Chọn C Câu 23: D
Từ gt:
( ) '( ) 3 1 1 '( ) ( )
3 1
f x
f x x
+
Trang 14( )
3
3 1
f x
+
3 1
3 x C
f x e + +
Vì
( ) 2.2 0
3
C
f = ⇔e + = = ⇒ = −e C ( ) 2 3 1 4 ( ) 4
⇒ Chọn D
Câu 24: A 01 ( )
a
dx I
f x
= +
∫
(1) Đặt t = − ⇒a x dt = −dx
Đổi cận:
0
a
dt
(2) (Tích phân xác định không phụ
thuộc vào biến số tích phân)
2
a
∫
( ) ( ) ( ) ( ) ( ( ) ) ( ) ( )
2
a
I
⇒ =
⇒ Chọn A
Câu 25: B Cách 1: Ta có: F t( ) =∫t.cos(x t dt− ) ⇒F x'( ) =t.cos(x t− )
Đặt
0
x
G x =∫t x t dt− = F x −F
( ) ( ) ( ) / ( ) ( ) ( ) /
⇒ = − = − = − − = = ⇒G' π2 =1
÷
⇒ Chọn B
Cách 2: Ta có
0
.cos
x
G x =∫t x t dt−
Đặt u t= ⇒du dt=
, dv=cos(x t dx− )
chọn ( )
sin
v= − x t−
( )
⇒ Chọn B
Câu 26: B Tương tự Câu 25:
Trang 15Ta có F t( ) =∫cos tdt⇒F t'( ) =cos t ( ) ( ) ( )
2
2 0
x
( ) ( ) ( ) / ( ) / ( ) / ( ) / ( )
⇒ = − = − = = =2 cosx x2 =2 cosx x
⇒ Chọn B
Câu 27: C
2
x
∫
( ) 2
'
⇒ bảng biến thiên:
Từ bảng biến thiên ⇒ Chọn C
Câu 28: A
Đặt F t( ) =∫ 1+t dt2 ⇒F t'( ) = 1+t2
2 1
1
x
x
x
+
∫
⇒ Chọn A
Câu 29: B
Đặt F t( ) =∫sint dt2
,
1
x
G x = ∫ t dt F= x −F
2
x
x
⇒ Chọn B Câu 30: D
Đặt ( ) f t( ) '( ) f t( )
x
f t
( ) ( ) ( )
(gt)
f x f x
/ f x f x
⇒ =
1
x
−
⇒ Chọn D
Câu 31: D Từ giả thiết ⇒F x'( ) = f x e( ) 2x⇔( )x2 '= f x e( ) 2x ⇔2x= f x( ).e2x
(1)
Trang 16Đặt A=∫ f x e dx'( ) 2x
Đặt
2x
u e= ⇒du=2e dx2x
,dv=f’(x)dx chọn v=f(x)
⇒ Chọn D.
Câu 32 : C Từ giả thiết ( ) ( ) 2 ( ) / ( ) 2
( ) 2 ( )
2
x
x x
⇔ = ⇔ = = f x'( ) x x / 1 x x
−
Đặt
x
x
e
−
Đặt
1
chọn
= − ⇒ = −
⇒ Chọn C
Câu 33: C.
Từ giả thiết
( ) ( ) 3 / ( ) 4 ( ) ( ) 3
'
3
1
f x
x
Đặt
−
Đặt
1
ln 3
3 chọn
x
x
⇒ Chọn C
Câu 34: A.
Từ giả thiết
'
2
'
f x
Đặt
Đặt
1 ln
2 chọn
x
= ⇒ =
⇒ Chọn A