Nguyên tắc Dirichlet4.1 Nội dung nguyên tắc Dirichlet Nguyên tắc Dirichlet mang tên nhà toán học người Đức: Peter Gustav Dirichlet 1851 – 1931 , được phát biểu hết sức đơn giản: -Nếu nh
Trang 13.2 Hướng dẫn giải bài tập
1 Ta có khai triển x110 C x100 10C x101 9 C x109 C1010
Hệ số a5ứng với x6nên a5 C105 2.C106 672
2 Ta có
k
Hệ số của x8trong khai triển trên ứng với cặp k, p( ) thỏa mãn:
p k
0 8 và 2k p 8
Có hai cặp thỏa mãn là (3; 2) và (4; 0) Vậy hệ số của x8cần tìm là
a C C 83 32 ( 1) 2 C C 84 40 ( 1) 0 238
3 Ta có
n
n0 2 1n 2 n2 2 nn 6561
n
(1+ 2) 6561
n
8
4 Cách giải 1 Tách tổng Sthành hai tổng
S1 Cn0 C1n C nn, S2 1C1n 2Cn2 nC nn
Ta có S 1 2 Xét S n 2: Biến đổi số hạng tổng quát
k
kCn nCn-1k-1 Suy ra
n
2 ( n-1 n-1 n-1) = 2 Vậy
n
1 2 2 2 1
Cách giải 2 Xét khai triển
n
n0 1n n2 2 nn n
Nhân cả hai vế với xta có
n
x(1x) C x C xn0 n1 2 C xn2 3 C x nn n+1 Lấy đạo hàm hai vế theo biến xta có
1 n0 1n n2 2 nn n
Cho x = 1 ta có
n
2 2 1
5 Cách giải 1 Ta có
k kCn n n Cn-2-2 , k ; ; n.
Suy ra
n 2
S n n ( -1)(Cn-20 Cn-21 C n-2n-2) = ( -1)2 n n
Trang 2Cách giải 2 Xét khai triển
n
n0 1n n2 2 nn n
Lấy đạo hàm cấp 2 hai vế theo biến xta được
n
Cho x = 1 ta có S n(n ) n
1 2 2
6 Cách giải 1 Đặt S C n C x C n C n nC
n13 12 n1 2 3n2 2 3 3n3 3 nn Ta có
kCn nCn-1-1 , 1 k n.
Suy ra
n
( n-10 3 1 n-11 3 2 n-1n-1) = (3 +1) 1 4 1
Cách giải 2 Xét khai triển
n0 n1 1 n2 2 2 nn n
Lấy đạo hàm hai vế theo biến xta được
1 1n 1 n2 2 nn n-1
Cho x = 1 ta có điều phải chứng minh.
7 Cách giải 1 Ta có
2
( +1)( + 2) ( +1)( + 2) . Suy ra
1 ( n+22 n+23 n+2n+2)
1 ( n+20 n+21 n+2n+2 n+20 1n+2)
n n
2
( +1)( + 2).
Cách giải 2 Xét khai triển
n
n0 n1 n2 2 nn n
Lấy tích phân hai vế theo biến xtừ 0 đến tta được
n
Lấy tích phân hai vế theo biến ttừ 0 đến 1 ta được
n n S
2
( +1)( + 2).
8 Cách giải 1 Với k 2, ta có
2 n
! ( 1)!(n )!
k n
! ( 1+1)
( 1)!(n )!
Trang 3n n C k nC k
( 1) n-2-2 n 11 Suy ra
i
1 ( 1)
( 1)2 2 (2 1 1)
n
( 1)2 2
Cách giải 2 Xét khai triển
n
n0 n1 n2 2 nn n
Lấy đạo hàm hai vế theo biến xta có
1 n1 n2 nn 1
Nhân cả hai vế với xta được
1 n1 n2 2 nn
Lấy đạo hàm hai vế theo biến xta có
1 2 1 n1 2 n2 2 nn n
Cho x = 1 ta được
S n 2 1 n(n 1 2) 2 n(n1 2) 2
9 a) Cho x = 1 ta có S (1+ 2)12 531441
b) Ta có a k C 12k 2 Để tìm hệ số k a lớn nhất ta sắp xếp lại dãy ( k a ) k
Xét tỉ số
k k k
k k k
12
+1 2
Ta có
a +1 a k7
Do đó ta có
7
Vậy hệ số lớn nhất là hệ số a8 ứng với k 8
10 Ta có C m n p+ là hệ số của x trong khai triển nhị thức Newton của p S(x) x m n
(1 )
Ta xét một cách khai triển khác của S(x) :
S(x) (1x) (1x)
k 0 s 0
k
Hệ số của x trong cách khai triển này là p
p k s p
Vậy
Trang 4p p p m m p
Chuyên đề 4
Trang 5Nguyên tắc Dirichlet
4.1 Nội dung nguyên tắc Dirichlet
Nguyên tắc Dirichlet mang tên nhà toán học người Đức: Peter Gustav Dirichlet ( 1851 – 1931 ), được phát biểu hết sức đơn giản:
-Nếu nhốt n 1 con thỏ vào n cái lồng ( n là số nguyên dương )thì có một lồng chứa ít nhất hai
con thỏ.
-Nếu nhốt n m ( 1) +1 con thỏ vào n cái lồng ( m, n là số nguyên dương )thì có một lồng chứa
ít nhất m con thỏ.
Hoặc một dạng phát biểu khác, thường hay sử dụng:
-Nếu nhốt m con thỏ vào n cái lồng ( m, n là số nguyên dương và m không chia hết cho n )thì
có một lồng chứa ít nhất m
n
1 con thỏ.
Sử dụng phương pháp phản chứng, ta có thể dễ dàng chứng minh được nguyên tắc Dirichlet Mặc dù được phát biểu hết sức đơn giản như vậy nhưng nguyên tắc Dirichlet lại có những ứng dụng hết sức đa dạng, phong phú, trong nhiều lĩnh vực và rất hiệu quả
Đối với bạn đọc mới làm quen với nguyên tắc này xin tham khảo cuốn sách của cùng tác giả:
"Các chuyên đề số học bồi dưỡng học sinh giỏi THCS – NXBGD VN "
Trong cuốn sách này chúng ta đi sâu hơn với những ví dụ và bài tập đòi hỏi những thao tác tư duy phức hợp và khả năng xử lý các dữ kiện và yêu cầu một cách tinh tế
Xét các ví dụ sau:
Ví dụ 1 Xét tập hợp M= 1 2 , , ,9 Với mỗi tập con Xcủa M , ta kí hiệu S(X) là tổng của
các phần tử thuộc X Chứng minh rằng trong số 26 tập conX của M với X 3, luôn tồn tại hai
tập Avà B sao cho S(A) S(B)
Lời giải Ta chia các tập con X của M thỏa mãn X 3 vào các lồng, mỗi lồng bao gồm các
tập hợp có cùng tổng các phần tử Do 0S(X)24 nên có 25 lồng Do đó có 26 tập X với
X 3nên tồn tại hai tập A,Bthuộc cùng một lồng Điều đó có nghĩa là tồn tại hai tập A,B sao
cho S(A) S(B)
Ví dụ 2 Xét tập hợp X = 1 2 , , ,2009 Chứng minh rằng trong số 1006 phần tử bất kì của
Xluôn có hai phần tử có tổng bằng 2010
Lời giải Chia tập Xthành các cặp
Trang 6( 1; 2009 ), ( 2; 2008 ), ,( 1005; 2005 )
Vì có 1005 cặp và 1006 phần tử nên tồn tại hai phần tử cùng thuộc một cặp
Hai phần tử này thỏa mãn yêu cầu của bài toán
Ví dụ 3 Cho tập X = 1 2 3 , , ,81 Chứng minh rằng trong 3 phần tử tùy ý của Xluôn có hai
phần tử a,b sao cho
4 a 4 b
Lời giải Xét 3 phần tử x , x , x1 2 3của X Đặt 4
i i
c x , i1 3, ta có , 1 c i 3 Chia kai hoảng
1; 3 thành hai khoảng 1; 2 và 2; 3 Theo nguyên tắc Dirichlet thì trong ba số c , c , c 1 2 3có hai số cùng thuộc vào một trong hai khoảng nói trên Giả sử hai số đó là x 4 avà y4 bthì
a,b là hai số thỏa mãn bài toán
Ví dụ 4 Bên trong tam giác đều ABCcó cạnh bằng 6 cm, cho 13 điểm phân biệt Chứng minh rằng tồn tại hai điểm trong số 13 điểm đã cho mà khoảng cách giữa chúng không vượt quá 3
cm
Lời giải Để áp dụng được nguyên tắc Dirichlet, ta chia tam giác ABCthành 12 phần (mỗi phần ứng với một lồng) sao cho trong mỗi phần, khoảng cách giữa hai điểm bất kì không vượt quá 3
cm, chẳng hạn như hình vẽ:
Theo nguyên tắc Dirichlet, trong số 13 điểm đã cho có ít nhất hai điểm thuộc cùng một phần Hai
Ví dụ 5 Trên mặt phẳng có 6 điểm, trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng Các điểm đã cho
được nối với nhau bởi các đoạn thẳng, mỗi đoạn thẳng được tô bởi một trong hai màu: xanh hoặc
đỏ Chứng minh rằng tồn tại 3 điểm trong số 6 điểm đã cho tạo thành một tam giác có 3 cạnh cùng màu
Lời giải Xét điểm Atrong 6 điểm đã cho Nối Avới 5 điểm còn lại ta được 5 đoạn thẳng Theo nguyên tắc Dirichlet thì trong 5 đoạn thẳng đó có ít nhất 3 đoạn thẳng cùng màu Giả sử 3 đoạn
AA , AA , AA1 2 3 cùng màu đỏ
Trang 7Nếu một trong các đoạn A A , trong đó i j 1i, j 3 và i j, có màu đỏ thì tam giác AA A thỏa i j
mãn yêu cầu bài toán Nếu cả ba đoạn A A , A A , A A1 2 2 3 3 1đều màu xanh thì tam giác A A A1 2 3thỏa
Ví dụ 6 (VMO – 2004) Cho tập A= 1; 2; 3; ; 16 Hãy tìm số nguyên dương knhỏ nhất sao cho trong mỗi tập con gồm kphần tử của A đều tồn tại hai số phân biệt a,b mà a2 b2là một số nguyên tố
Lời giải Ta thấy, nếu a,b cùng chẵn thì a2 b2là hợp số Do đó, nếu tập conXcủa Acó hai
phần tử phân biệt a,b mà a2 b2là một số nguyên tố thìXkhông thể chỉ chứa các số chẵn Suy
ra k 9 Ta chứng tỏ k 9là giá trị nhỏ nhất cần tìm Điều đó có nghĩa là với mọi tập conX
gồm 9 phần tử bất kì của A luôn tồn tại hai phần tử phân biệt a,b mà a2 b2 là một số nguyên
tố Để chứng minh khẳng định trên ta chia tập A thành các cặp hai phần tử phân biệt a,b mà
a2 b2là một số nguyên tố, ta có tất cả 8 cặp:
(1; 4), (2; 3), (5; 8), (6; 11), (7; 10), (9; 16), (12; 13), (14; 15) Theo nguyên tắc Dirichlet thì trong 9 phần tử của Xcó hai phần tử thuộc cùng một cặp và ta có điều phải chứng minh
Trong ví dụ trên ta thấy nguyên tắc Dirichlet được áp dụng hết sức đa dạng, không phải lúc nào cũng dễ dàng nhận ra được "thỏ" và "lồng" Để có thể áp dụng nguyên tắc Dirichlet cần phải có những suy luận hợp lý, những phán đoán và kĩ năng biến đổi giả thiết và kết luận nữa Dưới đây là hệ thống bài tập để các bạn thử sức và rèn luyện kĩ năng áp dụng nguyên tắc thú vị này
4.2 Bài tập
4.2 1 Bài tập luyện tập
1 Cho tập X= 1 2 , , ,2010 Chứng minh rằng trong số 1006 phần tử bất kì của Xluôn
có hai phần tử nguyên tố cùng nhau
2 Chứng minh rằng trong số 39 số tự nhiên liên tiếp bao giờ cũng tìm được một số mà tổng các chữ số của nó chia hết cho 11
3 Cho tập X = 1 2 3, , , ,200 Chứng minh rằng với mọi tập con Acủa Xcó số phần tử bằng 101 luôn tồn tại hai phần tử mà phần tử này là bội của phần tử kia
Trang 84 Trong hình chữ nhật 3 x 4 có 6 điểm Chứng minh rằng trong 6 điểm đó có hai điểm A, B
mà khoảng cách giữa chúng không vượt quá 5
5 Có 65 người đến từ hai quận, mỗi người làm trong 4 nghề Biết rằng cứ 5 người cùng nghề thì có hai người cùng tuổi Chứng minh rằng có ít nhất 3 người cùng tuổi, làm cùng một nghề và cùng đến từ một quận
6 Cho n 1 và n 2 số nguyên dương
1 2 n + 2
Chứng minh rằng, tồn tại hai số a và i a sao cho j n a a i j2 n
7 Cho tập hợp Mgồm 11 số thực phân biệt từ trong khoảng từ 1 đến 1000
Chứng minh rằng, tồn tại hai số x y sao cho
8 (Korea 1995) Cho m là số nguyên dương Chứng minh rằng tồn tại hai số nguyên a,b thỏa
mãn: a m, b m sao cho
a b
m
1+ 2
2 .
9 Cho
n
i i
x
2
1 Chứng minh rằng, với mọi số nguyên kkhông nhỏ hơn 2 đều tồn tại bộ số nguyên ( )không đồng thời bằng 0 và a i a i k 1, i sao cho
n
i i n i
a x
k
1
( 1)
1 .
10 ( Định lí Dirichle) Cho là một số vô tỉ Chứng minh rằng, tồn tại vô hạn các số nguyên
p, q với q 0 sao cho
p
12
11 ( Định lí số dư Trung Hoa) Cho m, nlà các số nguyên dương, nguyên tố cùng nhau
Chứng minh rằng hệ sau có nghiệm
(mod ) (mod )
Trang 912 Cho tập A a , a1 2, ,a10 , trong đó a và i a 0 Xét số nguyên dương i m
< 1024 Chứng minh rằng tồn tại tập con Scủa Asao cho nếu a S thì a Svà
a
a
S chia hết cho m.
13 Cho n là số nguyên dương và không chia hết cho 10 Chứng minh rằng tồn tại số
nguyên dương achia hết cho nvà trong biểu diễn thập phân của akhông chứa số 0 nào.
14 Cho các số thực a , b i , i i( 1 2, 3, , 2009 ) thỏa mãn
i i
a2 b2 1, i ,1 2, 3, , 2009
Chứng minh rằng tồn tại cặp chỉ số p,q( ) với 1 p q2009 sao cho
p q p q
2 2 1
2(1004) .
15 Trên mặt phẳng tọa độ, một điểm A x,y( ) được gọi là điểm nguyên nếu x,y Giả sử
n
A A A A1 2 3 là một n- giác lồi có tất cả các đỉnh là điểm nguyên Biết rằng miền đa giác
đó ( bao gồm tất cả các điểm thuộc miền trong và thuộc biên) không chứa bất cứ một điểm nguyên nào ngoài chính các đỉnh A , A , ,A1 2 n Chứng minh n 4
16 (USA 1976): Người ta tô màu các ô vuông của một bảng 4 x 7 bởi hai màu: đen, trắng; mỗi ô một màu Chứng minh rằng, với bất kì cách tô màu nào ta luôn tìm được một hình chữ nhật có các cạnh nằm trên các đường lưới mà 4 ô ở 4 đỉnh cùng một màu Khẳng định còn đúng nữa hay không với bảng 4 x 6
17 Cho tập hữu hạnX Ta chọn ra 50 tập con A , A , , A1 2 50, mỗi tập đều chứa quá nửa
số phần tử của X Chứng minh rằng
a) Tồn tại phần tử athuộc ít nhất 26 tập đã cho.
b) Tồn tại tập con AcủaXsao cho số phần tử của Akhông vượt quá 5 và
i
A A 1 50 , i ,
18 Với số tự nhiên Aa a1 2 a ta kí hiệu An a an n 1 a Hãy tìm tất cả các số nguyên1 dương kcó tính chất: Nếu Achia hết k cho thì A chia hết cho k
19 Có 15 đại biểu ngồi quanh một bàn tròn sao cho không có vị nào ngồi đúng chỗ của mình như ban tổ chức đã sắp xếp (các vị trí được xếp cách đều nhau) Chứng minh rằng có thể xoay bàn để có ít nhất hai đại biểu ngồi đúng chỗ của mình
Hãy chỉ ra một cách xếp sao cho có đúng một đại biểu ngồi đúng chỗ và mọi cách xoay bàn cũng chỉ có không quá một đại biểu ngồi đúng chỗ
Trang 1020 Cho tập hợp Mgồm 2002 số nguyên dương, mỗi số chỉ có ước nguyên tố không vượt quá 23 Chứng minh tồn tại 4 số phân biệt trong Mcó tích là lũy thừa bậc 4 của một số nguyên
21 Cho Alà tập gồm nsố nguyên tố phân biệt và M là tập gồm n 1 số tự nhiên phân biệt
sao cho mỗi số trong Mđều không là số chính phương và chỉ có ước nguyên tố thuộc A Chứng minh rằng có thể chọn ra trong Mmột số số có tích là số chính phương
4 2 2 Bài tập tự giải
1 Xét tập X = 1 2 3, , , , 100 Chứng minh rằng trong số 1006 phần tử của Xluôn tồn tại hai phần tử avà b sao cho a b 2
2 Chứng minh rằng trong số 2010 người tùy ý, bao giờ cũng có hai có số người quen bằng nhau