Chuyên đề về NHỊ THỨC NEWTON

* Từ số hạng tổng quát của hai khai triển trên ta tính được hệ số của x.. m Chú ý: Để xác định hệ số lớn nhất trong khai triển nhị thức Niutơn Ta làm như sau:... Hãy tính hệ số a.. Số hạ

PHẦN I – ĐỀ BÀI NHỊ THỨC NEWTON

A- LÝ THUYẾT TÓM TẮT

1 Công thức khai triển nhị thức Newton: Với mọi nN và với mọi cặp số a, b ta có:

0



n

n k

2 Tính chất:

1) Số các số hạng của khai triển bằng n + 1

2) Tổng các số mũ của a và b trong mỗi số hạng bằng n

3) Số hạng tổng quát (thứ k+1) có dạng: Tk+1 = k n k k

n

C a b ( k =0, 1, 2, …, n) 4) Các hệ số của các cặp số hạng cách đều số hạng đầu và cuối thì bằng nhau: 



k n k

5) C n0 C n n 1, 1 1





* Nhận xét: Nếu trong khai triển nhị thức Newton, ta gán cho a và b những giá trị đặc biệt thì ta

sẽ thu được những công thức đặc biệt Chẳng hạn:

(1+x) n = 0 1 1

   n  n

(x–1) n = 0 1  1 ( 1)

C x C x C  C n0 C1n ( 1)  n C n n 0

Từ khai triển này ta có các kết quả sau

* C n0C1n C n n 2n

* C n0 C n1C n2 ( 1)  n C n n 0

B – BÀI TẬP

DẠNG 1: XÁC ĐỊNH CÁC HỆ SỐ, SỐ HẠNG TRONG KHAI TRIỂN NHỊ

THỨC NEWTON

Phương pháp:

Số hạng chứa x ứng với giá trị k thỏa: m np pk qk m   

Từ đó tìm  



m np k

p q

Vậy hệ số của số hạng chứa x là: m k n k k

n

C a b với giá trị k đã tìm được ở trên.

Nếu k không nguyên hoặc  k n thì trong khai triển không chứa x , hệ số phải tìm bằng 0 m

Chú ý: Xác định hệ số của số hạng chứa x trong khai triển m

   p qn

P x a bx cx được viết dưới dạnga0a x1  a x 2n 2n

Ta làm như sau:

0





n

n k

* Viết số hạng tổng quát khi khai triển các số hạng dạng bx pcx qk thành một đa thức theo luỹ thừa của x

* Từ số hạng tổng quát của hai khai triển trên ta tính được hệ số của x m

Chú ý: Để xác định hệ số lớn nhất trong khai triển nhị thức Niutơn

Ta làm như sau:

* Tính hệ số a theo k và k n;

* Giải bất phương trình a k1a với ẩn số k ; k

* Hệ số lớn nhất phải tìm ứng với số tự nhiên k lớn nhất thoả mãn bất phương trình trên

Câu 1: Trong khai triển 2 a b5, hệ số của số hạng thứ 3 bằng:

Câu 2: Trong khai triển nhị thức  2 6, 

a n Có tất cả17 số hạng Vậy n bằng:

Câu 3: Trong khai triển 3x2 y10, hệ số của số hạng chính giữa là:

A 3 C 4 104 B 3 4C 104 C 3 C 5 105 D 3 5C 105

Câu 4: Trong khai triển 2x 5y8, hệ số của số hạng chứa x y là:5 3

A 22400 B 40000 C 8960 D 4000

Câu 5: Trong khai triển

6 2



x

x , hệ số của x3,x0 là:

Câu 6: Trong khai triển

7

2 1



a 

b , số hạng thứ 5 là:

A 35 .a b 6  4 B 35 .6  4

 a b C 35 .a b 4  5 D 35 .a b 4

Câu 7: Trong khai triển 2a16, tổng ba số hạng đầu là:

A 2a6 6a515a 4 B 2a615a530a 4

C 64a6192a5480a 4 D 64a6192a5240a 4

Câu 8: Trong khai triển x y16, tổng hai số hạng cuối là:

A 16x y15 y8 B 16x y15y4 C 16xy15y 4 D 16xy15y 8

Câu 9: Trong khai triển

6

2 1 8 2



 a b , hệ số của số hạng chứa a b là:9 3

A 80 a b 9 3 B 64 a b 9 3 C 1280 a b 9 3 D 60 a b 6 4

Câu 10: Trong khai triển

9

2

8



x 

x , số hạng không chứa x là:

Câu 11: Trong khai triển 2x110, hệ số của số hạng chứa x là:8

Câu 12: Trong khai triểna 2b8, hệ số của số hạng chứa a b là:4 4

Câu 13: Trong khai triển3 x y7, số hạng chứa x y là:4 3

A 2835x y 4 3 B 2835x y 4 3 C 945x y 4 3 D 945x y 4 3

Câu 14: Trong khai triển0,2 + 0,85, số hạng thứ tư là:

A 0,0064 B 0, 4096 C 0,0512 D 0, 2048

Câu 15: Hệ số của x y trong khai triển 3 3 1x 6 1y6là:

Câu 16: Số hạng chính giữa trong khai triển 3 2x  y4là:

A C x y42 2 2. B 6 3 x 2 2y2. C 6C x y42 2 2. D 36C x y 42 2 2

Câu 17: Trong khai triểnx y 11, hệ số của số hạng chứa x y là8 3

A 3

11

11 C

11

11

C .

Câu 18: Tìm hệ số của x trong khai triển biểu thức sau: 7 f x( ) (1 2 )  x 10

Câu 19: Tìm hệ số của x trong khai triển biểu thức sau: 7 h x( )x(2 3 ) x 9

Câu 20: Tìm hệ số của x trong khai triển biểu thức sau: 7 g x( ) (1 x)7 (1 x)8(2x)9

Câu 21: Tìm hệ số của x trong khai triển biểu thức sau: 7 f x( ) (3 2 )  x 10

Câu 22: Tìm hệ số của x trong khai triển biểu thức sau: 7 h x( )x(1 2 ) x 9

Câu 23: Xác định hệ số của x trong các khai triển sau:8 f x( ) (3 x21)10

Câu 24: Xác định hệ số của x trong các khai triển sau:8

8 3

2 ( )  5 

x

Câu 25: Xác định hệ số của x trong các khai triển sau:8

12

3 ( )

2

  

x

f x

x

A 297

29

27

97 12

Câu 26: Xác định hệ số của x trong các khai triển sau:8 f x( ) (1  x 2 )x2 10

Câu 27: Xác định hệ số của x trong các khai triển sau:8 f x( ) 8(1 8 )  x 8 9(1 9 ) x 910(1 10 ) x 10

A 8 .8C80 8 C19.9810.C108.108 B C80.88 C91.98C108.108

8.8  9 .99 10 10.10

8 .8C  9 .9C 10.C 10

Câu 28: Tìm hệ số của x trong khai triển biểu thức sau: 8 g x( ) 8(1 x)89(1 2 ) x 910(1 3 ) x 10

Câu 29: Hệ số đứng trước x y trong khai triển25 10  3 15



x xy là:

Câu 30: Số hạng không chứa x trong khai triển

18 3















x

A C189 . B 10

18

18

C .

Câu 31: Khai triển1 x 12, hệ số đứng trước x7là:

Câu 32: Tìm số hạng không chứa x trong các khai triển sau: f x( ) ( x 2) (12 x0)

x

Câu 33: Tìm số hạng không chứa x trong các khai triển sau: g x( ) ( 312 4 x3 17) (x0)

x

A 24310 B 213012 C 12373 D 139412

Câu 34: Tìm hệ số của số hạng chứa x trong khai triển nhị thức Niutơn của 8 5

3

1



n x

 

1



Câu 35: Xác định số hạng không phụ thuộc vào x khi khai triển biểu thức 1  2

 

n

x x

x với n là số

nguyên dương thoả mãn

1

C n A ( k, k

n n

C A tương ứng là số tổ hợp, số chỉnh hợp chập k của n phần tử)

Câu 36: Trong khai triển  

40

2

1

  

f x x

x , hãy tìm hệ số của

31

x

Câu 37: Hãy tìm trong khai triển nhị thức

18 3

3

1



x số hạng độc lập đối với x

Câu 38: Tìm hệ số của số hạng chứa x trong khai triển 4

12

3 3



x x

A 55

13

621

1412 3123

Câu 39: Tính hệ số của x y trong khai triển 25 10  3 15



x xy

Câu 40: Cho đa thức P x   1 x2 1 x2 20 1  x20 có dạng khai triển là

P x a a x a x a x

Hãy tính hệ số a 15

Câu 41: Tìm số hạng của khai triển  3329 là một số nguyên

( ) (2  )

x

1 Viết số hạng thứ k1 trong khai triển

1 20.2  

k

1 10.2  

k

C 1 20.220 4 20 2

k

1 20.2  

k

2 Số hạng nào trong khai triển không chứa x

A C120.210 B 10 10

20.2

20.2

20.2

C

Câu 43: Xác định hệ số của x trong khai triển sau: 4 f x( ) (3 x22x1)10

Câu 44: Tìm hệ số của x trong khai triển thành đa thức của 7 (2 3 ) x 2n, biết n là số nguyên dương thỏa mãn : 21 1 23 1 25 1 22  11 1024

       n 

Câu 45: Tìm hệ số của x trong khai triển 9 f x( ) (1 x)9(1x)10 (1 x)14

Câu 46: Tìm hệ số của x trong khai triển đa thức của: 5 x1 2 x5x21 3 x10

Câu 47: Tìm hệ số cuả x trong khai triển đa thức 8 f x( )1x21 x8

A a15 C C1010 105.35C C109 .396 3C C108 .3.87

B 10 5 5 9 6 6 8 7 7

15  10 10.2  10 .29  10 .28

C a15 C C1010 105.3 25 5C C109 .3 296 3 6C C108 .287 7

D 10 5 5 5 9 6 3 6 8 7 7

15  10 10.3 2  10 .3 29  10 .3.28

Câu 49: Tìm hệ số không chứa x trong các khai triển sau (x3 2)n

x , biết rằng

78

0



x

Câu 50: Với n là số nguyên dương, gọi a3n 3 là hệ số của x3n 3 trong khai triển thành đa thức của 2

(x 1) (n x2)n Tìm n để a3n3 26n

Câu 51: Tìm hệ số của số hạng chứa x trong khai triển nhị thức Newton của 26 7

4

1



n x

x , biết

2n1 2n1  2n n1 2 1

Câu 52: Cho n * và (1x)n a0a x1  a x Biết rằng tồn tại số nguyên k (1 n n   k n 1) sao

Tính n?

Câu 53: Trong khai triển của 1 2 10

3 3 x thành đa thức

0 1  2   9  10

a a x a x a x a x , hãy tìm hệ số a lớn nhất ( 0 k  k 10)

A

10

2 3003

3



10

2 3003 3



10

2 3003 3



10

2 3003 3



a

(1 2 ) x n a a x a x  a x , biết rằng n n a0a1 a n 729 Tìm n và số lớn nhất trong các số a a0, , ,1 a n

A n=6, max a k a4 240 B n=6, max a k a6 240

C n=4, max a k a4 240 D n=4, max a k a6 240

Câu 55: Cho khai triển (1 2 ) x n a0a x1  a x , trong đó n n n * Tìm số lớn nhất trong các số

0, , ,1 n

a a a , biết các hệ số a a0, , ,1 a thỏa mãn hệ thức: n 1

a  a n n 

DẠNG 2: BÀI TOÁN TỔNG

0





n

k k

k n k

a C b .

Phương pháp 1: Dựa vào khai triển nhị thức Newton

 n  n n n n  n n   n n n

Ta chọn những giá trị ,a b thích hợp thay vào đẳng thức trên.

Một số kết quả ta thường hay sử dụng:



k n k

* C n0C1n C n n 2n

*

0





n

k k

n

k

C

*

2

1 2



*

0

(1 )



 



n

n

k

Phương pháp 2: Dựa vào đẳng thức đặc trưng

Mẫu chốt của cách giải trên là ta tìm ra được đẳng thức (*) và ta thường gọi (*) là đẳng thức đặc trưng

Cách giải ở trên được trình bày theo cách xét số hạng tổng quát ở vế trái (thường có hệ số chứa k ) và

biến đổi số hạng đó có hệ số không chứa k hoặc chứa k nhưng tổng mới dễ tính hơn hoặc đã có sẵn

Câu 1: Tổng T C n0C1nC n2C n3 C n n bằng:

A T 2 n B T 2 – 1 n C T 2 n 1 D T 4 n

Câu 2: Tính giá trị của tổng S C60C61  C66 bằng:

Câu 3: Khai triển x y 5rồi thay x y, bởi các giá trị thích hợp Tính tổng 0 1 5

5  5  5

C

Câu 4: Tìm số nguyên dương n sao cho: C n02C n14C n2 2 n C n n 243

Câu 5: Khai triển x y 5rồi thay x y, bởi các giá trị thích hợp Tính tổng SC50C51 C55

1 x x x a a x a x  a x

a) Hãy tính hệ số a 10

A a10 C50.C54C C54 53 B a10 C C50 55C C52 54C C54 53

10  5 5  5 5  5 5

10  5 5  5 5  5 5

b) Tính tổng T a 0a1 a và 15 S a 0 a1a2  a15

1 2 x3x a a x a x  a x

a) Hãy tính hệ số a 4

A a4 C100.24 B a4 24C104 C a4 C C10 100 4 D a4 C100.24C104

1 2 2 4 3 2 20

A S 1710 B S1510 C S 1720 D S 710





n n

n

A 1

1 (n1)

Câu 9: Tính tổng sau: 13 1 2 23 2 3 33 3

 n n  n n  n n   n n



n

A

1

1







n

1

1







n

1

1 1









n

1

1 1









n n

2  n2 n   n n

A 2 2n n 1 B n.2n 1 C 2 2n n 1 D n.2n 1

Câu 12: Tính các tổng sau:S3 2.1.C n23.2C n34.3C n4 n n( 1)C n n

A ( 1)2  2

 n

 n

 n

n n





n

n

n

A 4 1 2 1

1







S

1 1





S n

C 4 1 2 1 1

1





S

1 1





S n

Câu 14: Tính tổng





n

n

n

A

1

  





S

1

1









S

1

1

 





S

1

  





S n

2 1 2.2 2 1 3.2 2 1 (2 1)2 2  1 2005

A n1001 B n1002 C n1114 D n102

Câu 16: Tính tổng1.3 50  1  1 2.3 51  2  2 3 5 1 0 0

A n.8n 1 B ( 1).8  1

Câu 17: Tính tổng S 2.1C n23.2C n34.3C n4 n n( 1)C n n

A ( 1)2  2

 n

 n

 n

n

Câu 18: Tính tổng      C n0 2 C1n 2  C n2 2  C n n 2

A 2

n

n

2



n n

n

2 1





n n C

1 5 5 3.  3 5   3

 n n  n n n  n n n   n n

Câu 20: S2 C20110 22C20112  2 2010C20112010

A 32011 1

2



B 3211 1

2



C 32011 12

2



D 32011 1

2



3  n2 n   n n

A 4 2n n 1 B n.2n 1 C 3 2n n 1 D 2 2n n 1

PHẦN II – HƯỚNG DẪN GIẢI Kính mời quý thầy cô tham khảo thêm HƯỚNG DẪN GIẢI Ở ĐÂY ĐÂY LÀ LINK RÚT GỌN, QUÝ THẦY CÔ BỎ RA 10S ĐỂ CÓ TÀI LIỆU CHẤT LƯỢNG

STT TÊN TÀI LIỆU LINK TẢI:

1

Nhị Thức Newton có lời giải

– Đặng Việt Đông

2

Xác Suất có lời giải – Đặng

Việt Đông