BDHSG nhận dạng tam giác hs

CM ABC cân... CM ABC cân... Ch ng minh ứ ABC vuông.. HD: Dùng phương pháp đánh giá đ gi i.ể ả BT6.. Ch ng minh ứ ABC vuông cân.

CH Đ : NH N D NG TAM GIÁC Ủ Ề Ậ Ạ

Ch đ 1: NH N D NG TAM GIÁC CÂN ủ ề Ậ Ạ

- Các bài toán thu c lo i này có các d ng nh sau: cho tam giác ộ ạ ạ ư ABC tho mãn m t đi u ả ộ ề

ki n nào đó, thệ ường là cho dướ ại d ng h th c Hãy ch ng minh ệ ứ ứ ABC cân

- Ph i l u ý tính đ i x ng c a bài toán đ đ nh hả ư ố ứ ủ ể ị ướng các phép bi n đ i Ch ng h n cân ế ổ ẳ ạ

t i C thì t p trung vào ch ng minh A=B.ạ ậ ứ

- Các bài toán v nh n d ng tam giác cân có th chia thành 2 lo i chính nh sau:ề ậ ạ ể ạ ư

LO I I: S D NG CÁC PHÉP BI N Đ I Đ NG TH C Ạ Ử Ụ Ế Ổ Ẳ Ứ

T gi thi t đi đ n k t lu n b ng cách v n d ng các h th c lừ ả ế ế ế ậ ằ ậ ụ ệ ứ ượng trong tam giác, các công th c bi n đ i lứ ế ổ ượng giác

Ví d 1 ụ Cho ABC có 4 2 2

2 sin

cos 1

c a

c a B

B









(1) CM ABC cân

Ta th y trong (1) ch a c 2 y u t góc và c nh Đ i v i bài toán này ta có th CM ấ ứ ả ế ố ạ ố ớ ể ABC cân theo 2 cách A=B ho c a=b.ặ

Tuỳ vào bi u th c c a bài toán mà ta ch n bi n đ i v góc hay v c nh sao cho thu n l i ể ứ ủ ọ ế ổ ề ề ạ ậ ợ

h n.ơ

Cách 1:

(1)

2 2

2 2

2 4

2 sin

cos

1

c a

c a B

B











c a

c a B

B













2

2 cos

1

cos 1

2 2

Áp d ng đ nh lý hàm Sin ta đụ ị ược:

C A

C A

B

B

sin sin

2

sin sin

2

cos

1

cos

1











B C B

A C

A B

sínC B A C

A sin 2sin cos cos 2sin sin 2sin cos sin cos

sin



C B

Acos 2sin

sin

  2sin(AB)sin(A B)2sinC

sinC sin(A B) 2sinC

  sin(A B)  0  AB

 ABC cân t i Cạ

Cách 2:

(1)

2 2 2 2

4

) 2 ( 2

cos 2

sin

2

2 cos

2

c a

c a B

B

B







2 tan

2

a c

B a c





�



2

2 2

c a c c a b ac c c a ca b b a

 a = b ABC cân t i Cạ

Chú ý: Ta có B .tan 2

p b



tan

p p a p b p c

p p b p p b p p b

�

Ví d 2 ụ Cho ABC tho ả sin2cos 2 sin2cos 2

3

A



(1) CM ABC cân

Giải:

sin sin

cos cos

(tan tan ) tan tan 0 (tan tan )(1 tan tan tan tan ) 0

Vì

�

Nên tan 2 tan 2 0 2 2

A B  � A B

ABC B

A  

NX: T (1) ta có th bi n đ i nh sauừ ể ế ổ ư

) 2 sin 1 ( 2

cos 2 sin ) 2 sin 1

(

2

cos

2







Ti p t c chuy n v và đ t th a s chung ta đế ụ ể ế ặ ừ ố ược: sin 2 0

 B A

Cách khác:

T (*) ta xét ừ f(x)x(1x2),x0

0 , 0 3

1

)

(

' x   x2  x

f

f

 là hàm tăng trên ( 0, )

Vì v y: (*) ậ tan2 tan 2

f � �  f � �

� �� �� �� �� tan tan

A B

� Chú ý: Trong bài toán CM tam giác cân ta thường g p 2 v c a bi u th c đ i x ng Trong ặ ế ủ ể ứ ố ứ

trường h p này ta có th s d ng phợ ể ử ụ ương pháp hàm s :ố

Tính ch tấ : N u hàm ế  tăng (ho c gi m) trong kho ng (a,b) ặ ả ả

Thì : f(u)f(v) uv,u,v(a,b)

LO I II: S D NG B T Đ NG TH C Ạ Ử Ụ Ấ Ẳ Ứ

- Khác v i tam giác đ u có vô s h th c “đ p” thớ ề ố ệ ứ ẹ ường s d ng BĐT đ ch ng minh, ử ụ ể ứ

nh ng h th c đ p c a tam giác cân r t ít.ữ ệ ứ ẹ ủ ấ

- Cho ABC có các c nh và các góc th a mãn m t h th c:ạ ỏ ộ ệ ứ

F(A,B,C,a,b,c)=0

CM ABC cân t i C b ng BĐT nh sau:ạ ằ ư

 Dùng BĐT ch ng minh F(A,B,C,a,b,c)ứ  0

 D u b ng x y ra khi và ch khi a=b (ho c A=B)ấ ằ ả ỉ ặ

 V y F(A,B,C,a,b,c)=0 ậ  a=b  ABC cân t i Cạ

Ví d 3 ụ Cho a,b,c, là đ dài 3 c nh c a m t tam giác Bi t r ngộ ạ ủ ộ ế ằ

ab ac bc c b

a

p   2  

CM tam giác trên là tam giác cân

Gi i:ả

2

a b c

a b c a c b c a b c a c b

(c a   ) (c b) 2 (c a c b )(  )

�

+) Áp d ng BĐT Cauchy cho 2 s c+a, c+b ta cóụ ố (ca)(cb)2 (ca)(cb)

D u “=” x y ra ấ ả  c+a = c+b  a=b (2)

Đ (2) x y ra thì trong (3) x y ra d u đ ng th c T c là a=b hay tam giác đã cho là tam ể ả ả ấ ẳ ứ ứ giác cân

NX: T (2) ta hoàn toàn có th gi i theo cách thông thừ ể ả ường b ng cách l y bình phằ ấ ương 2

v , ta đế ược:

(ac)  (cb)2  0  cacb

* Cách ra đ cho bài toán nh n d ng tam giác b ng BĐT Cauchy:ề ậ ạ ằ

T a=b ho c A=B ừ ặ

+) Ta bi n đ i 2 v đ đế ổ ế ể ược m t đ ng th c tộ ẳ ứ ương đương

Đ t VT=ặ , VP= Áp d ng BĐT Cauchy cho 2 s ụ ố, 

T i v trí d u “=” x y ra ta đạ ị ấ ả ược bài toán ch ng minh ứ ABC cân t i Cạ

T bài toán đó ta có th ti p t c bi n đ i đ đừ ể ế ụ ế ổ ể ược 1 bài toán ph c t p h n d a vào các ứ ạ ơ ự phép bi n đ i tế ổ ương đương hay bi n đ i lế ổ ượng giác

Ví d 4 ụ Cho ABC tho mãn h th c: ả ệ ứ h a  p(p a)(1) CM ABC là tam giác cân

c p b p a p p a

s

h a 2 2 (  )(  )(  )

) )(

)(

( 2

a p p a

c p b p a p p











  2 (p b)(p c) a (2) +) Áp d ng BĐT Cauchy cho 2 s : p-b, p-c ụ ố

) ( ) ( ) )(

(

2 p b p c  p b  p c



a c p b

p  

 2 ( )( ) (3)

+) D u “=” x y ra ấ ả  p bp c bc

V y t (2) suy ra trong (3) x y ra d u đ ng th c, t c là ta có b = c ậ ừ ả ấ ẳ ứ ứ  ABC cân t i A.ạ NX: N u không áp d ng BĐT thì t (2) ế ụ ừ  4(p-b)(p-c)=a2

2 2

) 2

4 a c b a b c  a









  











  



 a2(c b)2 a2

b c b

c   

 ( )2 0

Bài t p t luy n ậ ự ệ

3 ) cos(

) sin(

) sin(BC  CA  AB 

(1) Tam giác ABC là tam giác gì ?

BT2. Cho ABC th a mãn h th cỏ ệ ứ

tan tan ( ) tan

2

A B

a B b A a b 

và C≠ 900 (1) CM ABC là tam giác cân

BT3. Cho ABC tho mãn h th c:ả ệ ứ 4(sinB2sinC)3(cosB2cosC)15 (1)

CM ABC cân

BT4. Cho ABC tho mãn đi u ki n ả ề ệ sin sin 2 cos2

c B

A 

CM ABC cân.

BT5. CM đi u ki n c n và đ đ ề ệ ầ ủ ể ABC cân là cos

0 15 cos 2 2

cos

B A

, bi t C = 120ế 0

Chủ đề 2: NHẬN DẠNG TAM GIÁC VUÔNG

So v i nh ng lo i tam giác khác tam giác vuông có m t s tính ch t đ c bi t nh t ng ớ ữ ạ ộ ố ấ ặ ệ ư ổ bình phương c a 2 c nh góc vuông b ng bình phủ ạ ằ ương c nh huy n S đo c a góc vuông ạ ề ố ủ

b ng s đo c a hai góc còn l i T xa x a Pitago đã phát hi n m t d u hi u đ nh n d ngằ ố ủ ạ ừ ư ệ ộ ấ ệ ể ậ ạ tam giác vuông là đ nh lý Pitago Trong ph n này chúng tôi xin cung c p m t s d u hi u ị ầ ấ ộ ố ấ ệ

đ nh n bi t tam giác vuông.ể ậ ế

Đ nh n d ng tam giác vuông ta thể ậ ạ ường đ a v m t s d u hi u sau đây:ư ề ộ ố ấ ệ

1 sinA = 1 2 cosA = 0 3 sin2A = 0

4 cos2A = -1 5 tan 2 1

A

6 tanA = cotanB

7 sinA=Sin(B-C) 8 a2 = b2 + c2

LO I I:S D NG PH Ạ Ử Ụ ƯƠ NG PHÁP BI N Đ I T Ế Ổ ƯƠ NG Đ ƯƠ NG

Ví d 5 ụ Ch ng minh r ng trong ứ ằ ABC tho mãn: ả sin 22 Asin 22 Bsin 22 C 2 (1) thì

ABC vuông

Ta có: sin2A + sin2B +sin2C =2+2cosA.cosB.cosC

T (1) suy ra cosA.cosB.cosC =0 ừ 

BC 0

cos

0 cos

0 cos

A C

B

A





















vuông

Ví d 6 ụ Cho tam giác ABC thoã mãn h th c rệ ứ c = r + ra + rb (2) v i rớ a là bán kính đường tròn bàng ti p.Ch ng minh r ng ế ứ ằ ABC vuông

Gi i: ả +) Ta có S = pr

S r p



�

và S = (p-a) ra a

S r

p a



�

 +) Khi đó (2) tương đương v i ớ p a

S

S b p

S P

S









c p b p p a

p     

) )(

( ) ( ) )(

( ) (

) (

c p b p

a a

p p

a c

p b p

b p c p a p p

a p p





























) )(

( ) )(

(abc bc a  ac b ab c



2 2 2 2 2 2

2 2

2 2

2 ) ( ) ( ) ( )

(bc  a a  b c  bc  b c  a  a b c



ABC vuông

+) N u áp d ng h th c c b n trong tam giác, ta cóế ụ ệ ứ ơ ả

rc = ptg 2, ( ) tan 2, a tan 2, b tan 2

r  p c r  p r b

T (2) ta đừ ược ptg2 ( ) tan2 tan 2 tan 2

tan tan tan

�

(2’) +) M t khác p = R(sinA+ sinB + sinC)=4Rcosặ 2cos2cos2

C B A

T (2) ta có 2RsinC.ừ

sin 2 tan 4 cos cos cos

A B

R

B C





Do

0 0

90 45

2

1 2

0

C C

tg

C

tg

.ABC vuông

Chú ý: Khi g p 1 bài toán có ch a các y u t khác c nh và góc ta nên chuy n v bài ặ ứ ế ố ạ ể ề toán có ch a góc ho c c nh đ gi i, khi đó có nhi u công c đ gi i h n.ứ ặ ạ ể ả ề ụ ể ả ơ

LO I II: S D NG B T Đ NG TH C Ạ Ử Ụ Ấ Ẳ Ứ

Ví d 7 ụ Cho ABC có A, B nh n và tho mãn h th c sinọ ả ệ ứ 2A + sin2B =3 sinC (1)

Ch ng minh r ng ứ ằ ABC vuông

Gi iả : +) Vì 0 < sinC ≤ 1 nên 3 sinC �sin2C

T (1) ừ  sin2 Asin2Bsin2Ca2 b2 c2













 a b a b ab C CosC  C  90 0

+) N u C = 90ế 0  A+ B = 900  sin2A+sin2B= sin2A+cos2A = 1

+) V y n u ABC là tam giác vuông t i C thì thoã mãn h th c đã cho.ậ ế ạ ệ ứ

+) N u C < 90ế 0 T gi thi t ta có ừ ả ế

3 sin 2

2 cos 1 2

2 cos 1

C B

A









 1 - cos (A+B).cos(A-B) = 3 sinC 1cosC.cos(A B)3 sinC (3)

+) Ta có sinC < 1 M t khác do A, B, C nh n nên cosC > 0, cos(A-B) > 0, v y t (3) ta suy ra ặ ọ ậ ừ

đi u vô lý Do đó trề ường h p C < 90ợ 0 không x y ra V y ABC là tam giác vuông t i C.ả ậ ạ

Nh n xétậ :

* N u C = 90ế 0 ta không th l i mà k t lu n ử ạ ế ậ ABC vuông là không ch t chẽ Vì ặ ABC ch a ư

ch c tho mãn (1).ắ ả

* N u xét trế ường h p C < 90ợ 0 ta đi đ n k t lu n lo i trế ế ậ ạ ường h p này T đây ta ph i có C = ợ ừ ả

900, không c n th l i.ầ ử ạ

* Đi m quan tr ng c a bài t p này là ch v i a ể ọ ủ ậ ở ỗ ớ  R, 0 <a ≤1 thì ta có an > am , 1 < n < m, n,m Q T đ y bài toán (1) có th m r ng n u sinừ ấ ể ở ộ ế 2A + sin2B = n sinC,n1 thì ABC vuông

Bài t p t luy n ậ ự ệ

Ch ng minh r ng ứ ằ ABC là tam giác vuông n u tho m t trong các đi u ki n sauế ả ộ ề ệ

Bài 1: cos2A + cos2B + cos2C = -1

Bài 2: a) sinA + sinB + sinC = 1 + cosA + cosB + cosC

Hướng d n: Ch ng minh tam giác này vuơng t i 1 trong 3 gĩc.ẫ ứ ạ

b) sinA + sinB + sinC = 1- cosA + cosB + cosC

Hướng d n: Ch ng minh vuơng t i C.ẫ ứ ạ

a c

c B

b

sin sin

cos

Hướng d n: A p d ng đ nh lý hàm sinẫ ụ ị

Bài 4: r(sinA + sinB)= 2. .sin2cos 2

B A B

Hướng d n: Ta s d ng h th c c b nẫ ử ụ ệ ứ ơ ả

r = 4Rsin2.sin2.sin2 vàc 2RsinC

C B A

Bài 5: r + ra + rb + rc = a + b + c

Áp d ng cơng th c lụ ứ ượng c b n r =ptgơ ả 2, ( ) 2

A tg a p r

A

a  

p = 4Rcos 2cos2cos2

C B A

và đ nh hàm sin.ị Hay cĩ th áp d ng cơng th c S = rể ụ ứ c(p-c), S=rp

Bài 6: 3cosB + 4sinB + 6sinC +8cosC =15 (6)

HD: Áp d ng BĐT Schwartz cho các c p (3,4), (cosB,sinB) và (6,8), (sinC,cosC).ụ ặ

Cách khác: Bài 6 cĩ th v n d ng phép bi n đ i tể ậ ụ ế ổ ương đương và tính ch t b ch n c a ấ ị ặ ủ hàm sinx, cosx

4 sin 5

3 ( 10 ) cos 5

3 sin

5

4

(

(6’)

Đ t ặ 5 sin ,0 90 .

3 , cos

5







Thì t (6ừ ’) ta suy ra 5sin(B+ ) + 10cos(C- ) = 15

ABC C

B C

B

























1 ) cos(

1 )

sin(





vuơng

Bài 7: sin3A + sin2B = 4sinAsinB (7)

HD: Dùng cơng th c bi n đ i t ng thành tích cho v trái và tích thành t ng, rút g n ta ứ ế ổ ổ ế ổ ọ

được cos(A-B).(sinC-1) = cosC

 cos2(A-B).(sin2C-1) = 1 – sin2C

 (1-sinC)[cos2(A-B)(1-sinC) - 1- sinC] = 0

Đánh giá cos2(A-B)(1-sinC)- 1 – sinC < 0 T đĩ suy ra sinC = 1ừ

 C = 900

Bài 8: Cho ABC có đ ng cao AH,ườ p,p1,p2 là n a chu vi c a ử ủ ABC, ABH, ACH, bi t pế 2 =

p1 + p2 (1) Ch ng minh ứ ABC vuông

G i ý: Nh n xét v trí c a H và v n d ng t s lợ ậ ị ủ ậ ụ ỉ ố ượng giác c a ủ ABC đ đ a bài toán thành ể ư

bi u th c theo góc.ể ứ

Bài 9: ABC có đ c đi m gì n uặ ể ế

cosA (1 – sinB) = cosB

G i ý: 1 – sinB và cosB cùng ch a nhân t chung là ợ ứ ử cos2 sin2

B B



Bài 10: ABC có đ c đi m gì n uặ ể ế

2sin2A – sin2B = sinC + sinC

1 HD: Dùng phương pháp đánh giá đ gi i.ể ả

BT6. Ch ng minh r ng n u tam giác ABC thoứ ằ ế ả

sin4A + 2sin4B+ 2sin4C = 2sin2A (sin2B + sin2C) (1) Ch ng minh ứ ABC vuông cân

Ch đ 3:NH N D NG TAM GIÁC Đ U ủ ề Ậ Ạ Ề

Trong m c này, m t s phụ ộ ố ương pháp hay s d ng đ nh n d ng tam giác đ u nhử ụ ể ậ ạ ề ư

Loại I:Sử dụng phương pháp biến đổi tương đương

1/ Phương pháp s d ng 9 bài toán nh n d ng tam giác đ u.ử ụ ậ ạ ề

2/ Phương pháp s d ng m nh đ ử ụ ệ ề 















n i A

A A

A n

n

, 1 , 0

0

2 1

 A1 = A2 = … =An = 0 3/ Nh n d ng tam giác đ u t m t h đi u ki n.ậ ạ ề ừ ộ ệ ề ệ

Loại II:Sử dụng bất đẳng thức

LO I I:S D NG PH Ạ Ử Ụ ƯƠ NG PHÁP BI N Đ I T Ế Ổ ƯƠ NG Đ ƯƠ NG

*  ABC tho mãn các h th c sau thì ả ệ ứ  ABC là tam giác đ u.ề

a) cos A + cosB + cosC =2

3

f) cotgA + cotgB + cotgC = 3 b) sin 2

A

sin 2

B

sin 2

C

= 8

1

g) sinA + sinB + sinC = 2

3 3

c) cosA cosB cosC =18 h) cos 2

A

+ cos 2

B

+ cos 2

C

= 2

3 3

d) sin2A + sin2B + sin2C = 4

9 i) sin 2

A

+ sin 2

B

+ sin 2

C

=2 3

e) tan 2 tan 2 tan 2 3

A B  C 

Ví d 8 ụ Gi s ả ử  ABC tho mãn đi u ki n: 2(acosA + bcosB + ccosC) = a + b + c Ch ng ả ề ệ ứ minh  ABC đ u.ề

Gi i: +) Áp d ng đ nh lý Sin ta có a=2RsinA , b = 2RsinB , c = 2RsinC ( v i R là bán kính ả ụ ị ớ

đường tròn ngo i ti p ạ ế  ABC), h th c đã cho tệ ứ ương đương v i:ớ

2sinA cosA + 2sinB cosB + 2sinCcosC = sinA + sinB + sinC

 sin2A + sin2B + sin2C = sinA + sinB + sinC (*)

Tacó sin2A + sin2B + sin2C = 2sin(A + B)cos( A – B ) – 2sin( A + B)cos( A + B)

= 2sin (A + B)(cos(A + B) – cos (A + B)) = 4sinAsinBsinC

Tacó sinA + sinB + sinC = 2sin 2 cos 2 2cos 2cos 2

B A C B

A B







2 cos cos cos 4 cos cos cos

C� A B A B � A B C

( ) sin sin sin cos cos cos

8sin sin sin cos cos cos cos cos cos

A B C

A B C

A B C A B C A B C



�

1 sin sin sin

A B C 

�

(d ng bài toán c b n) V y ạ ơ ả ậ  ABC đ u.ề

Ví d 9 ụ CMR n u A,B,C là ba góc c a m t tam giác tho mãnế ủ ộ ả

























3

cos 3

cos 3

cos 4

3 8

3 3

cos 3

cos

3

thì tam giác y đ uấ ề

H th c đã cho tệ ứ ương ng v iứ ớ

2

3 cos cos

cos

2

3 3 cos 3 3 cos 4 3 cos 3 3 cos 4 3 cos 3 3

cos

4

3

cos 3

cos 3 cos 3 2

3 3 cos 4 3 cos

4

3

cos

4

3 3

3

3 3

3



















































































C B

A

C C

B B

A A

C B

A C

B A

( d ng bài toán c b n) ạ ơ ả

V y ậ  ABC đ u.ề

0 ,

1 , 0

0

2 1 2

1



























n i

n

A A A n

i A

A A

A

Ví d 10 ụ Ch ng minh ứ ABC có h a h b h c = 9r thì  ABC đ u ề

Ta có ha + hb + hc = 9r  9 .

1 1 1 2 9 2 2 2

r c b a S r c

S b

S a

S



























0 0

2 2

2

9 1 1 1 9

1 1 1 2 9

1 1

1

2

2 2

2

c

b

a

ca

a c bc

c b ab

b a c

a a

c b

c c

b a

b

b

a

c b a c b a c

b a p r

c b

a

pr













































































































































V y ậ  ABC đ u.ề

Ví d 11 ụ CMR n u trong ế  ABC ta có r

p A c C b B a

C c B b A a

9

2 sin sin

sin

cos cos

cos









 ( p: n a chu vi, R là bán kính đử ường tròn ngo i ti p ạ ế  ABC) thì  ABC là tam giác đ u.ề

Ta có: (*) 

R p R

a c R

c b R

b a

C C R B B R A A R

9 2 2

2

2

cos sin 2 cos sin 2 cos sin 2











9

2 sin 2

sin 2

sin

2 2

R

c b a ca

bc ab

C B

A













Ta có sin2A + sin2B + sin 2C = 4 sinAsinBsinC =4.2 .2 .2 2R3

abc R

c R

b R

a



c b a R ca bc ab

abc

9 )

(









  (ab + bc+ ca) (a + b + c)=9abc

 a2b + bc2+ ab2 + ac2+ b2c+ a2c = 6abc

 b(a2+c2- 2ac) + a(b2+ c2 - 2bc) + c(a2 + b2 – 2ab)=0

 b(a - c)2 + a(b - c)2 + c(a - b)2  

















 0 0 0

b a

c b

c a

 a=b=c

V y ậ  ABC đ u.ề

LO I II: S D NG B T Đ NG TH C Ạ Ử Ụ Ấ Ẳ Ứ

- T đi u ki n c a bài toán (thừ ề ệ ủ ường là các h th c, các b t đ ng th c)s d ng các phép ệ ứ ấ ẳ ứ ử ụ

bi n đ i lế ổ ượng giác đ d n đ n m t b t đ ng th c đ n gi n, có th đánh giá để ẫ ế ộ ấ ẳ ứ ơ ả ể ược đi u ề

ki n d u b ng x y ra.ệ ấ ằ ả

- Thi t l p m t h phế ậ ộ ệ ương trình xác đ nh m i quan h gi a các góc, các c nh c a tam giác,ị ố ệ ữ ạ ủ qua đó nh n d ng đậ ạ ược tam giác

Ví d 12 ụ Cho  ABC th a đi u ki n ỏ ề ệ cos cos cos sin 2sin 2sin 2

A B

(*) Ch ng minh ứ

ABC đ u.ề

Gi i: +) T gi thi t suy ra ả ừ ả ế ABC nh n (cos A > 0, cos B > 0, cos C > 0)ọ

+) Ta có: cosA cosB =   1 cos( )

2

1 ) cos(

) cos(

2

1

B A B

A B

=2(1 cos ) sin 2

C 



V y 0 < cosA cosB ậ sin 2

2C



+) Tương t ta cũng có ự 0 cos cos sin 2;0 cos cos sin 2

2

A C

A C



Suy ra

2

sin 2

sin 2 sin cos

cos

+) D u “=” x y ra khi và ch khiấ ả ỉ

2

2

2

cos cos

cos( )

cos( ) c

sin

si

os cos

2

1 sin

2

A B

A B

C A

C A

�

�

�

�

�



�

�

�

�



 A = B = C

V y ậ ABC đ uề

Ví d 13 ụ Cho ABC th a đkỏ 















) cos(

cos cos

90

B A B

A

A B

Xác đ nh d ng c a ị ạ ủ ABC ?

T đi u ki n ừ ề ệ CBA 900

, 0 sin sin

90













M t khác sin2A + Sin2B =2sin(A+B)cos(A-B)ặ

cos cos

cos sin

sin cos

sin

sin

sin 2

cos sin 2 cos sin 2 ) sin(

2

2 sin 2 sin ) cos(

B A

B C

B A

C

A

C

B B A

A B

A

B A

B A























D u “=” x y ra khi và ch khi ấ ả ỉ 







C B

A

sin sin

0 cos

ho c SinA = SinB = SinCặ

V y ậ ABC vuông cân t i A ho c đ u.ạ ặ ề

Bài t p t luy n ậ ự ệ

BT7. Cho  ABC đ u tho mãn h ng th c: ề ả ằ ứ a2b2 c2 4 3

và 2

2

)

S     

Ch ng minh ứ  ABC là tam giác đ u.ề

BT8. CMR n u trong ế  ABC ta có 2 h a 3

a c

b  

thì  ABC đ uề