Nếu một mặt phẳng cắt một trong hai mặt phẳng song song thì cũng cắt mặt phẳng kia và các giao tuyến của chúng song song với nhau.. CÁC DẠNG TOÁN Dạng 1: CM hai mặt phẳng song song Ví
Trang 1§4: HAI MẶT PHẲNG SONG SONG
A LÝ THUYẾT
1 Định nghĩa
(P) // (Q) (P) (Q) =
2 Tính chất (1,2 – Quan trọng)
1 Nếu mặt phẳng (P) chứa hai đường thẳng a, b cắt nhau và cùng song song với mặt phẳng (Q) thì (P) song song với (Q)
2 Nếu hai mặt phẳng song song với nhau thì bất kỳ đường thẳng nào nằm trong mặt phẳng này cũng sẽ song song với mặt phẳng kia
Nếu đường thẳng d song song với mp(P) thì có duy nhất một mp(Q) chứa d và song song với (P).
Hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với mặt phẳng thứ ba thì song song với nhau.
Cho một điểm A (P) khi đó mọi đường thẳng đi qua A và song song với (P) đều nằm trong một mp(Q) đi qua A và song song với (P).
Nếu một mặt phẳng cắt một trong hai mặt phẳng song song thì cũng cắt mặt phẳng kia và các giao tuyến của chúng song song với nhau.
Hai mặt phẳng song song chắn trên hai cát tuyến song song những đoạn thẳng bằng nhau.
Định lí Thales: Ba mặt phẳng đôi một song song chắn trên hai cát tuyến bất kì những đoạn
thẳng tương ứng tỉ lệ.
Định lí Thales đảo: Giả sử trên hai đường thẳng d và d lần lượt lấy các điểm A, B, C và A, B,
C sao cho:
A B B C C A Khi đó, ba đường thẳng AA , BB, CC lần lượt nằm trên ba mặt phẳng song song, tức là chúng cùng song với một mặt phẳng.
3 Hình lăng trụ và hình hộp
SGK
4 Một số định lý khác
* Định lý Menelaus Cho tam giác ABC D, E, F lần lượt nằm trên các đường thẳng BC,
CA, AB Khi đó định lý phát biểu rằng D, E, F thẳng hàng khi và chỉ khi
FA DB EC
FB DC EA
Trang 2* Định lý Ceva: Định lý Gọi M, N, P là ba điểm tương ứng nằm trên ba cạnh BC, CA, AB của tam
giác ABC Lúc đó, ba đường thẳng AM, BN, CP đồng quy khi và chỉ khi
BM CN AP
MC NA PB
B CÁC DẠNG TOÁN Dạng 1: CM hai mặt phẳng song song
Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O Gọi E và F lần lượt là trung
điểm của SA và CD.
a) Chứng minh mp(OEF) song song với mp(SBC)
b) Gọi M là trung điểm của SD và N là trung điểm của OE Chứng minh MN song song với mp(SBC)
Ví dụ 2: Cho lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ Gọi M là trung điểm của B’C’
Trang 3K N
M
A D
B C
H E
I J
B
C’
C D
K
a) Chứng tỏ mp(AA’M) cắt BC tại N và AN//A’M
b) Chứng minh rằng đường thẳng AC’ song song với mp(BA’M)
c) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (AB’C’) và (A’BC)
Dạng 2: tìm thiết diện
Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là tứ giác lồi M là trung điểm SA, N là trung điểm SC a) Xác định thiết diện của mặt phẳng khi cắt bởi mặt phẳng qua M và song song với mặt phẳng (SBD)
b) Xác định thiết diện của mặt phẳng khi cắt bởi mặt phẳng qua N và song song với mặt phẳng (SBD)
c) Gọi I, J là giao điểm của 2 mặt phẳng nói trên với AC Chứng minh rằng IJ= AC
Giải:
Ví dụ 4 : Cho lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ Trên đường thẳng BA lấy một điểm M sao cho A
nằm giữa B và M, MA= AB
a) Xác định thiết diện của hình lăng trụ khi cắt bởi mặt phẳng (P) qua M, B’ và trung điểm E của AC
b) Tính tỉ số
Ví dụ 5: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ Điểm M thuộc cạnh AD, điểm N thuộc cạnh D’C’ sao
Trang 4B’ C’
D’ A’
B
C
N J
I F
E
a) Chứng minh rằng MN//(C’BD)
b) Xác định thiết diện của hình hộp khi cắt bởi mặt phẳng (P) qua MN và song song với (C’BD)
BTVN - §4: HAI MẶT PHẲNG SONG SONG
Trang 5DẠNG 1: CHỨNG MINH HAI MẶT PHẲNG SONG SONG
Phương pháp
- Bước 1: Tìm hai đường thẳng a b, cắt nhau trong mặt phẳng ( ) a .
- Bước 2: Lần lượt chứng minh a P ( ) b và b P ( ) b
- Bước 3: Kết luận ( ) ( ) a P b .
Bài 1 Cho hai hình bình hành ABCD và ABEF không đồng phẳng Gọi I, J, K là trung điểm AB, CD,
EF Chứng minh (ADF) // (BCE) và (DIK) // (JBE)
Bài 2 Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình bình hành tâm O Gọi M, N là trung điểm SA, CD
a Chứng minh rằng (OMN) // (SBC)
b Tìm giao điểm I của ON và (SAB)
c Gọi G = SI ∩ BM, H là trọng tâm ΔSCD Chứng minh rằng GH // (SAD)
d Gọi J là trung điểm AD, E thuộc MJ Chứng minh rằng OE // (SCD)
Bài 3 Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình bình hành tâm O Gọi M, N, P là trung điểm BC, CD, SC.
a Chứng minh rằng (MNP) // (SBD)
b Tìm giao tuyến (SAB) và (SCD)
c Tìm giao tuyến của (MNP) và (SAD) Suy ra giao điểm của SA và (MNP)
d Gọi I = AP ∩ SO, H = AM ∩ BO Chứng minh rằng IH // (MNP)
Bài 4 Cho hình chóp SABCD có đáy là hình bình hành tâm O Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SA
và CD
a, Chứng minh: mp(OMN) // mp(SBC)
b, I là trung điểm của SC và J là điểm nằm trên mp(ABCD) cách đều AB và CD Chứng minh IJ // mp(SAB)
Bài 5 Cho lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có các cạnh bên AA’, BB’, CC’ Gọi I và I’ tương ứng là
trung điểm 2 cạnh BC và B’C’
a) Chứng minh AI//A’I’
b) Tìm giao điểm của IA’ với mặt phẳng (AB’C’)
c) Tìm giao tuyến của (AB’C’) và (A’BC)
Bài 6 Cho hình chóp S.ABCD, đáy là hình bình hành Gọi M, N, P, Q là trung điểm BC, AB, SB, AD.
a Chứng minh (MNP) // (SAC) và PQ // (SCD)
b Gọi I là giao điểm AM và BD, J thuộc SA sao cho AJ = 2 JS Chứng minh rằng I J // (SBC)
c Gọi K thuộc AC Tìm giao tuyến (SKM) và (MNC)
Bài 7 Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình bình hành Gọi I, H, G, P, Q là trung điểm DC, AB, SB, BG,
BI
a Chứng minh (IHG) // (SAD) và PQ // (SAD)
b Tìm giao tuyến của (SAC) và (IHG); (ACG) và (SAD)
Bài 8 Cho hai hình vuông ABCD và ABEF không cùng nằm trong một mặt phẳng Trên AC và BF lấy
M và N sao cho AM = BN Các đường thẳng song song với AB vẽ từ M, N lần lượt cắt AD; AF tại M’, N’
a, Chứng minh: (CBE) // (ADF)
b, Chứng minh: mp (DEF)//mp(MNN’M’)
Trang 6c, Gọi I là trung điểm của MN, tìm tập hợp I khi M, N di động
Bài 9 Cho hình chóp SABCD có đáy là hình bình hành với AB = a; AD = 2a, mặt bên SAB là tam giác
vuông cân tại A Trên AD lấy M, đặt AM = x (0 < x < 2a) Mặt phẳng qua M và song song với mp(SAB) cắt BC; SC; SD tại N, P, Q
a, Chứng minh MNPQ là hình thang vuông
b, Gọi I là giao điểm của MQ và NP Tìm tập hợp I khi M chạy trên AD
c, Tính diện tích MNPQ theo a và x
Bài 10.Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành Gọi H,I,K lần lượt là trung điểm của
SA,SB,SC
a) Chứng minh (HIK)// (ABCD)
b) Gọi M là giao điểm của AI và KD, N là giao điểm của DH và CI Chứng minh (SMN) //(HIK)
Bài 11.Cho hình hộp ABCD.A’B'C'D'
a) Chứng minh (BA'D) // (B'D'C)
b) Chứng minh AC' qua trọng tâm G và G' của tam giác A'BD và CB'D'
Bài 12 Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ Chứng minh rằng:
a) (BDA’)//(B’D’C)
b) Đường chéo AC’ đi qua các trọng tâm G1 và G2 của 2 tam giác BDA’ và B’D’C
c) G1 và G2 chia đoạn AC’ thành 3 phần bằng nhau
d) Các trung điểm của 6 cạnh BC, CD, DD’, D’A’, A’B’, B’B cùng nằm trên một mặt phẳng
Bài 13. Cho lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ Gọi H là trung điểm A’B’
a) Chứng minh rằng CB’//(AHC’)
b) Tìm giao tuyến d của 2 mp (AB’C’) và (A’BC) Chứng minh rằng d//(BB’C’C) c) Xác định thiết diện của lăng trụ khi cắt bởi mặt phẳng (H,d)
DẠNG 2: TÌM THIẾT DIỆN QUA MỘT ĐIỂM, ĐƯỜNG THẲNG VÀ SONG SONG VỚI MỘT MẶT PHẲNG
1 Thiết diện qua một điểm hoặc đường thẳng song song với một mặt phẳng
Mặt phẳng (P) qua điểm M và song song với mặt phẳng (Q)
Phương pháp
Dựa vào tính chất: Nếu một mặt phẳng cắt một trong hai mặt phẳng song song thì phải cắt mặt
phẳng còn lại và giao tuyến của chúng song song.
Chọn mặt phẳng (R) chứa M có giao tuyến với (Q) là a
Khi đó (P) (R) = a’,a’ // a a’ qua M
Ta tìm thêm giao điểm của a’ với các cạnh của đa giác trong (R)
Tiếp tục quá trình với các giao điểm mới cho tới khi dựng được thiết diện.
Bài 14.Cho tứ diện ABCD gọi M, N lần lượt là trung điểm cạnh AB và CD , E là điểm chia BC theo tỉ số
BE:EC = 2 : 1 Trên đoạn thẳng AM lấy điểm H Tìm thiết diện tạo bởi mặt phẳng đi qua H và song song với mặt phẳng (MNE) cắt tứ diện đã cho
Trang 7Bài 15.Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình bình hành ABCD Gọi M, N, E lần lượt là trung điểm các
cạnh AB, AD, SC Trên đoạn AM lấy điểm K Xác định thiết diện tạo bởi mặt phẳng đi qua K song song với (MNE) cắt hình chóp
Bài 16.Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình bình hành ABCD Gọi M, N lần lượt là trung điểm các cạnh
AB, AD Trên đoạn AC lấy điểm K Tìm thiết diện tạo bởi mặt phẳng đi qua K song song với mp(AMN) cắt hình chóp
Bài 17.Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình bình hành ABCD Gọi E là trung điểm SC, H là giao điểm
các đường chéo đáy hình chóp Trên đoạn AH lấy điểm M Tìm thiết diện tạo bởi mặt phẳng đi qua
M song song với mp(BDE) cắt hình chóp
Bài 18.Cho hình chóp SABCD có đáy là hình bình hành tâm O có AC = a; BD = b; tam giác SBD đều.
Mặt phẳng (α) di động song song với mp(SBD) qua I trên đoạn AC
a, Xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi mp
b, Tính diện tích của thiết diện theo a, b và x = AI
Bài 19.Cho tứ diện ABCD, gọi G1; G2; G3 lần lượt là trọng tâm các tam giác ABC, ACD, ABD
a, Chứng minh (G1G2G3) // mp(BCD)
b, Tìm thiết diện của tứ diện cắt bởi mp(G1G2G3) Tính diện tích thiết diệntheo diện tích của tam giác BCD
c, M di động trong tứ diện sao cho G1M // (ACD) Tìm tập hợp điểm M
2 Thiết diện qua một điểm song song với hai đường thẳng chéo nhau
Bài 20.Cho tứ diện ABCD Gọi E; F; J theo thứ tự là trung điểm của BC; BD; AD Mp
qua EF và song song với BJ, mp qua BJ và song song với CD
a, Thiết diện do mp cắt tứ diện là hình gì?
b, Xác định thiết diện do mp cắt tứ diện Chứng minh //
c, AC và AD cắt mp lần lượt tại H, K Gọi I là giao điểm của AC và mp Chứng minh HE; KF và
AB đồng quy tại M
d, Giả sử các tam giác ABC và ABD vuông tại B Tính chu vi tam giác MHK biết chu vi tam giác ACD bằng a
Bài 21.Cho hình chóp SABC, I là trung điểm của SB và J nằm trên đoạn SC sao cho JC1JS
2 và O là trọng tâm tam giác ABC
a, Xác định thiết diện của hình chóp với mp(OIJ), gọi s là diện tích của thiết diện này
Trang 8b, là mặt phẳng qua M trên nửa đường thẳng BC và mp song song hoặc trùng với mp(OIJ) Đặt BM x x 0
BC Tìm x để mp
cắt hình chóp
c, Biện luận theo x các dạng của thiết diện của hình chóp với mp
d, Gọi H(x) là diện tích của thiết diện nói ở câu c Tính H(x) theo s và x
Bài 22.Cho hình chóp SABCD có E là giao điểm của AD và BC Mp(P) song song với SE cắt SA, SB,
SC, SD theo thứ tự tại J, K, H, I
a, Tứ giác IJKH là hình gì?
b, Tìm điều kiện cần và đủ để tứ giác IJKH là hình bình hành
Bài 23.Cho tứ diện ABCD có AD = a; BC = b; AB = c Lấy M trên AB, mặt phẳng qua M song song với
AD và BC cắt các cạnh AC, CD, BD tại N, P, Q
a, Tứ giác MNPQ là hình gì?
b, Đặt AM = x Tính các cạnh của tứ giác MNPQ
c, Muốn tứ giác MNPQ là hình chữ nhật phải có thêm điều kiện gì? Tìm diện tích tứ giác trong trường hợp này Tìm vị trí của M trên AB để tứ giác có diện tích lớn nhất
THIẾT DIỆN VỚI LĂNG TRỤ
Bài 24.Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ Gọi M và N lần lượt là trung điểm của các cạnh AA’ và
AC.
a) Dựng thiết diện của hình lăng trụ với mp(MNB’)
b) Dựng thiết diện của hình lăng trụ với mp(MNP), với P là trung điểm của B’C’
Bài 25. Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' Gọi O' là tâm hình bình hành A'B'C'D'; K là trung điểm CD; E là trung điểm BO'
a Chứng minh rằng E nằm trên mặt phẳng (ACB’)
b Xác định thiết diện của hình hộp khi cắt bởi mặt phẳng (P) qua K và song song với
(EAC)
Bài 26.Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có M là điểm thuộc AD Dựng thiết diện của hình hộp cắt bởi (P)
qua M song song với BD và AC’
Bài 27.Cho lăng trụ OAB.O’A’B’ Gọi M, E, F lần lượt là trung điểm OA OB OE, H là điểm thuộc AA’
sao cho AH = 2 HA’ Dựng thiết diện của lăng trụ cắt bởi mặt phẳng (P) trong các trường hợp:
a Qua F song song với B’E và A’O
Trang 9b Qua M song song với A’E và OH
Bài 28.Cho hình hộp ABCD A’B’C’D’ Điểm M thuộc cạnh AD, N thuộc cạnh D’C’ sao cho
AM MD D N NC Dựng thiết diện của hình hộp cắt bởi mặt phẳng (P) qua MN và song song với mp(C’BD)
Bài 29.Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình bình hành Gọi C’ là trung điểm của SC , M là một điểm di
dộng trên cạnh SA , () là mặt phẳng luôn đi qua C’M và song song với BC Xác định thiết diện
mà () cắt hình chóp S.ABCD Khi nào thiết diện là hình bình hành ?
Bài 30.Cho hình chóp SABC, mp(P) di động song song với mp(ABC) cắt SA; SB; SC lần lượt tại A’; B’;
C’; D’ Tìm tập hợp điểm chung của 3 mặt phẳng (A’BC), (B’AC), (C’AB)
Trang 10Bài 31.Từ 4 đỉnh của hình bình hành ABCD vẽ 4 nửa đường thẳng song song cùng chiều Ax; By; Cz; Dt
không nằm trong mp(ABCD) Một mp cắt 4 nửa đường thẳng tại A’; B’; C’; D’
a, Chứng minh (Ax; By) // (Cz; Dt)
b, Chứng minh A’B’C’D’ là hình bình hành
c, Chứng minh AA’ + CC’ = BB’ + DD’
Bài 32.Cho hình chóp SABCD có đáy là hình bình hành Mặt phẳng (P) cắt SA; SB; SC; SD lần lượt tại
A’; B’; C’; D’ Chứng minh điều kiện cần và đủ để A’B’C’D’ là hình bình hành là mp(P) // (ABCD)
Bài 33.Cho hình chóp SABCD có đáy là hình bình hành tâm O, E là trung điểm của SB Biết tam giác
ACE đều và AC = OD = a Mp di động song song với mp(ACE) và qua I trên OD, mp cắt
AD, CD, SC, SB, SA lần lượt tại M, N, P, Q, R
a, Nhận xét gì về tam giác PQR và tứ giác MNPR
b, Tìm tập hợp giao điểm của MP và NR khi I di động trên đoạn OD
c, Tính diện tích MNPQR theo a và x = DI Xác định x để diện tích đó lớn nhất
Bài 34.Cho hình chóp SABCD đáy là hình thang với các cạnh đáy AB; CD với CD = pAB (0 < p < 1).
Gọi S0 là diện tích tam giác SAB và là mặt phẳng qua M trên cạnh AD và song song với mp(SAB) Đặt DM x 0 x 1
a, Xác định thiết diện của hình chóp SABCD với mp
Tính diện tích thiết diện theo S0, p, x
b, Tính x để diện tích thiết diện bằng 0
1S 2
Bài 35.Cho tứ diện đều ABCD cạnh a, Mp(P) qua A song song với BC, cắt BD và CD tại M, N, đặt BM
= x Tính AM2MN2AN2