SONG SONG HAI mặt PHẲNG SONG SONG (lý thuyết + bài tập vận dụng) file word

n Một mặt phẳng không đi qua đỉnh, song song với mặt phẳng đáy của hình chóp cắt các cạnh bên B.. Xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi   đi qua MN và song song với mặt phẳng SAD

HAI MẶT PHẲNG SONG SONG

A CHUẨN KIẾN THỨC A.TÓM TẮT GIÁO KHOA.

 Nếu mặt phẳng   chứa hai đường

thẳng cắt nhaua b, và hai đường thẳng

này cùng song song với mặt phẳng  

α

β

M

Cho điểm không nằm trên mặt phẳng   Mọi đường thẳng đi qua A và song song với

  đều nằn trong mặt phẳng qua A song song với   .

Định lí Ta-lét( Thales) đảo

Cho hai đường thẳng d d chéo nhau và 1, 2

các điểm A B C trên 1, 1, 1 d , các điểm1

Cho hai mặt phẳng song song   và   '

Trên   cho đa giác A A1 2 A Qua các đỉnh n

1, 2, , n

A A A vẽ các đường thẳng song song với

nhau cắt   lần lượt tại ' ' ' '

được gọi là hình lăng trụ A A1 2 A A A n 1' '2 A n'

Lăng trụ có đáy là hình bình hành được gọi là hình

4.2 Hình chóp cụt

Cho hình chóp S A A 1 2 A n

Một mặt phẳng không đi qua đỉnh, song song với

mặt phẳng đáy của hình chóp cắt các cạnh bên

B LUYỆN KĨ NĂNG GIẢI CÁC DẠNG BÀI TẬP.

Bài toán 01: CHỨNG MINH HAI MẶT PHẲNG SONG SONG

Phương pháp:

Để chứng minh hai mặt phẳng song song ta có thể thực hiện theo một trong hai hướng sau:

- Chứng minh trong mặt phẳng này có

hai đường thẳng cắt nhau cùng song

song với mặt phẳng kia

β α

SA AC nên OM là đường trung bình của

tam giác SAC ứng với cạnh SCdo đó

M N

O

B

A S

thẳng song song với AB vẽ từ M N, lần lượt cắt AD và AF tại M' và N' Chứng minh:

M

Bài toán 02: XÁC ĐỊNH THIẾT DIỆN CỦA   VỚI HÌNH CHÓP KHI BIẾT   VỚI MỘT MẶT PHẲNG   CHO TRƯỚC

Phương pháp:

- Để xác định thiết diện trong trường hợp này ta sử dụng các tính chất sau

- Khi       thì   sẽ song song với tất cả các đường thẳng trong   và ta chuyển

về dạng thiết diện song song với đường thẳng (§3)

- Tìm đường thẳng d mằn trong   và xét các mặt phẳng có trong hình chóp mà chứa

d, khi đó    nên sẽ cắt các mặt phẳng chứa d d( nếu có) theo các giao tuyến song song với d

Các ví dụ

Ví dụ 1 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình bình hành và M N, lần lượt là

trung điểm của AB CD, Xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi   đi qua MN và song song với mặt phẳng SAD Thiết diện là hình gì?

A.Tam giác B.Hình thang C.Hình bình hành D.Tứ giác

A S

Ba mặt phẳng ABCD , SBC và    đôi một cắt

nhau theo các giao tuyến là MN HK BC, , , mà

MN BC  MN HK Vậy thiết diện là một hình

a) thiết diện của hình chóp cắt bởi   là hình gi?

b) Tính diện tích thiết diện theo a b, và x

Lời giải : a) Trường hợp 1 Xét I thuộc đoạn OA

O

B

A S

I I

 Hai tam giác MNP và BDS có các cặp cạnh tương

ứng song song nên chúng đồng dạng, mà BDSđều nên tam giác MNP đều

Trường hợp 2 Điểm I thuộc đoạn OC, tương tự trường hợp 1 ta được thiết diện là tam giác đều HKL như  hv

b) Trường hợp 1 I thuộc đoạn OA

Ví dụ 1 Cho tứ diện ABCD và M N, là các điểm thay trên các cạnh AB CD, sao cho

c) Tính theo k tỉ số diện tích tam giác MNP và diện tích thiết diện

k 

Lời giải :

a) Do AM CN

MB ND nên theo định lí Thales thì các đường thẳng MN AC BD, , cùng song

song với một mặt phẳng   Gọi   là mặt phẳng đi qua AC và song song với BDthì

  cố định và       suy ra MN luôn song song với   cố định

Thiết diện là tứ giác MPNQ Xét trường

hợp AP k

PC 

Trong ABC gọi  RBCMP

Trong BCD gọi Q NR BD   thì thiết

a) Gọi  P là mặt phẳng qua AD và song song với

A D CB Gọi ' '   Q là mặt phẳng qua M và song

song với A D CB Giả sử ' '   Q cắt BD tại điểm N'

DN x DO  DN DO suy ra N là trọng tâm của tam giác ACD

Tương tự M là trọng tâm của tam giác A AD'

M N O I

Định lí Menelaus

Gọi M N P Q theo thứ tự là các điểm trên các đường thẳng , , , AB BC CD DA, , , của tứ

diện ABCD( M N P Q khác với , , , A B C D, , , ) thì M N P Q đồng phẳng khi và chỉ khi, , ,

P

N

A' C'

B'

trong tam giác SAB và I là trung điểm

của AB

Do tam giác SAB cân tại S nên SIAB

và SI là phân giác trong của góc S nên

d C

I S

B

Tương tự , gọi d d là các đường phân giác ngoài góc A, B S của các tam giác SBC SCA, thì

P N

Theo tính chất đường phân giác ta có

CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP

46 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình bình hành và M N P, , lần lượt là

trung điểm các cạnh AB CD SA, , .

a) Chứng minh SBN  DPM

b) Q là một điểm thuộc đoạn SP (Q khác S P, ) Xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi   đi qua Q và song song với SBN 

c) Xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi   đi qua MN song song với SAD 

47 Cho hình chóp S ABCD , đáy là hình bình hành tâm O Gọi M N, lần lượt là trung

48 Cho hình chóp S ABCD , đáy là hình bình hành tâm O, các tam giác SAD và ABC

đều cân tại A Gọi AE AF, là các đường phân giác trong của các tam giác ACD và

SAB Chứng minh EFSAD

49 Hai hình vuông ABCD và ABEF ở trong hai mặt phẳng khác nhau Trên các đườngchéo AC và BF lần lượt lấy các điểm M N, sao cho AMBN Các đường thẳng song song với AB vẽ từ M N, lần lượt cắt AD AF, tại M N', '.

a) Chứng minh BCE  ADF

b) Chứng minh DEF  MNN M' '

c) Gọi I là trung điểm của MN Tìm tập hợp điểm I khi M N, thay đổi trên AC và

BF

50 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình thang, AB3 ,a AD CD a  Mặt bên

SAB là tam giác cân đỉnh S và SA2a, mặt phẳng   song song với SAB cắt các cạnh AD BC SC SD, , , theo thứ tự tại M N P Q , , ,

a) Chứng minh MNPQ là hình thang cân.

b) Đặt xAM 0x a  Tính x để MNPQ là tứ giác ngoại tiếp được một đường tròn.

Tính bán kính đường tròn đó

c) Gọi IMQNP Tìm tập hợp điểm I khi M di động trên AD

d) Gọi JMPNQ Chứng minh IJ có phương không đổi và điểm J luôn thuộc một

b) Chứng minh đường chéo AC' đi qua trọng tâm G G của các tam giác1, 2

', ' '

BDA B D C đồng thời chia đường chéo AC' thành ba phần bằng nhau

c) Xác định thiết diện của hình hộp cắt A B G Thiết diện là hình gì?' ' 2

53 Cho hình hộp ABCD A B C D ' ' ' ' có tất cả các mặt đều là hình vuông cạnh a.Trên các cạnh AB CC C D, ', ' 'và AA' lấy các điểm M N P Q sao cho, , ,

b) Chứng minh MNPQ đi qua một đường thẳng cố định.

c) Dựng thiết diện của hình hộp khi cắt bởi MNPQ Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của chu vi thiết diện

54 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật và SAD vuông tại A Quađiểm M trên cạnh AB dựng mặt phẳng   song song với SAD cắt  CD SC SB, , tại

, ,

N P Q

a) Chứng minh MNPQ là hình thang vuông.

b) Gọi INPMQ Tìm tập hợp điểm I khi M di động trên cạnh AB

55 Cho hình chóp cụt ABC A B C ' ' ' Gọi M N P, , lần lượt là trung điểm của các cạnh' ', ',

A B BB BC.

a) Xác định thiết diện của hình chóp cụt với MNP 

b) Gọi I là trung điểm của AB Tìm giao điểm của IC' với MNP 

56 Cho hình hộp ABCD A B C D ' ' ' ' có tất cả các mặt đều là hình vuông cạnh a Các điểm M N, nằm trên AD BD', sao cho AMDN x0x a 2

a) Chứng minh khi x biến thiên thì MN luôn song song với một mặt phẳng cố định

b) Khi 2

3

a

x  , chứng minh MN A C '

57 Cho hình lăng trụ ABC A B C ' ' '

a) Gọi I K G, , lần lượt là trọng tâm các tam giác ABC A B C, ' ' ' và ACC' Chứng minh

a) Tứ giác AMNN' là hình gì? Tìm tập hợp điểm N'

c) Tính diện tích tứ giác MNPQ theo a và s x y

60 Cho lăng trụ ABCD A B C D ' ' ' ' có đáy là hình thang, AD CD BCa,

2

AB a Măt phẳng   đi qua A cắt các cạnh BB CC DD', ', ' lần lượt tại M N P, , a) Tứ giác AMNP là hình gì?

N M

A

D S

Q

Thiết diện là hình thang MNEF.

47 a) Do O M, lần lượt là trung điểm của

,

AC SA nên OM là đường trung bình của

tam giác SAC ứng với cạnh

A

D S

K

H I

O

M

N A

D S

J

D S

E F

J N'

M

N

 mà IXIY nên I thuộc đường trung trung

tuyến JK của tam giác JCF

Mặt khác SAB cân tại S SA SB

dễ thấy IJ SF suy ra IJ có phương không đổi và điểm J thuộc mặt phẳng cố định

SEF 

51 Bổ đề:

Cho tam giác ABC các điểm M N, thuộc các cạnh

,

AB AC sao cho MN BC Gọi E F, lần lượt là

trung điểm của BC MN, và IMBCN thì

E N A

S

B A'

Vậy I chính là điểm đồng quy của ba mặt phẳng

D'

C' C

Tương tự G cũng là trọng tâm của tam giác 2 CB D' '.Dễ thấy OG và 1 O G là đường ' 2trung bình của các tam giác ACG và 2 A C G nên' ' 1

b) Do PC MA' là hình bình hành nên MP đi qua

trung điểm O của AC'

D

C C'

M

N P

Q

minh được MNPQ  A BC' '.

c) Dễ thấy  cắt BC A D, ' ' tại các trung điểm R và S của chúng

Thiết diện là lục giác MPNPSQ Dễ thấy lục giác có tâm đối xứng là O nên

Từ    1 , 2 suy ra MNPQ là hình thang vuông.

b) Gọi dSAB  SCD , khi đó  

d I

P Q

M A

B S

N

55 a) Trong ABB A gọi J MN' '  AB,

trong ABC gọi Q JP AC  

Ta có ABC  A B C' ' ' nên

MNP  A B C' ' ' MR PQ

Thiết diện là ngũ giác MNPQR

b) Trong ABC gọi K PQ IC   thì

56 a) Gọi   là mặt phẳng đi qua M và

song song với A D CB và ' '  N'    BD

R

Q

J

P N

M

C' B'

A

B

C A'

M

N O I

nên A M' và CN cắt nhau tại trung điểm

O G

d2

α

J I

O

N' A

B M

N

b) Ta có MNAN' nên MN nhỏ nhất khi AN' nhỏ nhất  AN'd3.

Từ đó ta xác định  như sau:

- Dựng   chứa d và 2   d1

- Dựng giao tuyến d     3    

- Gọi N' là hình chiếu của A trên d 3

- Từ N' dựng đường thẳng song song với d cắt 1 d tại 2 N

- Từ N dựng đường thẳng  song song với N A' thì  là đường thẳng thỏa yêu cầu bài toán

c) Gọi J là trung điểm của AN' thì OIJ    mà O cố định và   cố định nên OIJ 

cố định Vậy OI thuộc mặt phẳng cố định đi qua O và song song với   .

59.a) Ta có ABC , DBC  ,  đôi một cắt nhau theo

các giao tuyến là BC MN PQ nên theo định lí về giao , ,

tuyến thì BC MN PQ hoặc đồng quy hoặc đôi một , ,

Tương tự MQ IJ nên MNPQ là hình thang.

Dễ thấy DQAMx DP, AN Theo định lí cô sin y

ta có

Q

M K

P

Vậy MNPQ là hình thang cân.

Trường hợp BC MN PQ song song không có gì khó , ,

khăn bạn đọc tự kiểm tra

x a y Khi đó   đi qua B

c) Dễ thấy MNPQ là hình thang cân có

x-y 2

a-x

K H

A'

A P

M

C S

PHÉP CHIẾU SONG SONG HÌNH BIỂU DIỄN CỦA MỘT HÌNH TRONG KHÔNG GIAN

A CHUẨN KIẾN THỨC A.TÓM TẮT GIÁO KHOA.

1 Phép chiếu song song.

Cho mặt phẳng   và một đường thẳng  cắt   Với mỗi điểm M trong không gian,đường thẳng đi qua M và song song với  cắt   tại điểm M' xác định

Điểm M' được gọi là hình chiếu song song của điểm M trên mặt phẳng   theo phương 

Mặt phẳng   được gọi là mặt phẳng chiếu, phương của  gọi là phương chiếu

Phép đặt tương ứng mỗi điểm M với hình chiếu M' của nó trên   được gọi là phép chiếu song song lên   theo phương 

Ta kí hiệu Ch    M M'

2 Tính chất của phép chiếu song song.

 Phép chiếu song song biến ba điểm thảng hàng tành ba điểm thẳng hàng và không làm thay đổi thứ tự của ba điểm đó

 Phép chiếu song song biến đường thẳng thành đường thẳng, biến tia thành tia, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng

 Phép chiếu song song biến hai đường thẳng song song thành đường thẳng song songhặc trùng nhau

 Phép chiếu song song không làm thay đổi tỉ số độ dài của hai đoạn thẳng nằm trên hai đường thẳng song song hoặc cùng nằm trên một đường thẳng

3 Hình biểu diễn của một số hình không gian trên mặt phẳng.

 Một tam giác bất kì bao giờ cũng có thể coi là hình biểu diễn của một tam giác tùy ý cho trước ( tam giác cân, đều, vuông…)

 Một hình bình hành bất kì bao giờ cũng có thể coi là hình biểu diễn của một hình bình hành tùy ý cho trước ( Hình vuông ,hình thoi, hình chữ nhật, hình bình hành…)

 Một hình thang bất kì bao giờ cũng có thể coi là hình biểu diễn của một hình thang tùy ý cho trước, miễn là tỉ số độ dài của hai cạnh đáy được bảo toàn

 Hình elip là hình biểu diễn của hình tròn

B LUYỆN KĨ NĂNG GIẢI CÁC DẠNG BÀI TẬP.

Bài toán 01: VẼ HÌNH BIỂU DIỄN CỦA MỘT HÌNH  H CHO TRƯỚC

Phương pháp:

Để vẽ hình biểu diễn của hình  H ta cần xác định các yếu tố bất biến có trong hình  H

- Xác định các yếu tố song song

- Xác định tỉ số điểm M chia đoạn AB

- Trong hình H phải đảm bảo tính song song và tỉ số của điểm ' M chia đoạn AB

Ví dụ 2 Vẽ hình biểu diễn của tứ diện ABCD lên mặt phẳng  P theo phương chiếu

AB( AB không song song với  P ).

Lời giải:

Vì phương chiếu l là đường thẳng AB nên hình

chiếu của A và B chính là giao điểm của AB và

Chiếu song song lên mặt phẳng   theo phương l không song song với AB sao cho

ảnh của M A B, , là ba điểm M A B', ', ' mà ta có thể tính được ' '

Ví dụ 1 Cho hình hộp ABCD A B C D ' ' ' ' Xác định các điểm M N, tương ứng trên các

đoạn AC B D', ' ' sao cho MN song song với BA' và tính tỉ số

D C

C'

D' A

B

Xét phép chiếu song song lên mặt

phẳng A B C D theo phương chiếu' ' ' '

Gọi N B D' 'KC' Đường thẳng qua

N và song song với AK cắt AC' tại

M Ta có M N, là các điểm cần xác

định

Theo định lí Thales , ta có

'2

a) Xác định đường thẳng  đi qua M đồng thời cắt AN và A B'

b) Gọi ,I J lần lượt là giao điểm của  với AN và A B' Hãy tính tỉ số IM

IJ .

C B

D A

D' M

A'

N K

B'

C'

a) Giả sử đã dựng được đường thẳng 

cắt cả AN và BA' Gọi ,I J lần lượt là giao

điểm của  với AN và BA'

Xét phép chiếu song song lên ABCD

theo phương chiếu A B' Khi đó ba điểm

CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP

61 Cho hình chóp S ABCD có đáy là hình bình hành tâm O M là trung điểm của SC.a) Tìm giao điểm Icủa SD với AMN

N' N

C' D'

B'

B

C A'

M

a) Xác định thiết diện của lăng trụ khi cắt bởi   qua M B, ' và trung điểm E của AC.

65 Cho tứ diện ABCD, M là một điểm trên cạnh DB,   là mặt phẳng đi qua M

song song với AD BC, .

a) Xác định thiết diện của hình chóp với  

b) Xác định vị trí của M để thiết diện là hình thoi

c) Xác định vị trí của   để diện tích thiết diện lớn nhất

66 Cho tứ diện ABCDcó trọng tâm các mặt đối diện với các đỉnh A B C D, , , lần lượt là', ', ', '

A B C D Gọi M N P Q R S lần lượt là trung điểm các cặp cạnh đối của tứ diện., , , , ,a) Chứng minh AA BB CC DD', ', ', ' đồng qui tại G( G gọi là trọng tâm của tứ diện,

AA BB CC DD được gọi là các đường trọng tuyến của tứ diện).

b) Chứng minh bảy đoạn thẳng AA BB CC DD MN PQ RS đồng quy.', ', ', ', , ,

67 Cho tứ diện ABCD, G là trọng tâm của tam giác BCD và M là điểm thuộc miền trong tam giác BCD Đường thẳng qua M và song song với AG cắt các mặt phẳng

ABC , ACD , ABD tại , , P Q R

a) Chứng minh MP MQ MR  không đổi khi M di động trong tam giác BCD

b) Xác định vị trí của điểm M để MP MQ MR đạt giá trị lớn nhất.

68 Cho tứ diện đều ABCD cạnh a Trên các cạnh BC CD, lấy các điểm M N, sao cho

PA

PI 

Tính diện tích thiết diện tạo thành khi cắt tứ diện bởi MNP 

69 Cho hình hộp ABCD A B C D ' ' ' ' Xác định các điểm M N, trên các đoạn AC B D', ' '

tương ứng sao cho MN BA ' và tính tỉ số

'

MA

MC .

70 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình bình hành Gọi E là trung điểm của

SC Mặt phẳng   thay đổi nhưng luôn chứa AE cắt SB SD, lần lượt tại M N, Xác

định vị trí của M N, trên các cạnh SB SD, sao cho SM SN

63 a) Trong ABB A gọi ' ' KMB'AA'

Trong ABC gọi  DMECB

Thiết diện là tứ giác DEKB'

C S

F

K D

E

P

M D

B N

Thiết diện là tứ giác MNPQ

b) Giả sử có điểm M trên cạnh BD để MNPQ là hình thoi.

 nên điều kiện M nằm trên BD được thỏa mãn

Vậy thiết diện là hình thoi khi M nằm trên cạnh BD sao cho DM AD BD.

A

B

D

C M