ĐÁP ÁN ĐỀ THI THỬ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH III
20192
Câu 1
a)
∞
X
n=1
n3+ 2ln n + 2n
n + log5 n + en
n → +∞ ⇒
(
lnn << n3 < 2n log5n << n < en
⇒ Un < (2
e)
∞
P
n=1
(2
e)
⇒
∞
P
n=1
Un HT
Vậy
∞
X
n=1
n3+ 2ln n + 2n
n + log5 n + en HT
b)
∞
X
n=1
n
√
e − 1
√
n
n → +∞ ⇒ Un = e
1
n − 1
√
1 n
√ n Mà
∞
X
n=1
1
n12
HT
⇒
∞
X
n=1
Un HT
Vậy
∞
X
n=1
n
√
e − 1
√
Câu 2
I =
∞
X
n=1
nxn
4n+ 1
Xét lim
Un+ 1| = |x|
4
⇒Theo tiêu chuẩn D’Alembert⇒ Để chuỗi HT⇒ ⇔ x ∈ (−4; 4) ⇔ |x|
4 < 1 +,Với x = 4 ⇒ lim
x→∞
4n.n
4n+ 1 = limx→∞n 6= 0 ⇒
∞
X
n=1
4n.n
4n+ 1 PK
+,Với x = −4 ⇒ lim
n.n
4n+ 1 = limx→∞n 6= 0 ⇒
∞
X
n=1
4n.n
4n+ 1 PK khi x=-4 Vậy MHT(-4;4)
Câu 3
a)y
xdx + (y
3+ lnx)dy = 0 là PTVPTP (Py0 = Q0x = 1
x)
⇒ Pt có n0 là:
Trang 2R
1
P (t; 1)dt +
y
R
1
Q(x; t)dt = C
⇔
x
R
1
1
tdt +
y
R
1
(t3+ lnx)dt = C
⇔ y4 + 4ylnx = C
b) yy00 = y0(1 + y0) (1)
Đặt y0 = P (y)
⇒ y00 = P0P
yP0P = P (1 + P ) (2)
+,Với p, y 6= 0; p + 1 6= 0 ⇒ dP
1 + P =
dy y
⇒ ln|1 + P | = ln|y.C1| ⇒ y0 = C1y − 1
⇒ x =R 1
C1ln|C1y − 1| + ln(C2)
⇔ C1x = ln[(C2y − 1).C2]
⇒ C1y = C2eC 1 x+ 1
+)P=0 ⇒ y = C ⇒∈ họ n0
(
y = 0 ⇒ là n0 riêng
P+1=0⇒ y = C − x
Vậy pt có n0 : C1y = C2eC 1 x+ 1, y = 0, y = C − x
c)y00− 6y0 + 9y = 3x − 8e3x (1)
Xét pt thuần nhất y00 − 6y0 + 9y = 0 (2)
Pt đặc trưng :k2− 6k + 9 = 0 ⇔ k = 3
⇒ n0 TQ của (2) là y = (C1x + C2)e3x
Pt: y00− 6y0 + 9y = 3x có n0 riêng là:Y1 = e0t(ax + b) = ax + b
y00− 6y0 + 9y = −8.e3x có n0 riêng là : Y2 = x2e3x(C + Dx) = Cx2.e3x
⇒ Y0 = a + 2Cxe3x+ 3Cx2e3x+ 3Cx2e3x= a + Cxe2x(2 + x)
Y00 = e3x(3Cx2+ 8Cx + 2C)
⇒ thay vào (1)
⇒ e3x(3Cx2+ 8Cx + 2C) + e3x(−6x2C − 12Cx) + e3x9x2C − 6Ax − 6B + A = 3x − 8e3x
⇔ 2Ce3x+ 9Ax + 8B − 6A = 3x − 8e3x
⇒
C = −4
A = 1
3
B = 2
9
⇒ Y = −4x2e3x+ x
3 +
2 9 Vậy n0 tổng quát:y = Y + y = (C1x + C2− 4x2)e3x+ x
3 +
2 9 Câu 4 Khai triển Fourier
f (t) = x2 trên[−π; π]
Giải
+) a0 = 1
π
π
Z
−π
f (x)dx
⇒ a0 = 2
π
π
Z
x2dx
Trang 3⇔ a0 = 1
π
2π3
2π2
3
⇔ a0 = 2π
+) an= 1
π
π
Z
−π
f (x)cosnxdx
⇒ an = 1
π
π
Z
0
x2cosnxdx
⇔ an = 2
π.
2π
n2cosnx
⇔ an = 4(−1)
n
n2 ∀x ∈ n∗
+) Do f(x) là hàm chẵn nên bn = 0 với ∀x dương
⇒ bn= 0
⇒ f (x) = π
3
3 +
∞
X
n=1
4(−1)n
n2 cosnx
Câu 5
a)x00+ 4x0+ 8x = e−t x(0) = x0(0) = 0
Đặt X(s)=Lx(s), Lx00(s) = s2Lx − sx(0) − s0x0(0) = s2X
Lx0(s) = sX
Laplace 2 vế ta có
s2X + 4sX + 8X = 1
s + 1 , trong đó X=Lx(t)
(s + 1)(s2 + 4s + 8)
5(s + 1) − s
5(s + 2)2 + 4 − 3
5(s + 2)2+ 4
x = 1
5e
5cos2t.e
10sin2t.e
−2t
b)f (t) =
(
x00 + 2x − 4y = 0
y00− x + 2y = 0
( x(0) = y(0) = 0
x0(0) = −y0(0) = 1 Đặt X(s)=Lx(t)(s)
Y(s)=Lx(t)(s)
Thay vào hpt ta có:
(
s2X(s) − 1 + 2sX(s) − 4Y (s) = 0
s2Y (s) + 1 − sX(s) + 2Y (s) = 0
⇔
(
X(s)(s2+ 2s) − 4Y (s) = 1
Y (s)(s2+ 2) − sX(s) = −1
⇔
Y (s) = s
s2(s2+ 4) X(s) = s
s2(s2+ 4)
⇔
Y (s) = 1
4s2 − 5s
2
8(s2+ 4) X(s) = 1
2s2 + 5s
2
4(s2+ 4)
Trang 4
y = 1
4t −
5
8sin2t
x = 1
2t +
5
4sin2t Câu 6 Tính tổng của chuỗi số sau:
I =
∞
X
n=1
2n − 1
2n− 1
Đặt x = √1
2n−1 = x2n−2
⇒
∞
X
n=1
(2n − 1)x2n−2 HT đều
Đặt f (x) =
∞
X
n=1
(2n − 1)x2n−2
⇒R f (x)dx =
∞
X
n=1
x2n−1 = x
1 − x2
⇒ f (x) = ( x
1 − x2)0 = x
(1 − x2)2
⇒ S = f (√1
2) = 6