ÔN tập tự LUẬN GIẢI TÍCH 12a

Trang 1

ÔN TẬP TỰ LUẬN GIẢI TÍCH 12 ⎯ ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM

Đơn điệu (sự đồng biến và nghịch biến) của hàm số

Ghi nhớ: Xét dấu y’ vận dụng các quy tắc sau:

* Nếu y’ là nhị thức bậc nhất (y’ = ax + b), Quy tắc: Phải cùng Trái trái dấu với hệ số

a

* Nếu y’ là tam thức bậc hai (y’ = ax2 + bx + c) có hai nghiệm phân biệt

Quy tắc: Trong trái Ngoài cùng dấu với hệ số a

* Nếu y’ là tam thức bậc hai (y’ = ax2 + bx + c) có 1 nghiệm hoặc vô nghiệm

Quy tắc: Cùng dấu với hệ số a

Đặc biệt: * Nếu y’ là hàm bậc ba (y’ = ax3 + bx2 + cx + d) có 3 nghiệm phân biệt

Quy tắc: Đổi dấu từ Phải sang Trái theo dấu hệ số a

Xét tính đơn điệu của các hàm số sau:

a/ y = x3 – 6x2 + 9x (ĐB:( −∞ ;1),(3; +∞ ); NB: (1; 3))

b/ y = x4 – 2x2 (ĐB: (-1; 0), (1; +∞ ); NB:( −∞ − ; 1),(0;1))

c/ y =

3 2

7

−

+

x

x (NB:( −∞ − ; 7),( 7; − +∞ )) d/ y =

2 5 3 2

− +

−

x (ĐB: ( −∞ ;2),(2; +∞ ))

e/ y = x + 2cosx, x

5

;

6 6

π π

∈

(NB:

5

;

6 6

π π

Cực trị (cực đại, cực tiểu)

Tìm cực trị các hàm số sau:

a/ y = x3 – 3x2 – 24 + 7 (yCĐ = y(-2) = 35; yCT = y(4) = -73)

b/ y = x4 – 5x2 + 4 (yCĐ = y(0) = 4; yCT = y(

5 2

±

) =

9 4

−

) c/ y =

2 3 3

2

− +

−

x (yCĐ = y(1) = -1; yCT = y(3) = 3)

π

+ kπ ) = 1; yCT = y(3 4

π

+ kπ ) = -1, k ∈ Z vì hàm số có chu

kì T = π )

e/ y = x2− + x 1 (yCT = y(

1

2) =

3

2 )

Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất

Ghi nhớ: * GTLN – GTNN của hàm số y = f(x) trên đoạn [a; b]

Bước 1: Tính f (x) Giải PT ′ f (x) = 0 ′ ⇒nghiệm xi ;

Bước 2: Tính f(a), f(b)

Bước 3: Tính f(xi) với xi ∈[a; b] ;

Bước 4: So sánh f(a), f(b) và f(xi)⇒GTLN – GTNN

Tìm GTLN và GTNN của các hàm số sau:

a/ y = x +

4

x (x > 0)((0;min)

+∞ y=

x

x ((max; ) (0) 4

−∞ +∞ y= y =

) c/ y =

1

sin x trên (0; )π (min(0; )

π y=

y( 2

π ) = 1) d/ y = 2x3 – 3x2 – 12x + 10 trên [ 3;3]− (max[ 3;3] ( 1) 17

− y= − =y

; [ 3;3]min

− y=

y(-3) = -35) e/ y = x4 – 3x2 + 2 trên [2;5](max[2;5] y= y(5) 552=

; min[2;5] y=

y(2) = 6)

Trang 2

f/ y =

2

1

−

x

x trên [-3; -2]([ 3; 2]

4

3

− − y= − =y

; [ 3; 2]min

− − y=

y(-3) =

5

4 ) g/ y = 25−x trên [-4; 4] (2 max[ 4;4] (0) 5

− y= y =

; [ 4;4]min

− y=

y( 4± ) = 3) h/ y = 2sin2x – cosx + 1

(Biến đổi về dạng: f(t) = -2t2 – t + 3 trên [-1; 1]) ( [ 1;1]

− y= −y =

; min[ 1;1]

− y=

y(1) = 0) i/ y = 2sinx –

4

3 sin3x trên [0; π] (Biến đổi về dạng: f(t) = 2t –

4

3 t3 trên [0; 1]) ( [0;1]

y y

; min[0;1] y=

y(0) = 0)

Đường tiệm cận

Tìm tiệm cận đứng và tiệm cận ngang (nếu có) của các hàm số sau:

a/ y =

2

−

+

x

5

2 2

d/ y =

2

3

4

+

−

2

−

x

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số

Ghi nhớ:

a) PTTT của hàm số (C): y = f(x) tại điểm M 0 (x 0 ; y 0 )

Bước 1: PTTT cần tìm có dạng: y – y0 = f (x0′ )(x – x0)

Bước 2: Tính f (x)′

Bước 3: Tính k = f (x0′ )

Bước 4: Thay x0, y0 và f (x0′ ) vào bước 1

b) PTTT của (C): y = f(x) biết hệ số góc k cho trước

Bước 1: Tính f (x) ′

Bước 2: Giải phương trình f (x0′ ) = k ⇒nghiệm x0

Bước 3: Tính y0 = f(x0)

Bước 4: Thay x0, y0 và k = f (x0′ ) vào PT: y – y0 = f (x0′ )(x – x0)

Bài 1: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị các hàm số sau:

a/ y = x3 – 3x2 b/ y = - x3 + 3x – 1 c/ y = 3x – 4x3 d/ y = x3 – 3x2 + 3x – 2

a/ y = x4 – 2x2 – 1 b/ y =

4

2 3

−x + +x

c/ y = - x4 + 2x2 d/ y = x4 + x2 – 2

a/ y =

1

−

x

1 2 2

− +

x

x c/ y =

6 3 +

2x−8

x

Bài 4: Cho hàm số (C): y = -x3 + 3x + 2

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (C)

b) Dựa vào đồ thị (C), biện luận theo m số nghiệm của phương trình: x3 – 3x – 2 + m = 0

ĐS: * m > 4: 1 n0; * m = 4: 2 n0; * 0 < m < 4: 3 n0; * m = 0: 2 n0; * m < 0: 1 n0

c) Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm I(0; 2) ĐS: y = 3x + 2

d) Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm cực đại và điểm cực tiểu của đồ thị (C)

Trang 3

HD: PT đt đi qua 2 điểm A(xA; yA) và B(xB; yB) có dạng:

x x y y ĐS: y = 2x + 2

Bài 5: Cho hàm số (C): y = x3 + 3x2 + 1

b) Dựa vào đồ thị (C), biện luận theo k số nghiệm của phương trình: x3 + 3x2 – k = 0 ĐS: * k > 4: 1 n0; * k = 4: 2 n0; * 0 < k < 4: 3 n0; * k = 0: 2 n0; * k < 0: 1 n0

c) Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm có hoành độ bằng -1

HD: Thế x = -1 vào (C) ⇒y = 3: M(-1; 3) ĐS: y = -3x

d) Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm cực đại và điểm cực tiểu của đồ thị (C) ĐS: y = -2x + 1

Bài 6: Cho hàm số (C): y = - x4 + 2x2 + 1

b) Biện luận theo m số nghiệm của phương trình: -x4 + 2x2 + 1 – m = 0

ĐS: * m > 2: vô n0; * m = 2: 2 n0; * 1 < m < 2: 4 n0; * m = 1: 3 n0; * m < 1: 2 n0

c) Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm có tung độ bằng 2

HD: Thế y = 2 vào (C) ⇒x =±1: M(-1; 2), N(1; 2) ĐS: y = 2

Bài 7: Cho hàm số (C): y = x4 – 2x2 – 3

a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (C)

b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết hệ số góc của tiếp tuyến là 24 ĐS: y = 24 – 43

Bài 8: Cho hàm số (C): y = x3 – 3x2 + 4

b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) song song với đường thẳng y =

5 1 3

− x −

ĐS: y =

5 83

3 27

− x +

; y =

5 115

3 27

− x +

Bài 9: Cho hàm số (C): y =

1 3

+

−

x x

b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) vuông góc với đường phân giác phần tư thứ nhất

HD: Đường phân giác phần tư thứ nhất là: y = x ĐS: y = -x và y = -x + 8

Bài 10: Cho hàm số (Cm): y = 2x3 + 3(m – 1)x2 + 6(m – 2)x – 1

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (C) khi m = 2

b) Với giá trị nào của m, đồ thị của hàm số (Cm) đi qua điểm A(1; 4) ĐS: m = 2

c) Viết phương trình tiếp tuyến của hàm số (C) đi qua điểm B(0; -1) ĐS: y = -1; y = 9

1

8

− x−

Bài 11: Cho hàm số (Cm): y = x4 – (m + 7)x2 + 2m – 1

b) Xác định m để đồ thị (Cm) đi qua điểm A(-1; 10) ĐS: m = 1

c) Dựa vào đồ thị (C), với giá trị nào của k thì phương trình: x4 – 8x2 – k = 0 có 4

nghiệm phân biệt ĐS: -14 < k < 0

Bài 12: Cho hàm số (Cm): y =

1 2

− +

mx

x m

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (C2)

b) Chứng minh rằng với mọi giá trị của tham số m, hàm số luôn đồng biến trên mỗi khoảng xác định của nó

HD: Chứng minh tử thức của y ’ > 0 suy ra y ’ > 0(đpcm)

c) Xác định m để tiệm cận đứng của đồ thị đi qua A(-1; 2 ) ĐS: m = 2

Trang 4

d) Viết phương trình tiếp tuyến của hàm số (C2) tại điểm (1;

1

4 ) ĐS: y =

8x−8

1

−

x

b) Với giá trị nào của m, đồ thị của hàm số (Cm) đi qua điểm B(0; -1) ĐS: m = 0

c) Định m để tiệm cận ngang của đồ thị đi qua điểm C( 3 ; -3) ĐS: m = -4

c) Viết phương trình tiếp tuyến của hàm số tại giao điểm của nó với trục tung

HD: Giao điểm với trục tung ⇒x = 0, thay x = 0 vào (C) ⇒y = -1: E(0; -1) ĐS: y = -2x – 1

Bài 14: Cho hàm số (Cm): y = x3 + (m + 3)x2 + 1 – m

a) Định m để hàm số có điểm cực đại tại x = ⎯1 ĐS: m =

3 2

− b) Xác định m để đồ thị (Cm) cắt trục hoành tại x = -2

HD: (Cm) cắt trục hoành tại x = -2 ⇒ y = 0, thay vào (Cm) ĐS: m =

5 3

−

Bài 15: Cho hàm số (Cm): y = x3 – 3mx2 + 3(2m – 1)x + 1

a) Xác định m để hàm số đồng biến trên tập xác định

HD: * Tìm y’ và vận dụng công thức sau

y ’ ≤ 0)

⇔

0

>



∆ ≤ ∆ ≤′







a hay

* m2 – 2m + 1 ≤0 ⇔m = 1

(vì m2 – 2m + 1 = 0 có nghiệm kép m = 1 và a = 1 > 0) ĐS: m = 1

b) Với giá trị nào của tham số m, hàm số có một cực đại và một cực tiểu

* Để hàm số có cực trị (hay có một cực đại và một cực tiểu)

⇔y ’ = 0 có 2 nghiệm phân biệt ⇔ ∆ >0(hay∆ >′ 0)

* m2 – 2m + 1 > 0 ⇔m ≠ 1

(vì m2 – 2m + 1 = 0 có nghiệm kép m = 1 và a = 1 > 0) ĐS: m ≠ 1

c) Xác định m để y”(x) > 6x ĐS: m < 0

3 2

+ + +

mx

x m

a) Định m để hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định của nó

* Để hàm số đồng biến (hay nghịch biến) trên từng khoảng xác định của nó

⇔y ’ > 0 (hay y ’ < 0) ⇔tử thức > 0 (hay tử thức < 0) ĐS: - 3 < m < 1

* Giải bất phương trình bậc hai (có 2 nghiệm phân biệt) lập bảng xét dấu

b) Tìm trên (C-1) những điểm có tọa độ nguyên

HD: * Chia tử cho mẫu ta được 2 phần (phần nguyên + phần phân)

ĐS: (1; 3); (-1; -5); (2; 1); (-2; -3); (4; 0); (-4; -2)

Bài 17: Xác định m để h/số y = x3 – 3mx2 + (m + 2)x – m đồng biến trên R ĐS:

2

1

3

− ≤ ≤m

Bài 18: Định m để hàm số y = x3 – 6x2 + 3(m + 2)x – m – 6 có cực trị ĐS: m < 2

Bài 19: Định m để hàm số y = x3 + mx2 – 2mx + m + 1 đạt cực tiểu tại x = 3 ĐS: m = 27

4

−

Trang 5

Bài 20: Định m để hàm số y = x3 + mx2 – (m – 1)x + m – 5 đạt cực trị tại x = 1

* Để hàm số đạt cực trị tại x = α ⇔y ’ (α) = 0 (giải Pt suy ra giá trị m) ĐS: m

= -4

Bài 21: Định m để hàm số y =

1 3

−

x3 + (m – 2)x2 – mx + 3m giảm trên R ĐS: 1≤ ≤m 4

Định dạng
Số trang	5
Dung lượng	188,71 KB