HỆ TRỤC tọa độ TRONG KHÔNG GIAN OXYZ

PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIANVẤN ĐỀ: HỆ TRỤC TỌA ĐỘ Dạng 1: Tìm tọa độ của một vectơ và các yếu tố liên quan đến vectơ thỏa mãn một số điều kiện cho trước.. Phương pháp: Sử dụng đị

PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN

VẤN ĐỀ: HỆ TRỤC TỌA ĐỘ

Dạng 1: Tìm tọa độ của một vectơ và các yếu tố liên quan đến vectơ thỏa mãn một số

điều kiện cho trước

Phương pháp: Sử dụng định nghĩa và khái niệm có liên quan đến vectơ: Tọa độ các

vectơ; độ dài của vector; tổng hiệu của hai vectơ; tính các tọa độ trung điểm của đoạn thẳng; trọng tâm của tam giác;

VÍ DỤ 1: Trong không gian Oxyz , cho 3 vector ar =(5,7, 2 ,) br =(3, 0, 4 ,) cr= −( 6,1, 1− )

Hãy tìm tọa độ các vector sau:

a mur= ar− b cr r+ b n)r= 5ar+ 6br+ 4cr

Giải

a) Ta có:

3 15, 21,6

2 6, 0, 8

6,1, 1

a

b

c

 =

− = − −



 = − −



r

r

r

3 2 3, 22, 3

m a b c

⇒ =ur r− r r+ = −

b) Tương tự: nr=5ar+6br+4cr=(19,39,30)

VÍ DỤ 2: Trong không gian Oxyz , cho ba điểm A(1, 0, 2 ,− ) (B 2,1, 1 ,− ) (C 1, 2, 2− )

a) Tính độ dài các cạnh của ∆ABC

b) Tìm tọa độ trung điểm của các cạnh của ∆ABC

c) Tìm tọa độ trọng tâm G của ∆ABC

a) Ta có: uuurAB=(1,1,1 ,) BCuuur= − −( 1, 3,3 ,) CAuuur=(0, 2, 4− )

Do đó

AB= uuurAB = + + =

, ( ) ( )2 2 2

BC= BCuuur = − + − + =

CA= CAuuur= + + − =

b) Gọi D E F, , lần lượt là trung điểm các cạnhAB BC CA, , Ta có:

1

3

3

A B

D

A B

D

A B

D

x x

x

y y

y

z z

z

+







+



Vậy

2 2 2

D − 

Tương tự

2 2 2

E −  F −

c) Gọi G là trọng tâm của∆ABC

Ta có

4

1

1

A B C G

A B C G

A B C G

x x x x

y y y y

z z z z

+ +











Vậy

G − − 

Dạng 2: Tích vô hướng và các ứng dụng của tích vô hướng.

Phương pháp:

Sử dụng định nghĩa tích vô hướng và biểu thức tọa độ của tích vô hướng Sử dụng các công thức tính khoảng cách giữa hai điểm, tính góc giữa hai vector

VÍ DỤ 3: Trong không gian Oxyz, cho a b,

r r

tạo với nhau một góc 120°

Tìm

a br r+ và

a b−

r r

, biết

3, 5

ar = br =

Giải

- Ta có:

2

a b+ = + +a b a b cos a b = + + − =

 ÷

 

Vậy

19

a br r+ =

- Ta có:

2

a b− = + −a b a b cos a b = + −  − =

 ÷

 

Vậy

7

a br r− =

VÍ DỤ 4: Trong không gian Oxyz Cho 3 điểm A(1, 2,1 ,) (B 5,3, 4 ,) (C 8, 3, 2− )

a) Chứng minh rằng ∆ABC

là tam giác vuông b) Tính diện tích ∆ABC

Giải a) Ta có: uuurAB=(4,1,3) ⇒AB= 26,uuurAC=(7; 5;1)⇒ AC=5 3,BCuuur=(3; 6; 2)⇒BC=7 Nhận xét: uuur uuurAB BC =4.3 +1( )− +6 3 2( )− = ⇒0 uuur uuurAB⊥BC

Hay tam giác ABC vuông tạiB

b) Gọi S là diện tích tam giác ABC , ta có:

S = AB BC= =

Dạng 3: Chứng minh bốn điểm A, B, C, D KHÔNG đồng phẳng ( A B C D, , , là bốn đỉnh

ABCD

Phương pháp:

Bước 1: Tính

; ;

, ,

, ,

AB AC AD

=

=

=

uuur uuur uuur

Bước 2: Tính uuur uuurAB AC,  = ( , , )

, 0

AB AC AD

uuur uuur uuur

Bước 3: Vậy ba vector AB AC AD, ,

uuur uuur uuur

không đồng phẳng, nên bốn điểm A B C D, , , không đồng phẳng

Bước 4:

1

6

ABCD

V =  AB AC AD 

uuur uuur uuur

VÍ DỤ 5: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho bốn điểm

(0, 1, 0 ,) (2,1, 2 ,) ( 1, 2, 2 ,) ( 2, 2,1)

Chứng minh ABCD là một tứ diện, tính thể tích tứ diện ABCD

Giải

Ta có:

2, 2, 2 1,3, 2 2,3,1

AB

AC

AD

 = − −



 = −



uuur

uuur

uuur

, 2, 6,8

AB AC

uuur uuur

, 4 18 8 22 0   , ,  

uuur uuur uuur uuur uuur uuur

không đồng phẳng⇒ ABCD

là một tứ diện

ABCD

V = uuur uuur uuurAB AC AD =

Dạng 4: Chứng minh bốn điểm A B C D, , , đồng phẳng

Phương pháp:

Bước 1: Tính

; ;

, ,

, ,

AB AC AD

=

=

=

uuur uuur uuur

Bước 2: Tính uuur uuurAB AC,  = ( , , )

, 0

AB AC AD

uuur uuur uuur

AB AC AD

uuur uuur uuur

, , ,

A B C D

VÍ DỤ 6: Trong không gian Oxyz , cho bốn điểm

(1, 2,0 ,) (1,0, 1 ,) (0, 1, 2 ,) (0, , )

Hệ thức giữa m và k để bốn điểm A B C D, , , đồng phẳng?

Giải (0, 2, 1 ,) ( 1,1, 2 ,) ( 1, 2, )

AB= − AC= − AD= − m+ k

uuur uuur uuur uuur uuur

Vậy bốn điểm A B C D, , , đồng phẳng

⇔uuur uuur uuur = ⇔ + =