CHUYÊN đề GIÁ TRỊ lớn NHẤT GTNN của hàm số

CHUYÊN ĐỀ GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐB.. Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số đại số Câu 1... Có bao nhiêu số thực m sao cho m= B... Giá trị lớn nhất v

CHUYÊN ĐỀ GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ

B. BÀI TẬP VỀ GTLN & GTNN CỦA HÀM SỐ

I Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số đại số

Câu 1 Trên đoạn [1; 4],hàm số

Câu 4 Tìm giá trị nhỏ nhất m của hàm

số

3 8 2 12 3

y= − +x x + x+

trên đoạn [−1;8 ]

A

78

m= −

B

89

C

3127

m= −

D

3227

Câu 6 Có bao nhiêu số thực m sao cho

m=

B

494

m=

C m=13

D

512

Câu 9 Giá trị lớn nhất của hàm số

x y x

−

=+ trên đoạn [ ]3;7

16

14

m

⇒ =

hoặc

3.4

m y

tham số thực) thỏa mãn [2;4]

miny=3

Mệnh đề nào sau dưới đây đúng?

x y x

+

=

− trên đoạn [ ]2; 4

Câu 14.

2 2

3

2 3

1( 1)

x

x x

x x

y − = y = y =

0≤ ≤ ∀ ∈y 2 x D

Suy ra T =[ ]0;2

Chọn B Câu 17. Tập xác định D= −[ 3;8]

D

112

x y x

x x

−

=

− +bằng

1lim

1

x

x x

x

−∞

13

−9 0

y′ – 0 +

y +∞

3

3 9

3

3 (0; )

II Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số mũ, hàm số lôgarit

Câu 1 Tính giá trị nhỏ nhất m của

m e

4( 2) ; (0) 0; (2) 4

x x

32

Câu 7 Tính giá trị lớn nhất M của

hàm số y=ln(x2+ +x 2)

trên đoạn [0; 2].

=

2

ln

x y

 

 

= (m n, là các số nguyên dương) Tích m n. bằng

4( ) 2

;

e e

2 lnx ln x y

ln 2

x x

III Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số lượng giác

Câu 1: Giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn bằng:

x x

Câu 2: Giá trị nhỏ nhất của hàm số trên khoảng bằng:

D −1

Câu 4: Giá trị lớn nhất của hàm số y = sinx + cosx là:

A 2 B 1 C 2 D 2 2Câu 5: Cho hàm số:

D

17

Câu 7: Giá trị lớn nhất của hàm số y=sin 2x x−

A 2 B

14

ππ

27

23

271

2

π

2

π

C

195

D

193

Câu 11: Giá trị lớn nhất của hàm số

π+

Câu 13: Giá trị lớn nhất của hàm số y=2sinx+sin 2x

trên

30;

D

3 32

Câu 17 Giá trị lớn nhất của hàm số

( ) 2

sin 1sin sin 1

−

D

5 24

Câu 25: Tìm GTLN-GTNN của hàm số:

3

4 2sin sin

3

trên đoạn [ ] 0; π

lần lượt là

π −

C

4

;12

π +

D

2

;14

A 1; -1 B

98

;127

x

= +

C

1

;03

D

27

;198

Câu 29: GTLN-GTNN của hàm số: y = cos 1 sin x ( + x )

abc≤ + +

(2)

)).(

111(1.1

3

)(

3()3

2 2 2

9

89

8

3 2 2

++

≥

c b a abc

(5)

Từ (1) và (5)

343

83

≥

1

0,,

c b a

c b a

Tìm GTLN của

3 3

3 a b b c c a

S = + + + + +

Phân tích:

)33

23

2.(

4

93

2.3

2)

(.4

9

3 3

3

≤+

23

2(

4

93

2.3

2)

(.4

9

3 3

3

≤+

23

2(

.4

93

2.3

2)

(4

9

3 3

,

max 3

=+

=+

⇔

=

≤

c b a

a c c b b a S

b a ab

)

1(

221

22)1(222

2 2

x

x x

x x

x x

03)

1(

22)

1(

⇔

x

x x

x

512

x

khi đó )2)

1((

9))

1(3)

x x

x

P

5,

1

≥

=+ t t x

x

ta được :

18129

, có2

5,0)12)(

2(6121812

23)

2

5()

(t ≥ f = − ∀t≥

f

,

22

54

23minP=− ⇔t= ⇔x=

, từ đó suy ra a=2,b=1

C ỨNG DỤNG GIÁ TRỊ LỚN NHẤT & GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ

I Tìm điều kiện của tham số để phương trình có nghiệm

≤ m ≤ 3 D 1 ≤ m ≤

137

Câu 2: Phương trình x4 + (1 – x)4 – m = 0 có nghiệm thuộc đoạn [0; 2] khi

≤ m ≤ 17 C

18

< m < 17 D 1 ≤ m ≤ 17 Câu 3: Tìm các giá trị m để phương trình 4− −x 2+x

x − +x

- x - 1 = 0 có nghiệm duy nhất?

A -1 < m ≤ 1, m = 2 B -1 ≤ m ≤ 1 C -1 ≤ m ≤ 2 D 1 ≤ m ≤ 2

C 4≤ m ≤

412

D m ≥ 4 Câu 8: Phương trình

−

C

6 2 92

−

< m < 3 D.

6 2 92

−

≤ m ≤3 Câu 9: Tìm các giá trị a để phương trình

B

43 ≤ k ≤

32

C

43 ≤ k ≤

85

D

43 < k <

85

Câu 12: Phương trình m.sinx – 1 = 0 có nghiệm thuộc đoạn [3

π

;

56

π

] khi

A 1 < m < 2 B 1 ≤ m ≤

23

C

23

< m ≤ 2 D 1 ≤ m ≤ 2 Câu 13: Tìm các giá trị k sao cho phương trình sau đây có nghiệm?

4(1 + sin2x.cos4x) – (cos4x – cos8x) -2k = 0

A 1 ≤ k ≤ 5 B

14564 ≤ k ≤ 5 C 1 ≤ k ≤

14564

Câu 17: Tìm các giá trị của số thực k sao cho phương trình 4sinx + 21 + sinx - k = 0 có nghiệm?

3

3]?

log (x+ =3) log (ax)

2 2

– 1– 3 3

++ = m Xét hàm số f(x) =

2 2

– 1– 3 3

++ trên đoạn [1; 4] ta có [1;4]

x4 + (1 – x)4 = m Xét hàm số y = x4 + (1 – x)4 trên đoạn [0; 2] ta có [0;2]

1minf( )

= m Xét hàm số f(x) = 4− −x 2+x

12 3 3

12 3

x x x

t∈[4; 4 2] ,

t −

= m với t∈

[4; 4 2] Hàm số f(t) = 5t -

2 162

t −

trên đoạn [4; 4 2] có minf(t) = 20, maxf(t) = 20 2 - 8 nênPhương trình có nghiệm trên [-5; 4] ⇔

20 ≤ m ≤ 20 2 - 8 Câu 8:

Đặt t = x+ 9−x

, x∈ [0; 9] ⇔

t∈[3; 3 2] ,

2

9x x−

=

2 92

t −

Phương trình trở thành t -

2 92

t −

trên đoạn [3; 3 2] có minf(t) =

6 2 92

−

và maxf(t) = 3 nên

Phương trình có nghiệm trên [0; 9] ⇔

6 2 92

−

≤ m ≤ 3 Câu 9:

Pt ⇔ x2−1

- x = a

x x x

2 2

Hàm số f(x) =

1sinx

trên đoạn [ 3

π

;

56

2 2

Hàm số f(t) = -t2 + t với t > 0 có bảng biến thiên như hình bên

Theo BBT : phương trình có nghiệm duy nhất

2 2

Cho hàm số y = f(x) xác định và liên tục trên khoảng (a;b)

1) Định lý 1: Phương trình f(x) = m có nghiệm thuộc đoạn [a;b]⇔ [ ]; [ ];

min ( ) max ( )

a b f x ≤ ≤m a b f x

2) Định lý 2: Bất phương trình f(x) ≥ m có nghiệm thuộc đoạn [a;b]⇔ [ ];

a b

m f x ≤m

Chú ý: Định lý 1,2,3,4,5 dùng để giải các bài toán về phương trình, hệ phương trình, hệ bất phương

trình, bất phương trình chứa tham số

Ví dụ 2: Tìm m để pt

2(sin x + cos x) + cos4x + 2sin2x + m = 0

có nghiệm thuộc đoạn

Vậy pt có nghiệm thuộc đoạn

2

04

'( ) , '( ) 0

4 ( )( 2)

t

t t

t loai t

a) Phương trình có nghiệm khi [ ] [ ]

min ( )f x m max ( )f x

⇔ - 30 ≤ m ≤ 15b) Phương trình có đúng 1 nghiệm khi - 30 ≤ m < 10 hoặc m = 15

c) Phương trình có hai nghiệm phân biệt khi 10 ≤ m < 15

Ví dụ 5: Tìm m để phương trình 4(sin4x + cos4x) + (5 - 2m)cos2x + 9 - 3m = 0

Ta có

2

2

4 12 7'( )

−

(Loại) v t =

1 2

3 x− +1 m x+ =1 2 x −1

Bài tập 2: Tìm m để phương trình sau có nghiệm thực

2 4

x− + x − + + m+ x− =

Bài tập 3: Tìm m để phương trình sau có nghiệm

1;12

( 4)(6 )'( ) 0 1

Bài tập 4: Tìm tất cả các giá trị m để hàm số y =

1 3

(m – 1)x3 + mx2 + (3m – 2)x đồng biến trên tập xác định của nó (ĐS : m ≥ 2)

Bài tập 5: Tìm tất cả các giá trị m để hàm số y = x3 + 3x2 - mx – 4 đồng biến trên khoảng

(-∞; 0) (ĐS : m ≤ -3).

Bài tập 6: Với giá trị nào của m thì hàm số y =

-1 3

x3 + (m – 1)x2 + (m + 3)x – 4đồng biến trên khoảng (0; 3) (ĐS : m ≥ 12/ 7)

Bài tập 7: Với giá trị nào của m thì hàm số y = -x3 + 3x2 + 3x – 1

nghịch biến trên khoảng (0; +∞) (ĐS : m ≤ -1)

Bài tập 1: Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm: m x + ≤ 1 x − + 3 2 m

Bài tập 2: Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm 3 2 ( )3