Chủ đề: Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất C hủ đề 3 GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ I.. ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM TÌM GTLN,GTNN 1.. Ta thực hiện: - Tính đạo hàm y’ - Lập bảng biến
Trang 1Chủ đề: Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất
C hủ đề 3 GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ
I ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM TÌM GTLN,GTNN
1 Cách tìm GTLN, GTNN trên khoảng (a; b): trong đó a có thể là −∞, b có thể là +∞.
Ta thực hiện: - Tính đạo hàm y’
- Lập bảng biến thiên: Nếu trên (a; b) hàm số chỉ có một cực đại (cực tiểu) duy nhất thì giá trị cực đại (cực tiểu) là giá trị lớn nhất (nhỏ nhất)
• Chú ý: Nếu trên khoảng (a; b) hàm số luôn luôn đồng biến hoặc luôn luôn nghịch biến thì không
có GTLN, GTNN trên khoảng đó.
Bài tập áp dụng:
1) Tìm giá trị lớn nhất giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau:
a) y = 4 - x2
; b) y = 4x3 – 3x4; c) y = x4 + 2x2 – 2;
d) y = x2 +x+2; e) y = x2 +xx+1 với x > 0; g) y = x + 3x 12
x -1
+ với x < 1.
h) y = 1
cosx trên khoảng ;3
2 2
π π
x y
x + 4 2) Tìm kích thước của hình chữ nhật có diện tích lớn nhất, biết rằng chu vi bằng 16 cm
HD: - Gọi một kích thước là x, điều kiện 0 < x < 8
⇒ Diện tích của hình chữ nhật là S(x) = x( 8 – x)
- Tìm x∈(0; 8) để S(x) lớn nhất ĐS: x = 4 cm
3) Hãy xác định hình chữ nhật có chu vi nhỏ nhất, biết diện tích bằng 48cm2
HD: - Gọi x là một kích thước của hình chữ nhật, điều kiện x > 0.
- Chu vi của hình chữ nhật làP x( ) 2(x 48)
x
- Tìm x∈(0; +∞) để P(x) nhỏ nhất ĐS: Hình vuông có cạnh bằng 4 3 m
2 Cách tìm GTLN, GTNN trên khoảng [a; b]
Ta thực hiện: - Tính đạo hàm y’
- Tìm các cực trị thuộc [a; b] của hàm số Giả sử các điểm cực trị là x 1 , x 2 ,…x n
- Tính f(x 1 ), f(x 2 )….f(x n ) và f(a), f(b), so sánh Rồi kết luận.
• Chú ý: - Nếu hàm số f(x) đồng biến trên [a; b] thì Maxy = f(b) và miny = f(a).
- Nếu hàm số f(x) nghịch biến trên [a; b] thì Maxy = f(a) và miny = f(b).
Bài tập áp dụng:
1) Tìm giá trị lớn nhất giá trị nhỏ nhất của các hàm số :
a) y= 2x3 + 3x2 – 12x + 1 trên đoạn [-1; 5]; b) y = 1 + 4x + x2 trên đoạn [-1; 3];
c) y= 5−4x trên đoạn [-1; 1]; d) y= sin2x – x trên [ ]
2
;
0 π ;
e) y= 4x2 −16x+34 trên đoạn [-1; 4]; g) y= sin2x - 2sinx trên đoạn [- ; ]
2 π
π
; h) y = x + cos2x trên đoạn [0; ]
4
x
5− ; l) y= cos2x + x trên đoạn [ ]
2
; 2
π π
− ; m) y = 1+2005x+ 1−2005x ;
1
Trang 2Chủ đề: Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất
2) Tìm GTLN, GTNN hàm số y= 3+ +x 6− −x (3+x)(6−x) ĐS: miny = 3 2 9
2
− , maxy
= 3
3) Tìm GTNN hàm số y x= 2−2x− +3 2x+1 ĐS: miny = -1 tại x = -1
4) Tìm GTLN, GTNN hàm số y= sin2sinxsinx1 1
+ +
+
HD: - Đặt t = sinx điều kiện: -1 t 1≤ ≤
- Đưa về tìm GTLN, GTNN trên [-1; 1]
II SỬ DỤNG ĐIỀU KIỆN CÓ NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH ĐỂ TÌM GTLN, GTNN
Tìm GTLN, GTNN của hàm số y = f(x) trê n [a; b]bằng điều kiện có nghiệm của phuơng trình:
Ta thực hiện: - Xem phương trình f(x) – y = 0 là phương trình ẩn x
- Tìm điều kiện để phương trình ẩn x có nghiệm trên [a; b]
1) Tìm GTLN, GTNN của hàm số: ) 2 1 ;
1
x
a y
x x
+
=
− +
2 2
3
2
x
b y
x x
+
=
− +
HD: a) - Giả sử hàm số đạt GTLN (GTNN) tại x0 thì x0 lànghiệm của pt: = +
− + 2
1 1
x y
x x
- Ta có pt = + ⇔ − +( ) + − =
− +
2 2
1
x
x x
- Trường hợp y = 0 ta có phương trình là: x = - 1
- Trường hợp y 0≠ Ta có phương trình có nghiệm khi
3-2 3 3+2 3
2
- So sánh hai trường hợp ta có: maxy = 3+2 3
3 ; miny =3-2 3
3 b) Tương tự maxy = 2; miny =7
6 2) Tìm GTLN, GTNN hàm số y=
2 x cos
+
sin
cosx 2
HD: - Giả sử hàm số đạt GTLN (GTNN) tại x0 thì thì x0 lànghiệm của pt: y
x cos x 2
+
=
2 cosx
- Do sinx + cosx + 2 ≠0 với mọi x nên pt (1) ⇔ysinx + (y - 1)cosx = 2(1- y)
- Phương trình có nghiệm khi y2 + (y – 1)2 ≥[2(1 - y)]2 3- 3 3+ 3
y
Ta có: maxy = 3 + 3
2 ; miny =3 - 3
2
2