Chủ đề số phức cực trị (bản đáp án chuẩn chuẩn)

Phương pháp 1: Hình họcng pháp 2: Đ i sạn thẳng ố phức thuộc đường tròn tâm Phương pháp 1: Hình họcng pháp 3: Lượng giácng giác A.. G i M là đi m bi u di n s ph c z, v i M di chuy n trên

CH Đ : C C TR S PH C Ủ ĐỀ: CỰC TRỊ SỐ PHỨC Ề: CỰC TRỊ SỐ PHỨC ỰC TRỊ SỐ PHỨC Ị SỐ PHỨC Ố PHỨC ỨC

Ki n th c c b n: ến thức cơ bản: ức ơ bản: ản:

· z (a bi )   đi m bi u di n s ph c thu c đ ng tròn tâm R ểm biểu diễn số phức thuộc đường tròn tâm ểm biểu diễn số phức thuộc đường tròn tâm ễn số phức thuộc đường tròn tâm ố phức thuộc đường tròn tâm ức thuộc đường tròn tâm ộc đường tròn tâm ường tròn tâm I a b( ; ) bán kính R

· z (a1b i1 )  z (a2b i2 )  đi m bi u di n s ph c thu c đểm biểu diễn số phức thuộc đường tròn tâm ểm biểu diễn số phức thuộc đường tròn tâm ễn số phức thuộc đường tròn tâm ố phức thuộc đường tròn tâm ức thuộc đường tròn tâm ộc đường tròn tâm ường tròn tâm ng trung tr c c aực của ủa,

A B v i ới A a b B a b ( ; ), ( ; )1 1 2 2

· z (a1b i1)  z (a2b i2 ) 2a  đi m bi u di n s ph c thu c:ểm biểu diễn số phức thuộc đường tròn tâm ểm biểu diễn số phức thuộc đường tròn tâm ễn số phức thuộc đường tròn tâm ố phức thuộc đường tròn tâm ức thuộc đường tròn tâm ộc đường tròn tâm

@ Đo n th ng ạn thẳng ẳng AB v i ới A a b B a b n u ( ; ), ( ; )1 2 2 2 ếu 2a AB

@ Elip ( )E nh n ận A B, làm hai tiêu đi m v i đ dài tr c l n là ểm biểu diễn số phức thuộc đường tròn tâm ới ộc đường tròn tâm ục lớn là ới 2a n u ếu 2a AB ,2

MA MB  a(M là đi m bi u di n s ph c ểm biểu diễn số phức thuộc đường tròn tâm ểm biểu diễn số phức thuộc đường tròn tâm ễn số phức thuộc đường tròn tâm ố phức thuộc đường tròn tâm ức thuộc đường tròn tâm z ), 2c AB v i ới a2 b2c2

Phương pháp 1: Hình họcng pháp 2: Đ i sạn thẳng ố phức thuộc đường tròn tâm

Phương pháp 1: Hình họcng pháp 3: Lượng giácng giác

A C s lý thuy t c a ph ơ bản: ở lý thuyết của phương pháp hình học ến thức cơ bản: ủa phương pháp hình học ưngơ bản: ng pháp hình h c ọc

I Ki n th c c b n ến thức cơ bản: ức ơ bản: ản:

1 Đ ưngờng thẳng ng th ng ẳng

Cho đường tròn tâm ng tròn ( )C có tâm I, bán kính R và K( )C ( K ch y trên đạn thẳng ường tròn tâm ng tròn ( ; )I R )

, M là đi m c đ nh.ểm biểu diễn số phức thuộc đường tròn tâm ố phức thuộc đường tròn tâm ịnh

II Ph ưngơ bản: ng pháp chung.

Bưới c 1: G i s ph c ọc ố phức thuộc đường tròn tâm ức thuộc đường tròn tâm z x yi  đượng giácc bi u di n b i đi m ểm biểu diễn số phức thuộc đường tròn tâm ễn số phức thuộc đường tròn tâm ởi điểm ểm biểu diễn số phức thuộc đường tròn tâm M x y( ; )

Bưới c 2: Tìm t p h p đi m ận ợng giác ểm biểu diễn số phức thuộc đường tròn tâm M x y( ; ) xem ch y trên đạn thẳng ường tròn tâm ng nào.

Bưới c 3: Chuy n moldul c n tìm Max – Min v đ dài đo n th ng.ểm biểu diễn số phức thuộc đường tròn tâm ần tìm Max – Min về độ dài đoạn thẳng ề độ dài đoạn thẳng ộc đường tròn tâm ạn thẳng ẳng

Bưới c 4: Vẽ hình, d a vào hình r i k t lu n.ực của ồi kết luận ếu ận

B C s lý thuy t c a ph ơ bản: ở lý thuyết của phương pháp hình học ến thức cơ bản: ủa phương pháp hình học ưngơ bản: ng pháp đ i s ại số ố phức

I B t đ ng th c ất đẳng thức ẳng ức

1 B t đ ng th c cô - si và ất đẳng thức ẳng ức Bunhiacopxki

a) B t đ ng th c cô - si ất đẳng thức cô - si ẳng ức thuộc đường tròn tâm

V i hai s a, b không âm ta có:ới ố phức thuộc đường tròn tâm a b 2 ab D u ất đẳng thức cô - si " " x y ra khi ảy ra khi a b

b) B t đ ng th c ất đẳng thức cô - si ẳng ức thuộc đường tròn tâm bunhiacopxki

+) B t đ ng th c tam giác: ất đẳng thức cô - si ẳng ức thuộc đường tròn tâm

· z1z2 z1  z2 D u ất đẳng thức cô - si " " x y ra khi ảy ra khi z1kz2, (k 0)

· z1 z2 z1  z2 D u ất đẳng thức cô - si " " x y ra khi ảy ra khi z1kz2, (k 0)

C C s lý thuy t c a ph ơ bản: ở lý thuyết của phương pháp hình học ến thức cơ bản: ủa phương pháp hình học ưngơ bản: ng pháp l ưngợng giác hóa ng giác hóa

+) Khi g p phặc biệt ương pháp 1: Hình họcng trình có d ng ạn thẳng (x a )2(y b )2 R2 Thì ta đ tặc biệt

+) Khi g p phặc biệt ương pháp 1: Hình họcng trình có d ng ạn thẳng

P 

C.

10 25117

P 

D.

713

d x y   đi qua A ( 2;1) và vuông góc v i ới 

G i ọc  I    thì t a đ đi m I là nghi m c a h ph ng trìnhd ọc ộc đường tròn tâm ểm biểu diễn số phức thuộc đường tròn tâm ệt ủa ệt ương pháp 1: Hình học

 

5 493'

17

P  MA MB A B 

Đáp án là: B

D ng 2: Đ ại số ưngờng thẳng ng tròn

Cách h i 1: Cho s ph c z th a mãn ỏi 1: Cho số phức z thỏa mãn ố phức ức ỏi 1: Cho số phức z thỏa mãn z a1b i1   Tìm giá tr l n nh t và giá tr R ị Số phức ớng dẫn ất đẳng thức ị Số phức

nh nh t c a bi u th c ỏi 1: Cho số phức z thỏa mãn ất đẳng thức ủa phương pháp hình học ểu ức P z a2b i2 

Câu 1: Xét s ph c ố phức thuộc đường tròn tâm ức thuộc đường tròn tâm z th a mãn ỏa mãn z 4 3 i  Giá tr l n nh t và giá tr nh nh t c a 4 ịnh ới ất đẳng thức cô - si ịnh ỏa mãn ất đẳng thức cô - si ủa

bi u th c ểm biểu diễn số phức thuộc đường tròn tâm ức thuộc đường tròn tâm T   z 1 3i l n lần tìm Max – Min về độ dài đoạn thẳng ượng giáct là M và m Khi đó P M  m b ng.ằng

Câu 2: (Đ tham kh o, năm 2018) ề tham khảo, năm 2018) ản:

Xét s ph c ố phức thuộc đường tròn tâm ức thuộc đường tròn tâm z a bi  , ( ,a b  ) th a mãn ỏa mãn z 4 3 i  5 Tính P a b  khi

z  i  z  đ t giá tr l n nh t.i ạn thẳng ịnh ới ất đẳng thức cô - si

A. P 10 B. P 4 C. P 6 D. P 8

H ưngớng dẫn ng d n ẫn

G i M là đi m bi u di n s ph c z, v i M di chuy n trên đọc ểm biểu diễn số phức thuộc đường tròn tâm ểm biểu diễn số phức thuộc đường tròn tâm ễn số phức thuộc đường tròn tâm ố phức thuộc đường tròn tâm ức thuộc đường tròn tâm ới ểm biểu diễn số phức thuộc đường tròn tâm ường tròn tâm ng tròn tâm I(4;3), bán kính R  5 Tìm giá tr l n nh t c a MA+MB v i ịnh ới ất đẳng thức cô - si ủa ới A(1; 1), ( 1;3) B 

  v i C là trung đi m AB.ới ểm biểu diễn số phức thuộc đường tròn tâm

MA MB max  MC max  M I C, , th ng hàng Khi đó ẳng M(6; 4) d u ất đẳng thức cô - si " " x y ra khiảy ra khi

Câu 3: (Chuyên Thái Bình l n VI, năm 2018) ần VI, năm 2018)

Cho các s ph c ố phức thuộc đường tròn tâm ức thuộc đường tròn tâm z, w th a mãn ỏa mãn z 5 3 i  , iw+4+2 23 i  Tìm giá tr l n nh t c a ịnh ới ất đẳng thức cô - si ủa

bi u th c ểm biểu diễn số phức thuộc đường tròn tâm ức thuộc đường tròn tâm T 3iz2w

,

2

w2

Câu 4: (Chuyên Vinh l n III, năm 2018) ần VI, năm 2018)

Cho các s ph c ố phức thuộc đường tròn tâm ức thuộc đường tròn tâm w, z th a mãn ỏa mãn

3 5w

5

i

 

và 5w(2i z)(  4) Giá tr l n nh t c a ịnh ới ất đẳng thức cô - si ủa

bi u th c ểm biểu diễn số phức thuộc đường tròn tâm ức thuộc đường tròn tâm P  z 1 2i  z 5 2 i b ngằng

2 2 53

max

P MA MB  MA

Đáp án là: C

Câu 5: (THPT Đ ng Thúc H a Ngh An l n II, năm 2018) ặng Thúc Hứa Nghệ An lần II, năm 2018) ức ệt đối ần VI, năm 2018)

Cho s ph c ố phức thuộc đường tròn tâm ức thuộc đường tròn tâm z th a mãn ỏa mãn

+) Trong tr ưngờng thẳng ng h p đi m c đ nh ợng giác hóa ểu ố phức ị Số phức A a b n m trên tr c l n ho c tr c nh thì ( ; )3 3 ằm trên trục lớn hoặc trục nhỏ thì ụng ớng dẫn ặng Thúc Hứa Nghệ An lần II, năm 2018) ụng ỏi 1: Cho số phức z thỏa mãn chuy n v tìm Min – Max thì d a vào hình ta có th k t lu n ểu ề tham khảo, năm 2018) ực Trị Số phức ểu ến thức cơ bản: ập

+) Trong tr ưngờng thẳng ng h p đi m c đ nh ợng giác hóa ểu ố phức ị Số phức A a b không n m trên tr c l n ho c tr c ( ; )3 3 ằm trên trục lớn hoặc trục nhỏ thì ụng ớng dẫn ặng Thúc Hứa Nghệ An lần II, năm 2018) ụng

nh thì chuy n v tìm Min – Max trên hàm khi đó ta đi thi t l p hàm s Đây là ỏi 1: Cho số phức z thỏa mãn ểu ề tham khảo, năm 2018) ến thức cơ bản: ập ố phức

d ng khó ại số

Câu 1: (Đ tham kh o, năm 2017) ề tham khảo, năm 2018) ản:

Xét s ph c ố phức thuộc đường tròn tâm ức thuộc đường tròn tâm z a bi  , ( ,a b  ) th a mãn ỏa mãn z 2 i  z 4 7 i 6 2 G i ọc m M, l n lần tìm Max – Min về độ dài đoạn thẳng ượng giáct

là giá tr nh nh t, giá tr l n nh t c aịnh ỏa mãn ất đẳng thức cô - si ịnh ới ất đẳng thức cô - si ủa z   Tính P m M1 i  

A. P  13 73 B.

5 2 2 732

Ta có A( 2;1), (4;7) B  AB6 2 do đó M thu c đo n th ng AB.ộc đường tròn tâm ạn thẳng ẳng

d N AB NH  d N AB NB

Đáp án là: B

Câu 2: (S B c Giang, 18 - 5 - 2018) ở lý thuyết của phương pháp hình học ắc Giang, 18 - 5 - 2018)

Cho s ph c ố phức thuộc đường tròn tâm ức thuộc đường tròn tâm z th a mãn ỏa mãn z 1 z 3 4 i 10 Tìm giá tr nh nh t ịnh ỏa mãn ất đẳng thức cô - si P c a bi u th cmin ủa ểm biểu diễn số phức thuộc đường tròn tâm ức thuộc đường tròn tâm

min 17

Đáp án là: C

Câu 3: (Chuyên Thái Bình l n V, năm 2018) ần VI, năm 2018)

Cho s ph c ố phức thuộc đường tròn tâm ức thuộc đường tròn tâm z th a mãn ỏa mãn (1 )i z2  (1 )i z 2 4 2 G i ọc m max z , nmin z và

s ph c ố phức thuộc đường tròn tâm ức thuộc đường tròn tâm W m ni  Tính

Cho s ph c ố phức thuộc đường tròn tâm ức thuộc đường tròn tâm z th a mãn ỏa mãn z 1 i  , s ph c 1 ố phức thuộc đường tròn tâm ức thuộc đường tròn tâm w th a mãn ỏa mãn w 2 3  i 2 Tìm giá tr ịnh

nh nh t c a ỏa mãn ất đẳng thức cô - si ủa z-w

A. 13 3 B. 17 3 C. 17 3 D. 13 3

H ưngớng dẫn ng d n ẫn

G i đi m ọc ểm biểu diễn số phức thuộc đường tròn tâm M x( M;y M) là đi m bi u di n s ph c ểm biểu diễn số phức thuộc đường tròn tâm ểm biểu diễn số phức thuộc đường tròn tâm ễn số phức thuộc đường tròn tâm ố phức thuộc đường tròn tâm ức thuộc đường tròn tâm z

V y ận M thu c độc đường tròn tâm ường tròn tâm ng tròn tâm I(1;1) bán kính R 1 1

G i đi m ọc ểm biểu diễn số phức thuộc đường tròn tâm N x y( ;N N) là đi m bi u di n s ph c ểm biểu diễn số phức thuộc đường tròn tâm ểm biểu diễn số phức thuộc đường tròn tâm ễn số phức thuộc đường tròn tâm ố phức thuộc đường tròn tâm ức thuộc đường tròn tâm w

V y ận M thu c độc đường tròn tâm ường tròn tâm ng tròn tâm J(2; 3) bán kính R 2 2

Câu 2: (THPT Đ ng Thúc H a Ngh An l n I, năm 2018) ặng Thúc Hứa Nghệ An lần II, năm 2018) ức ệt đối ần VI, năm 2018)

Cho s ph c ố phức thuộc đường tròn tâm ức thuộc đường tròn tâm z th a mãn ỏa mãn 5 z i   z 1 3i 3z  Tìm giá tr l n nh t 1 i ịnh ới ất đẳng thức cô - si M c a bi u ủa ểm biểu diễn số phức thuộc đường tròn tâm

th c ức thuộc đường tròn tâm z 2 3 i b ng.ằng

Câu 3: (Chuyên Lê H ng Phong Nam Đ nh, năm 2018) ồng Phong Nam Định, năm 2018) ị Số phức

G i ọc M và m l n lần tìm Max – Min về độ dài đoạn thẳng ượng giáct là giá tr l n nh t và giá tr nh nh t c a ph n th c s ph cịnh ới ất đẳng thức cô - si ịnh ỏa mãn ất đẳng thức cô - si ủa ần tìm Max – Min về độ dài đoạn thẳng ực của ố phức thuộc đường tròn tâm ức thuộc đường tròn tâm

Câu 4: (Chuyên Vinh l n I, năm 2018) ần VI, năm 2018)

Gi s ảy ra khi ử z và 1 z là hai trong các s ph c 2 ố phức thuộc đường tròn tâm ức thuộc đường tròn tâm zth a mãn ỏa mãn iz 2 i 1 và z1 z2 2 Giá tr ịnh

l n nh t c a ới ất đẳng thức cô - si ủa z1  z2 b ngằng

H ưngớng dẫn ng d n ẫn

G i ọc A x y là đi m bi u di n s ph c ( ; )1 1 ểm biểu diễn số phức thuộc đường tròn tâm ểm biểu diễn số phức thuộc đường tròn tâm ễn số phức thuộc đường tròn tâm ố phức thuộc đường tròn tâm ức thuộc đường tròn tâm z1x1y i1 và B x y là đi m bi u di n s ( ; )2 2 ểm biểu diễn số phức thuộc đường tròn tâm ểm biểu diễn số phức thuộc đường tròn tâm ễn số phức thuộc đường tròn tâm ố phức thuộc đường tròn tâm

ph c ức thuộc đường tròn tâm z2 x2y i2

Câu 5: (Chuyên Vinh l n II, năm 2018) ần VI, năm 2018)

Trong các s ph c ố phức thuộc đường tròn tâm ức thuộc đường tròn tâm zth a mãn ỏa mãn

G i ọc M x y là đi m bi u di n s ph c  ;  ểm biểu diễn số phức thuộc đường tròn tâm ểm biểu diễn số phức thuộc đường tròn tâm ễn số phức thuộc đường tròn tâm ố phức thuộc đường tròn tâm ức thuộc đường tròn tâm z x iy  suy ra M thu c độc đường tròn tâm ường tròn tâm ng tròn  C

Câu 7: (Chu Văn An l n II, năm 2017) ần VI, năm 2018)

Cho s ph c ố phức thuộc đường tròn tâm ức thuộc đường tròn tâm z th a mãn ỏa mãn z  1 2 Tìm giá t l n nh t c a bi u th cịnh ới ất đẳng thức cô - si ủa ểm biểu diễn số phức thuộc đường tròn tâm ức thuộc đường tròn tâm

2

T   z i z  i

H ưngớng dẫn ng d n ẫn Cách 1: Hình h c ọc

G i M là đi m bi u di n s ph c z, v i M di chuy n trên đọc ểm biểu diễn số phức thuộc đường tròn tâm ểm biểu diễn số phức thuộc đường tròn tâm ễn số phức thuộc đường tròn tâm ố phức thuộc đường tròn tâm ức thuộc đường tròn tâm ới ểm biểu diễn số phức thuộc đường tròn tâm ường tròn tâm ng tròn tâm I(1;0), bán

2

  v i C là trung đi m AB.ới ểm biểu diễn số phức thuộc đường tròn tâm

MA MB max  MC max  M I C, , th ng hàng Khi đó ẳng T max MA MB 2MA d u4 ất đẳng thức cô - si

" " x y ra khi ảy ra khi 1 1

 nên các đ ng th c đ u x y ra.ẳng ức thuộc đường tròn tâm ểm biểu diễn số phức thuộc đường tròn tâm ảy ra khi Đáp án là : A

Cách 2: Đ i s ại số ố phức

2 2

Câu 8: (Chuyên Ngo i Ng , năm 2017) ại số ữ, năm 2017)

Cho s ph c ố phức thuộc đường tròn tâm ức thuộc đường tròn tâm zth a mãn ỏa mãn z 1 Tìm giá tr l n nh t c a bi u th c ịnh ới ất đẳng thức cô - si ủa ểm biểu diễn số phức thuộc đường tròn tâm ức thuộc đường tròn tâm T   z 1 2 z1

H ưngớng dẫn ng d n ẫn

Áp d ng công th c đục lớn là ức thuộc đường tròn tâm ường tròn tâm ng trung tuy n ta có ếu 2 2  2 2

z  z  z  

Câu 9: (S GD H i D ở lý thuyết của phương pháp hình học ản: ưngơ bản: ng, năm 2017)

Cho s ph c ố phức thuộc đường tròn tâm ức thuộc đường tròn tâm zth a mãn ỏa mãn z z . 1 Tìm giá tr nh nh t c a bi u th cịnh ỏa mãn ất đẳng thức cô - si ủa ểm biểu diễn số phức thuộc đường tròn tâm ức thuộc đường tròn tâm

4

P 

C.

13min

Câu 10: (THPT Đ ng Đa Hà N i, năm 2017) ố phức ội, năm 2017)

Cho s ph c ố phức thuộc đường tròn tâm ức thuộc đường tròn tâm zth a mãn ỏa mãn

Câu 11: (Chuyên Qu c H c Hu l n III, năm 2018) ố phức ọc ến thức cơ bản: ần VI, năm 2018)

Cho s ph c ố phức thuộc đường tròn tâm ức thuộc đường tròn tâm z x iy  v i ới x y  , th a mãn ỏa mãn z 1 i 1 và z 3 3 i  5 G i m, M ọc

l n lần tìm Max – Min về độ dài đoạn thẳng ượng giáct là giá tr nh nh t và l n nh t c a bi u th c ịnh ỏa mãn ất đẳng thức cô - si ới ất đẳng thức cô - si ủa ểm biểu diễn số phức thuộc đường tròn tâm ức thuộc đường tròn tâm P x 2y Tính t s ỉ số ố phức thuộc đường tròn tâm

H ưngớng dẫn ng d n ẫn

G i ọc A là đi m bi u di n s ph c ểm biểu diễn số phức thuộc đường tròn tâm ểm biểu diễn số phức thuộc đường tròn tâm ễn số phức thuộc đường tròn tâm ố phức thuộc đường tròn tâm ức thuộc đường tròn tâm z Theo gi thi t ảy ra khi ếu A thu c mi n ngoài c a hình trònộc đường tròn tâm ề độ dài đoạn thẳng ủatâm I1;1, bán kính R 1(k c biên c a đểm biểu diễn số phức thuộc đường tròn tâm ảy ra khi ủa ường tròn tâm ng tròn) và n m mi n trong c a hìnhằng ởi điểm ề độ dài đoạn thẳng ủa

tròn tâm J3;3, bán kính R  5 (k c biên c a đểm biểu diễn số phức thuộc đường tròn tâm ảy ra khi ủa ường tròn tâm ng tròn) Nh v y đi m ư ận ểm biểu diễn số phức thuộc đường tròn tâm A thu cộc đường tròn tâm

mi n tô đ m trên hình vẽ sauề độ dài đoạn thẳng ận

G i ọc d là đường tròn tâm ng th ng có phẳng ương pháp 1: Hình họcng trình x2y P 0 Khi đó đ bài toán có nghi m thìểm biểu diễn số phức thuộc đường tròn tâm ệt

đường tròn tâm ng th ng ẳng d và mi n g ch chéo ph i có đi m chung Do v y ta c n cóề độ dài đoạn thẳng ạn thẳng ảy ra khi ểm biểu diễn số phức thuộc đường tròn tâm ận ần tìm Max – Min về độ dài đoạn thẳng

d J d , 5 

9

55

P



  4 P 14 V y ận M 14và m  4

C th :ục lớn là ểm biểu diễn số phức thuộc đường tròn tâm

+ M 14 đ t đạn thẳng ượng giácc khi  2  2

x y