Gọi là một căn bậc hai của... Tỡm mụđun của số phức z iz+.. Xác định phần thực và phần ảo của số phức... Tỡm số phức z cú mụdun lớn nhất, mụđun nhỏ nhất.
Trang 1CHUYÊN ĐỀ: SỐ PHỨC
-
I- LÝ THUYẾT:
1/ Tập hợp số phức: *
N Ì Ì Ì Ì Ì N Z Q R C
2/ Số phức (dạng đại số):
2
( ) : phÇn thùc : víi ( ) : phÇn ¶o
: §¬n vi ¶o: 1
Ỵ ì ï
" Ỵ = + í Ỵ
-ỵ
a
Nhận xét: + lµ sè thùc khi z b=0 : z= Ỵa
+ lµ sè thuÇn ¶o khi z a=0 : z=bi
3/ Hai số phức bằng nhau: z1 =a1+b i1 vµ z2 =a2+b i2
1 2
1 2
1 2
= ì
= Û í
= ỵ
4/ Biểu diễn hình học:
Số phức z a bi= + (a, bỴ) được biểu diễn bởi điểm
M(a ; b) hay bởi u=( ; )a b trong mp(Oxy) (mp phức)
5/ Cộng và trừ số phức:
(a + bi) + (a’+ b’i) = (a + a’) + (b + b’)i (a + bi) – (a’ + b’i) = (a – a’) + (b – b’)i (a, b, a’, b’Ỵ)
· Số đối của z = a + bi là: – z = -a – bi (a, b ỴR)
6/ Nhân hai số phức: (a + bi)(a’ + b’i) = (aa’-bb’) + (ab’ + ba’)i (a, a’, b, b’Ỵ)
7/ Số phức liên hợp của số phức z a bi= + là z a bi=
a) z =z z; + = +z' z z'; 'z z =z z '
b) z là số thực Û =z z ; z là số ảo Û = -z z
8/ Môđun của số phức: z a bi= +
a) 2 2
z = a +b = zz = OM
b) z ³ 0 "z ỴC , z = 0 Û z = 0
9/ Chia hai số phức: z1=a1+b i1 vµ z2 =a2+b i2
( 1 1 )( 2 2 ) ( 1 1 )( 2 2 )
1 1 1
2 2
2 2 2 2 2 2 2
-+
II- LUYỆN TẬP:
1) Chứng minh rằng: "z z z, , 1 2Ỵ, ta cĩ:
a) (z¹0): 1 z2
2 2
e)
z
z z z
z z z z z
'
'
2
1 = =
= - f) 'z z = z z' , z z+ ' £ +z z' "z z, 'Ỵ
M(a;b)
b
x
O
Trang 22) Thực hiện cỏc phộp tớnh sau:
a) (3 – 5i) + (2 + 4i) b) (11 – 6i) – (2 – 4i) c) (2 – 4i)(3 + i) d) – 2i(3 – 8i) e) (3 + 2i)(1 – i) + (3 – 2i)(1 + i) f) 5 – 3i 2 + i
g) 4 – 3i– i h) 1 + 2i1 – 2i + 1 + 2i k) 1 – 2i (2 + i)(1 – 2i)2 – i + (2 – i)(1 + 2i)2 + i l) (2 + i) + (1 + i)(4 – 3i)3 + 2i m) (3 – i)(1 + 2i)1 – 2i + 4 – 3i
4) Tớnh cỏc biểu thức sau:
a) 2 3 4 5 100 1008 2009
, , , , , ,
i i i i i i i Từ đú suy ra cỏch tớnh i n với nẻ
b) (1 + i)2 ,(1 + i)3 ,(1 + i)4 ,(1 + i)5 , (1 + i)2006 , (1 – i)2006 (1 + i)
3 (1 – i)4 c)
5 + i (1 + i)(2 – 3i)
d)
33
1
1
i
i
+
ổ ử
ỗ - ữ
ố ứ + (1 – i)
10 + (2 + 3i)(2 – 3i) + i e) 1
cos2p
3 + i.sin
2p 3 5(cos7p
6 + i.sin
7p
6 )
ố ỗ
ổ
ứ
ữ
ử
cosp
3 + i.sinp
3 (– 4i)
5) Phân tích ra thừa số phức
a/ a2+1 b/ 2a2+3 c/ 4a2+9b2 d/ 3a2+5b2
6) Thực hiện các phép tính
a/3 cos120( o+isin120o) (cos 45o+isin 45 )o b/ 2 cos18( o +isin18o) (cos72o +isin 72 )o
cos85 sin85 cos 40 sin 40
i i
+ +
e/
p p
i i
2 cos 45 sin 45
3 cos15 sin15
+ +
i
5
p p
2008 2008
1
z z
+ biết 1
1
z z
+ =
7)Hãy xác định tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số z thoả mãn mỗi điều
kiện sau:
a) Phần thực bằng đối phần ảo b) z+ < 1 1 c)1 < - <z i 2
d) Phần ảo bằng 2 lần phần thực cộng 1 e) 2iz- = 1 2 z+ 3 f) Phần thực bằng phần ảo g) 2i- 2z = 2z- 1 h) Tổng cỏc bỡnh phương của phần thực và phần ảo bằng 1, phần thực 0³ k) Phần thực khụng vượt quỏ phần ảo l) Phần ảo lớn hơn 1 m) Phần ảo 1< , phần thực 1> 1/ | z z + + = 3| 4 2/ | z z - + - = 1 i | 2 3/ 2 | z i - = - + | | z z 2 | i 4/ 2 ( )2
|z - z | 4= 5/ | 2+ = -z| |i z| 6/ | 2+ > -z| |z 2 | 7/ |z-4 | |i + +z 4 | 10i = 8/ 1 |Ê + - Êz 1 i| 2
8) Tỡm số phức z , biết:
a) z =2, và z là số thuần ảo b) z =5, phần thực bằng 2 lần phần ảo
9) Tỡm số thực , x y thoả món điều kiện:
a) 2 5 b) ( 1) 3( 1) 5 6
e) 4 3 (3 2) 1 ( 3)
-+ -+ - = + +
x y i y x i f) x+2y+(2x-y i) =2x+ +y (x+2 )y i
Trang 3Chủ đề: PHƯƠNG TRèNH GIẢI TRONG TẬP
I- Lí THUYẾT:
1 Căn bậc hai của số thực õm:
2
2
Do 1 nên ta nói là một căn bậc hai của 1 và cũng là một căn bậc hai của 1
do ( ) 1
=
i
-Tương tự, căn bậc hai của 5 là i 5 do ( i 5) 5
± Tổng quát: Căn bậc hai của số thực âm là: a i a
2 Phương trỡnh bậc nhất với hệ số phức:
Û = ẻ
Dạng phương trình: (*) ,
(*)
b z a
2 Phương trỡnh bậc hai với hệ số thực:
Δ
Δ
Δ Δ
=
±
>
2
2
0
1,2
Cho phương trình: 0 (*) với , , , 0
TH 1: 0, phương trình (*) có một nghiệm =
2
TH 2: 0, phương trình (*) có hai nghiệm =
2
b thực x
a b thực x
a
Δ
<
±
TH 3: 0, phương trình (*) ô nghiệm Nhưng nếu giải (*) trên
tập thì có hai căn bậc hai là: nên (*) có hai nghiệm phức là:
i
Δ
- ± 1,2
=
2
b i x
a
3 Mở rộng: Giải phương trỡnh bậc hai với cỏc hệ số phức
Δ
Δ
2
2
2
Đặt vấn đề: Cho phương trình 0 (*) với , , ,
Xét 4
Nếu tìm được căn bậc hai của , thì bài toán hoàn toàn được giải quyết
Gọi là một căn bậc hai của Lú
- ±
1,2
c đó: phương trình (*) có
nghiệm là:
x
a
CHÚ í: Phát biểu và chứng minh định lí đảo và thuận của định lí Vi-et của phương tình bậc hai với hệ số phức
Thuận: Nếu hai số x1và x là hai nghiệm của phương trình 2 2
0
ax +bx c+ = với
thì
1 2
1 2
b
a c
x x
a
ỡ + = -ùù
ớ
ù = ùợ
Trang 41 2
2 2
x x
- + ổ- - ử + = +ỗ ữ=
2
0
x -Sx P+ = (1)
Chứng minh:
Ta có: (1) x2 ( )x 0 (x )(x ) 0 x
x
= ộ
ở
a
b
Điều này chứng tỏ a b; là nghiệm của (1)
II- LUYỆN TẬP:
Bài tập1: Tìm căn bậc hai của các số phức sau:
a) - +5 12i b) 8 6 c)+ i 33 56- i d) - +3 4i
Bài tập2: Giải cỏc phương trỡnh sau:
1)
i
i z
i
i
+
+
-=
-+
2
3 1 1
2
1 ](
3 ) 2
i iz i z
z
- + 8) z -2z= - -1 8i 9) 2 z -3z= -1 12i
2
ở i z i izỷ ố iứ 11)
2 0
Bài tập 3: Giải cỏc hệ phương trỡnh sau:
1)
4
1
8
z
z i
z
z
ỡ
-=
ù
-ù
ớ
ù
-ợ
2)
1 1 3 1
z
z i
z i
z i
ù -ù ớ
ù + ợ
3) 12 2 2
1 2
5 2
= -ỡ
ớ
ợ
4) 12 22
1 2
4
5 2
ỡ
ớ
ỡ - =
= -ù
Bài tập 4: Cho z z1, 2là hai nghiệm của phương trình (1+i 2)z2- +(3 2i z) + - =1 i 0
Không giải phương trình, hãy tính giá trị của các biểu thức sau:
2 1
Bài tập 5: Giải cỏc phương trỡnh sau trờn :
1) 3x + + =x 2 0 2) x + + =x 1 0 3) x - =1 0
4) 3x3-24 0= 5) 2x4+16 0= 6) (x+ 2)5+ = 1 0
7) z2-6z+34 0= 8) z2 +2z +5=0 9) z4+z2- =3 0
10) z3- =8 0 11) z3 +1=0 12) z4-6z2+25 0=
Trang 5Bài tập 6: Giải cỏc phương trỡnh sau trờn :
- - + + =
2
1) (1 ) 5 0 2) 2 4 2 0
3) (1 ) (8 ) 3(5 2 ) 0 4) 2(1 ) 4 2 0
- =
2
3
6) 4 4 0 7) (1 2 ) (1 5 ) 2( 3) 0 8) 2 2 2 2 1 0
9) (3 2 2 ) 4 8 2 ) 0 10) 0
11) 0
-ố ứ
4 5
12) x 2 1 0 13)* z i 1
z i
-
MỘT SỐ BÀI TẬP CHỌN LỌC
1) A- 2009 Gọi z1 và z2 là 2 nghiệm phức của phương trỡnh: z2+2z+10=0 Tớnh giỏ trị của biểu thức A = ẵz1ẵ2 + ẵz2ẵ2
2) B- 2009 Tỡm số phức z thoả món : z (2 i)- + = 10 và z.z 25=
3) D- 2009 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tỡm tập hợp điểm biểu diễn cỏc số phức z thỏa món
điều kiện z (3 4i) - - = 2
4) A- 2010
a) Tỡm phần ảo của số phức z , biết ( ) (2 )
b) Cho phức z thỏa món: ( )3
1
i z
i
-=
- Tỡm mụđun của số phức z iz+
5) B- 2010
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tỡm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa món z i- = (1+i z)
6) D- 2010 Tỡm số phức z thỏa món: z = 2 và z là số thuần ảo 2
7) Tốt nghiệp 2008 Tính giá trị của biểu thức: P= +(1 3i) (2+ -1 3i)2
Giải phương trình: x 2x 2 0 trên tập số phức
9) Tốt nghiệp 2009
- + =
- + =
2
2
2
1) Giải phương trình: 8z 4 1 0 trên tập số phức
2) Giải phương trình: 2z 1 0 trên tập số phức
3) Cho số phức 3 - 2 Xác định phần thực và phần ảo của số phức:
z iz
10) Tốt nghiệp 2010
2
1) Cho số phức 1 2 và 2 3 Xác định phần thực và phần ảo của số phức 2
2) Cho số phức 2 5 và 3 4 Xác định phần thực và phần ảo của số phức
3) Giải phương trình 2 6 5 0 trê
-+ + =
11) (THTT/1 /2009) Kí hiệu x1, x2 là hai nghiệm phức của phương trình bậc hai:
0 1
2
2x2 - x + = 8) Tính giá trị các số phức 2
1
1
x và 2
2
1
x
Trang 612) Chứng minh
12
1
3
ữữ
ứ
ử ỗỗ
ố
ổ +
+
-=
i
i
z là một số thực
13) Giải phương trỡnh :2 1 3
z
=
4
3
14) Tìm số phức z thoả mãn: 1
15) Tìm các số thực x, y thoả mãn: ( 1 4 ) (1 2 ) 2 9
16) Tính căn bậc hai của số phức: 15 112
+
ổ ử =
ỗ - ữ
ố ứ
- + + + = + +
z i
i
b/
2 2
17) Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của | |z nếu |z- +2 2 | 1i =
18) Cho biết 1
|z | a z
+ = Tỡm số phức z cú mụdun lớn nhất, mụđun nhỏ nhất
19) Tìm các số nguyên x,y sao cho số phức z = +x yithoả mãn z3 =18 26+ i
20) Cho hai số phức z z1 2, thoả mãn z1 = z2 =1; z1+z2 = 3 Tính z1-z2
21) Tìm tập hợp các điểm biểu diễn trong mặt phẳng phức số phức w = +(1 i 3)z+2 biết rằng
số phức z thoả mãn: z- Ê1 2
22) Tính môđun và xác định phần thực, phần ảo của các số phức sau:
6 1)
3 2
i z
i
-=
+ 2) ( ) (2 )2
z= - + -i i