Chủ đề số phức

Ví dụ 1: Xác định phần thực ,phần ảo và tìm môđun của số phức z trong các trường hợp sau: a... Ví dụ 8: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy ,tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn mỗi

SỐ PHỨC

Vấn đề 1: ĐỊNH NGHĨA VÀ CÁC PHÉP TOÁN SỐ PHỨC

I) Kiến thức cần nhớ:

1 Khái niệm

 Số phức có dạng : z  a  bi a b, R

 alà phần thực , blà phần ảo, i là đơn vị ảo, i  2 1

 a  0 thì z  bi được gọi là số thuần ảo

 b  0 thì za là số thực

 Số phức liên hợp của z là : zabi

' '

z z z z z z z z

 

 

 Hai số phức bằng nhau : ' ' '

'

a a

a b i a b i

b b









 Mỗi số phức z  a  bi được biểu diễn bởi một điểm M(a;b)

trong mặt phẳng Oxy, Ox gọi là trục thực, Oy gọi là trục ảo

 Môđun của số phức z là : z  OM  a2b2

chú ý: ' ' ;

' '

z z

z z z z

2 Các phép toán số phức:

Cho za bi , z' c d i Khi đó ta có:

 zz'(ac) ( bd i)

 zz'(a c ) ( b d i )

 ' ( z z  a c b d ) (  a d c b i )

Đặc biệt :  z z a2 b2  z2  2  2 2

2

z  a b  ab i

 . ( 2 )( 2 )

z a b i a b i c d i

  (nhân tử và mẫu cho liên hợp của mẫu)

3 Các ví dụ

Ví dụ 1: Xác định phần thực ,phần ảo và tìm môđun của số phức z trong các trường hợp sau:

a) (1 3 )(2 )

1

i

i



giải:

a) Ta có : [1.2 3.( 1)] [1.( 1) 2.3] (1 ) 5 5 1 9 11

Vậy phần thực của z là 9

2,phần ảo của z là

11

2 ,mođun

( ) ( )

b) z 3 4i

c) z (1 3 ) i   ( 2 i)

d).z (2 3 )(1 2 ) i  i

e) 1 3.

1 3

i z

i







Ví dụ 2: a).Cho 2 số phức z1  1 2 ,i z2  2 3i

Xác định phần thực ,phần ảo của số phức z12z2

b).Cho hai số phức z1 2 5 ,i z2  3 4i

Xác định phần thực và phần ảo của số phức z z 1 2

(Tốt nghiệp THPT năm 2010)

Ví dụ 3: Tìm phần ảo của số phức z biết : z 2i 2 1 2i

(Đại học khối A năm 2010)

Ví dụ 4: Giải các phương trình sau trên tập số phức

a).z  7 4 3   i    2 3  i  b) 5 2  i z   3 4  i  1 3  i 

c) 2 3  i  i z   1 3  i z  d). 2  i 3  z  i 2  3  2 i 2

e)  3 2  i z    1  i  1 3  i z    5 2 i

Ví dụ 5: Chứng minh rằng : Với mọi số nguyên dương n ta có :

Ví dụ 6 Tính :

a).P1 3.i 2  1 3.i2 ( Tốt nghiệp THPT năm 2008 )

b) 1 i 9 c).1i8 3 4 i2 d).2 3i 3

ví dụ 7: Tìm số phức z biết :

a) Z  Z   3 i 2

b) z  2 và z2 là số thuần ảo ( Đề đại học khối D năm 2010 )

c) Z  Z   2 3 i d) z  5 và phần thực của z bằng 2 lần phần ảo của nó e) z2i  10 và z z  25 (Đề đại học khối B năm 2009 )

e) Z Z2 0 f) 2 3

2





  



Ví dụ 8: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy ,tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn mỗi

điều kiện sau:

a) z  2 i 1

b) z   i  1  i z  (Đề đại học khối B năm 2010 )

c) z i 1

z i







d) z3 4. i 2 (Đề đại học khối D năm 2009 )

d) z  2 và phần thực của z không vượt quá phần ảo của nó

e) z  z 2 3i  2

II.Bài tập vận dụng :

1) Cho số phức z thỏa mãn điều kiện 2 3 i z 4i z  1 3 i2

Tìm phần thực và phần ảo của số phức z

(Cao đẳng khối A năm 2010)

2) Cho số phức z thỏa mãn điều kiện 1i 2 2i z   8 i 1 2 i z

Tìm phần thực và phần ảo của số phức z

(Cao đẳng khối A năm 2009) 1) Xác định phần thực ,phần ảo và tìm mođun của số phức z trong mỗi trường hợp sau:

a) 1 3

(1 )(2 )

i z





  b).

7

(1 )

z

2) Viết các số phức sau dưới dạng đại số:

a) 1

1 2

1 2

i i





c)    

1

i i





3) Cho hai số phức z1 (2m3) (3 n1) ,i z2 (2n1) (3 m7)i.Với m,n thuộc R.Tìm m ,n biết

a).z1z2 b).z1  z2

4) Tìm nghiệm của mỗi phương trình sau:

a).2 1 3

z

  



2

i z i iz

i

      

c).z2z 2 4i d).z3  z

5) Xác định tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số z thỏa mãn mỗi điều kiện

sau:

a) z z 3  4 b) z    z 1 i 2

c) 2 z 1 2i 3 d).2z i  z là số thực tùy ý

e) 2 z i  z z 2i f) 2  2

4

z i



 là số thực dương

6) Tìm số phức z biết

a) z 2 5 và phần ảo của z bằng hai lần phần thực của nó

b).z thỏa mãn hệ 2

1

z i z

  





  



7) Tìm số phức z thỏa mãn đồng thời 1

1

z

z i





 và

3 1

z i

z i







Vấn đề 2 :CĂN BẬC HAI CỦA SỐ PHỨC

PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI TRÊN TẬP SỐ PHỨC

I).Kiến thức cần nhớ:

1).Định nghĩa căn bậc hai của số phức

 Số phức wxyi ( ,x yR) là căn bậc hai của số phức za bi

2

2

xy b

  

   





 Số 0 có đúng một căn bậc hai là : 0

 Mỗi số phức khác 0 có hai căn bậc hai là hai số đối nhau

 Số thực a  0 có hai căn bậc hai là :  a

 Số thực a  0 có hai căn bậc hai là :  i  a

2) Phương trình bậc hai trên tập số phức

 Phương trình bậc hai có dạng : 2

0 , ( 0)

Az BzC  A (1)

 Cách giải:

 Tính 2

4

  

 Nếu   thì phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt : 0

  ( là một căn bậc hai của  )

 Nếu   thì phương trình (1) có nghiệm kép: 0 1 2

2

B

A

  

 Định lí Viet vẫn đúng đối với phương trình bậc hai hệ số phức

 z1 z2 B

A

   ; z z1. 2 C

A



3) Các ví dụ

Ví dụ 1: Tìm các căn bậc hai của các số phức sau

Giải:

a) Ta có: -8 = 2  

8i  i 8 Vậy -8 có hai căn bậc hai là i 8 b) Gọi z = x + yi là căn bậc hai của 5 + 12i

Ta có:  

5 12

2 12 (2)

xy

  





Từ pt (2) suy ra y theo x thay vào (1) ta được x   3

Với x = 3 ta có :y = 2 Do đó : z = 3+2i

Với x = -3 ta có :y = -2 Do đó :z = -3 – 2i

Vậy số phức 5 + 12i có 2 căn bậc hai là 3 + 2i và -3 – 2i

Ví dụ 2: Tìm các căn bậc hai của các số phức sau

a). 2i b)  1 4 3.i

c). 1 2 6.i d). 1 3  9 13

10 10

Ví dụ 3: Giải các phương trình sau trên tập số phức

a) 2

2(1 2 ) 3 6 0

z   i z  i

Giải:

a) Ta có:  ' 1 2 i21.( 3 6 )  i  2i 1i2

Gọi  là một căn bậc hai của ' Chọn    1 i

Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm phức phân biệt :

1

(1 2 ) (1 )

2 1

2

1 2 1

3 1

b) z2  z 70

c).8z2 4z 1 0 ( Đề tốt nghiệp THPT 2009 )

d)   2

1i z 2(1i z)    1 i 0

e) 2z2 i z  1 0 ( Đề tốt nghiệp THPT 2009 )

f) 2  

2 3 1 2 0

z   i z  i

Ví dụ 4: Giải các phương trình sau trên tập số phức

a) 2  

b) 4z 3 7i z 2i

z i

 

 

c) 4   2

z  z i 

Ví dụ 5: Gọi z1 và z2 là hai nghiệm phức của phương trình : z2 2z100

Tính giá trị của bểu thức A z12  z2 2

( Đề đại học khối A năm 2009 )

Ví dụ 6: Tìm các số thực b c, để z = 2+ i là một nghiệm của phương trình i z 2bz  c 0

II.Bài tập vận dụng:

1).Tìm căn bậc hai của các số phức sau:

c).4 6 5i d).8 + 6i

2).Tìm căn bậc hai của các số phức sau:

a).z4 3 i2i 1 3i b) 4 3

3 2

i z

i







3) Giải các phương trình sau trên C:

c).z2   z 1 0 d).2z23z  5 0

e).z45z24 0 f).z   4 1 0

4) Giải các phương trình sau trên C:

a).z22z2i  1 0 b).  2  

1i z  5 3 i z10 0 c) 2  

z  i z  i  d).z43z24 0

5) Giải các phương trình sau trên C:

a).   2  3 

z z  z z  

6) Gọi z z là hai nghiệm của phương trình 1, 2 z2(3 2 ) i z 5 5i 0

Không giải phương trình , hãy tính giá trị các biể thức sau:

a).z12z22 b).z13z23

c) 1 2

z z z z

7).Tìm b c ,  R để z = 1+ i là một nghiệm của phương trình z2bz  c 0

Vấn đề 3: DẠNG LƯỢNG GIÁC CỦA SỐ PHỨC VÀ ỨNG DỤNG

I).Kiến thức cần nhớ:

1) Dạng lượng giác của số phức

Cho số phức za bi z0

Dạng lượng giác của số phức z là: zr(cosisin )

Trong đó :  2 2  

0

r z  a b r

 là số thực sao cho cos a,sin b

 gọi là acgumen của z ,  Ox OM, 

Chú ý: Nếu  là Acgumen của z thì :

  là Acgumen của  z và 1

z

   là Acgumen của  z

2) Nhân và chia số phức dưới dạng lượng giác:

Cho zr.(cosisin ) , zr.(cos ' isin ')

 'z z r r '[cos(  ')i.sin(  ')]

 cos( ') sin( ')

' '

i

z  r     

3) Công thức Moa-vrơ :

Với mọi số nguyên dương n ta có : z n r(cosisin ) n r n(cosn isinn )

4) Căn bậc hai của số phức dưới dạng lượng giác:

Số phức zr(cosisin ) luôn có hai căn bậc hai là cos sin

5) Các ví dụ

Ví dụ 1: Viết dưới dạng lượng giác các số phức sau:

a).z 1 i 3

Giải :

a).Ta có : r  12 32 2 ;  thỏa cos 1 ; sin 3

   Ta chọn :

3



 

Vậy 2 cos sin

z   i  

b).z   4 i c).z  3 d).z    sin   i cos   e) 3

1

i z

i







Ví dụ 2: Viết dưới dạng lượng giác số phức

a)  

3

1 3

( 3 )

i

z

i







Giải:

Ta có: 1 3 2 cos sin

4

1 3 2 cos sin 16 cos sin

3 2 cos sin

i   i  

( 3 ) 8 cos sin

i     i   

      

Do đó: 2 cos 4 3 sin 4 3 2 cos11 sin11

z      i        i 

(2 3 2 )

z

i



 c).z1i 3 7 i18

d) 1 sin cos 0

2

      

Ví dụ 3: Cho số phức z thỏa mãn  1 3 3

1

i z

i





 .Tìm Môđun của số phức zi z.

( Đề đại học khối A 2010 )

Ví dụ 4 Xác định tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều kiện:

a) Một acgumen của z 1 2i bằng

6



b) Một Acgumen của zi bằng một Acgumen của z 1

II.Bài tập vận dụng:

1).Viết các số phức sau dưới dạng lượng giác:

d). 3 i e) 2 5.i f) 4

1i 3

2).Viết các số phức sau dưới dạng lượng giác :

a) 1 2 cos sin

z    i  

2

2 cos sin

z     i  

c) 3 3 cos2 sin2

z     i  

2

4 sin 2 sin

2

3).Cho các số phức z1  1 i 3 , z2  3 i

a).Viết z z dưới dạng lượng giác? 1, 2

b).Tính

8 6

1 ; z ; ; z ;

4).Dùng công thức Moa-vrơ tính :

a).1 i 16 b) 1i 3 5 1i 35

c)    

 

10

1

i



 

10

9

1 3

i i





5).Cho các số phức z1 1 i ; z2   3 i

a).Tính 1

1 2

2

; z

z z

z

b).Từ kết quả câu a hãy suy ra cos13

12



; sin7 12



6).Viết dưới dạng đại số các số phức sau:

2 cos18 sin18 cos 72 sin 72

2 cos 45 sin 45

3 cos15 sin15

i z

i







c)

12

3 1

i z

i

  



7) a).Chứng minh rằng

30

1 3

i i





  là số ảo

b).Chứng minh rằng

2007

2 i 2



là số thực

8).Tìm dạng lượng giác của các căn bậc hai của các số phức sau:

a)cosisin b)sinicos c)sinicos

9).Tìm số phức z sao cho z  z2 và một acgumen của z 2 bằng một acgumen của z 2

cộng

2



?

10) a).Tính cos5a và sin5a theo cosa và sina

b) Tính cos6a và sin6a theo cosa và sina

MỘT SỐ ĐỀ KIỂM TRA CUỐI CHƯƠNG

ĐỀ 1

1) Tìm số phức liên hợp của z = (1 + i)(2 + 3i)

2) Tìm mođun của số phức z = 3 4

2

i i



 3) Tìm phần thực và phần ảo của số phức z = 1 i 2010

4) Tìm tập hợp điểm trên mặt phẳng phức biểu diễn số phức z thỏa mãn | z – i + 3| = 1 5) Tìm số phức z, biết z = 1 + i 3 2

6) Giải các phương trình:

a) 2z  z 3 4i b) z2   z 5 0 c) z46z39z2100 0

ĐỀ 2

1) Tìm số phức liên hợp của z = (2 - i)(i + 3)

2) Tìm mođun của số phức z biết 1

1 2

i z

i





 3) Tìm phần thực và phần ảo của số phức z = 1 i 2010

4) Tìm tập hợp điểm trên mặt phẳng phức biểu diễn số phức z thỏa mãn | z + 2i|  2 5) Tìm số phức z, biết z = - 1 + i 3 2

6) Giải các phương trình:

a) 2z  z 3 4i b) z2   z 5 0 c) z48z316z2  9 0

ĐỀ 3

1) Tìm số phức liên hợp của z = (3i+2)(i + 1)

2) Tìm mođun của số phức z = 4 3

2

i i



 3) Tìm phần thực và phần ảo của số phức z = i 12012

4) Tìm tập hợp điểm trên mặt phẳng phức biểu diễn số phức z thỏa mãn z  2  z i  5) Tìm số phức z, biết z = -i 3 -1 2

6) Giải các phương trình:

a) z2z 3 4i b) z22z  5 0 c) z44z34z225 0

MỘT SỐ ĐỀ TỰ LUYỆN

1) Tìm phần thực phần áo của số phức z biết :

a) z2.z 6 5.i b) z 1 2.  i z 0

1

i

 

 

 

3 2

1 3

1

i z

i







2) Giải phương trình sau trên tập số phức :

a) 2

2z 6z 3 0 (cơ bản )

b) z3z2  z 1 0 (nâng cao )

c) z2 i z    3 i 0 (nâng cao )

3) Tìm số phức z biết :

a) z i z 2 và phần thực của z gấp ba lần phần ảo của nó (cơ bản )

   





  



(nâng cao )

4) Tìm các phương trình bậc hai hệ số thực có một trong các nghiệm sau :

a) 3 i (cơ bản )

b) 5

2

i

i



 (nâng cao )

5) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy ,tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn mỗi điều

kiện sau:

a) z 2 3

b) 1 z

z



là một số thực

c) zi2  zz2 z 12

d) Một acgumen của z2i bằng

4



( nâng cao )

6) Tìm căn bậc hai của số phức z biết z z 2i ( Nâng cao )

7) Giải phương trình các sau trên tập số phức :

a) 3 2  i z  i i z  2 (cơ bản )

b) 2 i3 2i z 2 1

z

    (nâng cao )