2/ Chứng minh rằng với mọi giá trị nguyên của x thì fx + 1 luôn có giá trị là số chính phương.. Tia Ax vuông góc với AM cắt đường thẳng CD tại K.. Gọi I là trung điểm của đoạn thẳng MK..
Trang 1TRƯỜNG THCS TÂY ĐÔ
ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI LỚP 9
NĂM HỌC 2008 - 2009
Môn: Toán
( Thời gian làm bài: 120 phút - Vòng 2 )
Bài 1 ( 2 điểm ) : Cho đa thức: f(x) = x4 + 6x3 + 11x2 + 6x
1/ Phân tích f(x) thành nhân tử
2/ Chứng minh rằng với mọi giá trị nguyên của x thì f(x) + 1 luôn có giá trị là
số chính phương
Bài 2 ( 1,5 điểm ) : Cho phương trình ẩn x:
2 1
2 3
7 4
2 − + = − + −
−
x
b x
a x
x
x
; với x ≠1; x ≠2
Tìm a và b để phương trình có nghiệm là bất kỳ số thực nào khác 1 và 2
Bài 3 ( 2 điểm ) : Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức B = x + y + z; biết
rằng x; y; z là các số thực thoả mãn điều kiện y2 + yz + z2 = 1 -
2
3x2
Bài 4 ( 3,5 điểm ) : Cho hình vuông ABCD ( AB = a ), M là một điểm bất kỳ trên
cạnh BC Tia Ax vuông góc với AM cắt đường thẳng CD tại K Gọi I là trung điểm của đoạn thẳng MK Tia AI cắt đường thẳng CD tại E Đường thẳng qua M song song với AB cắt AI tại N
1/ Tứ giác MNKE là hình gì ? Chứng minh
2/ Chứng minh: AK2 = KC KE
3/ Chứng minh rằng khi điểm M di chuyển trên cạnh BC thì tam giác CME luôn có chu vi không đổi
4/ Tia AM cắt đường thẳng CD ở G Chứng minh rằng 1 2 1 2
AG
AM + không phụ thuộc vào vị trí của điểm M
Bài 5 ( 1 điểm ) : Cho a; b; c là các số thực thoả mãn điều kiện: abc = 2008 Chứng
minh rằng:
1 1 2008
2008 2008
+ +
+ +
+
+ +
c b
bc
b a
ab
a
- Họ và tên thí sinh:……… ; Số báo danh:
………
Trang 2TRƯỜNG THCS TÂY ĐÔ
ĐÁP ÁN, BIỂU ĐIỂM MÔN TOÁN
KỲ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI LỚP 9
NĂM HỌC 2008 - 2009
( Thời gian làm bài: 120 phút - Vòng 2 )
Bài 1: 2 điểm; Mỗi câu 1 điểm.
Câu 1: Lần lượt phân tích để có kết quả f(x) = x ( x + 1 )( x + 2 )( x + 3 )
Câu 2: Từ kết quả của câu 1 ta có:
+ A = f(x) + 1 = x( x + 3 )( x + 1 )( x + 2 ) + 1 = ( x2 + 3x )( x2 + 3x + 2 ) + 1
( 0,25 điểm )
+ Đặt x2 + 3x = t; ta có A = t( t + 2 ) = t2 + 2t + 1 = ( t + 1 )2
( 0,25 điểm )
+ Do x ∈ Z nên t = x2 + 3x x ∈ Z; do đó ( t + 1 )2 ∈ Z và ( t + 1 )2 là số chính phương
( 0,25 điểm )
+ KL:
( 0,25 điểm )
Bài 2: 1,5 điểm.
+ Với x ≠1; x ≠2 ta có:
) 2 )(
1 (
) 2 ( ) ( ) 2 )(
1 (
2 2
+
− +
=
−
−
− +
−
=
−
+
b a x b a x
x
b bx a ax x
b x
a
( 0,25 điểm )
+ Do đó
2 1
2 3
7 4
2 − + = − + −
−
x
b x
a x
x
x
với mọi x ≠1; x ≠2
⇔
) 2 )(
1 (
) 2 ( ) ( ) 2 )(
1 (
7 4
−
−
+
− +
=
−
−
−
x x
b a x b a x
x
x
với mọi x ≠1; x ≠2
⇔ 4x – 7 = ( a + b )x – ( 2a + b ) với mọi x ≠1; x ≠2
⇔
= +
= +
7 2
4
b a
b a
( 0,75 điểm )
+ Từ đó tính được a = 3; b = 1
( 0,25 điểm )
+ KL:
( 0,25 điểm )
Bài 3: 2 điểm
+ Ta có y2 + yz + z2 = 1 -
2
3x2
⇔ 2y2 + 2yz + 2z2 = 2 – 3x2
⇔ 3x2 + 2y2 + 2yz + 2z2 = 2 ( 1 )
⇔ x2 + y2 + z2 + 2xy + 2xz + 2yz + x2 – 2xy + y2 + x2 – 2xz + z2 = 2
Trang 3⇔ ( x + y + z )2 + ( x – y )2 + ( x – z )2 = 2
( 1,0 điểm )
+ Do ( x – y )2 ≥ 0; ( x – z )2 ≥ 0 nên từ ( * ) suy ra ( x + y + z )2 ≤ 2
Hay - 2 ≤ x+ y+z≤ 2
( 0,5 điểm )
+ Dấu “ = ” xảy ra khi x – y = 0 và x – z = 0 hay x = y = z
Thay vào ( 1 ) được 9x2 = 2; x =
3
2 ; x = -
3 2
( 0,25 điểm )
+ KL: Với x = y = z = -
3
2 thì min B = - 2
Với x = y = z =
3
2 thì max B = 2
( 0,25 điểm )
Bài 4: 3,5 điểm
N
E
I
G K
B A
M
Câu 1: 0, 75 điểm.
+ Từ MN // AB // CD và MI = IK áp dụng định lý Ta let ta có NI = IE
(0,25 điểm )
+ Chỉ ra tam giác AMK vuông cân tại A để có AE ⊥ KM ( 0,25 điểm )
+ Tứ giác MNKE là hình bình hành có hai đường chéo vuông góc với nhau nên MNKE là hình thoi. ( 0,25 điểm )
Câu 2: 0, 75 điểm.
+ Từ tính chất hình vuông có ∠ACK = 45 0 ( 0,25 điểm )
+ Chứng minh hai tam giác AKE và CKA đồng dạng, suy ra ĐPCM
( 0,5 điểm )
Câu 3: 1, 0 điểm.
+ Từ hai tam giác ABM và ADK bằng nhau ta có MB = DK nên EK = MB +
ED ( 0,25 điểm )
+ Tam giác AMK vuông cân tại A có MI = IK nên AI là trung trực của MK do
đó ME = EK (0,25 điểm )
+ Từ đó ME = MB + ED, suy ra ME + CM + CE = 2a (0,25 điểm )
Trang 4+ KL: (0,25 điểm )
Câu 4: 1, 0 điểm.
+ Tam giác AMK vuông cân tại A nên AM = AK; do đó
2 2
1 1
AG
AG
AK + (0,25 điểm )
+ Tam giác AKG vuông tại A nên AK AG = KG AD = 2 dt AKG, do đó
AK2 AG2 = KG2 AD2 (0,25 điểm )
+ Mặt khác lại có KG2 = AK2 + AG2 và AD = a nên ta có
AK2 AG2 = a2( AK2 + AG2 ), hay 22 22 12
AK
AG
AK + = , suy ra 1 2 12
AG
a
( 0,25 điểm )
+ KL: ( 0,25 điểm )
Bài 5: 1 điểm.
+ Đặt vế trái của đẳng thức cần chứng minh là A
+ Từ abc = 2008 suy ra a; b; c khác 0
( 0,25 điểm )
+ Ở phân thức thứ nhất ta thay 2008 bởi tích abc; giữ nguyên phân thức thứ hai;
nhân cả tử và mẫu của phân thức thứ ba với b ta có:
2008
2008 2008
2008 2008
+ +
+ +
= +
+
+ +
+
+ +
b bc b
bc
bc b
bc
b b
bc
( 0,75 điểm )
Chú ý: Học sinh làm cách khác nếu hợp lý và đúng thì vẫn có thể cho điểm tối đa theo thang
điểm quy định.