BẤT DẲNG THỨC AM GM (CAUCHY)

các số -1 trong 2 căn thức do đó nhân thêm vào mỗi căn với 1.Cộng theo vế 2 bất đẳng thức trên ta có điều phải chứng minh... Khi đó ta gọi bài toán có cực trị đạt được tại biên Căn cứ và

Trang 2

Dấu “=” của bất đẳng thức xảy ra khi x = y = z.

Ví dụ 3 Cho 3 số thực dương a, b, c Chứng minh rằng:

� với a a1, , , a2 n là các số không âm

Ta thường áp dụng khi gặp bài toán bất đẳng thức có dạng:

Ví dụ 2 Cho a, b, c là ba số thực dương thỏa mãn điều kiện a + b + c = 1

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: P = ab bc ca

c ab  a bc  b ca

Trang 3

các số -1 trong 2 căn thức do đó nhân thêm vào mỗi căn với 1.

Cộng theo vế 2 bất đẳng thức trên ta có điều phải chứng minh

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = 2

3) Kĩ thuật tách nghịch đảo

Ví dụ 1 Chứng minh rằng:   ,a,b0

a

b b a

Hướng dẫn giải

Vì a,b0 nên 0, 

a

b b

a a

b b

a

(đpcm)Đẳng thức xảy ra khi a = b

Trang 4

111

a a

a b b a b b

a

, 1

2

2 2

Áp dụng bất đẳng thức AM - GM ta có:

21

112

1

11

1

111

2

2 2

a a

a

(đpcm) Đẳng thức xảy ra khi a = 0

Ví dụ 5 Chứng minh rằng: , 0

2

191

34

Với a0 , áp dụng bất đẳng thức AM - GM ta có:

2

13.3

12

13

3113

931

19

1

3

2 2

2 2 2

4 2 4

a a a

a

(đpcm)

Trang 5

Ví dụ 6 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:   2 , 1

11

2 2

11

2

1

111

1

111

1

221

2

2 2

2

2 2

2 2 2

2 2

a a a

a

a a

a

a a a

ở các bài toán bất đẳng thức, thông thường chúng ta hay gặp hai dạng sau:

Dạng 1: Chứng minh X Y Z  �A B C 

ý tưởng: Nếu ta chứng minh được X Y �2A Sau đó, tương tự hóa đẻ chỉ ra

2

Y Z �B và Z X � (nhờ tính đối xứng của bài toán) Sau đó cộng ba bất 2C

đẳng thức trên lại theo vế rồi rút gọn cho 2, ta có ngay điều phải chứng minh

Dạng 2: Chứng minh XYZ �ABC với X Y Z, , �0

Ý tưởng: Nếu ta chứng minh được XY � Sau đó, tương tự hóa để chỉ raA2

2

YZ B� và ZX C2 (nhờ tính chất đối xứng của bài toán) Sau đó nhân ba bất đẳng thức trên lại theo vế rồi lấy căn bậc hai, ta có:

2 2 2

XYZ  A B C  ABC �ABC

Trong kỹ thuật ghép đối xứng ta cần nắm một số thao tác sau:

a c c b b a c b a

2

22

b a

c b a ca

bc ab abc

2 2 2

0,, ,

Ví dụ 1 Cho ba số thực dương a, b, c Chứng minh rằng:

c b a c

Trang 6

c a

b a

c c

b b

2 2 2

Ta có:

c

a b

c a

b c

a b

c a

b b

a a

c a

c c

b c

b b a

b

a a

c a

c c

b c

b b

a a

c c

2 2

2 2 2

2

2 2

2

12

b a b

a c a

c b

33

2

22

2

22

b a

c b a c b a c b a

a

bc c

ab c

ab b

ca b

ca a bc

a

bc c

ab c

ab b

ca b

ca a

bc

c

ab b

ca a

bc c

ab b

ca a

bc c

b a b

a c a

c b

Ví dụ 4 Cho

2,

,,

a p c p c p b p b p a p c

p b p a

p

8

12

2.2

2.22

2

.2

,,

1

Ta có:

Trang 7

a p c p c p b p b p a p

a p c p c

p b p b

p a p

a p c p c

p b p b

p a p c

p b

p

a

p

1112

2

12

1

11

1

11

2

11

12

11

12

111

x x

x x x

Ta có với x1,x2, ,x n 0 thì

2 1 2

1 2

1

11

x x x n x x x n x x

x x x

n

n n

Ví dụ 1 Cho ba số thực dương a, b, c Chứng minh rằng:

11

c

b a c b

a c b a

c b a

c

b a b

a c a

c b c

b a b

a c a

Trang 8

 

        2 3 3 2 9 3 1 1 1 2 1 3 1 1 1 3 3 1 1 1                                                                                   b a a c c b b a a c c b b a a c c b c b a b a b a c a c a c b c b c b a b a c a c b c b a b a c a c b c b a Ví dụ 3 Cho ba số thực dương a, b, c Chứng minh rằng: 2 2 2 2 a b c a c b c b a b a c         Hướng dẫn giải a b c a c b b c b a a b a c c a c b c b a b a c                                    2 2 2 2 2 2 a b c a c b b c b a a b a c c                              1 1 1 a b c a c b a c b c b a c b a b a c b a c                                   a b c a c b c b a b a c c b a                   1

              a c b c b a b a c c b a Theo bất đẳng thức Nesbit đã chứng minh ở bài 2 thì: 2 3       a b c a c b c b a Do đó   2 1 2 3 2 2 2 a b c c b a a c b c b a b a c                   (đpcm) Ví dụ 3 Cho ba số thực dương a, b, c thỏa abc1 Chứng minh bất đẳng thức sau: 9

2 1 2 1 2 1 2 2 2       bc b ca c ab a Hướng dẫn giải Do abc1 ta có:             9 2 1 2 1 2 1 2 2 2

2 1 2 1 2 1 2 2 2

2

1 2

1

2 2

2

2 2

2























ab c

ca b

bc a

ab c

ac b

bc a

ab c

ca b

bc a

ac bc ab c

b a

ab c

ca b

bc a

c b a ab c

ca b

bc

a

6) Kỹ thuật đổi biến số

Trang 9

Có những bài toán về mặt biểu thức toán học tương đối cồng kềnh, khónhận biết được phương hướng giải Bằng cách đổi biến số, ta có thể đưa bàitoán về dạng đơn giản và dễ nhận biết hơn.

Ví dụ 1 Cho ABC,ABc,BC a,CAb Chứng minh rằng:

y x c

x z b

z y a

z c b

a

y b a

c

x a c

.2

.y z x y y z z x

x    Trong tam giác, tổng độ dài của hai cạnh luôn lớn hơn độ dài cạnh còn lại nên:

.2Hay bc aca bab cabc (đpcm)

20

00

y x c

x z b

z y a

z c b a

y b a c

x a c b

Khi đó vế trái của bất đẳng thức (1) trở thành:

z

y x y

x z x

z y

22

a c

b a

c b

a

(đpcm)

c b a c b a

c b a c

b a c b

2

(1)

Trang 10

Đặt:

                                 2 2 2 0 0 0 y x c x z b z y a z c b a y b a c x a c b

Khi đó bất đẳng thức (1) tương đương với bất đẳng thức sau:       x y z z y x y x z x z y         4 4 4 2 2 2 Ta có:       y x z x yz z xy z xy y zx y zx x yz x yz z xy z xy y zx y zx x yz z xy y zx x yz z y x y x z x z y                                      

2 1 2 1 2 1 4 4 4 2 2 2 Hay a b c c b a c b a c b a c b a            2 2 2 (đpcm) Ví dụ 4 Cho 2 , , , ,AB c BC a CA b p a b c ABC        CMR:       p ap bp c p c p b p a p 2   2   2     1 1 1 (1)

Hướng dẫn giải Ta có: 0

2      b c a a p Tương tự: p b 0, p c 0 Đặt: p x y z z c p y b p x a p                   0 0 0

Khi đó bất đẳng thức (1) tương đương với bất đẳng thức sau: x xyz y z z y x      2 2 2 1 1 1 Ta có:

xyz z y x zx yz xy x z z y y x x z z y y x z y x                                    1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 2 1 1 1 2 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

Hay       p ap bp c

p c

p b

p a

p 2   2   2    

1 1

1

(đpcm)

Ví dụ 5 Cho ba số thực dương a, b, c Chứng minh:

2

3





c a c

b c b

a

(1)

Trang 11

z y x c

y x z b

x z y a

z b a

y a c

x c b

Khi đó bất đẳng thức (1) trở thành:

2

12

y x z x

x z y

b c b

1

2 2

y x

y x b a

xy y

c b

x c

2 2

222

1

2

11

111

2 2 2 2

2 2

y x y x

y x y xy x

y x y x y x y x

Vậy

11

1

2 2

y x z x x z z

x z y z z y y

z y x A

22

2

2 2

Trang 12

c b a y y

c b a x

x

y y x x

c

x x z z

b

z z y y

a

24

91

4291

222

Khi đó

9

2

3 3.4

424

a a

c b

c c

a a b

c

b b

a a

c b

c c

a a b

c

c b a b

c b a a

c b a

A

Dấu “=” xảy ra  a bc1

Vậy GTNN của A là 2

7) Kỹ thuật chọn điểm rơi

Điểm rơi trong các bất đẳng thức là giá trị đạt được của biến khi dấu “=”trong bất đẳng thức xảy ra

Trong các bất đẳng thức dấu “=” thường xảy ra ở các trường hợp sau:

 Các biến có giá trị bằng nhau Khi đó ta gọi bài toán có cực trị đạt

được tại tâm

 Khi các biến có giá trị tại biên Khi đó ta gọi bài toán có cực trị đạt

được tại biên

Căn cứ vào điều kiện xảy ra của dấu “=” trong bất đẳng thức ta xét các kỹthuật chọn điểm rơi trong các trường hợp trên

1 Kỹ thuật chọn điểm rơi trong bài toán cực trị xảy ra ở biên

Xét các bài toán sau:

Bài toán 1: Cho số thực a2 Tìm giá trị nhỏ nhất (GTNN) của 1

a a

A 

Sai lầm thường gặp là:  12 1 2

a

a a a

Trang 13

15

16

17

1

A 212 313 414 515 616 717 818 …… 1

2020

Nhìn bảng biến thiên ta thấy khi a tăng thì A càng lớn và từ đó dẫn đến

dự đoán khi a2 thì A nhận giá trị nhỏ nhất Để dễ hiểu và tạo sự ấn tượng ta

2

MinA  đạt tại “Điểm rơi a = 2”

Do bất đẳng thức AM-GM xảy ra dấu bằng tại điều kiện các số tham gia phải

bằng nhau, nên tại “Điểm rơi a = 2” ta không thể sử dụng bất đẳng thức

AM-GM trực tiếp cho 2 số a và 1

a vì

122

� Lúc này ta sẽ giả định sử dụng bất đẳngthức AM-GM cho cặp số 1

,

a a

11

2.314

31.4

24

314

a

a a a A

Dấu “=” xảy ra 1 hay 2

Lưu ý: Để giải bài toán trên, ngoài cách chọn cặp số 

2.314

31.4

24

314

a

a a a A

Trang 14

Bài toán 2: Cho số thực a2 Tìm giá trị nhỏ nhất của 12

a a

11

22

Sai lầm thường gặp là:

4

98

2.72.2

18

72

18

71.8

28

71

a

a a

Nguyên nhân sai lầm: Mặc dù GTNN của A là

12

2.64

38

61.8

.8.38

618

a

a a a

Bài toán 3: Cho số thực 1

18

17

16

15

14

27

13

25

Trang 15

Nhìn bảng biến thiên ta thấy khi a tăng thì A càng nhỏ và từ đó dẫn đến

dự đoán khi 1

2

a thì A nhận giá trị nhỏ nhất Để dễ hiểu và tạo sự ấn tượng ta

sẽ nói rằng MinA5đạt tại “Điểm rơi 1

a a

Phân tích và tìm tòi lời giải:

Biểu thức A chứa hai biến số a, b nhưng nếu đặt t ab hoặc t 1

Trang 16

a b 

Ví dụ 2 Cho số thực a6 Tìm GTNN của 2 18

a a

A 

Phân tích:

Ta có:

a a

a a a

A 2 18 2 99

Dễ thấy a càng tăng thì A càng tăng Ta dự đoán A đạt GTNN khi a6

2

3362

36

99

366

c b a c b a

A     

Phân tích:

Dự đoán GTNN của A đạt được khi a2b3c20 ,tại điểm rơi a2,b3,c4

Sơ đồ điểm rơi:

3

42

322

33

2

332

329

Trang 17

4 1 4

14

135233

4

324

.4

22

9.22

3.4

32

4

324

442

92

343

c b

b a

a

c b a c

c b

b a

a A

111

bc ab c

b a

Phân tích: Dự đoán GTNN của A đạt được khi

.93

269

2

12.24

.183

22418

c a

ab

b a ab

b a

3

48.12

.6

.94

81269

4

32.8

.163

2816

b c a

bc

c b bc

c b

4

138.24

13.48

13224

13.48

13224

1348

13

3

1312.24

13.18

13224

13.18

13224

1318

b

b a b

111

bc ab c

b

2) Kỹ thuật chọn điểm rơi trong bài toán cực trị đạt được tại tâm

Xét bài toán sau:

Bài toán: Cho 2 số thực dương a, b thỏa ab1.Tìm GTNN của

b a b a

A  1 1

Trang 18

Sai lầm thường gặp là:   1144 1.1 4

b a b a b a b a A

Vậy GTNN của A là 4.

Nguyên nhân sai lầm: GTNN của A là 4   1 1 a b1

b a b

2

12

11

212

b a b

a b a b a A

2

12

111

212

c b a c

b a

2

132

912

3

1

1.4.4.46

333111444

c b a c b a c b a A

Trang 19

Ví dụ 2 Cho 3 số thực dương a, b, c thỏa

412

1

2 2 2

b a

4

272.4

9493

1.4

94

91.949

1114

38

1.8

1 9

4

34

38

18

181

3

9 2 2 2

2 2 2

c b a c

b a c b a c b a

c b a c b a c b a c b a A

Ví dụ 3 Cho 2 số thực dương a, b Tìm GTNN của

b a

ab ab

b a A

Do A là biểu thức đối xứng với a, b nên ta dự đoán GTNN của A đạt tại a  b

2

122

12

22

a

a ab

b a b

314

2.3

4

24

a

ab ab

b a ab

b a b

a

ab ab

b a A

Dấu “=” xảy ra  a 

Vậy GTNN của A là

25

Ví dụ 4 Cho 3 số thực dương a, b, c Tìm GTNN của

b a a c c b c b

a

Trang 20

a c a

c b

b a

c a c

b c b

a c

b a

a b

c a

b c

b a b

a c a

c b b a

c a c

b c b a

c

b a b

a c a

c b c

b a b

a c a

c b b a

c a c

b c b

a A

4

34

.4

4 6

4

34

44

6

2

152

93 6.4

a b

c a

c a b

Dấu “=” xảy ra  abc

215

Ví dụ 5 Cho 2 số thực dương a, b thỏa ab1 Tìm GTNN của :

21

Trang 21

với dự đoán A đạt giá trị nhỏ nhất khi a = b nên a2 b2 2ab, từ đó ta nghĩ đếnviệc sử dụng bất đẳng thức AM-GM dạng cộng mẫu thức 1 1 4

a

A

2

11

3

22

21

3

21

12

a

ab ab

b a

ab ab b

a A

3

14

1

43

12

61

1

2

3

16

1

12

3

16

11

1

2 2

2

2 2

Do 2

3

12

41

2 2

2

b a ab b

a b

a

41

2

4

2 2

b a b

411.2

b a

ab b

a

Trang 22

38

Ví dụ 7 Cho 2 số thực dương a, b thỏa ab1 Tìm GTNN của

ab ab b a

41

21

a

1 4 1 4 4

142

b a

ab ab

b a

ab ab

ab ab b

a A

4

12

44

122

2

1

2

4

14

1.422

12

4

14

2

11

2 2

2

2 2

Do 2

4

12

2 2

b a ab b

a b

a

 

7215

2

52

Dấu “=” xảy ra

21

1

4

14

22 2

b a

ab ab

ab b

a

Vậy GTNN của A là 7

Ví dụ 8 Cho 2 số thực dương a, b thỏa ab1 Tìm GTNN của

2 2

3 3

111

ab b a b a

Trang 23

411

21

2 2

3 3

22

15

2

1.2

1

15

2

12

11

2 2

3 3

5

2 2

3 3

2 2

3 3

ab b a ab b a b a

ab b a ab b a b a A



204

1125

2

Do 4

)(

25

2 3

a b a

Dấu “=” xảy ra

2

11

2

12

11

2 2

3 3

b a

ab b a b a

Vậy GTNN của A là 20

Ví dụ 9 Cho ba số thực dương x ,,y z thỏa 111 4

z y

z y x z y x z y x

P

2

12

11

1

14

1 4

11

2

1

4 4

12

Trang 24

Cộng theo vế 3 bất đẳng thức trên, ta có:

144416

12

y x z y x z y

4111

1) Kĩ Thuật tham số hóa

Khi giải toán về bất đẳng thức và cực trị với các biến bình đẳng ta thường dựđoán điểm rơi khi các biến bằng nhau Nhưng với các bài toán mà các biếnkhông bình đẳng thì việc tìm lời giải sẽ khó hơn vì việc xác định điểm rơi vàtách số để triệt tiêu biến là không hề dễ, chúng tôi xin giới thiệu với các bạn

phương pháp Tham số hóa kết hợp với một số kĩ năng suy luận hợp lý để tìm

lời giải cho các bài toán cực trị với các biến khác nhau

Ví dụ 1 Cho hai số thực dương a b, thỏa mãn ab a b    a b Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P a b 

Nhận xét: Bài toán trên rõ ràng vai trò của a và b không giống nhau, việc

tách và sử dụng AM-GM như trên thực chất không dựa trên việc xác định điểmrơi mà là sự khéo léo của người giải để từ ab và  2

Trang 25

Vậy giá trị nhỏ nhất của P = 4 khi a 2 2;b 2 2.

Ví dụ 2 Cho hai số thực dương a b, thỏa mãn 4a b  ab 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 1

P ab

Nhận xét: Lời giải trêm rất hay và ngắn gọn tuy nhiên việc vai trò a và b

không giống nhau trong bất đẳng thức khiến cho việc định hướng để sử dụngbất đẳng thức AM-GM trực tiếp với 4a và b có phần thiếu tự nhiên và mạo hiểm

Với bài toán này chúng ra cũng có thể sử dụng phương pháp tham số hóa như

Trang 26

ab

۳

Ví dụ 1 Cho hai số thực dương a b, thỏa mãn 5

.4

1

44

a

b b

a b .

Nhận xét: Rõ ràng không tự nhiên để có được lời giải như trên mà phải qua

kĩ thuật chọn điểm rơi (cân bằng hệ số) để có sự ghép cặp: 4

� �, kĩ thuật này bạn có thể kham khảo ở mục trước Đối với bài toán này

chúng ta có thể làm bằng phương pháp tham số hóa như sau:

Nhận xét: đối với nhiều em học sinh THCS thì việc sử dụng kĩ thuật chọn

điểm rơi thực sự tương đối khó nhất là việc áp dụng vào từng bài toán cụ thể thìcần hết sức linh hoạt vì khi đọc về kĩ thuật này có thể các em hiểu và vận dụngđược nhưng khi vào phòng thi thì các em lại quên cách cân bằng hệ số do chưa

thực hiểu sâu sắc, nhưng đối với phương phápTham số hóa thì việc hình thành lời giải khá tự nhiên, giúp dễ nhớ hơn, nhưng lời giải của phương pháp Tham

số hóa lại dài và không đẹp mắt nên các em có thể nháp bằng phương pháp

này để có điểm rơi của bài toán sau đó dựa vào điểm rơi tách hợp lý từ đó có lờigiải ngắn gọn và đẹp mắt

Trang 27

dụ như bài toán tên sau khi tìm được dấu bằng xảy ra khi 1

Cách 3: Với những em có kiến thức cơ bản về bất đẳng thức có thể dễ dàng sử

dụng bất đẳng thức Bunyakovski dạng phân thức để dồn mẫu thức về a b 

giống giả thiết như sau:

21

54

Ở bài toán này giả thiết ở dạng bất đẳng thức nên ta chỉ có thể dùng

phương pháp tham số hóa để tìm điểm rơi của bài toán Ta xét dấu bằng xảy

ra tức là a b 6.Giả sử a bt với t 0 Khi đó 6 6

Khi đó ta có a2;b4 Vậy minP19 đạt được khi a2;b4

Định dạng
Số trang	54
Dung lượng	2,34 MB