Bat dang thuc AM GM 7 THCS

Bất đẳng thức AM-GM* Trong chương trình toán THCS ta thương dúng bất đẳng thức AM-GM cho 2 số thực không âm hoặc 3 số thực không âm... Áp dụng câu c ta có đpcm.

Bất đẳng thức AM-GM

* Trong chương trình toán THCS ta thương dúng bất đẳng thức AM-GM cho 2 số thực không âm hoặc 3 số thực không âm

a) Cho các số thực không âm a, b khi đó ta có: a b 2 ab dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ab

b) Cho các số thực không âm a, b, c khi đó ta có: 3

3

a  b c abc dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a  b c

* Một số kết quả được suy ra từ bất đẳng thức AM-GM

a) Với a b,  0 từ  2

a b ab ab ab (*)

b) Với a b,  0 từ 1 1 2 1

a  b ab lại có

2

a b

ab  

4

a b a b a b a b

đây là kết quả rất hay dùng trong chứng minh các bài toán BĐT

c) Với a b c, ,  0 từ 3  3

a  b c abc abc a b c

d) Với a b c, ,  0 từ

3

a   b c abc , vì 3

3

a  b c abc suy ra 1 1 1 9

a  b c a b c

  hay

9

a b c a b c

    

    đây cũng là kết quả rất hay dùng trong chứng minh các bài toán

BĐT

e)  3 3 3 3 3 3  3

a b x y m n  axmbym với a b m n x y, , , , ,  0

Áp dụng BĐT AM-GM ta có:

3

3

a b  x y m n  a b x y m n

3

3

a b  x y m n  a b x y m n

Cộng hai bất đẳng thức cùng chiều ta suy ra:

 3 3 3 3 3 3

3





+ Hoàn toàn tương tự, ta cũng chứng minh được:

a b c x y z m n  p  axmbymczp

3 MỘT SỐ VÍ DỤ

Ví dụ 1

Cho các số thực dương a, b, c Chứng minh rằng:

2

b c c aa b 

b) ab b c c a 8abc

9

ab bc ca  a b c abbcca

d) Cho ab b c c a 1 Chứng minh: 3

4

abbcca (Trích Đề tuyển sinh lớp 10 chuyên Toán TP Hà Nội, năm 2015)

e) Cho các số thực x y z, ,  2 Tìm giá trị nhỏ nhất của

P

chuyên KHTN, năm 2015)

a b b c a b b c

(Tuyển sinh THPT chuyên KHTN, 2018)

g) Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn: xyz 1 Chứng minh:

2

h) Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn: 1 1 1 3

x  y z Tìm giá trị lớn nhất của

P

– THPT chuyên TP Hà Nội, 2018)

Lời giải:

a) Ta có

a b c

2

1

2

a b a b b c b c c a c a

b c c a a b c a a b b c

b c a b

   

6

a b b c a b c a b c c a

b c a b c a a b c a b c

           

9 3 2

b cc a a b 

2

b c c aa b 

Cách khác: Đặt

x y z x y z x y z y z x

a b x b c y c     a z a b c    a   b   c  

Thay vào ta có bất đẳng thức cần chứng minh trở thành:

6

x y z x y z z y x x y y z x z

x y

y x theo bất đẳng thức AM-GM nên ta suy ra bất đẳng thức cuối cùng đúng

b) Cách 1: Ta có: a b 2 ab b,  c 2 bc c,  a 2 ca ab b c c a 8abc

Cách 2: ab b c c a  a b c ab bccaabc Theo bất đẳng thức AM-GM ta

a  b c abc abbcca a b c  a b c abbcca  abc Suy ra

ab b c c a  a b c ab bccaabc 8abc

Chú ý: ab b c c a  a b c ab bccaabc là một biến đổi được sử dụng rất nhiều trong chứng minh bất đẳng thức:

9

ab bc ca  a b c abbcca

Chú ý rằng ab b c c a  a b c ab bccaabc Áp dụng câu c ta có đpcm d) Ta chú ý: ab b c c a  a b c ab bccaabc

a b c



2

a     b b c c a ab bc ca     a b c Mặt khác sử dụng:

8

8

ab bc ca  abcabc Tứ đó suy ra:

1 1

2

abc

ab bc ca

a b c





2

a  b c

4 4

y z      

Từ đó suy ra

4 4

y z

y z 



P

y z z x x y

2

y z  z x  x y 

chỉ khi x  y z 4

f) Ta có

VT

a b b c a b b c



a b ab b c bc ab bc bcb acabbc b acab bc  ab

ab bc ab bc VT

ab bc ab bc



Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a b c

g) Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có:

xy y

 

Tương tự ta có 2 bất đẳng thức nữa và cộng lại ra suy ra:

1 1 1 1 1

VT

xy y yz z zx x

1

x  y z

Chú ý: Trong bài toán này ta đã sử dụng một kết quả là: Cho các số thực x, y, z thỏa

xy y  yz z  zx x 

đọc

h) Từ

3

x       y z x y z xyz   Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có:

xy x

x y

 

P

xy y yz z zx x

xy y  yz z  zx x  xy x  xyz xy x x yz xyz xy

1

1

chỉ khi x  y z 1

Ví dụ 2

a) Cho các số thực dương a, b, c sao cho a  b c abbcca 6 Chứng minh rằng:

6

a b c  (trích Đề tuyển sinh lớp 10 – TP Hà Nội, 2013)

b) Cho các số thực dương a, b sao cho: 1 1 2

a b Chứng minh:

Q

a b ab b a a b

Hải Dương, 2013)

c) Cho các số thực dương a, b sao cho a b 2 Chứng minh:

 2 2

       

d) Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãna  b c 2 Tìm giá trị nhỏ nhất của

P abc bac cab (Trích đề tuyển sinh lớp 10 – TP Hà Nội, 2014)

e) Cho các số thực không âm a, b sao cho 2 2

4

2

ab P

a b



  Trích

đề tuyển sinh lớp 10 – TP Hà Nội 2015

f) Cho các số dương a, b, c thỏa mãn: a  b c 1 Chứng minh rằng:

1 1 1 1 4

a b c

a b b c c a

Hà Nội 2017)

Lời giải:

a) Dự đoán dấu bằng xảy ra khi a  b c 1 Ta có cách giải như sau:

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có:

3 a b c   3 2 abbcca  a b c  12 a b c  3

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a  b c 1

b) Dự đoán khi a  b 1 thì bất đẳng thức xảy ra dấu bằng Từ đó ta có cách áp dụng BĐT AM-GM như sau:

a b  a b b a  ab Từ đó suy ra

Q

ab a b ab a b ab a b

a b ab b a a b

1 1

2 a b 2 a b 2ab



 2

2

Q

a b



2

2

a b a b a b

2

Q Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a b 1

c) Ta viết lại bất đẳng thức cần chứng minh thành:

2 2

2 2

8 4ab 6 ab 9 ab 10 0 2a b 4a b 24ab 12a b 36 18ab 0

ab a b

2a b 4a b 24ab 12a b 36 18ab 0 4t 10t 42t 36 0

4

a b

t ab 

2t  5t  21t 18  0

2t   3t 18  0 và t  1 0 nên    2 

bằng xảy ra khi và chỉ khi t    1 a b 1

d) 2abc  a a   b c bc Áp dụng bất đẳng thức AM-GM

2

a b a c

ab ac     , tương tự ta có:

a b c b c a c a b

3

a  b c

e) Ta viết lại

2

ab P

a b

a  b t t a b  ab  ab

Ta có

2

4 2

t

ab 

Suy ra

 

2

P t

t   ab  t a b   t

2

Vậy GTLM của P bằng 2 1  tại a b 2

f) Theo bất đẳng thức AM-GM

ab a a  b c b a b abac ababac abac Từ đó suy ra

2

ab ac b c b b c

4

x y x y

   

.

2b b c 4 2b b c 8b 4 b c 8b 16 b c 16 b c

,

Cộng theo vế 3 bất đẳng thức cùng chiều ta có điều phải chứng minh Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a b c

Ví dụ 3 Cho các số thực dương a, b thỏa mãn ab 2013 a  2014 b

2013 2014

a b  

(Tuyển sinh lớp 10, chuyên toán ĐHSP Hà Nội, năm học 2013-2014)

Lời giải

Từ giả thiết suy ra:

 

2013 2014

a b

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta có:

2013 2014 2013 2014

Kết hợp với (1) suy ra:

2013 2 2013.2014 2014 2013 2014

Điều phải chứng minh