DS2 d1 HoaNV bai tap hinh hoc loi dung dinh ly helly

Định ly2: Họ hữu hạn hình lồi trong mặt phẳng sao cho bất kỳ 3 hình có điểm chung thì tất cả hình lồi có điểm chung.. Định lý3: Họ hình lồi đóng và bị chặn trong mặt phẳng sao cho bất

MỘT SỐ BÀI TẬP VỀ HÌNH LỒI DÙNG ĐỊNH LÝ

HELLY

Nguyễn văn Hóa

Trường THPT Chuyên Quộc Học Huế

Mục đích của bài viết là chọn lựa một số bài tập về hình lồi trong mặt phẳng dùng định lý Helly.Đây là một phần trong chuyên đề hình học tổ hợp được dùng bồi dưỡng học sinh giỏi

I/Hình lồi:

1/Định nghĩa:

(H) là một hình phẳng( không gian) (H) gọi là một hình lồi nếu

M N M N H MN H ([MN] là đoạn thẳng MN

(H) bị chặn nếu tồn tại hình tròn (hình cầu) chứa (H)

Nói cách khác (H) bị chặn nếu tồn tại O và r>0 sao cho mọi M thuộc (H) d(O,M)<r

Một r lân cận của điểm X là tâp S(X,r)={Y/d(X,Y)< r}, r >0

X gọi là điểm tụ của (H) nếu mỗi r lân cận của X chứa vô hạn điểm của (H)

X gọi là điểm biên của (H) nếu mỗi r lân cận của X chứa điểm của (H) và chứa điểm không thuộc (H)

(H) gọi là tập mở nếu mọi điểm X thuộc (H) tồn tại r lân cận của X: S(X,r)⊂(H) (H) gọi là tập đóng nếu nó chứa tất cả điểm tụ của nó

2/ Tính chất:

a/ Giao họ các hình lồi là hình lồi

b/Giao họ các tập đóng là tập đóng,hợp hữu hạn tập đóng là tập đóng

Nhận xét: hợp các hình lồi không hẵn là hình lồi

Ví dụ : đoạn thẳng là hình lồi đóng và bị chặn

Hình tròn,hình cầu ,miền đa giác, khối đa diện lồi là hình lồi đóng ,bị chặn

Đường thẳng , mặt phẳng là hình lồi đóng không bị chặn

3/ Bao lồi:

Cho hình (H) thì có ít nhất hình lồi chứa (H) (ví dụ toàn bộ mặt phẳng ( Không gian))

Ký hiệu (H) T với T là hình lồi bất kỳ chứa (H) (H) T là hình lồi nhỏ nhất chứa (H), ta gọi (H) T là bao lồi của H

Chú ý: Tập con đóng và bị chặn trong mặt phẳng (không gian) thõa mãn :

z

y t

Định lý Heine-Borel: A đóng và bị chặn thì mọi họ tập mở

i

G i I Gi A J I Gi A với J là tập hữu hạn

Nói cách khác: mọi phủ mở của A tồn tại phủ con hữu hạn

II/ Định lý HELLY:

Định lý1: Họ các đoạn thẳng trên đường thẳng đôi một có điểm chung thì họ các đoạn

thẳng có điểm chung

Chứng minh: Đặt Ti=[ai;bi]

Ti∩Tj≠∅⟺min(bi,bj)≥max(ai,aj)

Thật vậy i, i j, j , i i min( ,i j) m x( ,i j)

a c b

a c b



Cố định T0=[a0;b0] Với mọi i ta có:min( ,b b i 0) m x( ,a a a i 0) thì:

m x( , ) min( , ) , min( , ) m x( , )

Vậy tâp {ai} bị chặn trên và tập {bi} bị chặn dưới Gọi a= sup {ai} và b=inf{bi}thì: a≤b0

và b≥a0

Nếu tồn tại k để ak >b theo định nghĩa inf thì có l sao cho ak>bl≥b thì Tk và Tl không có điềm chung( vô lý) Do đó ak ≤b với mọi k suy ra a≤b vậy ai ≤a≤b≤bi với mọi i thuộc I Kết luận:

i I

Ti



Chú ý:Khi I hữu hạn thì: a= max {ai} và b=min{bi}

Chú ý định lý sai trong ví dụ sau: n   ,F n    ( ; n] ta có giao bất kỳ hai tâp khác rổng nhưng giao của chúng là rỗng

Định ly2:

Họ hữu hạn hình lồi trong mặt phẳng sao cho bất kỳ 3 hình có điểm chung thì tất cả hình lồi có điểm chung

Chứng minh:Qui nạp theo n số hình lồi

+n=4 Xét 4 hình lồi A,B,C,D lấy

x y z A x y t B x z t C y z t D

Xét bao lồi của x,y,z,t:

+Nếu bao lồi là tứ giác hai chéo là xz và yt giao nhau tại u

thì u thuộc A,C do x,z thuộc A,C,tương tự u thuộc B,D

Vậy u thuộc A,B,C.D

+ Bao lồi là tam giác:xyz và t thuộc miền tam giác xyz

xy,z thuộc A nên t thuộc A (do A lồi) lúc này t thuộc A,B.C.D

z

y t

Sx

A

Bx x

+Nếu bao lồi là đoạn thẳng xy và z,t ở trong đoạn xy thì

t thuộc A (d0 x,y thuộc A) do đó t thuộc A,B,C,D

Vậy mệnh đề đúng với n=4

+Giả sử mệnh đề đúng với n ≥4 Xét n+1 hình lồi Ai, i=1,2,3 ,n+1 Đặt A1∩A2=B1 là hình lồi Xét n hình lồi B1,A3,A4, , An+1 Giao bất kỳ 3 hình lồi Ai (i≥3) khác rỗng theo giả thiết quy nạp Giao bất kỳ 3 hình lồi trong đó có B1 khác rỗng theo trường hợp n=4

Vậy theo giả thiết quy nạp suy ra: giao B1∩A3∩ ∩An+1 khác rỗng, suy ra 1

1

n i i

A



Chú ý:

1/Nếu trong định lý thay 3 bởi 2 thì không còn đúng Ví dụ:

A x y x  y  B  x y x  y  C  x y x  y 

Giao bất kỳ hai khác rổng và giao A B C   

2/ Nếu giả thiết lồi không thỏa mãn thì định lý không đúng

Xét 4 điểm X i  i, 1, 2, 3, 4 Đặt A {X X X X1, 2, 3, 4},A =A\{i X i} thì giao bất kỳ 3 tập khác rỗng nhưng giao tất cả là rỗng

Định lý3:

Họ hình lồi đóng và bị chặn trong mặt phẳng sao cho bất kỳ 3 hình lồi có điểm chung thì chúng có điểm chung

Chứng minh:

Nếu giao các hình lồi rỗng Xét một hình lồi A, khi đó mọi x thuộc A tồn tại

hình lồi Bx sao cho không chứa x Do Bx đóng nên tồn tại hình tròn

mở Sx tâm x bán kinh rx giao với Bx là rỗng Xét họ{ Sx ,x∈A }phủ A

nên theo định lý Heine-Borel: tồn tại họ hữu hạn sxi phủ

A,i=1,2 ,n Xét các hình lồi Bxi và A Định lý 2 cho ta

tồn tại u thuộc A và u thuộc Bxi ,i=1,2 ,n u thuộc A

nên thuộc hợp các sxi suy ra u thuộc sxj nào đó suy ra u thuộc sxj và Bxj vô lý

K y

N

N

Định lý 4 :Họ hữu hạn hình lồi trong không gian sao cho bất kỳ 4 hình có điểm chung

thì tất cả hình lồi có điểm chung

Định lý5:

Họ hình lồi đóng và bị chặn trong không gian sao cho bất kỳ 4 hình lồi có điểm chung thì chúng có điểm chung

Bài toan1:

Cho họ miền hình bình hành sao cho hai cạnh song song với hai đường thẳng cho trước Nếu bất kỳ hai miền bình hành có điểm chung thì chúng có điểm chung

Chứng minh:

Chiếu song song theo phương Ox ta được họ

đoạn thẳng đôi một có điểm chung nên

chúng có điểm chung N Tương tự chiếu

song song theo phương Oy ta được họ

đoạn thẳng đôi một có điểm chung nên

chúng có điểm chung M Gọi K là

điểm giao của hai đường thẳng đi

qua M,N cùng phương với Ox,Oy

thì K thuộc tất cả miền

chữ nhật

Bài toán 2

Trên đường tròn cho họ cung có độ dài nhỏ hơn độ dài nữa đường tròn Nếu mọi bộ 3 cung có điểm chung thì tất cả có điểm chung

O O*

O

B

D

N

A

M

B

Chứng minh:

Xét đường tròn tâm O

Xét miền viên phân dựng trên dây cung của cung đã

cho.Ta được các hình lồi đóng và bị chặn Theo giả thiết 3 hình

lồi bất kỳ có điểm chung Vậy họ các miền có điểm chung là

O* Tia OO* cắt đường tròn tại T thuộc tất cả các cung

Chú ý: Lấy 4 cung là 4 nữa

đường tròn thì sai.Ví dụ cung

ABC,ADC,BAD,BCD

Bài toán 3:

Trên đường tròn cho họ cung có số đo nhỏ hơn2

3 Nếu hai cung bất kỳ có điểm chung thì chúng có điểm chung

Chứng minh: Lấy cung ABvới trung điểm M của nó

Gọi N đối xứng của M qua tâm đường tròn

Xét cung bất kỳ có điểm chung với ABthì do số đo

Nhỏ hơn2

3 nên nó không chứa điểm N

Nghịch đảo cực N biến họ cung thành các đoạn thẳng

Đôi một có điểm chung nên chúng có điểm chung T

Gọi T* tạo ảnh của T qua phép nghịch đảo thì T* là

điểm chung của các cung

Bài Toán 4

Trên đường tròn cho n cung đôi một có điểm chung

Chứng minh tồn tại đường thẳng đi qua tâm đường tròn và cắt tất cả các cung

Chứng minh:

A

D

B

C

r

r1 I1

I3

I2 O

Xét cung có độ dài nhỏ nhất Nếu cung này có số đo≥1800 thì mọi cung có số đo≥1800

Lúc này mọi đường kính đều căt các cung

Nếu cung nhỏ nhất AB<1800.loại đi cac cung có số đo ≥1800

+Một cung bất kỳ của họ hoặc chứa A,hoặc chứa B,hoặc

chứa cả A,B

+Xét Γ tập hợp các cung chứa A (không hạn chế tổng

quát giả sử 2 chọn CD ,CD AB nhỏ nhất

+Vẽ đường kính DD’ ta có CD<1800

Nếu có cung δ của họ không chứa D thì δ chứa B mà

CD nên δ chứa B,C vậy δ chứa D’

Do đó DD’ cắt các cung

Bài Toán 5:

Cho n hình lồi đóng trong mặt phẳng biết rằng bất kỳ hai hình lồi có điểm chung

Chứng minh từ một điểm cho trước vẽ được một đường thẳng có điềm chung với n hình lồi

Chứng minh:

Giả sử O là điểm cho trước và Hi,i=1,2 ,n là hình lồi.Xét đường tròn( C) tâm O.loại các hình lồi chứa O.Xét Hi cho M thuộc Hi tia OM tạo nên cung trên (C) Như vậy có hữu hạn cung trên ( C) đoi một có điểm chung Xét đường kính cắt các dây cung Đường thẳng chứa đường kính này cắt tất cả hình lồi,hiễn nhiên hình lồi chứa O thì đường kính cắt tạo

O

Bài Toán 6:

Trong mặt phẳng cho họ hình tròn Bất kỳ 3 hình tròn tồn tại hình tròn bán kính r phủ cả

3 hình tròn

Chứng minh: tồn tại hình tròn bán kính r phủ tất cả hình tròn

Thỏa mãn giả thiết

Với 3 hình tròn tồn tai hình tròn tâm O bán kính r phủ

Chúng Ta có IiO < r-ri suy ra O thuộc 3 hình tròn tâm

Ii bán kính r-ri Do đó họ hình tròn tâm Ii bán kính r-ri

Thỏa mãn định lý HELLY nên họ có điểm chung là O*

Xét hình tròn tâm O* bán kính r Ta có IiO*≤ r-ri với

mọi I nên Xét hình tròn tâm O* bán kính r phủ các hình

tròn đã cho

C B

A

Bài toán 7

a/Trong mặt phẳng cho họ điểm Bất kỳ 3 điểm tồn tại hình tròn bán kính r phủ cả 3 điểm

Chứng minh: tồn tại hình tròn bán kính r phủ tất cả các điểm

b/ Trong mặt phẳng cho họ điểm khoảng cách giữa hai điểm bất kỳ không lớn hơn a

Chứng minh: tồn tại hình tròn bán kính 3

3

a

phủ tất cả các điểm

Chứng minh:

a/Đây là trường hợp riêng của bài 6 (xem bán kính là 0

b/ Xét 3 điểm A,B,C

90

ACB hoặc C

Thuộc đoạn AB

Thì đường tròn

đường Kính AB

bán

kínha/2< 3

3

a

phủ A,B,C

+ Nếu tam giác ABC nhọn R

bán kính của đường tròn ngoại tiếp Giả sử 900>A≥ 600 a≥BC=2RsinA≥2 3

2

a R

3

a

Áp dụng kết quả trên : tồn tại hình tròn bán kính 3

3

a

phủ tất cả các điểm

Bài toán 8

Trong mặt phẳng cho họ hình tròn Bất kỳ 3 hình tròn tồn tại hình tròn bán kính r nằm trong cả 3 hình tròn

Chứng minh: tồn tại hình tròn bán kính r nằm trong tất cả hình tròn

Chứng minh: tương tự như bài toán 6 xét họ hình tròn tâm Ii bán kính ri-r

Bài toán 9

Trong mặt phẳng cho họ hình tròn Bất kỳ 3 hình tròn tồn tại hình tròn bán kính r có điểm chung với cả 3 hình tròn

Chứng minh: tồn tại hình tròn bán kính r có điểm chung với tất cả hình tròn

Chứng minh: tương tự như bài toán 6 xét họ hình tròn tâm Ii bán kính ri+r

Bài toán10

Trong mặt phẳng cho họ hữu hạn đường thẳng Bất kỳ 3 dường thẳng tồn tại hình tròn bán kính r có điểm chung với cả 3 đường thẳng

Chứng minh: tồn tại hình tròn bán kính r có điểm chung với tất cả đường thẳng

Chứng minh:Mỗi đường thẳng d ta xét giải độ rộng 2r nhận d làm trục đối xứng Ta có

giải này là hình lồi Gọi O tâm hình tròn có điểm chung với 3 đường thẳng thì O thuộc 3 giải tương ứng với 3 đường thẳng Áp dụng định lý HELLY tồn tại O* thuộc giao của các giải.Hình ròn tâm O* bán kính r cắt tất cả đường thẳng

Bài toán 11

Cho n nữa mặt phẳng và một hình lồi F trong mặt phẳng (n>3) Nếu n nữa mặt phẳng phủ

F thì tồn tại 3 nữa mặt phẳng phủ F

Chứng minh: Gọi Hi là nữa mặt phẳng sao cho

1

n i i

F H Gọi Hi’là phần bù của Hi

H i’ là hình lồi Nếu bất kỳ 3 nữa mặt phẳng Hi ,Hj, Hk không phủ được F thì

x ,

 F xH iH jH k

Vậy F (H'i H'j H' )k (F H' )i (F H' )j (F H' )k

Mà F H'i lồi suy ra

bù của

1

n

i

i

H

 vô lý với

1

n i i

F H

Hệ quả: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy Cho n ( n>3) bất phương trình:

2 2

0 ( ), 1, 2, , ( 0)

( ; )x y

   là nghiệm của ít nhất

một trong n bất phương trình Chứng minh rằng tồn tại ba bất phương trình ( ),( ),( )i j k sao cho ( ; )x y  2 là nghiệm của ít nhất một trong 3 bất phương trình đó

Bài toán 12

Cho họ hình lồi đóng và bị chặn đôi một có điểm chung

FX1

F

B''

B'

X1

X2 P

B I

a/ Chứng minh rằng tồn tại đường thẳng cắt tất cả các hình lồi

b/ Chứng minh rằng tồn tại đường thẳng có phương cho trước cắt tất cả các hình lồi

Chứng minh: Chiếu vuông góc lên một đường thẳng và dung định lỳ HELLY trên

đường thẳng

Bài Toán 13(Khái quát bài6,7,8,9)

Trong mặt phẳng cho hình lôi F và n hình lồi Bi Với bất kỳ 3 hình Fi

a/ Nếu tồn tại phép tình tiến biến F thành F’ ,F’ phủ 3 hình Bi thì tồn tại phép tình tiến biến F thành F* ,F* phủ n hình Fi

b/ Nếu tồn tại phép tình tiến biến F thành F’ ,F’ chứa trong cả 3 hình Fi thì tồn tại phép tình tiến biến F thành F* ,F* chứa trong cả n hình Fi

c/ Nếu tồn tại phép tình tiến biến F thành F’ ,F’ có điểm chung với 3 hình Fi thì tồn tại phép tình tiến biến F thành F* ,F* có điềm chung với n hình Fi

Chứng minh:

a/Chọn P thuộc F Phép tịnh tiến biến F thành F’ xác định bởi ảnh P’ của P

Mỗi i xét *

F X T F F F Ta có *

i

F lồi

Thật vậy: Nếu X1,X2 hai điểm thuộc *

i

F ,ta có tịnh tiến PX PX1, 2

 

biến F thành FX1 và FX2 chứa Fi Lấy I thuộc đoạn X1X2 Tịnh tiến vecto X I1

: FX1→ F’X1 Xét B bất kỳ thuộc Fi

Ta có B thuộc FX1 và FX2 Lấy B’ sao cho BB ' X I1

thì B’thuộc F’X1 Lấy B’’ sao cho BB '' X I2

thì B’’thuộc F’X1 Do F’X1 lồi nên B thuộc F’X1 Do đó

Fi.⊂ F’X1 mà PI PX1 X I1

  

nên tịnh tiến vecto PI

biến F thành F’X1 chứa Fi ,kết luận I thuộc *

i

F hay *

i

F lồi

Với bất kỳ 3 tập *

i

F Tồn tại tịnh tiến biến F thành F’ chứa 3 tập Fi Tịnh tiến này biến P thành X* thuộc cả 3 *

i

HELLY tồn tại P* điểm chung cho các *

i

theo PP*

biến F thành F* chứa tất cả Fi

b,c Chứng minh tương tự

Sau đây là hai bài tập vận dụng định lý Helly

Bài toán 14

Cho họ đoạn thẳng đôi một song song,Bất kỳ 3 đoạn có đường thẳng cắt chúng

Chứng minh rằng tồn tại đường thẳng cắt tất cả họ đoạn thẳng nói trên

Bài toán 15

Cho họ miền chữ nhật có các cạnh song song với hai trục tọa độ.Bất kỳ 3 miền chữ nhật

có đường thẳng hệ số góc dương cắt cả 3 hình.Chứng minh tồn tại đường thẳng hệ số góc dương cắt tất cả miền chữ nhật

Tài liệu Tham khảo:

[1] Nguyễn Hữu Điển:Một số chuyên đề Hình học tổ hợp.NXBGD, 2005

[1] Vũ Đình Hòa :Một số kiến thức cơ sở về Hình học tổ hợp.NXBGD ,2000