Các cạnh đối song song 2 cạnh đối song song TỨ GIÁC 4 cạnh bằng nhau 3 góc vuông 1-PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH TỨ GIÁC LÀ HÌNH THANG CÂN Chứng minh tứ giác là một hình thang cĩ 1 Hai gĩc k
Trang 1BÀI TẬP HÌNH 8 CHƯƠNG I: TỨ GIÁC
A SƠ ĐỒ NHẬN BIẾT CÁC LOẠI TỨ GIÁC
2 đường chéo = 1 góc vuông 1đường chéo là đường
phân giác của 1 góc 2đường chéo vuông góc 2cạnh kề = Hình chữ nhật
1 góc vuông
2 cạnh bên song song
.2đường chéo = 1góc vuông
Hình thoi
1đường chéo là đường phân giác của 1 góc
2đường chéo vuông góc 2cạnh kề =
Hình thang
2đường chéo = 2góc kề đáy =
Góc vuông
2 cạnh bên song song
Hình thang 2 đường chéo cắt nhau tai trung điểm mỗi đường
Các cạnh đối = 2 cạnh đối song song và = Các cạnh đối =
Các cạnh đối song song
2 cạnh đối song song
TỨ GIÁC
4 cạnh bằng nhau
3 góc vuông
1-PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH TỨ GIÁC LÀ HÌNH THANG CÂN
Chứng minh tứ giác là một hình thang cĩ
1) Hai gĩc kề một đáy bằng nhau
2) Hai đường chéo bằng nhau
3) Hai gĩc đối bù nhau
4) Đường nối các trung điểm của hai đáy là trục đối xứng
2-PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH TỨ GIÁC LÀ HÌNH BÌNH HÀNH
Trang 2Chứng minh tứ giác có
1) Hai cặp cạnh đối song song
2) Hai cặp cạnh đối băng nhau từng đôi một
3) Các cặp góc đối bằng nhau
4) Các đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường
5) Một cặp cạnh đối song song và bằng nhau
6) Một tâm đối xứng
3-PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH TỨ GIÁC LÀ HÌNH CHỮ NHẬT
Chứng minh tứ giác
1) Là hình bình hành có một góc vuông
2) Có bốn góc bằng nhau
3) Là hình bình hành có hai đường chéo bằng nhau
4) Là hình thang cân có một góc vuông
5) Có các đường thẳng qua các trung điểm của mỗi cặp cạnh đối là trục đối xứng của tứ giác
4-PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH TỨ GIÁC LÀ HÌNH THOI
Chứng minh tứ giác
1) Là hình bình hành có hai cạnh liên tiếp bằng nhau
2) Có bốn cạnh bằng nhau
3) Là hình bình hành có các đường chéo vuông góc
4) Có mỗi đường chéo là phân giác của góc có đỉnh thuộc đường chéo đó
5) Là hình bình hành có một đường chéo là phân giác của một góc có đỉnh thuộc đường chéo
ấy
6) Có mỗi đường thẳng qua hai đỉnh đối nhau là một trục đối xứng của nó
5-PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH TỨ GIÁC LÀ HÌNH VUÔNG
Chứng minh tứ giác
1) Là hình thoi có một góc vuông
2) Là hình chữ nhật có hai cạnh liên tiếp bằng nhau
Trang 33) Là hình thoi có hai đường chéo bằng nhau
4) Là hình chữ nhật có hai đường chéo vuông góc
5) Có bốn trục đối xứng là các đường thẳng qua các đỉnh đối nhau , các đường thẳng qua trung điểm các cạnh đối nhau
B MỘT SỐ KIẾN THỨC LIÊN QUAN
1 Tính chất của các hình: hình thang, hình thang cân, hình bình hành, hình chữ nhật, hình thoi,
hình vuông
2 Đường trung bình của tam giác; hình thang:
a Định nghĩa:
Đường trung bình của tam giác là đọn thẳng nối trung điểm hai cạnh của tam giác
Đường trung bình của hình thang là đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh bên của hình thang
b Các tính chất:
Định lí 1: Đường thẳng đi qua trung điểm một cạnh của tam giác và song song với cạnh thứ hai thì đi qua trung điểm cạnh thứ ba
Định lí 2: Đường trung bình của tam giác thì song song với cạnh thứ ba và bằng nửa cạnh ấy
Định lí 3 :Đường thẳng đi qua trung điểm một cạnh bên của hình thang và song song với hai đáy thì đi qua trung điểm cạnh bên thứ hai
Định lí 4: Đường trung bình của hình thang thì song song với hai đáy và bằng nửa tổng hai đáy
3 Đối xứng trục; đối xứng tâm:
Hai điểm gọi là đối xứng nhau qua đường thẳng d nếu d là đường trung trực của đoạn thẳng nối hai điểm đó
Hai điểm gọi là đối xứng với nhau qua điểm O nếu O là trung điếm của đoạn thẳng nói hai điêm đó
4 Áp dụng vào tam giác:
Trang 4Trong một tam giác vuông, đương trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền.
Nếu một tam giác có đường trung tuyến ứng với một cạnh bằng nửa cạnh ấy thì tam giác đó
là tam giác vuông
C MỘT SỐ BÀI TẬP CƠ BẢN TRONG SÁCH GIÁO KHOA:
Bài 48 SGK T93
Tứ giác ABCD có E, F, G, H lần lượt là trung điểm các cạnh AB, BC, CD, DA Tứ giác EFGH
là hình gì? Vì sao?
( với bài toàn này các em co thể thay đổi đề bài bằng cách M, N, P, Q là trung điểm của hai cạnh, hai đường chéo thì cũng chứng minh tương tự )
Bài 49 SGK T93
Cho hình bình hành ABCD Gọi I, K theo thứ tự là trung điểm của CD và AB Đường chéo
BD cắt AI, CK theo thứ tự ở M và N Chứng minh rằng:
a) AI // CK
b) DM = MN = NB.( câu hỏi có thể thay đổi là chứng minh AI, CK chia BD thành ba phần bằng nhau)
Bài 64 SGK T100
Cho hình bình hành ABCD Các tia phân giác của các góc A, B, C, D đôi một cắt nhau tại G,
F, E, H Chứng minh: EFGH là hình chữ nhật
Bài 65 SGKT100
Tứ giác ABCD có hai đương chéo vuông góc với nhau Gọi E, F, G, H theo thứ tự là trung
điểm của các cạnh AB, BC, CD, DA Tứ giác EFGH là hình gì? Vì sao?
Bài 76 SGK T106
Chứng minh rằng các trung điểm của bốn cạnh của hình thoi là các đỉnh của một hình chữ nhật
Bài 84 SGK T109
Cho tam giác ABC, D là điểm nằm giữa B và C Qua D kẻ các đường song song với AB và
AC, chúng cắt các cạnh Acvà AB theo thứ tự ở E và F
Trang 5a) Tứ giác AEDF là hình gỉ? Vì sao?
b) Điểm D ở vị trí nào trên cạnh BC thì tứ giác AEDF là hình thoi?
c) Nếu tam giác ABC vuông tại A thì tứ giác AEDF là hình gì? Vì sao?
Bài 85 SGK T109
Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 2CD, Gọi E, F theo thứ tự là trung điểm của AB, CD Gọi
M là giao điểm của AF và DE, N là giao điểm của BF và CE
a) Tứ giác ADFE là hình gì? Vì sao?
b) Tứ giác EMFN là hình gì? Vì sao?
Bài 88 SGK T111
Cho tứ giác ABCD Gọi E, F, G, H theo thứ tự là trung điểm của AB, BC, CD, DA Các đường chéo AC, BD của tứ giác ABCD có điều kiện gì thì ÈGH là:
a) Hình chữ nhật?
b) Hình thoi?
c) Hình vuông?
Bài 89 SGK T109
Cho tam giác ABC vuông tại A, trung tuyến AM Gọi D là trung điểm của AB, E là điểm
đối xứng với M qua D
a) Chứng minh rằng điểm E đối xứng với điểm M qua AB
b) Các tứ giác AEMC, AEBM là hình gì? Vì sao?
c) Cho BC = 4cm Tính chu vi tứ giác AEBM
d) Tam giác vuông ABC có thêm điều kiện gì thì AEBM là hình vuông?
Nhận xét
Bài 48 và 65 có họ với nhau, còn các bài 84c, 88, 89d học sinh rất lúng túng và khó giải quyết Sau đây là một số ví dụ liên quan
*Tôi xin minh hoạ 1 số trường hợp cụ thể bằng các bài toán sau Lời giải trình bày gọn , chủ
yếu là gợi ý HS hiểu và làm lại chi tiết hơn
Ví dụ 1 : Đường chéo của tứ giác cho trước thay đổi dẫn đến tứ giác khác thay đổi loại hình
Trang 6Cho tứ giác ABCD, gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AB,BC,CD,DA.
a) Chứng minh tứ giác MNPQ là hình bình hành
b) Tứ giác ABCD phải thoả điều kiện gì về đường chéo để : MNPQ là hình chữ nhật, hình thoi , hình vuông ?
Hướng dẫn giải
N M
D
C
B
A
N M
D
C
B A Q
P
N
M
D
C
B A
N M
D
C
B
A
a) Vẽ 2 đường chéo AC,BD
Ta có : MN AC MN , AC2 (tính chất đường trung bình của tam giác )
PQ AC PQ , AC2
MN PQ MN , PQ Vậy MNPQ là hình bình hành
b)- MNPQ là hình chữ nhật thì Mˆ = 1v ACBD
- MNPQ là hình thoi thì MN = MQ ACBD
- MNPQ là hình vuông thì ACBDvà AC = BD
Ví dụ 2 :Vị trí điểm trên cạnh tam giác và tam giác cho trước thay đổi loại hình dẫn đến tứ giác
thay đổi loại hình
ChoABC,D là điểm nằm giữa B và C Qua D kẻ các đường thẳng song song AB và AC Chúng cắt các cạnh AC , AB theo thứ tự tại E và F
Trang 7a) Tứ giác AEDF là hình gì ? Vì sao ?
b) Điểm D ở vị trí nào trên cạnh BC thì tứ giác AEDF là hình thoi ?
c)NếuABCvuông tại A thì tứ giác AEDF là hình gì ? Điểm D ở vị trí nào trên cạnh BC thì tứ giác AEDF là hình vuông ?
Hướng dẫn giải
D
C B
A
B
A F
E
B
A
F
E
B
A
a) Ta có :DE AF (gt)
DF AE (gt) Vậy AEDF là hình bình hành b)Vẽ đường chéo AD
Để AEDF là hình thoi thì AD là phân giác Â
Vậy D là giao điểm của phân giác  và BC
c) Nếu ABC A: ˆ1v thì AEDF là hình chữ nhật
Để AEDF là hình vuông thì : Â = 1v và AD là phân giácÂ
Ví dụ 3 : Khi tứ giác cho trước thay đổi loại hình dẫn đến tứ giác khác thay đổi loại hình
Cho tứ giác ABCD Gọi M,N,P,Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DA.
a) Chứng minh tứ giác MNPQ là hình bình hành
b) Nếu ABCD là hình bình hành thì MNPQ là hình gì ? Vì sao ?
Nếu ABCD là hình thoi thì MNPQ là hình gì ? Vì sao ?
Nếu ABCD là hình chữ nhật thì MNPQ là hình gì ? Vì sao ?
Nếu ABCD là hình vuông thì MNPQ là hình gì ? Vì sao ?
Hướng dẫn giải
Trang 8P
N M
D
B
C
A Q
M D
C
B
A Q
P
N M
B A
Q
P
N M
C
B
D
A
a) (Xem bài 1 phần a )
b) Nếu ABCD là hình bình hành thì MNPQ là hình bình hành (tương tự phần a)
Nếu ABCD là hình chữ nhật thì : AC = BD MN MQthì MNPQ là hình thoi
Nếu ABCD là hình thoi thì : ACBD MN MQ hay Mˆ = 1v thìMNPQ là hình chữ nhật Nếu ABCD là hình vuông thì : MN = MQ và Mˆ = 1v thì MNPQ là hình vuông
Ví dụ 4 :Khi hình thang cho trước thay đổi loại hình và góc dẫn đến tứ giác thay đổi loại hình
Cho hình thang ABCD (AB CD ) Gọi M,N,P,Q là trung điểm các cạnh AB, AC, DC, BD
a) Chứng minh tứ giác MNPQ là hình bình hành
b) Nếu ABCD là hình thang cân thì MNPQ là hình gì ?
c) Khi MNPQ là hình vuông Tính các góc của hình thang ABCD
Hướng dẫn giải
K
Q P N M
C
B
D
A Q
P N
M B
C D
A Q
P N M
B A
a) Ta có : MQ AD MQ , AD2 ( tính chất đường trung bình của tam giác )
NP AD NP , AD2
MQ NP MQ NP , Vậy MNPQ là hình bình hành
b) Nếu ABCD là hình thang cân thì AD = BC MQ MN
Vậy MNPQ là hình thoi
Trang 9c) Khi MNPQ là hình vuông thì Mˆ = 1v hayMQMN DK CK
nên Cˆ = Dˆ = 450 Do đó Â = ˆB = 1350
Ví dụ 5 : Khi tam giác cho trước thay đổi loại hình dẫn đến các tứ giác thay đổi loại hình
* ChoABC cân tại A Gọi M,N,P thứ tự là trung điểm các cạnh AB, AC, BC Q là điểm đối xứng của P qua N
a) Chứng minh tứ giác PMAQ là hình thang
b) Chứng minh tứ giác APCQ là hình chữ nhật
c)ABCphải thoả mãn điều kiện gì để các tứ giác PMAQ là hình thang cân , APCQ là hình vuông
Hướng dẫn giải
N P
Q
C B
A Q
N
P
M
C
A
B
Q
N
P
M
C B
A
a) Ta có :PN AB (tính chất đường trung bình của tam giác )
hay AM PQ Vậy PMAQ là hình thang
b) Ta có NA = NC (gt)
NP = NQ ( tính chất đối xứng)
ABC cân tại A nên AP cũng là đường cao , do đó ; APBC hay ˆP = 1v
Vậy APCQ là hình chữ nhật
c) - Nếu PMAQ là hình thang cân thì Q = P mà Q = B (góc đối hình bình hành)
P = A (góc đối hình thoi )
Do đó : Â = ˆB A B Cˆ ˆ ˆ Vậy ABC đều
- Nếu APCQ là hình vuông thì AP = PC (= BC2 )
Trang 10Vậy ABC vuông cân tại A
Ví dụ 6:Khi tam giác cho trước thay đổi loại hình và góc giữa 2 trung tuyến thay đổi dẫn đến tứ
giác thay đổi loại hình
* ChoABC Các đường trung tuyến BE và CF cắt nhau tại G Gọi I,J là trung điểm GB, GC a) Chứng minh tứ giác EFIJ là hình bình hành
b) ABC phải có điều kiện gì để tứ giác EFIJ là hình chữ nhật ?
c) Nếu BECFthì tứ giác EFIJ là hình gì ?
Hướng dẫn giải
l G J I
C B
A
G J I
C B
A
J I
G
C B
A
a) Ta có : FE BC FE , BC2 (tính chất đường trung bình của tam giác)
IJ BC IJ , BC2
FE IJ FE IJ , Vậy EFIJ là hình bình hành
b) Để EFIJ là hình chữ nhật thì FJ = IE Do đó BE = CF
Vậy ABC cân tại A
c) Nếu BECF hayFJ IE Vậy EFIJ là hình vuông
ĐẶT BỘ SÁCH THAM KHẢO TOÁN 8-NH-2020-2021
Trang 11Bộ phận bán hàng: 0918.972.605(Zalo)
Đặt mua tại: https://xuctu.com/
FB: facebook.com/xuctu.book/
Email: sach.toan.online@gmail.com
Đặt online tại biểu mẫu:
https://forms.gle/ypBi385DGRFhgvF89
Trang 12D BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài
1: Cho hình bình hành ABCD có BC = 2AB và góc A = 600 Gọi E, F theo thứ tự là trung đIểm của BC và AD
a) Tứ giác ECDF là hình gì?
b) Tứ giác ABED là hình gì? Vì sao?
c) Tính số đo của góc AED
Bài
2: Cho ABC Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BC, AC Gọi H là điểm đối xứng của
N qua M
a) C/m tứ giác BNCH và ABHN là hình bình hành
b) ABC thỏa mãn điều kiện gì thì tứ giác BCNH là hình chữ nhật
Bài 3: Cho hình thoi ABCD, gọi O là giao điểm của hai đường chéo Vẽ đường thẳng qua B
và song song với AC, vẽ đường thẳng qua C và song song với BD, hai đường thẳng đó cắt nhau ở K
a) Chứng minh tứ giác OBKC là hình chữ nhật
b) Chứng minh AB = OK
c) Tìm điều kiện của hình thoi ABCD để tứ giác OBKC là hình vuông?
Bài
4 : Cho tứ giác ABCD Gọi O là giao điểm của 2 đường chéo (không vuông góc), I và K lần
lượt là trung điểm của BC và CD Gọi M và N theo thứ tự là điểm đối xứng của điểm O qua tâm I và K
a) C/m rằng tứ giác BMND là hình bình hành
b) Với điều kiện nào của hai đường chéo AC và BD thì tứ giác BMND là hình chữ nhật c) Chứng minh 3 điểm M, C, N thẳng hàng
Trang 135 : Cho hình bình hành ABCD Gọi E và F lần lượt là trung điểm của AD và BC Đường
chéo AC cắt các đoạn thẳng BE và DF theo thứ tự tại P và Q
a) C/m tứ giác BEDF là hình bình hành
b) Chứng minh AP = PQ = QC
c) Gọi R là trung điểm của BP Chứng minh tứ giác ARQE là hình bình hành
Bài
6: Cho tứ giác ABCD Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của AB, BC, CD, DA.
a) Tứ giác MNPQ là hình gì? Vì sao?
b) Tìm điều kiện của tứ giác ABCD để tứ giác MNPQ là hình vuông?
c) Với điều kiện câu b) hãy tính tỉ số diện tích của tứ giác ABCD và MNPQ
Bài
7 : Cho ABC, các đường cao BH và CK cắt nhau tại E Qua B kẻ đường thẳng Bx vuông
góc với AB Qua C kẻ đường thẳng Cy vuông góc với AC Hai đường thẳng Bx và Cy cắt nhau tại D
a) C/m tứ giác BDCE là hình bình hành
b) Gọi M là trung điểm của BC Chứng minh M cũng là trung điểm của ED
c) ABC phải thỏa mãn đ/kiện gì thì DE đi qua A
Bài
8 : Cho hình thang cân ABCD (AB//CD), E là trung điểm của AB.
a) C/m: EDC cân
b) Gọi I,K,M theo thứ tự là trung điểm của BC, CD, DA Tứ giác EIKM là hình gì? Vì sao?
c) Tính S ABCD, SEIKM biết EK = 4, IM = 6
Bài
9: Cho hình bình hành ABCD Gọi E, F lần lượt là trung điểm của AB và CD.
a) Tứ giác DEBF là hình gì? Vì sao?
b) C/m 3 đường thẳng AC, BD, EF đồng qui
Trang 14c) Gọi giao điểm của AC với DE và BF theo thứ tự là M và N Chứng minh tứ giác EMFN là hình bình hành
d) Tính SEMFN khi biết AC = a, BC= b, AC BD
Bài 10: Cho hình thang cân ABCD (AB//CD) và CD = 2AB Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm
của các cạnh BC, CD và AD
a) Chứng minh tứ giác ABCN là hình bình hành ?
b/ Gọi O là giao điểm của AC và BN Chứng minh ba điểm P, O, M thẳng hàng c) Chứng minh: PO = 2OM
Bài 11: Cho hình thoi ABCD, gọi O là giao điểm của hai đường chéo Vẽ đường thẳng qua B
và song song với AC, vẽ đường thẳng qua C và song song với BD, hai đường thẳng đó cắt nhau ở K
a) Chứng minh tứ giác OBKC là hình chữ nhật b)Chứng minh AB = OK
c) Tìm điều kiện của hình thoi ABCD để tứ giác OBKC là hình vuông?
Bài 12: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH Gọi D là điểm đối xứng với H qua AB, M là
giao điểm của AB và DH , gọi E là điểm đối xứng với H qua AC, N là giao điểm của AC và HE
a./ Chứng minh tứ giác AMHN là hình chữ nhật
b./ Chứng minh rằng D đối xứng với E qua A
c./ Tìm điều kiện của tam giác ABC để tứ giác AMHN là hình vuông
Bài 13: Cho tam giác ABC vuông tại A Gọi M và D lần lượt là trung điểm của BC và AC; E là
điểm đối xứng với M qua D
a) Tứ giác AEMB và AECM là hình gì ? vì sao?
b) Tam giác vuông ABC có điều kiện gì thì AECM là hình vuông
Bài 14 Cho tam giác ABC có M là điểm nằm giữa B và C Qua M kẻ các đường thẳng song
song với AB và AC , chúng cắt các cạnh AC và AB theo thứ tự tại P và Q Gọi N là trung điểm của cạnh PQ
a Chứng minh tứ giác APMQ là hình bình hành