Cho tam giác ABC nhọn với trực tâm H.. Chứng minh rằng AM =AN.. Cho tam giác ABC vuông cân tại A, cạnh bên bằng a.Vẽ hình chữ nhật AEMF có chu vi bằng 2a và E∈AB F; ∈AC.. Chứng minh rằng
Trang 1PHÒNG GD&ĐT LẬP THẠCH ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN
NĂM HỌC: 2018 – 2019 MÔN: TOÁN 9
(Thời gian làm bài 150 phút)
Câu 1 (3,5 điểm) Cho x= 2 3 2 2 3 11 − ( 3 )
Tính giá trị của biểu thức:
( ) 2019 2018
2
A
x x
=
+
Câu 2 (3 điểm) Cho
ax =by =cz
và
1 1 1
1
x+ + =y z
Chứng minh rằng:
Câu 3 (3 điểm) Giải phương trình:
2 12 5 3 2 5
Câu 4(1điểm) Tìm các số tự nhiên a b c, , phân biệt sao cho biểu thức sau nhận giá trị nguyên
(ab 1) (bc 1) (ca 1)
P
abc
=
Câu 5 (3 điểm) Cho tam giác ABC nhọn với trực tâm H Trên đoạn BH lấy điểm M
và trên đoạn CH lấy điểm N sao cho
· · 90 0
AMC=ANB=
Chứng minh rằng AM =AN
Câu 6 (4,5 điểm) Cho tam giác ABC vuông cân tại A, cạnh bên bằng a.Vẽ hình chữ nhật AEMF có chu vi bằng 2a và E∈AB F; ∈AC
a) Hỏi điểm M di động trên đường nào ?
b) Từ M vẽ đường thẳng MN ⊥EF N EF( ∈ )
Chứng minh rằng MN luôn đi qua một điểm cố định
Câu 7 (1 điểm) Cho các số thực dương a b c, , thỏa mãn abc a b+ + =3ab
Chứng minh rằng:
Trang 2
3
a b + bc c + ca c ≥
Câu 8 (1 điểm) Trong mặt phẳng cho 2019 điểm 1 2 2019
, , ,
Vẽ đường tròn bán kính 1 tùy ý Chứng minh rằng tồn tại điểm S trên đường tròn sao cho
1 2 2019 2019.
SM +SM + +SM ≥
Trang 3
-Hết -HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ KHẢO SÁT HSG TOÁN 9, NĂM HỌC 2018 -2019
Câu 1
(3,5
điểm)
Ta có
2 3 2 3 2 3 2
2 3 2 2 3 1 2 3 2 2 3 2
*) Tử
( )
*) Mẫu
2
Vậy
3 2 3
3 3
3 1 3 1 2
1,5
1
1
Câu 2
(3
điểm)
Đặt
ax =by =cz =k
Ta có
(1)
(2)
Từ (1) và (2), ta được
0,5 1,25 1,25
Câu 3
(3
điểm)
( ) ( )
5 3 12 5
5 3 3 6 12 4 0
2
x
x
x
=
0,5
0,5 0,5
Trang 4Từ đặc điểm của phương trình suy ra
5
3
x> ⇔ >x
, do đó
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x=2
1 0,5
Câu 4
(1
điểm)
Ta có
P abc a b c
a b c abc
Do a b c, , là các số tự nhiên nên P là số nguyên khi và chỉ khi
M
a b c abc
= + + −
là số nguyên
Do a b c, , có vai trò như nhau, không mất tính tổng quát ta giả sử a b c< <
Suy ra a≥1;b≥2;c≥3, suy ra
a b c abc a b c
Suy ra
( ) ( ) ( )
1 1 1 2 (*)
a b c abc
Nếu (a− 1) (b− ≥ 1) 4
thì với a b c< <
ta có
3c a b c> + + ⇒ 3c> −a 1 b− 1 c− + ⇒ 1 2 3c> 4 c− + ⇒ 1 2 3c> 4c− ⇒ < 2 c 2
trái với điều kiện c≥3.
Do a b c+ + ≥6
nên từ (*) suy ra a− > ⇒ − >1 0 b 1 1
, suy ra (a− 1) (b− 1)
chỉ
có thể nhận giá trị là 2 hoặc 3 Từ đây ta tìm được bộ số (a b c; ; )
thỏa mãn
là (2;3;5)
Vậy các bộ số tự nhiên phân biệt (a b c; ; )
thỏa mãn bài toán gồm các hoán
vị của (2;3;5)
Khi đó P=21
0,5
0,5
Trang 5Câu 5
(3
điểm)
Gọi BD CI, là hai đường cao của ∆ABC
Ta có
ANB= NI ⊥AB⇒AN =AI AB
(1)
Vì
AMC= MD⊥ AC⇒ AM =AD AC
(2) Mạt khác, ta có
AI AC
AD AB
(3)
Từ (1), (2) và (3) suy ra AM =AN
0,5 1,25
1,25
Câu 6
(4,5
điểm)
a)
ME MF a AF FC a+ = + = ⇒MF =FC⇒FCM = ⇒M∈BC
Vậy M di động trên cạnh huyền BC
2,5
b) Vẽ hình vuông
,
ABDC D
là điểm cố định
¶ µ
MN⊥EF⇒M =E
(cùng phụ với ·EMN
)
1 0,5
Trang 6Gọi H là giao điểm của FM và BD
suy ra M N D, , thẳng hàng
Dẫn tới MN luôn đi qua điểm cố định D
0,5
Câu 7
(1điểm
) Ta có
1 1
abc a b ab c
b a
Đặt
, ta có
3
x y z+ + =
và ta chứng minh
3
A
xy x y yz y z zx z z
Ta có ( )2 ( )
x y+ + ≥ xy x y+ +
, thật vậy
2
1 3
1
x y xy x y
Đẳng thức xảy ra khi x= =y 1 Do đó
1
x y
xy x y ≥
+ + + +
Tương tự, ta được
1
1
y z
yz y z
z x
zx z x
≥ + + + +
≥ + + + +
Suy ra
A
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x= = = ⇔ = = =y z 1 a b c 1
0,5
0,5
Trang 7Câu 8
(1
điểm)
Xét đường kính 1 2
S S
tùy ý của đường tròn 1 2
,
S S
là hai điểm mút của đường kính Vì 1 2
2
S S =
, nên ta có
2 2
2
S M S M S S
S M S M S S
S M S M S S
Cộng vế theo vế ta được
(S M1 1 +S M1 2 + + S M1 2019) (+ S M2 1 +S M2 2 + + S M2 2019)≥ 2.2019 4038 =
(1)
Từ (1) ta có trong hai tổng trên có ít nhất một tổng lớn hơn hoặc bằng
2019
Giả sử 1 1 1 2 1 2019
S M +S M + +S M ≥
Khi đó lấy 1
S≡S
ta có điều phải chứng minh
0,5
0,5